3x¤ +13x+12=0, (x+3)(3x+4)=0
∴ 3 또는
5x¤ -14x-24=0, (5x+6)(x-4)=0
∴ x=- 또는 x=4 x>0이므로 x=4
④ (좌변)='ƒ32+4=6, (우변)=4+2=6
(좌변)=(우변)이므로 x=4는 주어진 방정식의 근이다.
4(x-1)=x¤ -2x+1, x¤ -6x+5=0 (x-1)(x-5)=0
정답과 풀이
5
x+4=6-x+4'ƒ6-x+4, 2x-6=4'ƒ6-x x-3=2'ƒ6-x
위의 식의 양변을 제곱하면
x¤ -6x+9=4(6-x), x¤ -2x-15=0 (x+3)(x-5)=0 (x+2)(x+4)(x-3)(x-1)을 곱하면 (x-3)(x-1)=(x+2)(x+4)
3x-2=x¤ +2ax+a¤
x¤ +(2a-3)x+(a¤ +2)=0 yy ㉠
160(200-x)+280(100+x)=3(200-x)(100+x) 32000-160x+28000+280x=-3x¤ +300x+60000 3x¤ -180x=0, x(x-60)=0
∴ x=0 또는 x=60 x>0이므로 x=60(g)
60
'ƒx+1=t(tæ0)로 놓으면 x+1=t¤ , x=t¤ -1이므로 주 어진 방정식은
t‹ -8(t¤ -1)=24-20t t‹ -8t¤ +20t-16=0 (t-2)(t¤ -6t+8)=0 (t-2)¤ (t-4)=0
x¤ -4x-96=0, (x-12)(x+8)=0
∴ x=12 또는 x=-8
_100+ _100=15
+ =3
정답과 풀이
7
'ƒx-3+1=mx, 'ƒx-3=mx-1위의 식의 양변을 제곱하면
x-3=m¤ x¤ -2mx+1, m¤ x¤ -(2m+1)x+4=0 이 방정식의 판별식을 D라 하면
D=(2m+1)¤ -16m¤ =-12m¤ +4m+1=0 12m¤ -4m-1=0, (2m-1)(6m+1)=0
∴ m= 또는
따라서 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 m의 값의 범위는
…m< 이므로 b-a의 값은
- =
① m=- 일 때, 함수 y=-'ƒx-3+1의 그래프와 직선 y=mx가 접한다.
y
O 3 x
1
y=- x-3+1
y=-;:;x1 6 1
6 1 6 1 3 1 2
1 2 1
3
+ = 의 양변에 분모의 최소공배수
x¤ -1을 곱하면
x(x+1)+(x-2)(x-1)=ax+5 2x¤ -(2+a)x-3=0 yy ㉠
㉠의 판별식 D가
D=(2+a)¤ -4¥2¥(-3)
=(a+2)¤ +24>0
이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.
그런데 이 방정식이 오직 하나의 실근을 가지므로 ㉠은 무연근 x=1 또는 x=-1을 근으로 가져야 한다.
⁄ x=1일 때, 2-(2+a)-3=0
∴ a=-3
¤ x=-1일 때, 2+(2+a)-3=0
∴ a=-1
⁄, ¤에서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은 (-3)_(-1)=3
①
주어진 방정식의 양변에 분모의 최소공배수 f(x)g(x)를 곱 하면
2
ax+5 x¤ -1 x-2
x+1 x
1
x-1g(x){g(x)+2}-2f(x)=f(x)g(x) g(x){g(x)+2}-f(x){2+g(x)}=0 {g(x)+2}{g(x)-f(x)}=0
∴ g(x)=-2 또는 g(x)=f(x) (단, f(x)+0, g(x)+0)
⁄ g(x)=-2일 때 (단, f(x)+0, g(x)+0)
함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=-2는 서로 다른 두 점 에서 만난다.
그런데 g(3)=-2이지만 f(3)=0이므로 x=3은 주어진 분수방정식의 근이 아니다.
따라서 방정식 g(x)=-2는 한 개의 실근을 가진다.
¤ g(x)=f(x)일 때 (단, f(x)+0, g(x)+0)
두 함수 y=g(x), y=f(x)의 그래프는 서로 다른 세 점에서 만난다.
이 세 점의 x좌표는 모두 f(x)+0, g(x)+0을 만족시킨다.
따라서 방정식 g(x)=f(x)는 서로 다른 세 실근을 가진다.
⁄, ¤에서 구한 근은 모두 서로 다르므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.
④
x¤ -2x=t로 놓으면 t+2't=8
t-8=-2't yy ㉠ 양변을 제곱하면
t¤ -16t+64=4t
t¤ -20t+64=0, (t-4)(t-16)=0
∴ t=4 또는 t=16
그런데 ㉠에서 t=16이면 모순이므로 t=4
그러므로 x¤ -2x=4
따라서 방정식 x¤ -2x-4=0의 두 근의 곱은 -4이므로 구하는 값은 -4이다.
