2014학년도(2013년 11월7일 실시) 수학Ⅱ 수능특강

례

이 책의

Contents

01

방정식

ㅣ

박현숙

ㅣ

4

02

부등식

ㅣ

박현숙

ㅣ

16

03

삼각함수 ⑴

ㅣ

정연석

ㅣ

28

04

삼각함수 ⑵

ㅣ

정연석

ㅣ

40

05

함수의 극한

ㅣ

김경돈

ㅣ

52

06

함수의 연속

ㅣ

김경돈

ㅣ

64

07

미분계수와 도함수

ㅣ

박현숙

ㅣ

76

08

여러 가지 함수의 미분법

ㅣ

정연석

ㅣ

88

09

여러 가지 함수의 도함수

ㅣ

김경돈

ㅣ

100

10

도함수의 활용 ⑴

ㅣ

김형정

ㅣ

112

11

도함수의 활용 ⑵

ㅣ

김형정

ㅣ

124

12

도함수의 활용 ⑶

ㅣ

김형정

ㅣ

136

``

부록 - 2014학년도 대수능 대비 세트형 문항

148

단원명

페이지

EBS

i

홈페이지(www.ebs

i

.co.kr)에 들어 오셔서 회원으로 등록하세요.

본 방송 교재의 강의 프로그램은 EBS 인터넷 방송을 통해 다시 보실 수 있습니다. (VOD 무료 서비스 실시)

집필자

이 책의

www.ebsi.co.kr

Structure

2014학년도 대학수학능력시험 수학영역의 특징

이 책의 구성

○ 수학 교과의 수준별 편성에 따라 수준별 시험(A형 / B형)을 도입 ○ 출제 범위 - A형 : 수학Ⅰ, 미적분과 통계 기본 - B형 : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 적분과 통계, 기하와 벡터 ※ 수학Ⅰ에서도 수준에 따라 A형과 B형에서 다른 문항이 출제될 수 있다. ○ 문항 유형 및 문항 수 2014학년도 대수능에서 처음 선보이는 세트형 문항에 대비하기 위해 부록으로 세트형 문항을 수록하였다. 방정식 01 1. 분수방정식 ⑴ 방정식 x- =0, + = 과 같이 분모에 미지수 가 들어 있는 방정식을 분수방정식이라 하고, 다항방정식과 분수방정식을 통 틀어 유리방정식이라 한다. ⑵ 분수방정식의 풀이 ① 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친다. ② ①에서 얻은 다항방정식을 푼다. ③ ②에서 구한 다항방정식의 근 중에서 주어진 분수방정식의 분모가 0이 되게 하는 무연근을 제외한 나머 지를 근으로 한다. 분수방정식 1- = 을 풀어 보자. 양변에 분모의 최소공배수 x(x+1)을 곱하면 x(x+1)-3x=3, x¤ -2x-3=0, (x-3)(x+1)=0 ∴ x=3 또는 x=-1 그런데 x=-1은 주어진 분수방정식의 분모를 0이 되게 하므로 무연근이다. 따라서 x=3만이 주어진 분수방정식의 근이 된다. 분수방정식의 풀이 과정에서 무연근이 생기는 이유를 알아보자. 분수방정식 P(x)=Q(x) yy㉠ 가 주어졌을 때 분모의 최소공배수 L(x)를 양변에 곱하면 3 x¤ +x 3 x+1 3 x¤ -1 2 x+1 1 x-1 1 x+1 유리방정식[다항방정식 분수방정식 L(x)P(x)=L(x)Q(x) 교과서의 핵심 내용을 체계적으로 정리하였으며 개념, 정리, 공식에 대 한 이해를 확인할 수 있는 문제들을 제시하였다. 개념 정리 & 확인 문제

1

예제는 개념을 적용한 대표 문항으로 문제를 해결하는 데 필요한 주요 개념을 풀이 전략으로 제시하여 풀이 과정의 이해를 돕도록 하였고, 유 제는 예제와 유사한 내용의 문제나 일반화된 문제를 제시하여 학습 내 용과 문제에 대한 연관성을 익히도록 구성하였다. 예제 & 유제

2

분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하면 사차방정식이 되어 복잡해진다. 이 반복되어 나오므로 이 부분을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 푼다. + =에서 =t로 놓으면 주어진 방정식은 t+= 양변에 3t를 곱하여 정리하면 3t¤ -4t+1=0, (t-1)(3t-1)=0 ∴ t=1 또는 t= ⁄t=1일 때, =1, x¤ -x-2=0, (x-2)(x+1)=0 ∴ x=2 또는 x=-1 이때, x=2, x=-1은 모두 주어진 방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 근이다. ¤t=일 때, =, 3x¤ =x+2, 3x¤ -x-2=0, (x-1)(3x+2)=0 ∴ x=1 또는 x=-이때, x=1, x=-2는 모두 주어진 방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 근이다. 3 2 3 1 3 x¤ x+2 1 3 x¤ x+2 1 3 4 3 1 3t x¤ x+2 4 3 x+2 3x¤ x¤ x+2 x¤ x+2 ⑴ 공통부분이 f(x)인 분수방정식은 f(x)를 한 문자로 치환하여 방정식을 간단히 한다. ⑵ ⑴`에서 얻은 근이 a(상수)일 때, 방정식 f(x)=a를 푼다. ⑶ ⑵`에서 얻은 근 중에서 무연근을 제외한 나머지를 근으로 한다. 1 1 풀이 전략 풀이 분수방정식의 풀이 예제 분수방정식 + =4의 모든 실근의 개수를 구하시오. 3 x+2 3x¤ x¤ x+2 대학수학능력시험과 모의평가 기출 문항으로 구성하였으며 기존 출제 유형을 파악할 수 있도록 출제 경향과 출제 의도를 제시하였다. 출제 경향 & 대표 기출 문제

3

출제 경향 방정식에서는 첫째, 분수(무리)방정식의 해를 구하는 문제, 특히, 치환을 이용하여 무리방정식의 해를 구하는 문제, 둘째, 분수(무리)방정식이 근을 가지지 않을 때 또는 근을 가질 때, 미지수의 값을 구하는 문제, 셋째, 함수의 그래 프가 주어진 분수(무리)방정식의 실근 또는 실근의 개수를 구하는 문제, 넷째, 실생활과 밀접한 관련이 있는 문제 가 출제되고 있다. 정답과 풀이 8`쪽 출제 경향 & 대표 기출 문제 ㅣ출제의도ㅣ그래프를 이용하여 분수방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2012학년도 대수능 2 분수방정식 + = 가 오직 하나의 실근을 가지도록 하는 모든 상수 a의 값의 곱은? [3점] ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 ax+5 x¤ -1 x-2 x+1 x x-1 ㅣ출제의도ㅣ미지수가 들어 있는 분수방정식에서 조건에 따라 a의 값의 곱을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능 6월 모의평가 1 Level 1 기초 연습은 기초 개념의 인지 정도를 확인할 수 있는 문항을 제 시하였으며, Level 2 기본 연습은 기본 응용 문제를, 그리고 Level 3 실력 완성은 수학적 사고력과 문제해결능력을 함양할 수 있는 문항들과 신유형 문항을 제시하여 대학수학능력시험 실전에 대비할 수 있도록 구성하였다.

Level 1 - Level 2 - Level 3

4

정답과 풀이 8`쪽 분수방정식 + =의 모든 실근의 곱은? ① -6 ② -3 ③ 0 ④ 3 ⑤ 6 2 3 1 x+3 1 x-1 1 기초 연습 Level1 www.ebsi.co.kr 방정식 f(x)=0의 실근은 -3, -1, 3, 4, 6, 9이고 방정식 g(x)=0의 실근은 -4, -1, 3, 5, 7, 9라 할 때, 방정식 =0의 모든 실근의 합은? ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9 g(x) f(x) 2 두 삼차함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 분수 방정식 +f(x)=2의 해집합은? g(x) g(x) f(x) 3 y y=f(x)

구

성

수학 구분 문항 유형 문항 수 5지선다형 21문항 (세트형 문항 포함), 단답형 9문항 30문항 시험 시간 100분 문항 배점 2점, 3점, 4점 총 배점 100점 EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

방정식

분수방정식

+

=-

의 모든 실근의 곱은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

3

2

1

x+1

1

x+2

분수방정식

+

1

=

x+3

_x-2

의 실근을 a라 할 때, -5a의 값을 구하시오.

x¤ -3x+2

1

x-1

1

2

0

1

정답과 풀이 4`쪽

1. 분수방정식

⑴ 방정식 x-

=0,

+

=

과 같이 분모에 미지수

가 들어 있는 방정식을 분수방정식이라 하고, 다항방정식과 분수방정식을 통

틀어 유리방정식이라 한다.

