01
세 학생 A, B, C의 몸무게를 각각 a kg, b kg, c kg이라 하면 a+b
2 =61에서 a+b=122 …… ㉠ b+c
2 =66에서 b+c=132 …… ㉡ a+c
2 =68에서 a+c=136 …… ㉢
㉠+㉡+㉢을 하면
2(a+b+c)=122+132+136=390
∴ a+b+c=195
따라서 세 학생 A, B, C의 몸무게의 평균은 a+b+c
3 =195
3 =65 (kg) 답 65 kg
02
(3x¡+1)+(3x™+1)+(3x£+1)+(3x¢+1)+(3x+1)
5 =16
에서 3(x¡+x™+x£+x¢+x)+5=80
∴ x¡+x™+x£+x¢+x=25 따라서 x¡, x™, x£, x¢, x의 평균은
x¡+x™+x£+x¢+x
5 =25
5 =5 답 5
다른 풀이
x¡, x™, x£, x¢, x의 평균을 m이라 하면
3x¡+1, 3x™+1, 3x£+1, 3x¢+1, 3x+1의 평균은 3m+1 즉, 3m+1=16이므로 m=5
따라서 x¡, x™, x£, x¢, x의 평균은 5이다.
03
(평균)=9+14+8+16+8+14+14+13
8 =96
8 =12 (회) 이므로 a=12
01 65 kg 02 5 03 25 04 51 05 ④ 06 ⑤ 07 5회 08 ③, ⑤ 09 ③ 10 6
11 평균 : 70점, 분산 : 12 12 'å9.9점
13 평균 : 35, 표준편차 : 6 14 ③ 15 ③, ④ 16 a=b<c 17 ㄱ, ㄷ 18 A, B, C
68쪽~70쪽 LEVEL
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 8, 8, 9, 13, 14, 14, 14, 16이므로
(중앙값)=13+14
2 =13.5 (회) ∴ b=13.5 최빈값은 14회이므로 c=14
∴ a+2b-c=12+2_13.5-14=12+27-14=25 답 25
04
x를 제외한 4개의 변량이 모두 다르므로 최빈값은 x Z/m‹이다.
(평균)=57+47+51+49+x
5 =x이므로
204+x=5x, 4x=204 ∴ x=51 답 51
05
주어진 자료를 크기순으로 나열할 때 중앙에 위치하는 값, 즉 10번 째 값은 (10+y)이므로 중앙값은 (10+y)회
이때 x<y이고, 최빈값은 한 개이므로 최빈값은 13회이고, x=3 중앙값이 최빈값보다 3회만큼 크므로
10+y=13+3 ∴ y=6
∴ x+y=3+6=9 답 ④
ⴏㅃ㱐ᘀ 줄기와 잎 그림
자료의 값을 큰 자리의 수와 작은 자리의 수로 구분하여 세로선의 왼쪽에는 큰 자리의 수(줄기)를, 세로선의 오른쪽에는 작은 자리의 수(잎)를 기록하여 나 타낸 그림
06
(평균)=87+94+80+88+95+78
6 =522
6 =87 (점) 즉, 각 변량의 편차 (점)는
87-87=0, 94-87=7, 80-87=-7, 88-87=1, 95-87=8, 78-87=-9
따라서 편차가 될 수 없는 것은 ⑤이다. 답 ⑤
07
편차의 합은 0이므로
3+2+x+1+0+(-4)+(-1)=0 ∴ x=-1 이때 (편차)=(변량)-(평균)에서
(변량)=(편차)+(평균)이므로
학생 C의 자유투 성공 횟수는 -1+6=5 (회) 답 5회
III. 통계
ⴏㅃ』᳠㻓㻯㱐ᘀ (편차)=(변량)-(평균)에서
(변량)=(편차)+(평균), (평균)=(변량)-(편차)
즉, 변량, 평균, 편차 사이의 관계를 이용하여 문제에서 요구하는 값을 구한다.
08
편차의 합은 0이므로
-3+x+2+(-1)+(-7)+4=0 ∴ x=5
① (독서 시간)=(편차)+(평균)이므로 독서 시간이 가장 긴 학 생은 B이다.
② 평균보다 독서 시간이 긴 학생은 편차의 값이 양수인 B, C, F의 3명이다.