②
3
본문 12쪽
1① 2④ 3②
출제 경향 & 대표 기출 문제
본문 13쪽
Level 1 기초 연습
1① 2④ 3 ③ 4① 520
정답과 풀이
9
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양변에 분모의 최소공배수 3(x-1)(x+3)을 곱하면 3(x+3)+3(x-1)=2(x-1)(x+3)
3x+9+3x-3=2x¤ +4x-6, 2x¤ -2x-12=0 x¤ -x-6=0, (x-3)(x+2)=0
∴ x=3 또는 x=-2
2x+1=x-3+4'ƒx-3+4, x=4'ƒx-3 다시 양변을 제곱하면
x¤ =16x-48, x¤ -16x+48=0 (x-12)(x-4)=0
=a (∵ x¤ +ax+a¤ >0)
13x¤ -17x-18=0, (x-2)(13x+9)=0
∴ x=2 또는 x=-x>0이므로 x=2
따라서 올라갈 때 걸린 시간은 시간, 즉 1시간 30분이다.
③
0…x…4일 때,
f(x)=-x¤ +4x+3=-(x-2)¤ +7
이고 f(x)=f(x+4)이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 아래와 같다.
f(x)- x=t로 놓으면 주어진 방정식은 't=t-2
위의 식의 양변을 제곱하면
t=t¤ -4t+4, t¤ -5t+4=0, (t-1)(t-4)=0
∴ t=1 또는 t=4
AP”+PC”=11이므로 "√x¤ +16+2x=11
"√x¤ +16=11-2x yy ㉠ 위의 식의 양변을 제곱하면
x¤ +16=121-44x+4x¤
3x¤ -44x+105=0, (x-3)(3x-35)=0
∴ x=3 또는 x=
이때, ㉠에서 11-2x>0, x< 이므로
0<x< ∴ x=3
따라서 BC”=BP”+PC”=x+2x=3x이므로 BC”=9 피타고라스의 정리에 의하여
정답과 풀이
11
x(ab-2a-b+2)+(x¤ -2x)=abx-2ab x¤ +(ab-2a-b+2-2-ab)x+2ab=0 x¤ -(2a+b)x+2ab=0
(x-2a)(x-b)=0
-2…m…2'2 따라서 a-b의 값은 -2-2'2
① 점 P(x¡, y¡)에서 직선 ax+by+c=0까지의 거리 h는 h=
AC”, CD”, DB”가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2CD”=AC”+DB”가 성립한다.
AB”=AC”+CD”+DB”
=2CD”+CD”
=3CD”='2m
∴ CD”= yy㉠
함수 y='ƒx-1-1의 그래프는 함수 y='ƒx+1+1의 그래프 를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동 한 것이므로 점 C는 점 D를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방 향으로 -2만큼 평행이동한 점이다.
따라서 점 D의 좌표를 D(b, 'ƒb+1+1)로 놓으면 점 C의 좌 표는 C(b+2, 'ƒb+1-1)이다.
따라서 CD”="√2¤ +(-2)¤ =2'2이므로 ㉠에서
=2'2 ∴ m=6
점 D는 곡선 y='ƒx+1+1과 직선 y=-x+6의 교점이므로 y를 소거하면
'ƒx+1+1=-x+6 'ƒx+1=-x+5 위의 식의 양변을 제곱하면
x+1=x¤ -10x+25, x¤ -11x+24=0, (x-3)(x-8)=0
∴ x=b=3(∵ b<6)
따라서 a=b+2=3+2=5이므로 '2m
3
y
O x B
y= x+1+1
y= x-1-1 m
m -1-1
1 1
D
A C
b
b+2 y=-x+m l
'2m 3
4
|ax¡+by¡+c|
"√a¤ +b¤
a+b=5+3=8
⑤
⁄ 점의 평행이동
⁄ 점 P(x, y)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b 만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 P'(x+a, y+b)이다.
¤ 도형의 평행이동
좌표평면에서 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x-a, y-b)=0이다.
따라서 y='ƒx+1+1에 x 대신 x-2, y 대신 y+2를 대입 하면
y+2="√(x-2)+1+1, y='ƒx-1-1이므로 함수
y='ƒx-1-1의 그래프는 함수 y='ƒx+1+1의 그래프를 x축 의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이 다.