⑵ 분수방정식의 풀이

① 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친다.

② ①에서 얻은 다항방정식을 푼다.

③ ②에서 구한 다항방정식의 근 중에서 주어진 분수방정식의 분모가 0이 되게 하는 무연근을 제외한 나머

지를 근으로 한다.

분수방정식 1- = 을 풀어 보자. 양변에 분모의 최소공배수 x(x+1)을 곱하면 x(x+1)-3x=3, x¤ -2x-3=0, (x-3)(x+1)=0 ∴ x=3 또는 x=-1 그런데 x=-1은 주어진 분수방정식의 분모를 0이 되게 하므로 무연근이다. 따라서 x=3만이 주어진 분수방정식의 근이 된다. 분수방정식의 풀이 과정에서 무연근이 생기는 이유를 알아보자. 분수방정식 P(x)=Q(x) yy㉠ 가 주어졌을 때, 분모의 최소공배수 L(x)를 양변에 곱하면 L(x)P(x)=L(x)Q(x) yy ㉡ 이 식을 정리하여 인수분해하면 {P(x)-Q(x)}L(x)=0 ∴ P(x)=Q(x) 또는 L(x)=0 따라서 다항방정식 ㉡의 근 중에는 분수방정식 ㉠의 근이 아닌 것, 즉 L(x)=0을 만족시키는 근이 포함될 수 있다. 이 근이 분수방정식 ㉠의 분모를 0이 되게 하는 무연근이다. 3 x¤ +x 3 x+1

3

x¤ -1

2

x+1

1

x-1

1

x+1

유리방정식[

다항방정식

_{분수방정식}

L(x)P(x)=L(x)Q(x) 의 근 P(x)=Q(x) 의 근 무연근

01 방정식

5

⑶ 여러 가지 형태의 분수방정식의 풀이

① 여러 개의 분수식이 있는 경우 적당한 항끼리 짝을 지어 통분한 다음 푼다.

② 분자의 차수가 분모의 차수보다 높거나 같을 때에는 분자를 분모로 나누어 분자의 차수를 분모의 차수보

다 낮게 고친 후 푼다.

③ 공통부분이 있으면 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 푼다.

⑷ 분수방정식의 활용

① 구하는 값을 미지수 x로 놓는다. 이때, 문제의 조건에 맞게 x의 값의 범위를 정한다.

② 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 분수방정식을 만든다.

③ ②의 분수방정식을 푼다.

④ ③에서 구한 근 중에서 x의 값의 범위를 만족시키면서 무연근이 아닌 것을 찾는다.

농도가 8 %인 소금물 200 g을 농도가 5 %인 소금물로 만들기 위해서 더 넣어야 하는 물의 양을 구하여 보자. (소금물의 농도)= _100(%)이므로 (소금의 양)= 따라서 소금물 200 g에 들어 있는 소금의 양은 =16(g)이고 더 넣을 물의 양을 x g이라 하면 5(%)= _100, 1000+5x=1600, 5x=600 ∴ x=120(g) 분수방정식 활용 문제에 자주 사용되는 속력, 농도, 일 등의 문제에서는 무엇을 x로 나타낼 것인지 정한 후 공식을 이용한다. ⑴ 속력·시간·거리에 관한 문제 (시간)= , (속력)= , (거리)=(시간)_(속력) ⑵ 농도에 관한 문제 (소금물의 농도)= _100(%), (소금의 양)= ⑶ 일에 관한 문제 (시간당 할 수 있는 일의 양)=_{(일을 모두 마치는 데 걸리는 시간)}(전체 일의 양) (소금물의 농도)_(소금물의 양) 100 (소금의 양) (소금물의 양) (거리) (시간) (거리) (속력) 16 200+x 8_200 100 (소금물의 농도)_(소금물의 양) 100 (소금의 양) (소금물의 양) www.ebsi.co.kr

분수방정식

+

x¤

=2의 실근을 구하시오.

2x+3

2x+3

x¤

1 km

떨어진 두 지점을 올 때에는 갈 때보다 시속 2 km 빠르게 걸어서 왕복하는데 25분이 걸렸다고 한

다. 갈 때의 속력은? (단, 갈 때와 올 때의 속력은 각각 일정하다.)

① 시속 1 km

② 시속 2 km

③ 시속 3 km

④ 시속 4 km

⑤ 시속 5 km

3

4

정답과 풀이 4`쪽 EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

방정식

2. 무리방정식

⑴ 방정식 'ƒx-2=4, 'ßx-'ƒx+5=-1과 같이 미지수에 대한 무리식을 포함하고 있는 방정식을 무리방정

식이라 한다.

⑵ 무리방정식의 풀이

① 각 항을 적당히 이항한 후 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다.

② ①`에서 얻은 다항방정식을 푼다.

③ ②`에서 구한 근 중에서 주어진 무리방정식을 만족시키지 않는 무연근을 제외한 나머지를 근으로 한다.

무리방정식 x-'ƒx+5=1을 풀어 보자. 이항하여 정리하면 x-1='ƒx+5 yy ㉠ 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고치면 x¤ -2x+1=x+5, x¤ -3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ⁄ x=-1을 방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)=-1-1=-2, (우변)='ƒ-1+5=2 (좌변)+(우변)이므로 x=-1은 주어진 방정식의 근이 아니다. ¤ x=4를 방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)=4-1=3, (우변)='ƒ4+5=3 (좌변)=(우변)이므로 x=4는 주어진 방정식의 근이다. ⁄, ¤에서 x=4만이 주어진 무리방정식의 근이 된다. 무리방정식의 풀이 과정에서 무연근이 생기는 이유를 알아보자. 무리방정식 P(x)=Q(x) yy ㉠ 가 주어졌을 때, 양변을 제곱하면 {P(x)}¤ ={Q(x)}¤ yy㉡ 이 식을 정리하여 인수분해하면 {P(x)-Q(x)}{P(x)+Q(x)}=0 ∴ P(x)=Q(x) 또는 P(x)=-Q(x) 따라서 다항방정식 ㉡의 근 중에는 무리방정식 ㉠의 근이 아닌 것, 즉 P(x)=-Q(x)의 근이 있을 수 있다. 이 근이 무리방정식 ㉠의 무연근이다.

0

1

다음 무리방정식의 실근을 구하시오.

⑴ "√2x¤ +x=x+2

⑵ 2'ƒx-1+1=x

무리방정식 "√x¤ -x+1=2x-1의 실근을 구하시오.

5

6

정답과 풀이 4`쪽 {P(x)}™={Q(x)}™의 근 P(x)=Q(x) 의 근 무연근

01 방정식

7

⑶ 여러 가지 무리방정식의 풀이

① 근호가 여러 개 있을 때에는 적당히 이항하여 근호가 없어질 때까지 양변을 여러 번 제곱하여 푼다.

② 같은 부분이 반복되어 있는 경우 그 부분을 한 문자로 치환하여 방정식을 간단히 한 후 푼다. 이때, 치환

된 문자의 범위에 주의한다.

⑷ 무리방정식의 실근의 개수

무리방정식 "√f(x)=g(x)의 실근은 두 함수 y="√f(x)와 y=g(x)의

그래프가 만나는 교점의 x좌표와 같다.

즉, 오른쪽 그림에서 실선으로 표시된 함수 y="√f(x)의 그래프와 함수

y=g(x)의 그래프가 만나는 점의 x좌표 a는 방정식 "√f(x)=g(x)의 근

이다.