③ 독서 시간이 평균에 가장 가까운 학생은 편차의 절댓값이 가장 작은 D이다.
④ 독서 시간이 평균과 가장 많이 차이나는 학생은 편차의 절댓값 이 가장 큰 E이다.
⑤ (학생 A의 독서 시간)=-3+(평균), (학생 F의 독서 시간)=4+(평균)
이므로 학생 F의 독서 시간이 학생 A의 독서 시간보다 7시간 더 많다.
따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다. 답 ③, ⑤
09
잘못 보고 구한 평균이 94점이므로 이때의 점수의 총합은 94_10=940 (점)
또, 편차의 총합은 항상 0인데, -2점이 되었으므로 바르게 구한 점수의 총합은 940+2=942 (점)
따라서 바르게 구한 평균은 :ª1¢0™:=94.2 (점) 답 ③
10
평균이 12이므로 7+x+15+16+13
5 =12, x+51=60 ∴ x=9 (분산)
=(7-12)€+(9-12)€+(15-12)€+(16-12)€+(13-12)€
5
=25+9+9+16+1 5
=:§5º:=12 이므로 y=12
∴ 2x-y=2_9-12=6 답 6
11
6명의 학생을 성적이 70점인 한 학생과 나머지 5명의 학생으로 나 누어 보자.
(6명의 평균)=70+(5명의 점수의 합)
6 =70 (점)
∴ (5명의 점수의 합)=350 (점) …… ㉠ (6명의 분산)=(70-70)€+{5명의 (편차)€의 합}
6 =10
{5명의 (편차)€의 합}=60 …… ㉡ 따라서 나머지 5명의 성적의 평균과 분산은 (평균)=㉠
5 =350
5 =70 (점) (분산)=㉡
5 =60 5 =12
답 평균 : 70점, 분산 : 12
12
편차의 합은 0이므로
a_1+(-4)_2+(-1)_8+2_4+3_4+5_1=0 a-8-8+8+12+5=0
∴ a=-9 (분산)
=(-9)€_1+(-4)€_2+(-1)€_8+2€_4+3€_4+5€_1 20
=81+32+8+16+36+25 20
=198 20 =9.9
∴ (표준편차)='ß9.9 (점) 답 'ß9.9 점 ⴏㅃ』᳠㻓㻯㱐ᘀ
모든 편차의 합이 0이므로 각 편차에서 (편차)_(학생 수)의 총합이 0임에 주 의한다.
또한, 분산을 구할 때도 (편차)€_(학생 수)의 총합을 전체 학생 수로 나누어 서 구해야 한다.
13
네 수 a, b, c, d의 평균이 16, 분산이 9이므로 a+b+c+d
4 =16
(a-16)€+(b-16)€+(c-16)€+(d-16)€
4 =9
따라서 네 수 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3에서 (평균)=(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)
4
=2_a+b+c+d
4 +3
=2_16+3=35
(분산)
=(2a+3-35)€+(2b+3-35)€+(2c+3-35)€+(2d+3-35)€
4
=4_(a-16)€+(b-16)€+(c-16)€+(d-16)€
4
=4_9=36
∴ (표준편차)='ß36=6 답 평균 : 35, 표준편차 : 6
다른 풀이
네 수 a, b, c, d의 평균이 16, 표준편차가 '9=3이므로 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3에서
(평균)=2_16+3=35 (표준편차)=2_3=6
14
n명의 학생들의 영어 성적의 평균이 m점, 분산이 s€이므로 점수를 3점씩 올려 준 후의 영어 성적의 평균은 (m+3)점, 분산은 s€이다.
답 ③
다른 풀이
n개의 변량을 x¡, x™, 7, xn이라 하자.
평균이 m점이므로 x¡+x™+7+xn
n =m (점)
분산이 s€이므로
(x¡-m)€+(x™-m)€+7+(xn-m)€
n =s€
n명의 학생들의 점수를 각각 3점씩 올려준 후의 평균은 (x¡+3)+(x™+3)+7+(xn+3)
n
=x¡+x™+7+xn
n +3
=m+3 (점) 분산은
{(x¡+3)-(m+3)}€+{(x™+3)-(m+3)}€+7+{(xn+3)-(m+3)}€
n
=(x¡-m)€+(x™-m)€+7+(xn-m)€
n
=s€
15
① 편차의 합은 항상 0이다.