정답과 풀이
13
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x‹ +2x¤ …3x에서 우변을 좌변으로 이항하면 x‹ +2x¤ -3x…0
f(x)=x‹ +2x¤ -3x로 놓고 인수분해하면 f(x)=x(x¤ +2x-3)=x(x-1)(x+3)
여기서 방정식 f(x)=0의 해 x=-3, x=0, x=1을 경계로
(x¤ +x+1)(x¤ -x-6)<0 (x¤ +x+1)(x+2)(x-3)<0 한편, 모든 실수 x에 대하여
x‹ -7x+6=(x+3)(x-1)(x-2)æ0
∴ -3…x…1 또는 xæ2 yy㉠
x¤ -5x<0, x(x-5)<0 ∴ 0<x<5 yy㉡
-3 0 1 2 5 x
㉠ ㉡ ㉠
x‹ -7x+6æ0 x¤ -5x<0
5
f(x)=(x-1)(x¤ -2x-3)=(x+1)(x-1)(x-3) 여기서 방정식 f(x)=0의 해 x=-1, x=1, x=3을 경계
f(x)=(x¤ -1)(x¤ -9)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3) f(x)=(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)
여기서 방정식 f(x)=0의 해 x=-3, x=-1, x=1, x=3을 경계로 f(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다.
⑵따라서 주어진 부등식의 해는 -3<x<-1 또는 1<x<3
⑴ -1<x<1 또는 x>3
⑵ -3<x<-1 또는 1<x<3
-1 1 3 x
⑵ -3<x<-1 또는 1<x<3 2 ②
㉠, ㉡에서 두 부등식의 해의 공통 범위를 구하면 0<x…1 또는 2…x<5
이므로 이 범위에 속하는 정수 x는 1, 2, 3, 4의 4개이다.
③
⑴ >0에서 양변에 분모의 제곱인 (x-3)¤ 을 곱하면 (x+1)(x-3)>0, x+3
따라서 주어진 부등식의 해는 x(x-2)(x+1)(x-1)…0, x+-1, x+1
따라서 주어진 부등식의 해는 -1<x…0 또는 1<x…2
⑴ x<-1 또는 x>3 ⑵ -1<x…0 또는 1<x…2 x+3-2x-2+x¤ +x
x+1
>0, <0
모든 실수 x에 대하여 x¤ +1>0이므로 주어진 부등식의 해는
<0의 해와 같다.
양변에 분모의 제곱인 (x+1)¤ 을 곱하면 (x-1)(x+1)<0, x+-1
∴ -1<x<1
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 0이므로 정수 x
2x¤ -13x+11 x¤ -4x+5 2(x¤ -4x+5)-(5x-1)
x¤ -4x+5
정답과 풀이
15
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¤ (x-1)x(x+1)<210에서 x‹ -x-210<0
좌변을 인수분해하면 (x-6)(x¤ +6x+35)<0
모든 실수 x에 대하여 x¤ +6x+35>0이므로 주어진 부등
∴ 20p=20_5=100
100 (x+1)(x-1)(x-5)æ0, x+1 따라서 -1…x<1 또는 xæ5이므로 a=-1, b=1, c=5
∴ a+b+c=-1+1+5=5
①
⁄ xæ0일 때, |x|=x이므로
…0, …0
양변에 분모의 제곱인 (x-2)¤ 을 곱하면 (x-3)(x+1)(x-2)…0, x+2
∴ x…-1 또는 2<x…3 xæ0이므로 2<x…3
¤ x<0일 때, |x|=-x이므로
9x¤ -49x+20æ0 (x-5)(9x-4)æ0
∴ -1<x<6, x+1
따라서 이 범위에 속하는 정수 x는 0, 2, 3, 4, 5이므로 모든 정
⁄ (x-1)x(x+1)æ120에서 x‹ -x-120æ0
좌변을 인수분해하면 (x-5)(x¤ +5x+24)æ0
모든 실수 x에 대하여 x¤ +5x+24>0이므로 주어진 부등
본문 24쪽 5v¤ -9v-14æ0
(5v-14)(v+1)æ0 (x-3)(x+1)(x+2)æ0, x+-2
∴ -2<x…-1 또는 xæ3 x<0이므로 -2<x…-1
⁄, ¤에서 구하는 해는 -2<x…-1 또는 2<x…3
따라서 이 범위에 속하는 정수 x는 -1, 3이므로 모든 정수 x의
∴ -1<x<3
-1<x<3을 해로 가지는 이차항의 계수가 1인 이차부등식은 (x+1)(x-3)<0, x¤ -2x-3<0
이것이 x¤ +ax+b<0과 같아야 하므로 a=-2, b=-3 ∴ ab=6
⑤
x› +ax‹ -x-a<0 x‹ (x+a)-(x+a)<0 (x+a)(x‹ -1)<0
(x+a)(x-1)(x¤ +x+1)<0
모든 실수 x에 대하여 x¤ +x+1>0이므로 주어진 부등식의 해
HjK (x-2+'3 )(x-1)(x-2-'3 )(x-5)…0 (단, x+1, x+5)
∴ 2-'3…x<1 또는 2+'3…x<5 따라서 이 범위에 속하는 정수 x의 값은 4이다.