그러나 점선으로 표시된 함수 y=-"√f(x)의 그래프와 함수 y=g(x)의

그래프가 만나는 점의 x좌표 b는 방정식 -"√f(x)=g(x)의 근이므로

방정식 "√f(x)=g(x)에서는 무연근이 된다.

무리방정식 'ßx=2-x의 실근의 개수를 구하여 보자. 주어진 방정식의 양변을 제곱하면 x=4-4x+x¤ , x¤ -5x+4=0, (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 이때, x=1은 구하고자 하는 실근이고 x=4는 무연근이다. 이것을 그래프를 이용하여 알아보면 ⁄ _{x=1은 두 함수 y='ßx, y=-x+2의 그래프가 만나는 점의 x좌표} 이다. ¤ _{무연근 x=4는 두 함수 y=-'ßx, y=-x+2의 그래프가 만나는 점} 의 x좌표이다. www.ebsi.co.kr

무리방정식 'ƒx+4-'ƒ6-x=2의 실근을 구하시오.

무리방정식 "√3x-2=x+a가 실근을 가질 때, 상수 a의 최댓값은?

①

②

③

④

⑤

5

12

1

3

1

4

1

6

1

12

7

8

정답과 풀이 5`쪽 y x O y=g(x) y= f(x) y=- f(x) b a y x O 1 2 4 2 y=-x+2 y='x y=-'x EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하면 사차방정식이 되어 복잡해진다. 이 반복되어 나오므로 이 부분을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 푼다. + = 에서 =t로 놓으면 주어진 방정식은 t+ = 양변에 3t를 곱하여 정리하면 3t¤ -4t+1=0, (t-1)(3t-1)=0 ∴ t=1 또는 t= ⁄ t=1일 때, =1, x¤ -x-2=0, (x-2)(x+1)=0 ∴ x=2 또는 x=-1 이때, x=2, x=-1은 모두 주어진 방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 근이다. ¤ t= 일 때, = , 3x¤ =x+2, 3x¤ -x-2=0, (x-1)(3x+2)=0 ∴ x=1 또는 x=-이때, x=1, x=- 는 모두 주어진 방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 근이다. ⁄, ¤에서 구하는 모든 실근은 x=-1 또는 x=- 또는 x=1 또는 x=2이므로 구하는 모든 실근의 개수는 4이다. 4 2 3 2 3 2 3 1 3 x¤ x+2 1 3 x¤ x+2 1 3 4 3 1 3t x¤ x+2 4 3 x+2 3x¤ x¤ x+2 x¤ x+2 ⑴ 공통부분이 f(x)인 분수방정식은 f(x)를 한 문자로 치환하여 방정식을 간단히 한다. ⑵ ⑴`에서 얻은 근이 a(상수)일 때, 방정식 f(x)=a를 푼다. ⑶ ⑵`에서 얻은 근 중에서 무연근을 제외한 나머지를 근으로 한다.

1

1

풀이 전략 풀이

분수방정식의 풀이

예제

분수방정식

+

x+2

=

4

₃

의 모든 실근의 개수를 구하시오.

3x¤

x¤

x+2

분수방정식

+

=

+

의 실근이 이차방정식 2x¤ +ax+1=0을 만족시킬

때, 상수 a의 값을 구하시오.

x-2

x-1

x-2

x-3

x+3

x+4

x+3

x+2

1

x에 대한 분수방정식

-

=

의 해가 존재하지 않도록 하는 모든 상수 a의 값의

합은?

①

1

₂

② 1

③

3

₂

④ 2

⑤

5

₂

2x-3

x¤ -4

a

x-2

a

x+2

2

정답과 풀이 5`쪽

갑과 을은 20 km 떨어진 도서관까지 자전거를 타고 동시에 출발하여 각각 일정한 속력으로 달렸다. 갑

은 을보다 시속 4 km 더 빠른 속력으로 자전거로 달려 도서관에 도착하였더니 을보다 50분 먼저 도착

하였다. 갑의 자전거의 속력은 얼마인가?

① 시속 8 km

② 시속 9 km

③ 시속 10 km

④ 시속 11 km

⑤ 시속 12 km

3

갑이 농도 8 %의 소금물 100 g이 들어 있는 그릇에 일정한 양의 물을 넣고 농도를 재었더니 a %이었

고, 을이 농도 7 %의 소금물 200 g이 들어 있는 그릇을 가열하여 갑이 넣은 양만큼의 물을 증발시킨

후 농도를 재었더니 b %이었다. a+b=15를 만족시킬 때, 갑이 넣은 물의 양을 구하시오.

(단, 단위는 g이다.)

4

01 방정식

9

정답과 풀이 6`쪽 처음 출발할 때의 자동차의 속력을 시속 x km라 하면 + + = + , - + =0 양변에 분모의 최소공배수 6x(x-20)을 곱하면 240(x-20)-240x+x¤ -20x=0 x¤ -20x-4800=0, (x+60)(x-80)=0 ∴ x=-60 또는 x=80 x>0이므로 구하는 자동차의 속력은 시속 80 km이다. 따라서 =2(시간)이므로 고장이 나지 않았다면 오전 10시에 도착한다. ③ 160 80 1 6 40 x-20 40 x 5 6 160 x 40 x-20 2 3 120 x ⑴ 자동차의 속력을 시속 x km로 나타낸다. ⑵ 방정식의 활용 문제 중 속력을 묻는데 자주 사용되는 공식을 이용한다. (시간)= , (속력)= , (시간)=(분) 60 (거리) (시간) (거리) (속력) www.ebsi.co.kr

2

2

풀이 전략 풀이

분수방정식의 활용

예제

집에서 160 km 떨어져 있는 고적지를 가기 위해 오전 8시에 자동차로 출발하여 일정한 속력으로 가다가 출발 후

120 km

지점에서 자동차가 고장이 났다. 자동차를 수리하는 동안 40분을 기다렸다가 처음 출발할 때의 속력보다

시속 20 km 느린 속력으로 일정하게 주행하였더니 예정 시간보다 50분 늦게 도착하였다. 만약 고장이 나지 않았

다면 몇 시에 도착했겠는가?

① 오전 9시

② 오전 9시 30분

③ 오전 10시

④ 오전 10시 30분

⑤ 오전 11시

EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

"√x¤ -3x+6=t(tæ0)로 놓으면 x¤ -3x+6=t¤ , x¤ -3x=t¤ -6 따라서 주어진 방정식은 2t+t¤ -6=2, t¤ +2t-8=0 (t+4)(t-2)=0 ∴ t=-4 또는 t=2 tæ0이므로 t=2만 근이 된다. ∴ "√x¤ -3x+6=2 양변을 제곱하면 x¤ -3x+6=4, x¤ -3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 따라서 x=1 또는 x=2이므로 모든 실근의 곱은 1_2=2 ② ⑴ 공통부분이 f(x)인 무리방정식은 f(x)를 한 문자로 치환하여 방정식을 간단히 한다. ⑵ 치환한 문자에 대한 범위를 생각하고 ⑴`에서 얻은 근 중에서 이 범위에 속하는 근만 택한다.

3

3

풀이 전략 풀이

무리방정식의 풀이

예제

x¤ -3x+6=t로 놓으면 x¤ -3x=t-6이므로 주어진 방정식을 정리하면 2't+t-6=2, 2't=8-t yy ㉠ 위의 식의 양변을 제곱하면 4t=64-16t+t¤ t¤ -20t+64=0, (t-4)(t-16)=0 ∴ t=4 또는 t=16 t=4를 무리방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)=4, (우변)=4 (좌변)=(우변)이므로 t=4는 주어진 방정식 ㉠의 근이다. t=16을 무리방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)=8, (우변)=-8 (좌변)+(우변)이므로 t=16은 주어진 방정식 ㉠의 근이 아니다. x¤ -3x+6=4, x¤ -3x+2=0, (x-2)(x-1)=0 따라서 x=2 또는 x=1이므로 모든 실근의 곱은 1_2=2 다른 풀이

무리방정식 2"√x¤ -3x+6+x¤ -3x=2의 모든 실근의 곱은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

무리방정식 ('ƒx+1)‹ -8x=24-20'ƒx+1의 모든 실근의 곱을 구하시오.