② 성적이 가장 우수한 반은 평균이 가장 높은 A반이다.
③ 성적이 가장 높은 학생이 있는 반은 알 수 없다.
④ 성적이 가장 고른 반은 표준편차가 가장 작은 C반이다.
⑤ B반과 C반의 평균은 64점으로 같으나, C반의 표준편차가 더 작 으므로 C반의 성적이 B반의 성적에 비해 평균 주위에 모여 있다.
따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다. 답 ③, ④
16
두 자료 A와 B는 연속하는 100개의 자연수이므로 평균은 다르지 만 자료의 분포 상태가 같다. 즉, 표준편차가 같다.
자료 C는 변량의 개수가 100으로 A, B와 같지만 변량 사이의 간 격이 2씩이므로 A, B보다 자료의 분포 상태가 더 흩어져 있다. 즉, A, B보다 표준편차가 크다.
∴ a=b<c 답 a=b<c
다른 풀이
자료 B는 자료 A의 각 변량에 100을 더한 것이므로 자료 A와 자료 B의 표준편차는 같다. ∴ a=b 자료 C는 자료 A의 각 변량에 2를 곱한 것이므로 자료 C의 표준편차는 자료 A의 표준편차의 2배이다.
∴ c=2a
이때 a>0이므로 a=b<c
17
편차의 합은 0이므로 -1+3+2+x+(-4)=0
∴ x=0
ㄱ. 편차가 0이므로 학생 D의 맥박 수는 평균과 같다.
ㄴ. (학생 A의 맥박 수)=-1+(평균) (학생 C의 맥박 수)=2+(평균)
이므로 두 학생의 맥박 수의 차는 3회이다.
ㄷ. (분산)= (-1)€+3€+2€+0€+(-4)€
5 =:£5º:=6
ㄹ. (표준편차)="ƒ(분산)='6 (회)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ
18
세 선수의 막대 그래프에서 평균은 가운데 막대 그래프의 점수인 8 점으로 모두 같다.
이때 점수가 평균 주위에 모여 있을수록 표준편차가 작고, 점수가 평균으로부터 멀리 흩어져 있을수록 표준편차가 크므로 표준편차 가 가장 작은 선수는 A이고, 표준편차가 가장 큰 선수는 C이다.
따라서 표준편차가 작은 선수부터 차례로 나열하면 A, B, C이다.
답 A, B, C
다른 풀이
1 선수 A에서
(평균)=7_3+8_4+9_3
10 =;1*0);=8 (점)
01 ④ 02 2개 03 풀이 참조 04 11.5 05 2 06 ㄱ, ㄷ 07 x6 08 3개 09 3개 10 63, 98 11 182 12 66 kg 13 ③, ④ 14 'ß13.15 점 15 74 16 6 17 'ß70 개 18 ㄷ, ㄹ, ㅁ 19 17'3
18 cm€
20 ⑤ 21 ④, ⑤
71쪽~76쪽 LEVEL
01
[ 전략 ] 남학생 수와 여학생 수를 각각 미지수로 놓고 남학생 점수의 총합과 여학생 점수의 총합을 구해 본다.
남학생 수를 x, 여학생 수를 y라 하면 (남학생 점수의 총합)=77x (점), (여학생 점수의 총합)=73.5y (점) 이므로 남학생과 여학생 전체의 평균 점수는
77x+73.5y
x+y =75 (점)
77x+73.5y=75x+75y, 2x=1.5y ∴ x : y=3 : 4 따라서 남학생 수와 여학생 수의 비는 3 : 4이다. 답 ④
(분산)=(-1)€_3+0€_4+1€_3 10
=;1§0;=0.6
∴ (표준편차)='å0.6 (점) 2 선수 B에서
(평균)=6_2+7_2+8_2+9_2+10_2
10 =;1*0);=8 (점) (분산)=(-2)€_2+(-1)€_2+0€_2+1€_2+2€_2
10
=;1@0);=2
∴ (표준편차)='2 (점) 3 선수 C에서
(평균)=6_3+7_1+8_2+9_1+10_3 10
=;1*0);=8 (점)
(분산)=(-2)€_3+(-1)€_1+0€_2+1€_1+2€_3 10
=;1@0^;=2.6
∴ (표준편차)='ß2.6 (점)
1~3에서 표준편차가 작은 선수부터 차례로 나열하면 A, B, C 이다.