정답과 풀이
17
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x+3æ-1에서 xæ-4 yy ㉠ x¤ -4x+3>0에서 (x-1)(x-3)>0
∴ x<1 또는 x>3 yy ㉡ (x-2)(x+4)…0, x+2, x+-4
∴ -4<x<2
-4<x<2를 해로 가지는 이차항의 계수가 1인 이차부등식은 (x-2)(x+4)<0, x¤ +2x-8<0
이것이 x¤ +ax+b<0과 같아야 하므로 a=2, b=-8
∴ ab=2_(-8)=-16
①
A={x|x‹ -7x+6>0}
={x|(x+3)(x¤ -3x+2)>0}
={x|(x+3)(x-1)(x-2)>0}
={x|-3<x<1또는 x>2}
A'B={x|x>-3}, A;B={x|-1<x<1}이므로 아래 수 직선에서
HjK x(x+1)(x-3)…0, x+-1, x+3
∴ A={x|x<-1 또는 0…x<3}
∴ A;B={x|-5<x<-1 또는 0…x<3}
따라서 집합 A;B의 원소 중에서 정수인 것은 -4, -3, -2,
㉠, ㉡에서 B-A={x|2<x…3}
C=[x| …0]
={x|(x-a)(x-b)…0, x+a}
B-A=C이므로 C={x|a<x…b}
따라서 a=2, b=3이므로 (x+1)(x-1)…0, x+1, x+2
따라서 구하는 해는 -1…x<1이고, 이 범위에 속하는 정수 x
B={x|-1<x…2}이어야 한다.
따라서 a=-1, b=2이므로 a¤ +b¤ =5
5
[ 에서
⁄ x(x-3)(x-6)<0의 해는
x<0 또는 3<x<6 yy㉠
¤ (x+2)(x-1)(x-4)(x-7)<0의 해는 -2<x<1 또는 4<x<7 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
-2<x<0 또는 4<x<6
따라서 연립부등식을 만족시키는 모든 정수 x는 -1, 5이므로 그 합은 4이다.
4
…0에서 …0
x+-1, x+3일 때 |x¤ -2x-3|>0이므로 (x+2)(x-7)…0, x+-1, x+3
∴ -2…x<-1 또는 -1<x<3 또는 3<x…7
A={x|(x¤ -4)(x-4)æ0}
={x|(x+2)(x-2)(x-4)æ0}
={x|-2…x…2또는 xæ4} yy ㉠ B={x|x¤ -4x+3…0}
={x|(x-1)(x-3)…0}
={x|1…x…3} yy㉡
1
정답과 풀이
19
2x-1…-2 또는 1…2x-1…3
∴ x…- 또는 1…x…2
따라서 이 범위에 속하는 자연수 x는 1, 2이므로 자연수 x의 개 수는 2이다.
2
(fΩg)(x)…g(x), f(g(x))…g(x)
(2x-1)‹ -2(2x-1)¤ -4(2x-1)+6…2x-1 전개하여 정리하면
8x‹ -20x¤ +4x+8…0 2x‹ -5x¤ +x+2…0 (x-1)(2x¤ -3x-2)…0 (2x+1)(x-1)(x-2)…0
∴ x…- 또는 1…x…2
1- æ0, æ0
양변에 분모의 제곱인 { f(x)}¤ 을 곱하면 f(x){ f(x)-g(x)}æ0, f(x)+0
⁄ [ 일 때, xf(x){x+2f(x)-1}æ0, x+0, f(x)+0
⁄ x>0일 때
f(x){x+2f(x)-1}æ0, f(x)+0
HjK 또는
의 해는 0<x<1
의 해는 1<x…b
∴ 0<x<1 또는 1<x…b
¤ x<0일 때 -3<x…a 또는 0<x<1 또는 1<x…b
이므로 부등식을 만족시키는 모든 정수 x는 2, 3의 2개이다.