5

무리방정식 'ƒx-1+1=mx의 두 근의 비가 1：2일 때 두 근의 합은? (단, m은 상수이다.)

① -3

② -1

③ 1

④ 3

⑤ 5

6

정답과 풀이 6`쪽

01 방정식

11

그림과 같이 삼차함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 0)에서 x축과 접하고

f(-1)=0일 때, 방정식 f(x)-"√f(x)+8=-2의 서로 다른 실근의 개수

를 구하시오.

7

정답과 풀이 7`쪽 f(x)-3="√9-f(x) yy ㉠의 양변을 제곱하면 { f(x)}¤ -6f(x)+9=9-f(x), { f(x)}¤ -5f(x)=0 f(x){ f(x)-5}=0 ∴ f(x)=0 또는 f(x)=5 ⁄ f(x)=0을 ㉠에 대입하면 (좌변)=-3, (우변)=3, (좌변)+(우변)이므로 f(x)=0은 방정식 ㉠을 만족시키지 않는다. ¤ f(x)=5를 ㉠에 대입하면 (좌변)=2, (우변)=2, (좌변)=(우변)이므로 f(x)=5 는 방정식 ㉠을 만족시킨다. ⁄, ¤에서 f(x)=5 오른쪽 그림에서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=3에 대하여 대칭이므로 직선 y=5와의 교점의 x좌표를 3-a, 3+a(a>0)로 놓을 수 있다. 따라서 모든 실근의 합은 (3-a)+(3+a)=6 ⑤ ⑴ 양변을 제곱하여 f(x)의 값을 구한다. ⑵ 구한 f(x)의 값 중에서 주어진 방정식을 만족시키는 값만 근으로 한다.

⑶ 이때, 구한 값이 a(상수)이면, 즉 f(x)=a이면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=a의 교점을 찾는다.

www.ebsi.co.kr

4

4

풀이 전략 풀이

함수의 그래프와 무리방정식의 근

예제

꼭짓점의 좌표가 (3, 6)인 이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다. 방정식

f(x)-3="√9-f(x)의 모든 실근의 합은?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

y x O 6 3 y=f(x) y x O 6 5 3 y=f(x) y=5 3-a 3+a y x O y=f(x) 1 -1

x에 대한 방정식 'ƒx-3+1=mx가 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 m의 값의 범위가

a…

m<b일 때, b-a의 값은?

①

1

₆

②

1

₃

③

1

₂

④

2

₃

⑤

5

₆

8

EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

출제 경향 방정식에서는 첫째, 분수(무리)방정식의 해를 구하는 문제, 특히, 치환을 이용하여 무리방정식의 해를 구하는 문제, 둘째, 분수(무리)방정식이 근을 가지지 않을 때 또는 근을 가질 때, 미지수의 값을 구하는 문제, 셋째, 함수의 그래 프가 주어진 분수(무리)방정식의 실근 또는 실근의 개수를 구하는 문제, 넷째, 실생활과 밀접한 관련이 있는 문제 가 출제되고 있다. 정답과 풀이 8`쪽

출제 경향 & 대표 기출 문제

이차함수 y=f(x)와 삼차함수 y=g(x)의 그래프가 그림과 같

다. f(-1)=f(3)=0이고, 함수 g(x)가 x=3에서 극솟값

-2를 가질 때, 방정식

-

=1의 서로 다른 실

근의 개수는?

[3점]

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

2

g(x)

g(x)+2

f(x)

ㅣ출제의도ㅣ 그래프를 이용하여 분수방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2012학년도 대수능

2

분수방정식

+

=

가 오직 하나의 실근을 가지도록 하는 모든 상수 a의 값의

곱은?

[3점]

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

ax+5

x¤ -1

x-2

x+1

x

x-1

ㅣ출제의도ㅣ 미지수가 들어 있는 분수방정식에서 조건에 따라 a의 값의 곱을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능 6월 모의평가

1

y x O y=f(x) y=g(x) -1 3 -2

무리방정식

x¤ -2x+2"√x¤ -2x=8

의 모든 실근의 곱은?

[3점]

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

ㅣ출제의도ㅣ 무리방정식의 근을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능

3

01 방정식

13

정답과 풀이 8`쪽

분수방정식

+

=

의 모든 실근의 곱은?

① -6

② -3

③ 0

④ 3

⑤ 6

2

3

1

x+3

1

x-1

1

기초 연습

Level

1

www.ebsi.co.kr

무리방정식 'ƒ2x+1-'ƒx-3=2의 모든 실근의 합은?

① 16

② 14

③ 12

④ 10

⑤ 8

4

방정식 f(x)=0의 실근은 -3, -1, 3, 4, 6, 9이고 방정식 g(x)=0의 실근은 -4, -1,

3, 5, 7, 9라 할 때, 방정식

=0의 모든 실근의 합은?

① 5

② 6

③ 7

④ 8

⑤ 9

g(x)

f(x)

2

두 삼차함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 분수

방정식

+

=2의 해집합은?

(단, -4<a<-3, 3<b<4)

① {a}

② {b}

③ {a, b}

④ {3, b, 4}

⑤ {-4, a, 1, b, 4}

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

3

x에 대한 무리방정식 'ƒ2x-3a+x-1=0의 해가 존재하기 위한 실수 a의 최댓값을 k라 할 때,

30k의 값을 구하시오.

5

y x O y=f(x) y=g(x) -4 a -3 1 3 4 b EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

정답과 풀이 9쪽

기본 연습

Level

2

x에 대한 분수방정식

-

=

가 근을 가지지 않을 때,

의 값을 구하시오. (단, a+0, b+0인 상수이다.)

b

a¤

x

x¤ +ax+a¤

b

(x-a)(x¤ +ax+a¤ )

1

x-a

1

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)는 다음 두 조건을 만족시킨다.

이때, 무리방정식 æ≠f(x)-

x=f(x)-

x-2를 만족시키는 실근의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

1

3

1

3

3

AB”=4인 직사각형 ABCD의 변 BC 위에 BP”：PC”=1：2인

점 P를 잡을 때, AP”+PC”=11을 만족시킨다. AC”=k라 할 때,

k¤ 의 값을 구하시오. (단, k는 상수이다.)

4

갑은 그림과 같은 산의 A지점에서 출발하여 정상인 B지점까지 등

산길 3 km를 올라가고 다시 B지점에서 C지점까지 2 km를 내려

왔다. 오를 때는 일정한 속력으로 걷고, 내려올 때는 오를 때의 속력

보다 시속 1 km만큼 빠르게 일정한 속력으로 내려왔다. 등산을 하

는데 총 2시간 10분 걸렸다면 갑이 올라갈 때 걸린 시간은?

① 1시간 10분

② 1시간 20분

③ 1시간 30분

④ 1시간 40분

⑤ 1시간 50분

2

㈎ 0…x…4일 때 f(x)=-x¤ +4x+3 ㈏ f(x)=f(x+4) A B C D P 4 k B A C 2 km 3 km

실력 완성

Level

3

정답과 풀이 11`쪽

x에 대한 방정식 "√4-x¤ =-x+m이 실근을 가지는 상수 m의 값의 범위가 a…m…b일 때,

a

-b의 값은?

① -2-2'2

② -2-'2

③ -'2

④ -2+'2

⑤ -1+2'2

3

서로 다른 두 자연수 a, b에 대하여 분수방정식

+

=

가 근을

가지지 않을 때, a+b의 값은?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

ab

x(x-1)

1

x-1

(a-1)(b-2)

(x-1)(x-2)

1

www.ebsi.co.kr 01 방정식

15

함수 f(x)=

에 대하여 분수방정식

-

=

이 실근을 가지지 않

도록 하는 자연수 a의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

1

x-2

1

f(x)+2

1

f(x)-2

x+a

x

2

그림과 같이 직선 y=-x+m(m>0)이 x축, y축, 두

곡선 y='ƒx-1-1, y='ƒx+1+1과 만나는 점을 각각

A, B, C, D라 하고, 두 점 C, D에서 x축에 내린 수선

이 x축과 만나는 점의 x좌표를 각각 a, b라 하자. 선분

AC, CD, DB의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰

때, a+b의 값은?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

4

y x O B y= x+1+1 y= x-1-1 m m -1 -1 1 1 D A C a b y=-x+m EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

부등식

다음 부등식의 해를 구하시오.

