| 통계적 추정
2 모평균의 추정
개념 확인 143쪽
1 3.28<m<6.72
1
표본의 크기 n=9, 표본평균 x”=5, 모표준편차 r=2이므로 모평 균 m의 신뢰도 99 %인 신뢰구간은5-2.58_ 2
'9<m<5+2.58_ 2 '9 5-1.72<m<5+1.72
4 3.28<m<6.72
개념 check
1-1 ⑴ 4, 4, 4, 4, 3.804, 4.196
⑵ 2.58, 2.58, 0.258, 0.258, 3.742, 4.258 2-1 ⑴ 1.96, 2, 3.92 ⑵ 2, 2, 5.16
'ß100<m<50+1.96_ 5 'ß100 50-0.98<m<50+0.98
4 49.02<m<50.98
⑵ 모평균 m의 신뢰도 99 %인 신뢰구간은 50-2.58_ 5
'ß100<m<50+2.58_ 5 'ß100
필수 유형 | 146쪽~149쪽 |
'ß64<m<150+2.58_ 4 'ß64
x”-1.96_ r'ßn <m<x”+1.96_ r'ßn 이때, 56.08<m<63.92이므로 x”-2.58_ r'ßn <m<x”+2.58_ r'ßn
60-2.58_2<m<60+2.58_2
'ß100<m<100+1.96_ 10 'ß100
'ß64<m<16+2.58_ 4 'ß64
x”-1.96_ 3'ßn=9.06, x”+1.96_ 3'ßn =14.94 따라서 1.96_ 3
'ßn <m<100+2.58_10 'ßn 이때, 97.42<m<102.58이므로
100-2.58_ 10
'ßn =97.42, 100+2.58_ 10
'ßn=102.58
표본의 크기 n=64, 모표준편차 r=40이므로 모평균 m을 신뢰도 99 %로 추정한 신뢰구간의 길이는
2_2.58_ 40
'ß64=25.8
04-2
1537|해결 전략| 정규분포 N(m, r€)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출할 때, 모평균 m을 신뢰도 95 %로 추정한 신뢰구간의 길이는 2_1.96 r'n 이다.
표본의 크기를 n이라 하면 모표준편차 r=10이고, 신뢰도 95 %로 모평균을 추정할 때 신뢰구간의 길이가 1 g 이하이어야 하므로 2_1.96_ 10
'ßn<1
'n>39.2 4 n>1536.64
이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 1537이다.
유형 드릴 | 150쪽~152쪽 |
3
STEP
1 -1
7|해결 전략| E(X)=E(X”)임을 이용하여 상수 a의 값을 구한 후, 모분산 V(X)를 구한다.
확률변수 X와 표본평균 X”에 대하여 E(X)=E(X”)=1
이므로
E(X)=(-4)_;4!;+(-2)_;4!;+2_;4!;+a_;4!;=1
;4A;-1=1 4 a=8
4 V(X)=(-4)€_;4!;+(-2)€_;4!;+2€_;4!;+8€_;4!;-1€=21 이때, 표본의 크기가 3이므로
V(X”)= 213 =7
1 -2
1|해결 전략| 확률의 총합이 1임을 이용하여 상수 a의 값을 구한 후, 모평균 E(X) 와 모분산 V(X)를 구한다.
확률의 총합은 1이므로
a+;8!;+;2!;+a+;8!;=1 4 a=;8!;
확률변수 X에 대하여
E(X)=(-4)_;8!;+(-2)_;8!;+0_;2!;+2_;8!;+4_;8!;=0
V(X)=(-4)€_;8!;+(-2)€_;8!;+0€_;2!;+2€_;8!;+4€_;8!;-0€
=5
이때, 표본의 크기가 5이므로 E(X”)=0, V(X”)=;5%;=1
따라서 V(X”)=E(X” €)-{E(X”)}€이므로 E(X” €)=V(X”)+{E(X”)}€=1+0€=1
2-1
a=14, V(X”)= 12625|해결 전략| 모집단의 확률분포를 표로 나타내고 E(X)=E(X”)임을 이용하여 a의 값을 구한 후, 모분산 V(X)를 구한다.
주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 2 a 합계
P(X=x) ;5@; ;5@; ;5!; 1
확률변수 X와 표본평균 X”에 대하여 E(X)=E(X”)=4
이므로
E(X)=1_;5@;+2_;5@;+a_;5!;=4 a+65 =4 4 a=14
4 V(X)=1€_;5@;+2€_;5@;+14€_;5!;-4€= 1265 이때, 표본의 크기가 5이므로
V(X”)=
1265 5 =126
25
2-2
a=5, r(X”)= 'ß105|해결 전략| 모집단의 확률분포를 표로 나타내고 E(X)=E(X”)임을 이용하여 a의 값을 구한 후, 모표준편차 r(X)를 구한다.