æ1에서 좌변을 우변으로 이항하고 통분하여 정리하면
1- …0
…0
…0
양변에 분모의 제곱인 x¤ (x-2)¤ 을 곱하면 (x+3)(x-5)x(x-2)…0, x+0, x+2
∴ -3…x<0 또는 2<x…5 yy ㉠ a<b…10이므로 x(x-a)(x-b)>0의 해는 0<x<a 또는 x>b yy ㉡
O’A™”=O’A¡” cos h=x¤
O’A£”=O’A™” cos h=x‹
⋯
(2x-1)(x-1)…0, x+1
∴ …x<1
¤ S…2일 때
…2, 2- æ0, æ0
(3x-2)(x-1)æ0, x+1
∴ 0<x… (∵ 0<x<1)
정답과 풀이
21
cosec¤ h=1+cot¤ h=1+9=10∴ sec¤ h+cosec¤ h= +10=
⑴ tan 75˘=tan(30˘+45˘)
=
=
= =2+'3
⑵ tan 15˘=tan(45˘-30˘)
= tan 45˘-tan 30˘
1+tan 45˘ tan 30˘
3+'3 3-'3
tan 30˘+tan 45˘
1-tan 30˘ tan 45˘
의 크기를 각각 h¡, h™라 하면 tan h¡=-2, tan h™=3 h=h¡-h™이므로 tan h=tan (h¡-h™)
=
∴ M-m='6-(-'6)=2'6
② cos h="√1-sin¤ h=Æ…1- =
=tan h=
정답과 풀이
23
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sec¤ h+(sec¤ h-1)cosec¤ h
=1+tan¤ h+tan¤ h(1+cot¤ h)
=1+tan¤ h+tan¤ h{1+ }
=1+tan¤ h+tan¤ h+1
=2+2 tan¤ h
cot p=tan
=2-'3
tan -tan 1+tan tan p
tan +tan 1-tan tan p
tan +tan 1-tan tan p
직선 y= x가 x축과 이루는 예각의 크기를 h¡이라 하면
tan h¡=
원점을 지나는 직선 l이 직선 y= x와 이루는 예각의 크기가
이고, 기울기가 양수이므로 tan h>tan h¡
h=h¡+ 이므로
=(1+'2)sin{x+ }
-1…sin {x+ }…1이므로 _O’P¡”_P’¡Q¡”= _1_P’¡Q¡”=
∴ P’¡Q¡”= tan h¡+tan
1-tan h¡ tanp
정답과 풀이
25
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따라서 직각삼각형 P™OQ™에서 P’™Q™”=O’P™”_tan { +h}=1_3=3 따라서 삼각형 P™OQ™의 넓이는
∴ sec¤ h=1+tan¤ h=1+16=17
④
sin 110˘=sin (90˘+20˘)=cos 20˘이므로 cos 70˘ sin 110˘-sin 70˘ sin 20˘
=cos 70˘ cos 20˘-sin 70˘ sin 20˘
=cos 90˘=0
①
∠ABC=a, ∠MBC=b라 하면 b+h=a이므로 h=a-b
tan a= = , tan b= = = 이므로
tan h=tan (a-b)=
= =
∴ a=2, b=9
∴ a+b=2+9=11
11 -1…sin (x+a)…1이므로
-"√a¤ +1…f(x)…"√a¤ +1 따라서 "√a¤ +1=4에서 a¤ =15
본문 38쪽
Level 2 기본 연습
1② 280 311 4④
=cot¤ h이므로 tan¤ h+cot¤ h=
1+tan¤ h=sec¤ h, 1+cot¤ h=cosec¤ h이므로 sec¤ h+cosec¤ h=(1+tan¤ h)+(1+cot¤ h)
=2+tan¤ h+cot¤ h
=2+ = AC”='5k, BC”=2k(k>0)라 하면 AB”="√('5k)¤ +(2k)¤ =3k이므로
sin h¡= , sin h™= , cos h¡= , cos h™=
tan b=tan (a-h¡)
=
= =
직선 l™가 x축과 이루는 예각을 c라 하면 tan c=tan(a+h™)=
= =
="√(a-1)¤ +3 sin(x+a)
="√a¤ -2a+4 sin(x+a)
{단, sin a= , cos a= }
-1…sin(x+a)…1이므로
-"√a¤ -2a+4…"√a¤ -2a+4 sin(x+a)…"√a¤ -2a+4 함수 f(x)의 최댓값이 '7이므로
"√a¤ -2a+4 ='7
a¤ -2a-3=0, (a+1)(a-3)=0에서 a=3 (∵ a>0)
"√a¤ -2a+4 '3
"√a¤ -2a+4 1
정답과 풀이
27
=2+sec h=5 에서 sec h=3
tan¤ h=sec¤ h-1=3¤ -1=8
∴ tan h=2'2 {∵ 0<h< } CD”=1, CE”=2
세 직각삼각형 ABC, EBC, DBC에서 AB”='1å1, BE”='6, BD”='3
∠ABC=a, ∠EBC=b, ∠DBC=c 라 하자.
