비선형 PID 제어기의 이득

3.2.1 비선형 비례이득(Nonlinear proportional gain)

비례동작 _는 비례이득이나 현재의 오차에 비례해서 커지며, 너무 크면 과 도한 제어로 인해 오버슈트가 발생하고 또 진동현상이 일어날 수 있다. 응답속 도를 높이기 위해서는 오차가 클 때 비례이득도 적절히 클 필요가 있지만, 응 답이 정상상태에 도달한 후에 오차가 작을 때에도 계속 큰 비례이득 값을 유지 하면 오차의 영향이 증폭되어 진동현상이 일어나거나 경우에 따라서는 불안정 해질 수도 있다.

본 연구에서는 이러한 점에 착안을 얻어 비례이득의 크기는 오차 에 따라 적절히 조절되어지도록 설계하며, 제안하는 _는 식 (3.2)와 같이 유연한 함 수이다.

_ __ (3.2a)

_    _ _^

 (3.2b)

여기서 _는 양의 상수이고, _는 두 매개변수 _(≥1) 와 _(>0)를 가지는 비선형 함수이다.

식 (3.2)에서 가 무한대로 커지면 _는 상한값 1로 수렴하고, 반대로 오차

가 0이면 하한값 (  _)로 수렴하지만, 그 크기는 _값에 따라 달라진다.

그림 3.2는 _와 _의 변화에 따른 _의 변화 형태를 보여준다. _가 작 아지는 지점의 깊이는 _값에 의해 결정되며 _값이 작을수록 깊어진다. _값은 폭을 결정하며 _값이 작을수록 폭은 넓어진다.

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

0.5 1 1.5

(a) Error e; c_p= 3 Nonlinear gain gp(e)

a_p= 1.2 a_p= 1.7 a_p= 3.0

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5

(b) Error e; a_p= 1.2 Nonlinear gain gp(e)

c_p= 1 c_p= 2 c_p= 3

그림 3.2 _ 및 _의 변화에 대한 _의 형태 Fig. 3.2 _ shapes to changes of _ and _

3.2.2 비선형 적분이득

적분동작 _는 누적오차의 절대값이 클수록 또는 적분시간이 짧을수록(즉, 적 분이득이 클수록) 더 커진다. 누적오차가 클 때 적분이득 값도 크면 오버슈트가 일어나고 또 제어입력이 포화되면 적분기 와인드업(Integrator windup) 현상이 일어날 수 있다. 또한 _는 현재의 오차가 작아 _가 더 이상 영향을 주지 못할 때에도 계속적으로 오차를 누적하여 제어하기 때문에 정상상태 오차를 제거하 는 역할을 해준다.

이러한 사실을 감안하여 의 절대값이 클 때에는 적분이득 값을 줄여 오버슈 트 발생에 대비하고, 의 절대값이 작을 때에는 적분이득 값을 크게 해서 정상 상태 오차를 줄이도록 설계한다. 이를 위해 식 (3.3)을 사용한다.

_ __ (3.3a)

_   _^

 (3.3b)

여기서 _는 양의 이득이고, _는 _  를 매개변수로 갖는 비선형 함수이 고 0과 1 사이의 값을 갖는다. 그림 3.3은 _의 크기에 따른 _의 변화를 나 타낸다. _는 함수의 폭을 결정하며 _값이 작을수록 폭은 넓어진다.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5

Error e Nonlinear gain gi(e)

c_i= 1 c_i= 2 c_i= 5

그림 3.3 _의 변화에 대한 _ 형태 Fig. 3.3 _ shapes to changes of _

3.2.3 비선형 미분이득(Nonlinear derivative gain)

미분동작 _는 오차의 변화율과 미분이득에 비례해서 커지고, _와 _가 커지 면 출력도 같이 커질 것을 미리 예측하고 제동을 걸게 된다. 전체 제어 사이클 동안 필요 이상의 제동이 걸리면 응답속도가 느려질 수 있다. 그러나 만약 특 정 사이클만 제동을 걸면 _와 _를 더 과감하게 활용할 수 있고 또 오버슈트 도 줄일 수 있다. 따라서 응답이 그림 3.4의 영역( )의 사이클에 있을 때 큰 제동을 걸도록 미분이득의 크기를 변경한다.

-0.5 0 0.5 1 -1

-0.5 0 0.5

Error

Error rate

Fig. 3.4   위상평면 Fig. 3.4   phase plane

이를 위해 식 (3.4)로 기술되는 시변 미분이득을 사용한다.

_ __ (3.4a)

_ 







 

  __^

   

  _

  

(3.4b)

여기서 _는 양의 이득이고, _는 두 매개변수 _(≥1)와 _(>0)를 가진 비 선형 함수이고 역시 0과 1 사이의 값을 갖는다.

그림 3.5는 현재의 오차 와 오차의 변화율 를 변화시켜 가며 _를 그 린 것이다. 그림의   평면에서 의 절대값이 작으면 _는 1로 수렴하 고, 반대로 크면 (  _)에 수렴하지만 그 크기는 _값에 따라 달라진다.

-3

0

3

-3 0

30 0.5 1 1.5

Error Error rate

Nonlinear gain gd(e,e)

그림 3.5  및 의 변화에 대한 _의 형태 Fig. 3.5 _ shape to changes of  and 

한편 식 (3.1)에 있는 _= _ _로부터 구할 수 있다.

3.3 비선형 PID 제어기 이득의 최적동조