부등식의 활용

1

^{-1 } _{지우개 자}

개수`(개) 25-x x

금액`(원) 200(25-x) 300x

, 10개

200(25-x)+300xÉ6000 ∴ xÉ10 따라서 자를 최대 10개까지 살 수 있다.

1

-2  국화 장미

개수`(송이) 20-x x

금액`(원) 600(20-x) 800x

, 7송이

600(20-x)+800x<13600 ∴ x<8 따라서 장미를 최대 7송이까지 살 수 있다.

p. 123~124

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진도교재

2

^{-1 } 예슬이의 예금액`(원) 정주의 예금액`(원)

현재 12500 14000

x개월 후 12500+1200x 14000+900x

, 6개월

12500+1200x>14000+900x ∴ x>5 따라서 6개월 후부터이다.

2

^{-2 } <sub>형의 예금액`(원)</sub> 동생의 예금액`(원)

현재 50000 35000

x개월 후 50000+1000x 35000+3000x

, 8개월

50000+1000x<35000+3000x ∴ x>:Á2°\:

따라서 8개월 후부터이다.

3

-1  올라갈 때 내려올 때 총

거리 x`km x`km

속력 시속 2`km 시속 3`km

시간 ;2{; 시간 ;3{; 시간 4시간

, :ª5¢:`km

;2{;+;3{;É4 ∴`xÉ:ª5¢:

따라서 최대 :ª5¢:`km 지점까지 올라갔다 내려올 수 있다.

3

-2  갈 때 물건 사기 올 때 총

거리 x`km x`km

속력 시속 4`km 시속 4`km 시간 ;4{; 시간 ;6!0%; 시간 ;4{; 시간 1시간

, ;2#;`km

;4{;+;6!0%;+;4{;É1 ∴ xÉ;2#;

따라서 역에서 ;2#;`km 이내에 있는 상점을 이용할 수 있다.

4

^-1  풀이 참조, 100`g

8 %의 소금물을 x g이라 하면

5

100_200+ 8

100_x¾ 6

100_(200+x) ∴ x¾100

따라서 8 %의 소금물을 100`g 이상 섞어야 한다.

4

^-2  풀이 참조, 700`g

더 넣어야 하는 물의 양을 x g이라 하면

12

100_500+ 0

100_xÉ 5

100_(500+x) ∴ x¾700

따라서 물을 700`g 이상 더 넣어야 한다.

01

4`km=4000`m, 2시간=120분이므로

분속 20 m의 속력으로 걸을 수 있는 거리를 x m라 하면 ;2Ó0;+4000-x

40 É120 ∴`xÉ800

따라서 분속 20 m의 속력으로 걸을 수 있는 거리는 최대 800 m 이다.

02

역에서부터 x km까지 가서 물건을 사온다고 하면 ;3{;+;2!;+;3{;É;2#; ∴ xÉ;2#;

따라서 최대 ;2#;`km까지 가서 물건을 사올 수 있다.

03

^⑴ _{동네 가게 할인점}

물건 가격 (원) 5500 5000

교통비 (원) 0 2500

총 비용 (원) 5500x 5000x+2500 ⑵ 5500x>5000x+2500 ∴ x>5

따라서 6개 이상 사는 경우 할인점에 가는 것이 유리하다.

04

선물 세트의 개수를 x개라 하면 1800x>1300x+1200 ∴`x>:Á5ª:

따라서 3개 이상 사는 경우 대형 할인점에 가는 것이 유리하다.

05

입장 인원 수를 x명이라 하면

2000x>2000_;1¥0¼0;_40 ∴ x>32

따라서 33명 이상이면 40명의 단체 입장료를 지불하는 것이 유 리하다.

06

입장 인원 수를 x명이라 하면

10000x>10000_;1¥0°0;_30 ∴ x>:°2Á:

따라서 26명 이상이면 30명의 단체 입장료를 지불하는 것이 유 리하다.

01 800`m 02 ;2#;`km 03 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 6개 04 3개 05 33명 06 26명

p. 125

1

-1  ⑴ 36<2(x-5)<40 ⑵ 23<x<25 ⑶ 24 ⑵ 36<2(x-5)<40에서 36<2x-10<40

46<2x<50 ∴ 23<x<25 ⑶ x는 정수이므로 x=24

p. 126~127

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5. 부등식

45

1

^{-2  7}

어떤 정수를 x라 하면 g3(x-5)<15

6x+3¾45 ∴ 7Éx<10 따라서 구하는 가장 작은 정수는 7이다.