sin(∠EBD)=sin (b-c)
=sin b cos c-cos b sin c
= ¥ - ¥
=
cos (∠EBD)=cos (b-c)
="√1-sin¤ (b-c)
=æ≠1-{ }2
=
∴ sin (∠ABC-∠EBD)
=sin {a-(b-c)}
=sin a cos (b-c)-cos a sin (b-c)
2'2+tan a 1-2'2 tan a
tan h=tan(a-b)=
= =
이므로 1+tan¤ h=sec¤ h에서 1+{ }2 = ∴ cos h=
∴ OQ”¤ =OP”¤ +PQ”¤ -2¥OP”¥PQ” cos h
=10+30-2¥'1å0¥'3å0¥ =40-12'3
∴ OQ”="√40-12'3
④
삼각함수 ⑵
0<h< 이므로 cos h>0
cos h="√1-sin¤ h=æ≠1-{ }2 = 에서
cos 82.5˘ cos 37.5˘
= {cos (82.5˘+37.5˘)+cos (82.5˘-37.5˘)}
= (cos 120˘+cos 45˘)
= {- + }
=
②
sin 75˘-sin 15˘=2 cos sin
=2 cos 45˘ sin 30˘
(sin x-2)('3 tan x-1)=0에서 sin x=2또는 tan x=
정답과 풀이
29
2(1+cos 2h) 1-cos 2h 1+cos 2h
sin¤ h 1+cos 2h
1-cos¤ h
3
'1å5 7 2 tan 2h
1-tan¤ 2h 1
sin¤ 20˘+sin¤ 40˘+sin¤ 80˘
= + +
= - (cos 40˘+cos 80˘+cos 160˘)
= - (cos 40˘+2 cos 120˘ cos 40˘)
= - (cos 40˘-cos 40˘)=
③
sin¤ 20˘+sin¤ 40˘+sin¤ 80˘
= + +
= - (cos 40˘+cos 80˘+cos 160˘)
= - (2 cos 60˘ cos 20˘+cos 160˘)
= - (cos 20˘-cos 20˘)=
sin 105˘+2 sin 165˘+sin 195˘
=(sin 105˘+sin 165˘)+(sin 165˘+sin 195˘)
=(sin 105˘+sin 165˘)+(sin 15˘-sin 15˘)
=2 sin 135˘ cos 30˘=2 cos 45˘ cos 30˘
1-cos 160˘
2 1-cos 80˘
2 1-cos 40˘
2
1-cos 160˘
2 1-cos 80˘
2 1-cos 40˘
2
sin 105˘+2 sin 165˘+sin 195˘
=sin (90˘+15˘)+2 sin (180˘-15˘)+sin (180˘+15˘)
=cos 15˘+2 sin 15˘-sin 15˘
=cos 15˘+sin 15˘
cos¤ 15˘= = ∴ cos 15˘= 1-cos 30˘
2
'3+1 2'2 2+'3
4 1+cos 30˘
2 sin(a-b)=sin {(a+b)-2b}
=sin (a+b) cos 2b-cos (a+b) sin 2b (6 cos x-1)(cos x+3)=0
∴ cos x=
∴ tan¤ x=sec¤ x-1
= -1
= -1
∴ tan¤ x=36-1=35
35
정답과 풀이
31
cos 20˘=a이므로 2 cos 55˘ cos 35˘
=2¥ {cos (55˘+35˘)+cos (55˘-35˘)}
=cos 90˘+cos 20˘
=cos 20˘=a
③
2 cos 55˘ cos 35˘=2 sin 35˘ cos 35˘
=sin 70˘=cos 20˘=a
cos¤ +cos¤
= +1+cos(A-B)
tan 2h= = =2'2
sin 10˘(cos 10˘+cos 30˘+cos 50˘+y+cos 110˘)
=sin 10˘ cos 10˘+sin 10˘ cos 30˘+sin 10˘ cos 50˘
+y+sin 10˘ cos 110˘
= {(sin 20˘+sin 0˘)+(sin 40˘+sin (-20˘))
+(sin 60˘+sin (-40˘))+y+(sin 120˘+sin (-100˘))}
= {(sin 20˘+sin 0˘)+(sin 40˘-sin 20˘)
+(sin 60˘-sin 40˘)+y+(sin 120˘-sin 100˘)}
= (sin 0˘+sin 120˘)
tan h+tan 2h 1-tan h tan 2h
∴ tan ="√3-2'2='2-1
∴ (주어진 식)= = ='2+1
cos 5h(2 cos 4h+1) sin 5h(2 cos 4h+1) 2 cos 5h cos 4h+cos 5h
2 sin 5h cos 4h+sin 5h (cos h+cos 9h)+cos 5h
(sin h+sin 9h)+sin 5h cos h+cos 5h+cos 9h