02
[ 전략 ] 평균, 중앙값, 최빈값이 각각 어떤 자료의 대푯값으로 적절한지 생각한다.
ㄱ, ㅂ. 최빈값은 변량의 개수가 많거나 혈액형 조사, 옷의 치수 등 과 같이 변량이 중복되어 나타나는 자료의 대푯값으로 주로 이용된다.
ㄴ. 경우에 따라 대푯값은 숫자가 아닐 수 있으며, 숫자로 나타나지 않는 자료의 대푯값은 최빈값을 이용한다.
ㄹ. 대푯값으로 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있고, 대푯값으로 자료 전체의 중심적인 경향이나 특징을 알 수 있다.
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㅁ의 2개이다. 답 2개
03
[ 전략 ] 각 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 구하여 대푯값으로 적절한 것을 찾는다.
1 수학 점수에서
(평균)=;1¡0;(90+80+75+65+70+85+60+60+85+70)
=:¶1¢0º:=74 (점)
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 60, 60, 65, 70, 70, 75, 80, 85, 85, 90이므로
(중앙값)=70+75
2 =72.5 (점) 최빈값은 60점, 70점, 85점
이때 수학 점수는 극단적인 값이 없으므로 대푯값으로 가장 적 절한 것은 평균이다.
2 신발의 치수에서
(평균)=;1¡0;(250+255+255+235+255+245
+265+255+255+275)
=2545
10 =254.5 (mm)
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
235, 245, 250, 255, 255, 255, 255, 255, 265, 275이므로 (중앙값)=255+255
2 =255 (mm) 최빈값은 255 mm
이때 신발의 치수는 같은 변량인 255 mm가 중복되어 나타나 므로 대푯값으로 가장 적절한 것은 최빈값이다.
3 이웃 돕기 성금에서
(평균)=;1¡0;(3000+2000+3000+50000+1000+4500 +2500+3500+2500+1500)
=73500
10 =7350 (원)
4 p=4일 때
q=1, 2, 3, 4이므로 두 수의 차는 각각 3, 2, 1, 0
1~4에서 두 수의 차를 변량으로 하는 자료를 작은 값부터 크기 순으로 나열하면
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3이므로 (중앙값)=1+1
2 =1 ∴ a=1
최빈값은 1이므로 b=1 ∴ a+b=1+1=2 답 2
참고 두 수의 차를 변량으로 하는 자료를 다음과 같이 구할 수도 있다.
p, q의 순서쌍 (p, q)에 대하여
1 두 수의 차가 0인 경우 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)
2 두 수의 차가 1인 경우 : (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3) 3 두 수의 차가 2인 경우 : (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2)
4 두 수의 차가 3인 경우 : (1, 4), (4, 1)
1~4에서 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3
경우의 수
사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n이면
(두 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수)=m_n ⴏㅃ⛠㼀ᘇᬻ㱐ᘀ
06
[ 전략 ] 85호, 90호, 95호, 100호의 각 변량의 개수로 가능한 경우를 모두 생각한다.
10명의 학생의 티셔츠 치수로 85호, 90호, 95호, 100호의 네 종류 가 나왔고, 95호를 입는 학생이 5명이므로
85호, 90호, 95호, 100호의 변량의 개수의 순서쌍으로 가능한 경 우는 다음과 같이 6가지이다.
(3, 1, 5, 1), (1, 3, 5, 1), (1, 1, 5, 3), (1, 2, 5, 2), (2, 1, 5, 2), (2, 2, 5, 1)
ㄱ. 티셔츠 치수의 평균이 최대가 되는 경우는 위의 순서쌍 중 (1, 1, 5, 3)이므로
(평균)=85_1+90_1+95_5+100_3 10
=:ª1y0º:=95 (호)
ㄴ. 위의 순서쌍 중 (1, 2, 5, 2)인 경우는 (평균)=85_1+90_2+95_5+100_2
10
=:ª1¢0º:=94 (호)
이므로 평균이 항상 5의 배수인 것은 아니다.