⑴ x‹ -3x¤ -x+3>0

⑵ (x¤ -1)(x¤ -9)<0

부등식 x‹ +2x¤ …3x를 만족시키는 자연수 x의 개수는?

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

1

2

0

2

정답과 풀이 13`쪽

1. 고차부등식

⑴ x‹ -2x¤ +x-2>0, x› +x‹ -3x¤ -x+2<0과 같이 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 f(x)>0,

f(x)æ0, f(x)<0, f(x)…0의 꼴로 정리하였을 때, f(x)가 삼차의 다항식이면 삼차부등식이라 하고,

f(x)가 사차의 다항식이면 사차부등식이라 한다. 또, 삼차 이상의 부등식을 통틀어 고차부등식이라 한다.

⑵ 고차부등식의 풀이

① 부등식의 최고차항의 계수가 양수가 되도록 항을 한쪽으로 이항하여 f(x)>0, f(x)æ0, f(x)<0,

f(x)…0의 꼴로 변형한다.

② f(x)를 계수가 실수인 범위에서 인수분해하여 방정식 f(x)=0의 해를 구한다.

③ 방정식 f(x)=0을 만족시키는 x의 값을 경계로 하여 구간을 나눈 다음 각 구간에서 f(x)의 부호를 조

사하여 주어진 부등식의 해를 구한다.

삼차부등식 x‹ +23x…9x¤ +15를 풀어 보자. 부등식의 우변을 좌변으로 이항하여 정리하면 x‹ -9x¤ +23x-15…0 f(x)=x‹ -9x¤ +23x-15로 놓고 조립제법을 이용하여 인수분해하면 f(x)=(x-1)(x-3)(x-5) 여기서 방정식 f(x)=0의 근 x=1, x=3, x=5를 경계로 하여 f(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다. 따라서 주어진 부등식의 해는 x…1 또는 3…x…5 [다른 풀이] 위의 표 대신에 오른쪽 그림과 같이 수직선 위에 x=1, x=3, x=5를 잡고 f(x)의 부호를 조사할 수도 있다. 1 3 5 x + + - -x-1 x-3 x-5 f(x) - 0 + + + + + - - - 0 + + + - - - - - 0 + - 0 + 0 - 0 + x<1 x=1 1<x<3 x=3 3<x<5 x=5 x>5 1 1 -9 23 -15 1 1 -1 -8 -15 1 1 -8 15 0

02 부등식

17

⑶ 제곱인 인수 또는 일정한 부호의 인수가 있는 고차부등식의 풀이

① (x-a)¤ f(x)>0

HjK x+a이고 f(x)>0

② (x-a)¤ f(x)æ0

HjK x=a 또는 f(x)æ0

③ (x-a)¤ f(x)<0

HjK x+a이고 f(x)<0

④ (x-a)¤ f(x)…0

HjK x=a 또는 f(x)…0

⑤ 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0일 때

f(x)g(x)>0

HjK g(x)>0

n이 홀수일 때 (x-a)« f(x)>0 HjK (x-a) f(x)>0 (x-a)« f(x)æ0 HjK (x-a) f(x)æ0 부등식 x‹ +3x¤ -4<0의 해를 구하여 보자. f(x)=x‹ +3x¤ -4로 놓고 조립제법을 이용하여 인수분해하면 f(x)=x‹ +3x¤ -4=(x+2)¤ (x-1) x+-2일 때 (x+2)¤ >0이므로 (x+2)¤ (x-1)<0 HjK x-1<0, x+-2 따라서 주어진 부등식의 해는 x<1, x+-2

⑷ 연립부등식

연립부등식 [

의 해는 연립부등식을 이루고 있는 각 부등식 f(x)>0과 g(x)<0을 동시에 만족

시키는 x의 값의 범위이므로 각각의 부등식의 해를 구한 다음 공통 범위를 구한다.

f(x)>0

g(x)<0

www.ebsi.co.kr

다음 부등식의 해를 구하시오.

⑴ (x-1)¤ (x-3)<0

⑵ (x-2)‹ (x+1)æ0

연립부등식 [

을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

x‹ -7x+6æ0

x¤ -5x<0

3

5

부등식 (x¤ +x+1)(x¤ -x-6)<0을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

4

정답과 풀이 13`쪽 1 1 3 0 -4 1 1 1 4 -4 1 1 4 4 -0 EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

부등식

2. 분수부등식

⑴ 분수부등식

부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 f(x)>0, f(x)æ0, f(x)<0, f(x)…0의 꼴로 정리하였을 때,

f(x)가 x에 대한 분수식이면 이 부등식을 분수부등식이라 한다. 또, 일차부등식, 이차부등식, 고차부등식

과 분수부등식을 통틀어 유리부등식이라 한다.

⑵ 분수부등식의 풀이

① 주어진 부등식을 좌변으로 이항하고 통분하여 다음과 같은 꼴로 정리한다.

>0,

æ

0,

<0,

…

0

② 양변에 { g(x)}¤ 을 곱하여 일차부등식, 이차부등식 또는 고차부등식으로 바꾼다.

③ 이 부등식을 풀어 구한 해 중에서 g(x)=0이 되게 하는 x의 값은 제외한다.

분수부등식 æ1을 풀어 보자. 우변을 좌변으로 이항하고 통분하여 정리하면 -1æ0, æ0, æ0, …0 양변에 분모의 제곱인 (x+2)¤ 을 곱하면 (x+1)(x+2)…0, x+-2 따라서 주어진 부등식의 해는 -2<x…-1 x+1 x+2 -(x+1) x+2 1-(x+2) x+2 1 x+2 1 x+2

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

0

2

다음 분수부등식의 해를 구하시오.

⑴

>0

⑵

…

1

x-1

2x-1

x+1

x+1

x-3

분수부등식

x+3

_x+1

-2…-x의 해를 구하시오.

6

7

분수부등식

>

를 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

x

x¤ +1

1

x+1

8

정답과 풀이 14`쪽

02 부등식

19

⑶ 일정한 부호의 인수를 포함한 분수부등식

모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이면

①

>0

HjK g(x)>0

②

æ

h(x)

HjK g(x)æf(x)h(x)

모든 실수에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다. 절대부등식의 예는 다음과 같다. ① x¤ +2x+1=(x+1)¤ æ0 ② x¤ +x+1={x+ }2 + >0 ③ x¤ -4x+5=(x-2)¤ +1>0

⑷ 연립부등식

고차부등식이나 분수부등식으로 이루어진 연립부등식은 각각의 부등식의 해를 구하여 그 공통 범위를 찾는다.

연립부등식 을 풀어 보자. ⁄ x‹ -2x¤ -5x+6æ0에서 좌변을 인수분해하면 (x-3)(x-1)(x+2)æ0 ∴ -2…x…1 또는 xæ3 yy ㉠ ¤ …0, …0 양변에 분모의 제곱인 (x-4)¤ (x+2)¤ 을 곱하면 (x-2)(x-4)(x+2)…0, x+4, x+-2 ∴ x<-2 또는 2…x<4 yy ㉡ ⁄, ¤에 의하여 오른쪽 수직선에서 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3…x<4

⑸ 분수부등식의 활용

① 구하는 값을 미지수 x로 놓는다.

② 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 분수부등식을 세운다.

③ 부등식을 풀고, 구한 해가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

x -2 1 2 3 4 ㉠ ㉠ ㉡ ㉡ x-2 (x-4)(x+2) x-2 x¤ -2x-8 ( “ 9 3 4 1 2

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

www.ebsi.co.kr

다음 분수부등식의 해를 구하시오.