sin h+sin 5h+sin 9h
4
정답과 풀이
33
서 A’H”=450(m)이므로tan h= , tan 2h=
tan 2h= 에서
=
300x¤ =450(x¤ -150¤ ) x¤ =450¥150
∴ x=150'3(m)
④ A’’H”=H’’M¡”이므로 H’’M¡”= A’’M¡”='3
직각삼각형 OHM¡에서
cos h=cos (h¡+h™)
=cos h¡ cos h™-sin h¡ sin h™
tan b+tan 1-tan b tan c
tan¤ x+a¤ =2a tan x에서
`f(x)= (x+1)=2+1=3
`f(x)=k
3x<f(x)<2x¤ +3x에서 6x<f(2x)<8x¤ +6x
5
x⁄2+0lim
x⁄2-0lim limx⁄2 xlim⁄2+0
xlim⁄2-0 xlim⁄2-0
x+1 (x<2) k (x>2) x⁄1+0lim
x⁄1-0lim
|x-1|
1
x-1정답과 풀이
35
(1-cos x)(1+cos x) limx⁄0{ f(x)g(x)}=2¥2=4
g(f(x))에서 f(x)=t라 하면 x⁄ 1+0일 때, t⁄ 1-0이므로
g(f(x))= g(t)=2
∴ { f(x)g(x)}+ g(f(x))=4+2=6 -;2!;x+;2!; (-1<x…1)
'ƒx-1 (x>1)
(
{ 9
2
xlim⁄1+0 x⁄1-0lim
tlim⁄1-0 x⁄1+0lim
xlim⁄1+0
ㄱ. x⁄ -1+0일 때, t ⁄ 1-0
즉, (a'ƒx+6+b)=3a+b=0에서 b=-3a yy`㉠
㉠에서 b=-3a=-3¥3=-9
∴ a+b=3+(-9)=-6
= 3(x+k)=3(2+k)
=9이므로 3(2+k)=9에서 k=1
∴ f(x)=3(x-2)(x+1)
∴ f(3)=3(3-2)(3+1)=12
④
정답과 풀이
37
OC”=cos -r
OC” sin =r이므로 {cos -r} sin =r에서
=0이므로 함수 f(x)는 2차 이하의 다항함수이다. 4a-10=-2, 4a=8
∴ a=2
따라서 함수 f(x)=2x¤ +5x이므로 f(1)=7
②
AB”=1, ∠A=h, ∠B=2h이고
∠BCD=a라 하면 ∠ACD=2a이므로
∠CDB=h+2a, ∠CDA=2h+a이다.
(h+2a)+(2h+a)=p이므로 a= -h 사인법칙에 의해
lim 1-3x x⁄;3!; (1-cos x)(1+cos x) limx⁄0
정답과 풀이
39
x {ln(3x-1)-ln(3x+1)}= ln { }≈
('ƒax+4+2)sin 3x lim ax
x⁄0
('ƒax+4+2)sin 3x ('ƒax+4-2)('ƒax+4+2) lim 3x+1
xڦ
log£(9+h)-log£ 9 lim h
∴ f(x)=-2(x+2)(x-1)
∴ f(0)=(-2)¥2¥(-1)=4
⑤
∴= [ + ]
= [ ¥2]+ { ¥6}
=1¥2+1¥6=8
8
ㄱ. { f(x)+g(x)}=a, { f(x)-g(x)}=b라 하고, ㄱ.f(x)+g(x)=h(x), f(x)-g(x)=i(x)로 놓으면 ㄱ. h(x)=a, i(x)=b이고
ㄱ.f(x)+g(x)=0, f(x)g(x)=-1이므로
ㄱ. { f(x)+g(x)}와 { f(x)g(x)}가 존재한다.
= 4ax(2x-k)
=32a-8ak=72
∴ 4a-ak=9 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=3, k=1이므로 f(x)=3x(x-4)(x-1)
∴ f(5)=3¥5(5-4)(5-1)=60
60
정답과 풀이
41
x⁄1+0limt⁄2a-0lim
t⁄2a-0lim
x⁄1-0lim
1 OT”=3, TH”=2이므로 cos`a=
함수의 연속
① f(x)+g(x)=2x¤
② f(x)-g(x)=2
ㄱ. {2f(x)+3g(x)}=2 `f(x)+3 g(x)
=2a+3b ㄴ. 2f(1)+3g(1)=2a+3b
ㄴ. 즉, {2f(x)+3g(x)}=2f(1)+3g(1)이므로 함수
정답과 풀이
43
f(x)= f(x)=f(1)a=2¥1= ∴ a=2
④
f(x)=x‹ +x¤ +x-5라 하면 f(-2)=-11<0, f(-1)=-6<0, f(0)=-5<0, f(1)=-2<0, f(2)=9>0, f(3)=34>0
함수 f(x)는 모든 실수에서 연속이고 f(1)f(2)<0이므로
(gΩg)(x)= g(t)=0 (gΩg)(x)= lim g(t)=0
t⁄-1+0
f(x)ln(1+2x)=sin 6x에서 x+0이면 ln(1+2x)+0 이므로
(1-cos x)(1+cos x) 3x¤ (1+cos x)
1414123 (x+0)3x¤
a (x=0)
에서 n-5…n+5 sin (x+h)…n+5
