다층 퍼셉트론을 학습시키기 위해 카고메 격자위에서의
이징 모형의 데이 터를 메트로폴리스 전이확률을 이용하여
에서
까지 0.1도의 온도 간격으 로 각 온도마다 약 10만개씩 준비하고자 한다. 구체적으로 메트로폴리스 전이 확률 (Metropois Transition Rate)
→ min
∆
을 가지고 몬테칼로 전 산시늉을 수행하여 데이터를 생성한다.[9]시간의 변화에 대하여 상태
에 있을 확률은
는 다음과 같이 준다.
≠ →→,여기서
는 시간이
일 때
상태에 있을 확률이고, → 는 전이 확률로서
상태에서
상태로 전이할 확률을 의미한다. 평형시스템(equilibrium system)이 열역 학적 평형이 이루어 졌을 때에는 시간의 변화에 대하여
는
이므로, 세부균형 (detailed balance condtion)은 만족하는 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.→→
결국 상태에서 상태로 가는 전이 확률을 →과 →의 비는
→
→
로 적을 수 있다. 평형 상태 에 있을 볼츠만 요소(Boltzmann factor) 이므로, 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
→
→
∆
여기서, 에너지 차 ∆ 이다. 전이 확률은 유일한 것이 아니므로,
→ min ∆ 로 표현되며 위 식에서 exp함수가 전이확률을 결정지음을 보여준다. 이때 상태에서 상태로 전이될 확률의 최솟값을 0, 최댓값을 1,
∏→ 로 정의하여 시뮬레이션을 진행하면 확률 → 메트로폴리스 전이확률 이라 고 부른다. 이를 세부적으로 나누어 확인하면
→
exp ifif ≤
로 표현 가능하며 이는 두 상태의 에너지 차에 의해서 전이 확률이 결정되며 결과적으 로는 에너지가 최소화 되는 방향으로서의 전이 현상이 활발하게 이루어짐을 보여주고 있으며, 여기서 이다.
본 논문에서는 2차원 카고메 격자위에서의 이징모형의 질서적인 상태를 나타내는 데 이터와 무질서적인 상태를 나타내는 데이터를 이용하여 학습 시킨 다층 퍼셉트론을 이 용하여 매트로 폴리스 알고리즘을 이용하여 온도별로 생성한 이징모형 데이터의 임계 온도 를 구하는 것이 목적으로 이를 위하여 간단히 질서적인 상태와 무질서적인 상 태가 구분 가능한 그리고 ∞ 상태의 데이터를 학습 데이터로 사용하며, 분류 데이터로는 각 온도에서, 2차원 카고메 격자위의 이징모형 데이터를 선택하고자 하므로 케노니컬 시뮬레이션에서의 온도 값은 고정되며 지금 상태와 나중 상태의 에너 지 차이가 온도와 경쟁을 하여 전이를 결정짓는다. 이때 역 온도
의 함수로
전이 확률데이터를 그려보면 그림 17 과 같은 그림이 그려진다. 이는 인 상태 에서는 나중 상태의 에너지가 지금 상태의 에너지보다 큰 방향으로는 전이가 일어나지 않음을 보여주며 그림 17에서 보이는 바와 같이 ∞ 인 상태에서는 어떠한 나중 상태도 모두 의 전이확률을 보여주며 ∞ 의 상태에서는 지금 상태의 에너
지보다 나중 상태의 에너지가 큰 전이는 exp함수의 크기에 따라 전이 확률이 정해짐 을 볼 수 있으며 에서는 ∆ ≥ 에서는 전이 확률이 0임을 볼 수 있다.
그림 18 메트로폴리스 전이확률의 온도에 따른 그래프 개형