⑴

æ1

⑵

5x-1

…2

x¤ -4x+5

x¤ -3x+1

x¤ +2x+2

갑은 집에서 2 km 떨어진 학교를 걸어서 다닌다. 그런데 등교할 때의 평균 속력은 하교할 때의 평균 속력

보다 1 km/시 더 빠르다고 한다. 등교할 때 걸린 시간과 하교할 때 걸린 시간의 합을 54분 이하로 하려고

할 때, 등교할 때의 평균 속력의 최솟값을 구하시오. (단, 단위는 km/시이다.)

9

10

정답과 풀이 14`쪽 x‹ -2x¤ -5x+6æ0 …0 x-2 x¤ -2x-8 EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

x‹ -x¤ -4x+4æ0에서 f(x)=x‹ -x¤ -4x+4로 놓고 인수분해하면 x‹ -x¤ -4x+4=(x-1)(x¤ -4)=(x+2)(x-1)(x-2) 여기서 방정식 f(x)=0의 해 x=-2, x=1, x=2를 경계로 f(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다. 따라서 주어진 부등식의 해는 -2…x…1 또는 xæ2 yy ㉠ x¤ -3x-4<0, (x+1)(x-4)<0 ∴ -1<x<4 yy㉡ 오른쪽 수직선에서 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1<x…1 또는 2…x<4이므로 이 범위에 속하는 모든 정수 x는 0, 1, 2, 3이므로 정수 x의 개수는 4이다. ② x -2 -1 1 2 4 ㉠ ㉠ ㉡ x -2 1 2 + + - -⑴ 각각의 부등식을 인수분해하여 해를 구한다. ⑵ 각각의 부등식의 해의 공통 범위를 구한다. 예를 들어, 연립부등식 [_g(x)<0f(x)æ0의 해는 두 부등식 f(x)æ0, g(x)<0의 해의 공통 범위이다.

1

1

풀이 전략 풀이

고차부등식, 연립부등식의 풀이

예제

연립부등식 [

을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

x‹ -x¤ -4x+4æ0

x¤ -3x-4<0

부등식 (x-1)¤ (x+1)(x-6)<0을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은?

① 11

② 12

③ 13

④ 14

⑤ 15

1

가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 (x-1)cm, x cm, (x+1)cm인 직육면체의 부피가

120 cm‹

이상 210 cm‹ 미만이 되도록 하는 실수 x의 최솟값을 p라 할 때, 20p의 값을 구하시오.

2

정답과 풀이 15`쪽

분수부등식 x-3æ

의 해가 a…x<b 또는 xæc일 때, a+b+c의 값은?

(단, a, b, c는 상수이다.)

① 5

② 4

③ 3

④ 2

⑤ 1

8

x-1

3

분수부등식

x¤ -2x-3

…

0을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

|x|-2

4

02 부등식

21

정답과 풀이 15`쪽 0< …x HjK ⁄ >0에서 양변에 분모의 제곱인 (x-2)¤ 을 곱하면 2x(x-2)>0 ∴ x<0 또는 x>2 yy㉠ ¤ …x에서 우변을 좌변으로 이항하고 통분하여 정리하면 …0, …0, æ0 양변에 분모의 제곱인 (x-2)¤ 을 곱하면 x(x-4)(x-2)æ0, x+2 ∴ 0…x<2 또는 xæ4 yy㉡ ⁄, ¤에 의하여 오른쪽 수직선에서 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 xæ4이므로 a의 값은 4이다. ④ x(x-4) x-2 -x¤ +4x x-2 2x-x(x-2) x-2 2x x-2 2x x-2 ( { 9 2x x-2 ⑴ f(x)<g(x)<h(x)의 해는 연립부등식 [ 의 해와 같음을 이용하여 연립부등식으로 나타낸다. ⑵ 각각의 분수부등식의 해를 구한다. ⑶ 공통 범위를 구한다. f(x)<g(x) g(x)<h(x) www.ebsi.co.kr

2

2

풀이 전략 풀이

분수부등식의 풀이

예제

부등식 0<

…

x의 해가 xæa일 때, 상수 a의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

2x

x-2

>0 …x 2x x-2 2x x-2 x 0 2 4 ㉠ ㉠ ㉡ ㉡ EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

A={x|x‹ -5x¤ -x+5…0}에서 f(x)=x‹ -5x¤ -x+5로 놓으면 f(x)=x‹ -5x¤ -x+5=x¤ (x-5)-(x-5) =(x-5)(x¤ -1)=(x+1)(x-1)(x-5) 따라서 (x+1)(x-1)(x-5)…0에서 x…-1 또는 1…x…5 ∴ A={x|x…-1 또는 1…x…5} A'B={x|x…5}, A;B={x|1…x<4}이므로 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. 따라서 부등식 x¤ +ax+b<0의 해가 -1<x<4이어야 한다. B={x|-1<x<4}={x|(x+1)(x-4)<0} ={x|x¤ -3x-4<0}={x|x¤ +ax+b<0} 따라서 a=-3, b=-4이므로 ab=12 ⑤ x -1 1 4 5 B A A ⑴ 미정계수를 포함하지 않은 부등식의 해를 구하여 수직선 위에 나타낸다. ⑵ 주어진 조건을 만족시키도록 미정계수의 값의 범위를 정한다.

3

3

풀이 전략 풀이

부등식의 해의 조건과 미정계수

예제

두 집합 A={x|x‹ -5x¤ -x+5…0}, B={x|x¤ +ax+b<0}에 대하여 A'B={x|x…5},

A;B={x|1…x<4}일 때, 두 상수 a, b에 대하여 ab의 값은?

① 4

② 6

③ 8

④ 10

⑤ 12

두 부등식

æ

과 x¤ +ax+b<0의 해가 같을 때, 두 상수 a, b에 대하여 ab의 값은?

① -6

② -3

③ 0

④ 3

⑤ 6

1

x-3

1

x+1

5

x에 대한 부등식 x› +ax‹ -x-a<0을 만족시키는 정수 x의 개수가 3일 때, 양수 a의 최댓값은?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

6

02 부등식

23

대칭축이 x=1인 이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다. 함수

g(x)=-f(x-2)일 때, 부등식

æ

1을 만족시키는 정수 x의 값

은? (단, f(-1)=f(3)=0)

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

f(x)

g(x)

7

정답과 풀이 16`쪽 …1, -1…0, …0 양변에 분모의 제곱인 {g(x)}¤ 을 곱하면 g(x){ f(x)-g(x)}…0, g(x)+0 ∴ [ 또는 [ ⁄ [ ∴ 1<x…4 ¤ [ ∴ -4…x<1 따라서 부등식 …1의 해는 -4…x<1 또는 1<x…4 따라서 이 범위에 속하는 정수 x는 -4, -3, -2, -1, 0, 2, 3, 4이므로 정수 x의 개수는 8이다. ③ f(x) g(x) g(x)<0 jK x<1 f(x)æg(x) jK -4…x…1 또는 xæ4 g(x)>0 jK x>1 f(x)…g(x) jK x…-4 또는 1…x…4 g(x)<0 f(x)æg(x) g(x)>0 f(x)…g(x) f(x)-g(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) ⑴ A+0, AB…0 HjK [ 또는 [ ⑵ g(x)=0인 x의 값은 제외시킨다. A<0 Bæ0 A>0 B…0 www.ebsi.co.kr

4

4

풀이 전략 풀이

함수의 그래프와 분수부등식

예제

그림과 같이 삼차함수 y=f(x)와 일차함수 y=g(x)의 그래프가 세 점에서

만나고 그 교점의 x좌표는 -4, 1, 4이다. 부등식

…

1을 만족시키는

정수 x의 개수는? (단, f(-3)=f(1)=f(3)=0)

① 6

② 7

③ 8

④ 9

⑤ 10

f(x)

g(x)

y x O y=f(x) y=g(x) -3 -4 1 3 4 y x O y=f(x) -1 3 EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

출제 경향 부등식에서 출제되고 있는 문제의 유형은 고차(분수)부등식의 해를 구하는 문제, 미정계수를 포함한 고차(분수)부 등식의 해를 구하는 문제, 함수의 그래프를 이용하여 분수부등식의 해를 구하는 문제, 분수부등식의 활용 문제 등 이 출제되고 있다. 정답과 풀이 16`쪽

출제 경향 & 대표 기출 문제

A지점에서 출발하여 거리가 6 km 떨어진 B지점까지 이동한 후 같은 길을 따라 A지점으로 돌아

오려고 한다. 처음 1 km는 일정한 속력으로 걷다가 나머지 5 km는 처음 걷는 속력의 2배의 속력

으로 이동하고, 돌아올 때는 처음 걷는 속력보다 시속 2 km 더 빠르게 이동하려고 한다. 왕복하는

데에 걸리는 총 시간이 2시간 30분 이하가 되도록 할 때, 처음 걷는 속력의 최솟값은?