2

-1  ⑴ 연필 볼펜

개수`(자루) 25-x x

금액`(원) 150(25-x) 200x

⑵ g150(25-x)+200xÉ4500 x>25-x

⑶ 15자루

⑶ 연립부등식을 풀면 :ª2°:<xÉ15

따라서 볼펜은 최대 15자루까지 살 수 있다.

2

^{-2  ⑴} _{배 사과}

개수`(개) x 20-x

금액`(원) 1000x 850(20-x)

⑵ 18000É1000x+850(20-x)É19000

⑶ 13개

⑶ 연립부등식을 풀면 :ª3¼:ÉxÉ:¢3¼:

이때 :¢3¼:=13;3!;이므로 배는 최대 13개까지 살 수 있다.

3

-1  ⑴ 2(50+x)`m ⑵ 140É2(50+x)É160

⑶ 20`m 이상 30`m 이하 ⑶ 연립부등식을 풀면 20ÉxÉ30

따라서 이 땅의 세로의 길이의 범위는 20`m 이상 30`m 이하 이다.

3

-2  ⑴ x+5, x-2, x+2, x-2 ⑵ x>5 ⑴ gx+5< x-2 + x+2

x-2>0 ⑵ gx>5

x>2 ∴ x>5

4

^-1  ⑴ ;10%0;_(300+x), ;10&0;_(300+x)

⑵ 180 g 초과 500 g 이하 ⑵ 연립부등식을 풀면 180<xÉ500

따라서 2 %의 소금물을 180`g 초과 500`g 이하 섞어야 한다.

4

^-2  ⑴ ;10*0;_(200-x), ;1Á0¼0;_(200-x)

⑵ 50`g 이상 80`g 이하 ⑵ 연립부등식을 풀면 50ÉxÉ80

따라서 50`g 이상 80`g 이하의 물을 증발시켜야 한다.

01 ⑴ x-1, x+1, 85<(x-1)+x+(x+1)<90 ⑵ 28, 29, 30 02 ⑴ x-2, x+2, 78<(x-2)+x+(x+2)<87 ⑵ 26, 28, 30 03 4명 04 7명 05 25`m 이상 40`m 미만 06 5`cm 이상 9`cm 이하

p. 128

01

⑵ 연립부등식을 풀면 :¥3°:<x<30 이때 x는 자연수이므로 x=29

따라서 구하는 세 자연수는 28, 29, 30이다.

02

⑵ 연립부등식을 풀면 26<x<29 이때 x는 짝수이므로 x=28

따라서 구하는 세 짝수는 26, 28, 30이다.

03

어린이를 x명이라 하면 어른은 (10-x)명이므로 g900(10-x)+450xÉ7500

10-x>x

따라서 어린이는 4명이다.

04

어른을 x명이라 하면 어린이는 (12-x)명이므로 9000<900x+600(12-x)É9500

∴ 6<xÉ:ª3£:

따라서 어른은 7명이다.

05

땅의 가로의 길이를 x`m라 하면 세로의 길이는 (x+15)`m이므로

130É2(2x+15)<190 ∴ 25Éx<40

따라서 이 땅의 가로의 길이의 범위는 25`m 이상 40`m 미만이 다.

06

아랫변의 길이를 x`cm라 하면

20É;2!;_(3+x)_5É30 ∴ 5ÉxÉ9

따라서 아랫변의 길이의 범위는 5`cm 이상 9`cm 이하이다.

∴ :Á3¼:Éx<5

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진도교재

01

세 번째 시험 성적을 x점이라 하면 92+96+x

3 ¾90 ∴ x¾82

따라서 세 번째 시험에서 82점 이상 받아야 한다.

02

주차한 시간을 x분이라 하면

3000+50(x-30)É8000 ∴ xÉ130 따라서 최대 130분 동안 주차하였다.

03

한 달 사용 시간을 x분이라 하면

24000+60x<15000+180x ∴ x>75

따라서 75분을 초과하면 A 회사에 가입하는 것이 유리하다.