주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 2 a 합계
P(X=x) ;5!; ;5@; ;5@; 1
확률변수 X와 표본평균 X”에 대하여 E(X)=E(X”)=3
이므로
E(X)=1_;5!;+2_;5@;+a_;5@;=3 2a+55 =3 4 a=5
4 V(X)=1€_;5!;+2€_;5@;+5€_;5@;-3€=;;¡5¢;;
r(X)=æç;;¡5¢;;= 'ß705 이때, 표본의 크기가 7이므로
r(X”)=
'ß705
'7 = 'ß105
3 -1
⑤|해결 전략| 모집단이 정규분포 N(m, r€)을 따르고 표본의 크기가 n이면 표본 평균 X”는 정규분포 N {m, r€n } 을 따른다.
임의추출한 25개의 사과의 무게의 평균을 X”라 하면 모집단이 정규 분포 N(200, 25€)을 따르고 표본의 크기가 25이므로
E(X”)=200, r(X”)= 25 'ß25=5
따라서 표본평균 X”는 정규분포 N(200, 5€)을 따른다.
이때, Z= X”-2005 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(190<X”<210)=P { 190-2005 <X”-200
5 <210-200 5 } =P(-2<Z<2)
=P(-2<Z<0)+P(0<Z<2) =2P(0<Z<2)
=2_0.4772 =0.9544
3 -2
①|해결 전략| 모집단이 정규분포 N(m, r€)을 따르고 표본의 크기가 n이면 표본 평균 X”는 정규분포 N {m, r€n } 을 따른다.
임의추출한 100개의 제품의 무게의 평균을 X”라 하면 모집단이 정규 분포 N(24, 5€)을 따르고 표본의 크기가 100이므로
E(X”)=24, r(X”)= 5 'ß100=;2!;
따라서 표본평균 X”는 정규분포 N {24, {;2!;}€}을 따른다.
이때, Z= X”-24
;2! 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 을 따르므로
P(X”>25)=P
{
X”-2412
>25-24 12
}
=P(Z>2)
=P(Z>0)-P(0<Z<2) =0.5-0.4772
=0.0228
4 -1
100|해결 전략| 정규분포 N {m, r€n }을 따르는 표본평균 X”를 Z=X”-m 'nr
으로
표준화하여 주어진 확률을 Z에 대한 확률로 나타낸 후, 이를 만족시키는 n의 값 을 구한다.
모집단이 정규분포 N(3800, 200€)을 따르고 표본의 크기가 n이므로 표본평균 X”는 정규분포 N {3800, 200€n }을 따른다.
이때, Z= X”-3800200 'n
으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포
N(0, 1)을 따르므로
P(X”<3750)=P
{
X”-3800200'n
<3750-3800 200'n
}
=P {Z<- 'n4 }=P {Z>'n 4 } =0.5-P {0<Z< 'n4 } =0.0062
4 P {0<Z< 'n4 }=0.4938 이때, P(0<Z<2.5)=0.4938이므로
'n4 =2.5 4 n=100
4 -2
4|해결 전략| 정규분포 N {m, r€n }을 따르는 표본평균 X”를 Z=X”-m 'nr
으로
표준화하여 주어진 확률을 Z에 대한 확률로 나타낸 후, 이를 만족시키는 n의 값 을 구한다.
임의추출한 n명의 학생의 등교 시간의 평균을 X”라 하면 모집단이 정규분포 N(30, 10€)을 따르고 표본의 크기가 n이므로 표본평균 X”
는 정규분포 N {30, 10€n } 을 따른다.
이때, Z= X”-3010 'n
으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포
N(0, 1)을 따르므로 P(X”>40)=P
{
X”-3010'n
'ß100<m<46+1.96_ 1 'ß100
'4<m<42+2.58_ 1 '4
'ß36<m<4+2.58_ 3 'ß36
'ß36<m<100+2.58_ 6 'ß36
'n<m<20+1.96_ 4 'n 이때, 18.88<m<21.12이므로
20-1.96_ 4
'n=18.88, 20+1.96_ 4
'n=21.12
표본평균 x”=64, 모표준편차 r='ß10 이므로 모평균 m의 신뢰도 99 %인 신뢰구간은
64-2.58_ 'ß10
'n <m<64+2.58_ 'ß10 'n 이때, 62.71<m<65.29이므로
64-2.58_ 'ß10
'n =62.71, 64+2.58_ 'ß10 'n =65.29 따라서 2.58_ 'ß10
'n =1.29이므로 'n=2'ß10 4 n=40
8 -1
19.6|해결 전략| 정규분포 N(m, r€)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출할 때, 모평균 m을 신뢰도 95 %로 추정한 신뢰구간의 길이는 2_1.96 r'n 이다.
표본의 크기 n=400, 모표준편차 r=100이므로 모평균 m을 신뢰 도 95 %로 추정한 신뢰구간의 길이는
2_1.96_ 100 'ß400=19.6
8 -2
385|해결 전략| 정규분포 N(m, r€)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 모평균 m을 신뢰도 95 %로 추정한 신뢰구간이 a<m<b일 때, b-a 의 값은 2_1.96 r'n이다.
표본의 크기를 n이라 하면 모표준편차 r=0.5이고, 모평균 m의 신 뢰도 95 %인 신뢰구간 a<m<b에 대하여 b-a<0.1이므로 2_1.96_ 0.5
'n<0.1 'n >19.6 4 n>384.16
이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 385이다.