(단, 속력의 단위는 km/시이다.)

[3점]

①

②

③

④ 3

⑤

16

5

14

5

13

5

12

5

ㅣ출제의도ㅣ 속도와 관련된 실생활 문제를 분수부등식을 활용하여 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능

1

이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다.

두 집합

A=[x|

…

_{1], B={x|-5<x<5}}

에 대하여 집합 A;B에 속하는 정수의 개수는? (단, f(2)=f(-2)=0)

[3점]⋯

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

f(x+1)

f(x-1)

ㅣ출제의도ㅣ 그래프를 이용하여 분수부등식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능 6월 모의평가

2

두 집합

A=[x|

…

_{0], B={x|x¤ -8x+a…0}}

에 대하여 집합 A'B={x|x…5}일 때, 상수 a의 값은?

[3점]

① 7

② 10

③ 12

④ 15

⑤ 16

(x-2)¤

x-4

ㅣ출제의도ㅣ 분수부등식과 해의 집합의 관계를 이해하고 있는지를 묻는 문제이다. 2012학년도 대수능

3

y x y=f(x) 2 -2 O

02 부등식

25

정답과 풀이 17`쪽

기초 연습

Level

1

www.ebsi.co.kr

부등식

…

과 x¤ +ax+b<0의 해가 같을 때, 두 실수 a, b에 대하여 ab의 값은?

① -16

② -14

③ -12

④ -10

⑤ -8

1

x+4

1

x-2

2

두 집합 A={x|x‹ -7x+6>0}, B={x|a<x…b}에 대하여 A'B={x|x>-3},

A;B={x|-1<x<1}일 때, a¤ +b¤ 의 값을 구하시오. (단, a, b는 상수이다.)

3

연립부등식 [

x(x-3)(x-6)<0

을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

(x+2)(x-1)(x-4)(x-7)<0

4

부등식

…

0을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

x¤ -5x-14

|x¤ -2x-3|

5

다음 중 연립부등식 [

과 같은 해를 가지는 분수부등식은?

①

æ

0

②

…

0

③

æ

0

④

…

0

⑤

x-1

æ

0

(x-3)(x+4)

x+4

(x-1)(x-3)

x+4

(x-1)(x-3)

x-3

(x-1)(x+4)

x-3

(x-1)(x+4)

x+3æ-1

x¤ -4x+3>0

1

EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

정답과 풀이 18`쪽

기본 연습

Level

2

세 집합 A={x|(x¤ -4)(x-4)æ0}, B={x|x¤ -4x+3…0}, C=[x|

…

_{0]에 대하여}

B-A=C일 때, 두 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

① 1

② 3

③ 5

④ 7

⑤ 9

x-b

x-a

1

두 함수 f(x)=x‹ -2x¤ -4x+6, g(x)=2x-1에 대하여 부등식 ( fΩg)(x)…g(x)를 만족

시키는 자연수 x의 개수를 구하시오.

3

함수 f(x)=

에 대하여 부등식 f(x)+f —⁄ (x)…f(x-1)을 만족시키는 모든 정수 x의

값의 곱은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

2x

x-1

2

그림과 같이 대칭축이 x=-1인 이차함수 y=f(x)의 그래프와

일차함수 y=g(x)의 그래프가 두 점에서 만나고 그 교점의 x좌표

는 a, 0이다. -5…x…3일 때, 부등식 1-

æ0을 만족시

키는 정수 x의 개수는?

(단, f(a)=f(b)=0, -4<a<-3, 1<b<2)

① 5

② 6

③ 7

④ 8

⑤ 9

g(x)

f(x)

4

y x O y=f(x) y=g(x) a -1 1_b2 -3 -4

실력 완성

Level

3

정답과 풀이 19`쪽 www.ebsi.co.kr 02 부등식

27

그림과 같이 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 일차함수

y=-

x+

의 그래프가 세 점에서 만나고 그 교점의

x좌표는 a, 1, b이다. -4…x…4일 때, 부등식

+

æ

을 만족시키는 정수 x의 개수는?

(단, f(-3)=f(1)=f(4)=0, -3<a<-2, 3<b<4)

① 5

② 4

③ 3

④ 2

⑤ 1

1

xf(x)

2

x

1

f(x)

1

2

1

2

1

서로 다른 두 자연수 a, b(a<b…10)에 대하여 연립부등식

을 만족시키

는 정수 x의 개수가 2일 때, 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하시오.

(

{

9

2

그림과 같이 OA”=1, ∠OA¡A=

인 직각삼각형 AOA¡과 한 변

OA¡을 공유하고 변 OA¡을 빗변으로 하면서 삼각형 AOA¡과 닮은 직

각삼각형 A¡OA™를 만든다. 계속해서 이와 같은 방법으로 직각삼각형

A

«OA«≠¡과 한 변 OA«≠¡을 공유하고 변 OA«≠¡을 빗변으로 하면서 삼

각형 A«OA«≠¡과 닮은 직각삼각형 A«≠¡OA«≠™를 만들어 나간다고 한다.

O’A¡”=x,

O’A

«”=S라 할 때, 1…S…2이기 위한 실수 x의 값의 범위

는 a…x…b이다. 이때, 12ab의 값을 구하시오.

¶

¡

n=1

p

2

3

y x O y=f(x) -4-3 a-2 1 y=-;:;x+;:;1₂ 1₂ 4 b 3

x(x-a)(x-b)>0

æ

1

15

x¤ -2x

A O A¡ A™ A£ 1 x y EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

삼각함수 ⑴

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ cosec

p

⑵ sec

p

_{⑶ cot {- p}}

4

3

3

4

11

6

tan h=

일 때, sec¤ h+cosec¤ h의 값은?

①

32

₃

②

98

₉

③

100

₉

④

34

₃

⑤

104

₉

1

3

1

2

0

3

정답과 풀이 21쪽

1. 삼각함수의 정의

⑴ cosec h=

=

(단, y+0)

⑵ sec h=

=

(단, x+0)

⑶ cot h=

=

(단, y+0)

그림과 같이 일반각 h를 나타내는 동경과 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 원 O와의 교점을 P(x, y)라 하면 sin h= , cos h= , tan h= 의 값 의 역수인 , , 의 값은 r의 값에 관계없이 h의 값에 따라 각각 하나로 정해진다.

따라서 h ⁄ (y+0), h ⁄ (x+0), h ⁄ (y+0)와 같은 대응은 각각 h의 함수이다.

이를 차례로 h에 대한 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고 이것을 cosec h= (y+0), sec h= (x+0), cot h= (y+0)

와 같이 나타낸다.