04

증발시키는 물의 양을 x`g이라 하면 더 넣는 소금의 양도 x`g이 므로

(소금물의 양)=500-x+x=500`(g), (소금의 양)=;10*0;_500+x=40+x`(g) 즉 40+x¾;1Á0ª0;_500 ∴ x¾20 따라서 20`g 이상의 물을 증발시켜야 한다.

05

학생 수를 x명이라 하면 공책의 수는 (5x-2)권이므로 4x+1É5x-2<4x+3 ∴`3Éx<5

따라서 가능한 학생 수는 3명, 4명이다.

01 82점 02 130분 03 75분 04 20`g 05 3명, 4명 06 ⑴ (3x+7)명 ⑵ 5(x-3)+1É3x+7É5(x-3)+5

⑶ 9개, 10개 ⑷ 34명, 37명 07 60`g 이상 100 g 이하

p. 130

06

^⑵ 5명씩 들어가면 텐트가 2개 남으므로 학생이 5명씩 들어간 텐 트의 개수는 (x-3)개이고, 한 텐트에는 최소 1명에서 최대 5명의 학생이 들어갈 수 있다. 즉

5(x-3)+1É3x+7É5(x-3)+5 ⑶ g5(x-3)+1É3x+7

3x+7É5(x-3)+5 ∴`:Á2¦:ÉxÉ:ª2Á:

이때 :Á2¦:=8;2!;, :ª2Á:=10;2!;이므로 가능한 텐트의 개수는 9개, 10개이다.

⑷ 학생 수가 (3x+7)명이므로 가능한 학생 수는 3_9+7=34(명), 3_10+7=37(명)

07

식품 B의 양을 x`g이라 하면 식품 A의 양은 (200-x) g이므로

(

{ 9

;1!0@0);(200-x)+;1#0@0);x¾360

;10*0;(200-x)+;10%0;x¾13 ∴ 60ÉxÉ100

따라서 식품 B의 양의 범위는 60`g 이상 100`g 이하이다.

01

^{③ 2(3+x)¾20}

02

② a<b이므로 -a>-b ∴ -a+1>-b+1

03

-1Éx<3에서 -6<-2xÉ2 ∴ -5<-2x+1É3

즉 a=-5, b=3이므로 a+b=-5+3=-2

04

① 2-2x=5 ⇨ 일차방정식

② -4<0 ⇨ 부등식이지만 일차부등식은 아니다.

③ 5x-3>0 ⇨ 일차부등식

④ xÛ`É0 ⇨ x의 차수가 2이므로 일차부등식이 아니다.

⑤ x+6É0 ⇨ 일차부등식

01 ③ 02 ② 03 -2 04 ③, ⑤ 05 ③ 06 3 07 ① 08 11<aÉ16 09 ;2%; 10 -2ÉxÉ8 11 -7 12 ③ 13 ② 14 ② 15 4마리 16 13개 17 3 18 3 19 3<aÉ4 20 2`km 21 12`cm 22 11, 12

p. 131~133

1

학생 수를 x명이라 하면 사과의 개수는 (4x+13)개이므로 6(x-1)+3É4x+13<6(x-1)+5

∴ 7<xÉ8

따라서 가능한 학생 수는 8명이다.

2

의자의 개수를 x개라 하면 학생 수는 (4x+10)명이므로 5(x-8)+1É4x+10É5(x-8)+5

∴ 45ÉxÉ49

따라서 가능한 의자의 개수는 45개, 46개, 47개, 48개, 49개이 다.

1 8명 2 45개, 46개, 47개, 48개, 49개

잠깐! ^속 개념과 유형 p. 129

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5. 부등식

47

05

x-2<0에서 x<2

① x>0 ② x>2

③ 2x+1>3x-1에서 -x>-2 ∴ x<2

④ 2(x-3)<1에서 2x-6<1 ∴ x<;2&;

⑤ ;3{;<1-;2{;에서 2x<6-3x ∴ x<;5^;

06

2(x+a)>9-x에서 2x+2a>9-x 3x>-2a+9 ∴ x>-2a+9

3 yy ㉠

x+2

3 - x-12 <1의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 2(x+2)-3(x-1)<6, 2x+4-3x+3<6

-x<-1 ∴ x>1 yy ㉡

㉠, ㉡이 서로 같으므로 -2a+9

3 =1 ∴ a=3

07

a<0에서 -5a>0이므로 x< 10

-5a ∴`x<-;a@;