ㄷ. 어떠한 경우에도 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 5번째 변량과 6번째 변량은 95호이므로 중앙값은 항상 95 호이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1000, 1500, 2000, 2500, 2500, 3000, 3000, 3500, 4500, 50000이므로
(중앙값)=2500+3000
2 =2750 (원) 최빈값은 2500원, 3000원
이때 이웃 돕기 성금은 극단적인 값인 50000원이 있으므로 대 푯값으로 가장 적절한 것은 중앙값이다. 답 풀이 참조
04
[ 전략 ] 최빈값이 15이므로 주어진 변량 중 적어도 3개는 15이어야 한다.
평균이 11이므로
7+a+15+9+14+b+16+4+c+9
10 =11
a+b+c+74=110 ∴ a+b+c=36 …… ㉠ a, b, c를 제외한 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 4, 7, 9, 9, 14, 15, 16
이때 최빈값이 15이므로 a, b, c 중 적어도 2개는 15이다.
1 a=b=c=15이면
a+b+c=45이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.
2 a, b, c 중 2개만 15이면
㉠에 의해 나머지 1개는 6
1, 2에서 주어진 자료는 4, 6, 7, 9, 9, 14, 15, 15, 15, 16이므로 구하는 중앙값은 9+14
2 =11.5 답 11.5
05
[ 전략 ] 주사위를 두 번 던져 나올 수 있는 모든 경우에 대하여 두 수의 차를 각각 구 해 본다.
주사위를 차례로 두 번 던졌을 때, 첫 번째 나오는 수를 p, 두 번째 나오는 수를 q라 하자.
모든 경우의 수는 4_4=16 1 p=1일 때
q=1, 2, 3, 4이므로 두 수의 차는 각각 0, 1, 2, 3 2 p=2일 때
q=1, 2, 3, 4이므로 두 수의 차는 각각 1, 0, 1, 2 3 p=3일 때
q=1, 2, 3, 4이므로 두 수의 차는 각각 2, 1, 0, 1
07
[ 전략 ] x의 값에 따른 주어진 세 자료의 중앙값을 각각 구해 본다.
주어진 세 자료에서 x를 제외한 나머지 변량을 작은 값부터 크기순 으로 나열하면
4, 6, 7, 9 중앙값은 a 3, 6, 8, 10 중앙값은 b 3, 5, 9, 10 중앙값은 c 1 x=1, 2, 3, 4, 5이면
a=6, b=6, c=5이므로 a<b<c가 성립하지 않는다.
2 x=6이면
a=6, b=6, c=6 이므로 abc가 성립한다.
3 x=7이면
a=7, b=7, c=7이므로 abc가 성립한다.
4 x=8이면
a=7, b=8, c=8이므로 abc가 성립한다.
5 x=9, 10, … 이면
a=7, b=8, c=9이므로 abc가 성립한다.
1~5에서 주어진 조건을 만족시키는 x의 값의 범위는 x>6
답 x>6 ⴏㅃ⎷ㇻ㱐ᘀ
세 자료 모두 변량이 각각 5개이므로 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였 을 때 세 번째 값이 중앙값이다.
이때 x를 제외한 첫 번째 자료의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때 첫 번째와 두 번째 변량은 4, 6, 두 번째 자료에서는 3, 6, 세 번째 자료에서 는 3, 5이므로 x<5일 경우에만 세 자료의 중앙값이 각각 6, 6, 5로 주어진 조 건을 만족시키지 않는다.
08
[ 전략 ] 민영이의 점수에서 가능한 x의 값을 모두 구해 본다.
민영이의 점수에서 x를 제외한 나머지를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 6, 7
이때 민영이의 점수의 중앙값이 x점이므로 x=5 또는 x=6 1 x=5일 때
민영이와 환희의 점수를 섞은 전체에서 y를 제외한 나머지를 작 은 값부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8이고 이때의 중앙값이 5.5점이려면 y=6 또는 y=7 또는 y=8이어
야 한다.
2 x=6일 때
민영이와 환희의 점수를 섞은 전체에서 y를 제외한 나머지를 작 은 값부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8이고 이때의 중앙값은 y의 값에 관계없이 항상 6점이므로 주어진 조
건을 만족시키지 않는다.
건을 만족시키지 않는다.