그런데 모든 실수 x에 대하여 g(x)+0이어야 하므로 n-5>0 또는 n+5<0
∴ n>5 (∵ n은 자연수)
ㄱ, ㄴ. f(1)=2>0, f(2)=-1<0, f(3)=8>0에서 방정식 f(x)=0은 중간값의 정리에 의하여 열린 구간 (1, 2), (2, 3)
⁄ `f(x)f(x-1)=0=f(-1)f(-2)
¤ `f(x)f(x-1)=0=f(0)f(-1)
‹ `f(x)f(x-1)=0=f(1)f(0)
› `f(x)f(x-1)=0=f(2)f(1)
⁄`~`›에서 함수 f(x)f(x-1)은 x=-1, x=0, x=1, 또, (gΩf)(0)=g(f(0))=g(0)=3에서 (gΩf)(x)=(gΩf)(0)이어야 하므로 a+b+4=3 ∴ a+b=-1 yy ㉠
(gΩf)(x)= g(t)
(gΩf)(x)=-1+a-b+3=a-b+2 (gΩf)(x)= g(t)=3에서
(gΩf)(x)= (gΩf)(x)이어야 하므로 x⁄2+0lim
limx⁄0
정답과 풀이
45
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함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로
`f(x+1)= `f(t)=f(1)
= [ ¥ ] lim 2x-p
x⁄;2“; lim 2x-p
x⁄;2“;
f(x+1)sin x lim 2x (gΩf)(1)=g(f(1))=g(3)=9+3a yy㉡ 함수 (gΩf)(x)가 x=1에서 연속이려면
f(-1)=- <0, f(0)=-4<0, f(1)=-2<0, f(2)=1>0, f(3)=6>0, f(4)=15>0
에서 f(1)f(2)<0이므로 중간값의 정리에 의하여 방정식의 실 lim 2x-p
x⁄;2“;
f(x)=
∴ a+f(2)=(-3)+11=8
8
ax (|x|>1) 1141 (x=1)a+21+b ㄱ. `f(2x)=f(2¥0)
ㄱ.그러므로 함수 f(2x)는 x=0에서 연속이다.
따라서 x=0에서 연속인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
⑤
0<x<3일 때, g(x)=[x]=
ㄱ. {`f(x)g(x)}=1¥0=0 {`f(x)g(x)}=0¥1=0 에서 {`f(x)g(x)}=0 (참)
또, {`f(x)g(x)}=1¥1=1 {`f(x)g(x)}= ¥2=1
에서 {`f(x)g(x)}=1이고 f(2)g(2)=1이므로 x=2에서 연속이다.
0 (0<x<1) 1 (1…x<2) 2 (2…x<3) (
{ 9
4
limx⁄0
정답과 풀이
47
x¤ -(2a-2)x+a¤ -2a<0에서
x¤ -(2a-2)x+a(a-2)<0, (x-a+2)(x-a)<0
∴ a-2<x<a
0…a<3일 때, a-2<x<a를 만족시키는 자연수 x의 개수가
f(a)이므로 f(a)=
0 (0…a…1) 1 (1<a…2) 2 (2<a<3) (fΩf )(a)=f(2)=1
그러므로 `(fΩf )(a)가 존재하지 않으므로 함수
`(fΩf )(a)는 a=2에서 불연속이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
②
ㄱ. f(2x-1)=2f(x)-3의 양변에 x=1을 대입하면 ㄴ. f(1)=2f(1)-3이므로 f(1)=3
즉, `f(x)=3=f(1)이므로 함수 f(x)는 x=1에서 연
f(x)f(4x-3)=f(x){4f(x)-9}=4{ f(x)}¤ -9f(x) 에서 함수 f(x)가 x=3에서 연속이므로 함수
⁄ f(-2)<0, f(0)<0, f(2)>0, f(4)<0
¤ f(-2)>0, f(0)>0, f(2)<0, f(4)>0
⁄의 경우는 f(0)f(2)f(4)>0
¤의 경우는 f(0)f(2)f(4)<0
미분계수와 도함수
∴ -5k=-5_(-6)=30
30
{(a+Dx)¤ -3(a+Dx)}-(a¤ -3a) Dx
(a¤ +5a-1)-(4-10-1) a+2
<0, >0 이므로 x=a에서 미분가능하지 않다.
f '(1)=2(1+2-2)+(1+1)(3+4)
8
x⁄1+0lim a(x-1)
정답과 풀이
49
∴ f'(1)=5+8+3=16
f(x)=x‹ -2x¤ +3x-2이므로 f(1)=1-2+3-2=0 f '(x)=3x¤ -4x+3이므로 f'(1)=3-4+3=2
∴
=f '(1)+f '(1)=2f '(1)=2_5=10
10
곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기가 -2 이므로 f'(a)=-2
=
= ¥3+
=3f '(a)+f '(a)=4f '(a)=4_(-2)=-8
②