08

3x-a<-2x+4에서 5x<a+4 ∴ x<a+4 5 이 부등식을 만족하는 자연수 x가 3

a+45

1 2 3 4

개이려면 오른쪽 그림과 같아야 하므 로

3<a+4

5 É4 ∴ 11<aÉ16

09

g7-2x¾3(x-1) 3x-2<5x-3 ⇨ (

{9 xÉ2 x>;2!;

∴`;2!;<xÉ2

즉 a=;2!;, b=2이므로 a+b=;2!;+2=;2%;

10

g5(x-4)¾3(x-8)`

3(x-1)Éx-5+18` ⇨ gx¾-2 xÉ8

∴`-2ÉxÉ8

11

g3x-7É4x-3 4x-3<2(x-4)` ⇨ (

{9 x¾-4 x<-;2%;

∴ -4Éx<-;2%;

따라서 연립부등식을 만족하는 모든 정수 x의 값의 합은 -4+(-3)=-7

12

g2x-1>-3 3x-3Éx+a ⇨ (

{9 x>-1 xÉa+3

2

이때 연립부등식의 해가 b<xÉ3이므로 -1=b, a+3

2 =3 ∴ a=3, b=-1

13

g6-2x¾x 2x+3>a ⇨ (

{9 xÉ2 x>a-3

2

이 연립부등식의 해가 없으려면 오른쪽

2 a-32 그림과 같아야 하므로

a-3

2 ¾2 ∴ a¾7

14

반 학생 수를 x명이라 하면

800x>800_;1¥0¼0;_40 ∴ x>32 따라서 이 반의 학생 수의 최솟값은 33명이다.

15

금붕어의 수를 x마리라 하면 거북의 수는 (10-x)마리이므로 g800x+1000(10-x)É9200

x<10-x

∴ 4Éx<5

따라서 금붕어를 4마리 사면 된다.

16

상자의 개수를 x개라 하면 사탕의 개수는 (4x+3)개이므로 5(x-3)+1É4x+3É5(x-3)+5

∴ 13ÉxÉ17

따라서 상자의 개수는 최소 13개이다.

17

ax+6¾2a+3x에서 (a-3)x¾2(a-3) 이때 a<3에서 a-3<0이므로

xÉ2(a-3)

a-3 ∴ xÉ2 yy 4점

따라서 자연수 x는 1, 2이므로 그 합은 1+2=3 yy 2점

채점 기준 배점

부등식의 해를 구한 경우 4점

x의 값의 합을 구한 경우 2점

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진도교재

18

^1-x₄ ^-;2%;<-1의 양변에 분모의 최소공배수 4를 곱하면 1-x-10<-4 ∴ x>-5 yy ㉠ yy 2점 -4(x-2)-4>-3x에서 -4x+8-4>-3x

-x>-4 ∴ x<4 yy ㉡ yy 2점

㉠, ㉡에서 -5<x<4 `yy 1점

따라서 가장 큰 정수는 3이다. `yy 1점

채점 기준 배점

부등식 1-x

4 -;2%;<-1의 해를 구한 경우 2점

부등식 -4(x-2)-4>-3x의 해를 구한 경우 2점

연립부등식의 해를 구한 경우 1점

가장 큰 정수를 구한 경우 1점

19

g3x+1É7

2x+a>x+4` ⇨ gxÉ2

x>4-a yy 1점

이 연립부등식을 만족하는 정수 x가 2개

0 1 2

4-a 이려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로

yy 3점

0É4-a<1 ∴ 3<aÉ4 yy 2점

채점 기준 배점

각 일차부등식의 해를 구한 경우 1점

조건을 만족하도록 수직선을 그린 경우 3점

a의 값의 범위를 구한 경우 2점

20

항구에서 상점까지의 거리를 x km라 하면 `yy 1점 ;3{;+;3@;+;3{;É2 ∴ xÉ2 `yy 3점 따라서 항구에서 2 km 이내에 있는 상점을 이용할 수 있다.

yy 2점

채점 기준 배점

미지수 x를 정한 경우 1점

일차부등식을 세우고 푼 경우 3점

조건에 맞는 답을 구한 경우 2점

21

밑변의 길이를 x`cm라 하면 yy 1점

;2!;_x_12É72 ∴ xÉ12 `yy 3점 따라서 밑변의 길이는 12`cm 이하이다. `yy 2점

채점 기준 배점

미지수 x를 정한 경우 1점

일차부등식을 세우고 푼 경우 3점

조건에 맞는 답을 구한 경우 2점

p. 134

1

⑵ 타야 하는 놀이기구의 수를 x개라 하면 13000+3000(x-2)>27000 ⑶ 13000+3000x-6000>27000 3000x>20000 ∴`x>:ª3¼:

⑷ :ª3¼:=6;3@;이므로 놀이기구를 7개 이상 타야 자유이용권을 사 는 것이 유리하다.

