이차함수의 식을 y=ax2+bx+c로 놓고 x=0, y=1을 대입하면 c=1
즉, y=axÛ`+bx+1
x=-1, y=4를 대입하면 a-b=3 y ㉠ x=1, y=2를 대입하면 a+b=1 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2x2-x+1이다.
058
답 y=;2!;xÛ`-;2#;x-2이차함수의 식을 y=ax2+bx+c로 놓고 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 x=0, y=-2를 대입하면 c=-2 즉, y=axÛ`+bx-2
그래프가 두 점 (4, 0), (-2, 3)을 지나므로 x=4, y=0을 대입하면 16a+4b=2 y ㉠ x=-2, y=3을 대입하면 4a-2b=5 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b=-;2#;
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=;2!;x2-;2#;x-2이다.
060
답 y=-;3%;xÛ`-:ª3¼:x-4 이차함수의 식을 y=ax2+bx+c로 놓고 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로 x=0, y=-4를 대입하면 c=-4 즉, y=axÛ`+bx-4그래프가 두 점 (-3, 1), (-1, 1)을 지나므로 x=-3, y=1을 대입하면 9a-3b=5 y ㉠ x=-1, y=1을 대입하면 a-b=5 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;3%;, b=-:ª3¼:
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-;3%;x2-:ª3¼:x-4이다.
059
답 y=;2!;xÛ`+x-3이차함수의 식을 y=ax2+bx+c로 놓고 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 x=0, y=-3을 대입하면 c=-3 즉, y=axÛ`+bx-3
그래프가 두 점 (-2, -3), (2, 1)을 지나므로 x=-2, y=-3을 대입하면 4a-2b=0 y ㉠ x=2, y=1을 대입하면 4a+2b=4 y ㉡
2
y =xÛ`-4x+9=(xÛ`-4x+4-4)+9
=(xÛ`-4x+4)-4+9
=(x-2)Û`+5
이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, 5), 축의 방정식은 x=2이다.
따라서 a=2, b=5, c=2이므로 ab+c=2_5+2=12
3
① y =xÛ`+3x-;4&;={xÛ`+3x+;4(;-;4(;}-;4&;
={x+;2#;}Û`-4
이므로 꼭짓점의 좌표는 {- 32, -4} 제3사분면
1
y =2xÛ`+28x+82=2(xÛ`+14x+49-49)+82
=2(xÛ`+14x+49)-98+82
=2(x+7)Û`-16
따라서 a=2, p=-7, q=-16이므로 a+p+q=2-7-16=-21
1-21 212 3⑤ 4④ 5ㄱ, ㄷ 6-;2!; 7① 88 9y=;2!;(x-4)Û`-6 10 (0, -4) 11 y=-;4!;xÛ`-;2#;x+4 12 8 13 :Á4Á:
135~136쪽
하기
필수 문제로
마무리
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b=1
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=;2!;x2+x-3이다.
8. 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프
61
4
y =-;2!;xÛ`-2x-1=-;2!;(xÛ`+4x+4-4)-1
=-;2!;(xÛ`+4x+4)+2-1
=-;2!;(x+2)Û`+1
이므로 그래프의 모양은 위로 볼록하고 꼭짓점의 좌표는 (-2, 1), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -1)이다.
따라서 이차함수 y=-;2!;xÛ`-2x-1의 그래프는 ④이다.
6
y=2xÛ`+x-3에 y=0을 대입하면 2xÛ`+x-3=0, (2x+3)(x-1)=0∴ x=-3
2 또는 x=1
이때 a>b이므로 a=1, b=-3 2 y=2xÛ`+x-3에 x=0을 대입하면 y=-3 ∴ c=-3
∴ a-b+c=1-{- 32 }+(-3)=-1 2
7
그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0그래프의 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b의 부호는 a의 부호와 같다.