원점 O와 점 P(-4, 3)을 지나는 동경 OP가 나타내는 각을 h라 할 때, OP”=5이므로 삼각함수의 정의에 의하여

cosec h=5₃, sec h=-5₄, cot h=-4₃

x y r x r y x y r x r y x y r x r y y x x r y r

x

y

1

tan h

r

x

1

cos h

r

y

1

sin h

2. 삼각함수 사이의 관계

⑴ 1+tan¤ h=sec¤ h

⑵ 1+cot¤ h=cosec¤ h

sin¤ h+cos¤ h=1의 양변을 cos¤ h, sin¤ h로 각각 나누면

+1= , 1+ =

∴ 1+tan¤ h=sec¤ h, 1+cot¤ h=cosec¤ h 1 sin¤ h cos¤ h sin¤ h 1 cos¤ h sin¤ h cos¤ h y x O P(x, y) -r -r r r y x r h y x O P(-4, 3) 3 -4 h 5 5 -5 -5

03 삼각함수 ⑴

29

3. 사인함수, 코사인함수의 덧셈정리

⑴ sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b

sin(a-b)=sin a cos b-cos a sin b

⑵ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b

cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b

오른쪽 그림과 같이 두 각 a, b를 나타내는 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 P(cos a, sin a), Q(cos b, sin b)이다.

이때, 삼각형 POQ에서 코사인법칙에 의하여 P’Q” ¤ =OP” ¤ +OQ” ¤ -2¥OP”¥OQ”¥cos(∠POQ) 이고, OP”=OQ”=1, ∠POQ=a-b이므로

P’Q” ¤ =2-2 cos(a-b)

한편, 두 점 사이의 거리 구하는 공식에 의하여

P’Q” ¤ =(cos b-cos a)¤ +(sin b-sin a)¤ =2-2(cos a`cos b+sin a sin b) 따라서 2-2 cos (a-b)=2-2(cos a cos b+sin a sin b)가 성립하고, 이 식을 정리하면

cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b yy㉠ ㉠은 임의의 a, b에 대하여 성립하므로 b 대신에 -b를 대입하면

cos {a-(-b)}=cos a cos (-b)+sin a sin (-b) ∴ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b

또한, sin h=cos{ -h}이므로

sin(a+b)=cos [ -(a+b)]=cos[{ -a}-b]=cos { -a} cos b+sin { -a} sin b ∴ sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b yy㉡

㉡에 b 대신에 -b를 대입하면

sin {a+(-b)}=sin a cos (-b)+cos a sin (-b) ∴ sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b

cos 105˘=cos (60˘+45˘)

=cos 60˘ cos 45˘-sin 60˘ sin 45˘

= ¥ - ¥ ='2-'6 4 '2 2 '3 2 '2 2 1 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 www.ebsi.co.kr

sin

p

cos

p+cos

p

sin

p

의 값은?

① 0

②

1

₂

③

'2

₂

④

'3

₂

⑤ 1

2

7

5

7

2

7

5

7

cos {h+

}=a sin h+b cos h일 때, 두 상수 a, b에 대하여 ab의 값은?

① -

'3

₂

② -

'3

₄

③ 0

④

'3

₄

⑤

'3

₂

p

3

3

4

정답과 풀이 21쪽 y x O P 1 1 -1 -1 a b Q EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

삼각함수 ⑴

4. 탄젠트함수의 덧셈정리

⑴ tan (a+b)=

⑵ tan (a-b)=

사인함수와 코사인함수의 덧셈정리에 의하여

tan (a+b)= =

우변의 분자와 분모를 cos a cos b(cos a cos b+0)로 나누면

tan (a+b)= ∴ tan (a+b)= yy㉠

㉠은 임의의 a, b에 대하여 성립하므로 b 대신에 -b를 대입하면 tan (a-b)= tan a+tan (-b) =_{1+tan a tan b}tan a-tan b

1-tan a tan (-b)

tan a+tan b 1-tan a tan b sin a cos b+cos a sin b

cos a cos b-sin a sin b sin (a+b) cos (a+b)

tan a-tan b

1+tan a tan b

tan a+tan b

1-tan a tan b

5. 두 직선이 이루는 각의 크기

두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하고, 두 직선이

이루는 예각의 크기를 h라 하면

tan h=|tan (a-b)|=|

|=|

| (단, mm'+-1)

두 직선이 이루는 예각의 크기 h는 h=|a-b| 또는 h=p-|a-b|

⁄ a>b일 때, h=a-b 또는 h=p-(a-b)이므로 tan h=|tan (a-b)|

¤ a<b일 때, h=b-a 또는 h=p-(b-a)이므로 tan h=|tan (b-a)|=|tan (a-b)|

∴ tan h=|tan (a-b)|=| |=| |

m-m' 1+mm' tan a-tan b 1+tan a tan b y x O y=m'x+n' y=mx+n a bh y x O y=m'x+n' y=mx+n ah b y x O y=m'x+n' y=mx+n a b h y x O y=m'x+n' y=mx+n a b h

m-m'

1+mm'

tan a-tan b

1+tan a tan b

0

3

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ tan 75˘

⑵ tan 15˘

두 직선 y=-2x+3, y=3x가 이루는 예각의 크기를 h라 할 때, h의 값은?

①

②

③

④

⑤

5

p

12

p

3

p

4

p

6

p

12

5

6

정답과 풀이 21쪽 + 1-sin a sin b cos a cos b sin b cos b sin a cos a

03 삼각함수 ⑴

31

6. 삼각함수의 합성

⑴ a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin (h+a) {단, cos a=

, sin a=

}

a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ cos (h-b) {단, cos b=

, sin b=

_}

⑵ 삼각함수 a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin (h+a)의 최댓값은 "√a¤ +b¤ , 최솟값은 -"√a¤ +b¤ 이다.

삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 a sin h+b cos h(a+0, b+0)를 r sin(h+a) (r>0, 0…a<2p)의 꼴로 나타내어 보자.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 점 P(a, b)에 대하여 동경 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 a라 하면 OP”="√a¤ +b¤ 이므로

sin a= , cos a= 에서

a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ { sin h+ cos h} ="√a¤ +b¤ (cos a sin h+sin a cos h) ="√a¤ +b¤ sin(h+a)

한편, b= -a로 놓으면 sin b= , cos b= 이므로

a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ { sin h+ cos h} ="√a¤ +b¤ (sin b sin h+cos b cos h) ="√a¤ +b¤ cos (h-b) b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ p 2 b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤

a

"√a¤ +b¤

b

"√a¤ +b¤

b

"√a¤ +b¤

a

"√a¤ +b¤

www.ebsi.co.kr

다음 식을 r sin (h+a)의 꼴로 나타내시오. (단, r>0, 0…a<2p)

⑴ sin h+cos h

⑵ -sin h+'3 cos h

함수 f(x)='5 sin x-cos x의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M-m의 값은?

(단, M, m은 상수이다.)

① '6

② 2'6

③ 3'6

④ 4'6

⑤ 5'6

7

8

정답과 풀이 22`쪽 y x O b a a P(a, b) a™+b™ y x O b a b P(a, b) a™+b™ EBS 허락없이 전부 또는 일부를 무단으로 복사, 복제, 제본, 2차적 저작물 작성 등으로 이용하는 일체의 행위는 관련법에 따라 금지되어 있습니다.

(sin h+cos h)¤ =sin¤ h+2 sin h`cos h+cos¤ h에서 sin¤ h+cos¤ h=1이고, sinh`cos h= 이므로 (sin h+cos h)¤ =1+2¥ = 각 h는 제1사분면의 각이므로 sinh+cos h= ∴ cosec h+sec h= + = = =2'6 ⑤ '6 2 1 4 sin h+cos h sin h cos h 1 cos h 1 sin h '6 2 3 2 1 4 1 4 ⑴ cosec h+sec h= + ⑵ sin¤ h+cos¤ h=1 1 cos h 1 sin h

1

1

풀이 전략 풀이

삼각함수 사이의 관계

예제

제1사분면의 각 h에 대하여 sin h cos h=

일 때, cosec h+sec h의 값은?

① 2'2

② 2'3

③ 4

④ 2'5

⑤ 2'6

1

4

제1사분면의 각 h에 대하여 cosec h=3일 때,

+sec h의 값은?

①

② 1

③ '2

④ 2

⑤ 2'2

'2

2

1

cot h

1

sec¤ h+(sec¤ h-1) cosec¤ h=a+2 tan¤ h가 성립하도록 상수 a의 값을 정할 때, a의 값은?

①

② 1

③

④ 2

⑤

5

₂

3

2

1

2

2

정답과 풀이 22`쪽