 ⑴ 타야 하는 놀이기구의 수：x개 ⑵ 13000+3000(x-2)>27000 ⑶ x>:ª3¼: ⑷ 7개

2

⑵ 한 방에 5명씩 자면 방이 2개가 남으므로 5명이 들어간 방의 개수는 (x-3)개이고, 한 방에는 최소 1명에서 최대 5명의 학생이 들어갈 수 있다. 즉

5(x-3)+1É4x+7É5(x-3)+5 ⑶ g5(x-3)+1É4x+7 yy ㉠

4x+7É5(x-3)+5 yy ㉡ ㉠에서 5x-15+1É4x+7 ∴`xÉ21 ㉡에서 4x+7É5x-15+5 ∴`x¾17 ∴`17ÉxÉ21

 ⑴ (4x+7)명

⑵ 5(x-3)+1É4x+7É5(x-3)+5

⑶ 17ÉxÉ21 ⑷ 21개

22

연속하는 세 정수를 x-1, x, x+1이라 하면 yy 1점 g(x-1)+x+(x+1)¾33

(x-1)+x-(x+1)<11 yy 2점 ⇨ gx¾11

x<13 ∴`11Éx<13 yy 2점 이때 연속하는 세 수 중 가운데 수는 x이고 x는 정수이므로 11,

12이다. yy 1점

채점 기준 배점

연속하는 세 정수를 미지수 x로 나타낸 경우 1점

연립부등식을 세운 경우 2점

연립부등식의 해를 구한 경우 2점

조건에 맞는 답을 구한 경우 1점

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6. 일차함수와 그래프

49

1

-1  ⑴ 2x+10 ⑵ 2700

x ⑶ xÛ` ⑷ -x+41 일차함수인 것 : ⑴, ⑷

⑴ y=2(x+5)= 2x+10 ⇨ 일차함수 ⑵ xy=2700 ∴ y= 2700x

⇨ x가 분모에 있으므로 일차함수가 아니다.

⑶ y= xÛ` ⇨ xÛ`이 있으므로 일차함수가 아니다.

⑷ x+y=41 ∴ y= -x+41 ⇨ 일차함수

1

-2  ⑴ × ⑵ × ⑶ × ⑷  ⑸ 

⑴ y=1 (×) ⑵ y=;[!; (×) ⑶ y=;[!;+4 (×) ⑷ y=-;2{;-3 (◯) ⑸ y=-x (◯)

2

-1  ⑴ -1 ⑵ 4 ⑶ 2 ⑴  f(0)=2_0-1=-1

⑵  f(1)=2_1-1=1, f(-1)=2_(-1)-1=-3 ⑵ ∴  f(1)-f(-1)=1-(-3)=4

⑶ f(a)=2_a-1=3 ∴ a=2

2

-2  ⑴ -1 ⑵ -3 ⑶ 3 ⑴  f(2)=-3_2+5=-1 ⑵ f(0)-f(-1)=5-8=-3

⑶ f(a)=-3_a+5=-4 ∴ a=3

3

-1  ⑴  ⑵  ⑶  ⑷ ×

⑷ y=;3!;x에서 ;3!;>0이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 한다.

3

-2  ⑴  ⑵ × ⑶ × ⑷ 

⑵ y=-;4!;x에서 -;4!;<0이므로 오른쪽 아래로 향하는 직선 이다.

⑶ ;2!;+-;4!;_2이므로 점 {2, ;2!;}을 지나지 않는다.

4

-1  ④

y=ax(a+0)의 그래프는 |a|의 값이 클수록 y축에 가까워진 다. 따라서 함수의 식 중 x의 계수의 절댓값이 가장 큰 것은 ④ 이다.

p. 138~140

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