∴ b>0
그래프가 y축과 만나는 점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
5
y =2xÛ`-3x+;8!;=2{xÛ`-;2#;x+;1»6;-;1»6;}+;8!;
=2{xÛ`-;2#;x+;1»6;}-;8(;+;8!;
=2{x-;4#;}Û`-1
ㄱ. x2의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
ㄴ. 축의 방정식이 x=3
4이므로 직선 x=3
4에 대칭이다.
ㄷ. 꼭짓점의 좌표는 { 34, -1}이다.
8
꼭짓점의 좌표가 (5, 4)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-5)Û`+4로 놓고 x=10, y=9를 대입하면 9=a(10-5)Û`+4 9=25a+4 ∴ a=15 즉, y =1
5(x-5)Û`+4
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=1
5xÛ`-2x+9이므로 a=1
5, b=-2, c=9
∴ 5a+b+c=5_1
5+(-2)+9=8
9
꼭짓점의 좌표가 (4, -6)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-4)Û`-6으로 놓고그래프가 점 (6, -4)를 지나므로 x=6, y=-4를 대입하면 -4=a(6-4)Û`-6, -4=4a-6 ∴ a=1
2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=1
2(x-4)Û`-6이다.
10
축의 방정식이 x=3이므로 이차함수의 식을 y=a(x-3)Û`+q로 놓고 x=-3, y=5를 대입하면 36a+q=5 y ㉠ x=6, y=-4를 대입하면 9a+q=-4 y ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1
3, q=-7 즉, y =1
3(x-3)Û`-7=1
3xÛ`-2x-4
따라서 이 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -4)이다.
② y =xÛ`-2x-8
=(xÛ`-2x+1-1)-8
=(x-1)Û`-9
이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, -9) 제4사분면
③ y =9xÛ`+6x-5
=9{xÛ`+;3@;x+;9!;-;9!;}-5
=9{xÛ`+;3@;x+;9!;}-1-5
=9{x+;3!;}Û`-6
이므로 꼭짓점의 좌표는 {- 13, -6} 제3사분면
④ y =-4xÛ`+8x+1
=-4(xÛ`-2x+1-1)+1
=-4(xÛ`-2x+1)+4+1
=-4(x-1)Û`+5
이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 5) 제1사분면
⑤ y =-;2!;xÛ`-4x-7
=-;2!;(xÛ`+8x+16-16)-7
=-;2!;(xÛ`+8x+16)+8-7
=-;2!;(x+4)Û`+1
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-4, 1) 제2사분면 따라서 꼭짓점이 제2사분면 위에 있는 것은 ⑤이다.
ㄹ. y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3
4만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
11
축의 방정식이 x=-3이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)Û`+q로 놓고 그래프가 두 점 (-8, 0), (0, 4)를 지나므로 x=-8, y=0을 대입하면 25a+q=0 y ㉠ x=0, y=4를 대입하면 9a+q=4 y ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1
4, q=25 4 즉, y=-1
4(x+3)Û`+25 4
따라서 구하는 이차함수의 식은 y =-1 4xÛ`-3
2x+4이다.
12
y=ax2+bx+c에 x=0, y=5를 대입하면 c=5 즉, y=axÛ`+bx+5x=-1, y=0을 대입하면 a-b=-5 y ㉠ x=2, y=9를 대입하면 4a+2b=4 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4
∴ a+b+c=-1+4+5=8
13
이차함수의 식을 y=axÛ`+bx+c로 놓고그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 x=0, y=4를 대입하면 c=4 즉, y=axÛ`+bx+4
그래프가 두 점 (6, -2), (10, 4)를 지나므로 x=6, y=-2를 대입하면 36a+6b=-6 y ㉠ x=10, y=4를 대입하면 100a+10b=0 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1
4, b=-5 2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y =1
4xÛ`-5 2x+4
=1
4(xÛ`-10x+25-25)+4
=1
4(xÛ`-10x+25)-25 4 +4
=1
4(x-5)Û`-9 4
이므로 꼭짓점의 좌표는 {5, - 94 }이다.
∴ p=5, q=-9 4
∴ p+q=5-9 4=11
4
8. 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프