284
주어진 수열은 첫째항이 -8, 제 n+2 항이 30인 등차 수열이므로
-8+{(n+2)-1}_2=30 2n=36 ∴ n=18
답 18
285
나머지정리에 의하여 f(x)=xÛ`+ax+2를 x+1, x-1, x-2로 나눈 나머지는 각각
f(-1)=3-a, f(1)=3+a, f(2)=6+2a
세 수 f(-1), f(1), f(2)가 이 순서대로 등차수열을 ∴ d=3
⑵ 첫째항 a=3, 공차를 d라 하면 a°=a+4d=3+4d=-5 ∴ d=-2
답 ⑴ 3 ⑵ -2
279
⑴ aÇ=3n-5에서
첫째항은 aÁ=3´1-5=-2 aª=3´2-5=1이므로 공차는 aª-aÁ=1-(-2)=3
⑵ aÇ=-7n+9에서 첫째항은 aÁ=-7´1+9=2
aª=-7´2+9=-5이므로 공차는 aª-aÁ=-5-2=-7
답 ⑴ 첫째항：-2, 공차：3
⑵ 첫째항：2, 공차：-7
280
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¤+aÁ°=(a+5d)+(a+14d)=61
∴ 2a+19d=61 yy ㉠
a¥+aÁ¤=(a+7d)+(a+15d)=70
∴ a+11d=35 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=3
∴ a£Á=a+30d=2+30´3=92
답 92
281
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 제 2 항이 3이므로 aª=a+d=3 yy ㉠ 제 7 항이 13이므로 a¦=a+6d=13 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, d=2
∴ aÇ=1+(n-1)´2=2n-1 199를 제 n 항이라 하면 2n-1=199 ∴ n=100
aÁ¼=10 11
답 ⑴
;5#; ⑵ 10 11
288
15 , x, y, z, ;5!;이 이 순서대로 조화수열을 이루므로 1
각 항의 역수 15, 1 x , 1
y , 1
z , 5는 이 순서대로 등차수 열을 이룬다. 공차를 d라 하면
5=15+4d ∴ d=- 52
∴ 1
x =15-;2%;=25 2 , 1y =25
2 -;2%;=10, 1z =10-;2%;=15
2
∴ 1 x +1
y +1 z =30
답 30
289
등차수열의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면
⑴ Sª¼=20(2+18) 2 =200
⑵ S¥=8(-2+15)
2 =52
⑶ SÁ¼= 10{2´1+(10-1)´2}
2 =100
⑷ SÁ°=15{2´(-3)+(15-1)´(-5)}
2 =-570
⑸ SÁÁ=
11[2´;2!;+(11-1)´{-;2#;}]
2 =-77
⑹ 끝항 20을 제 n 항이라 하면 -10+2(n-1)=20 ∴ n=16 ∴ SÁ¤=16(-10+20)
2 =80
답 ⑴ 200 ⑵ 52 ⑶ 100 ⑷ -570 ⑸ -77 ⑹ 80 이루면 f(1)은 f(-1)과 f(2)의 등차중항이므로
2 f(1)=f(-1)+f(2) 2(3+a)=(3-a)+(6+2a)
∴ a=3
답 3
286
세 수를 a-d, a, a+d라 하면 (a-d)+a+(a+d)=15에서
3a=15 ∴ a=5 yy ㉠
(a-d)Û`+aÛ`+(a+d)Û`=83 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 dÛ`=4
∴ d=Ñ2
따라서 세 수는 3, 5, 7이다.
답 3, 5, 7
287
⑴ 각 항의 역수를 구하면 16 , ;3!;, ;2!;, ;3@;, y
즉 수열 [ 1
aÇ ]은 첫째항이 ;6!;, 공차가 ;3!;-;6!;=1 6 인 등차수열이므로 일반항 1
aÇ 은 aÇ =;6!;+;6!;(n-1)=1 n
6
따라서 수열 {aÇ}의 일반항 aÇ은 aÇ=6 n 이므로 aÁ¼=;1¤0;=;5#;
⑵ 각 항의 역수를 구하면 15 , ;1£0;, ;5@;, ;2!;, y 즉 수열 [ 1
aÇ ]은 첫째항이 1
5 , 공차가 10 -;5!;=3 1
10 인 등차수열이므로 일반항 1 aÇ 은 aÇ =;5!;+1 1
10 (n-1)=n+1 10
따라서 수열 {aÇ}의 일반항 aÇ은 aÇ= 10 n+1 이므로
확인체크념원리익히기 - 13 n=-5 ∴ n=15
∴ SÁ°=15[-;3!;+(-5)]
2 =-40
답 ⑴ 55 ⑵ 144 ⑶ 15 ⑷ -195 ⑸ 105 ⑹ -40
291
첫째항이 50, 끝항이 -10, 항수가 n인 등차수열의 합 이 220이므로
n(50-10) 2 =220 20n=220 ∴ n=11
즉 제 11 항이 -10이므로 공차를 d라 하면 50+10d=-10 ∴ d=-6
따라서 주어진 등차수열의 제 10 항 aÁ¼은 aÁ¼=50+9´(-6)=-4
답 -4
292
첫째항이 -5, 끝항이 15, 항수가 n+2인 등차수열의 합이 100이므로
(n+2)(-5+15)
2 =100
5(n+2)=100 ∴ n=18 따라서 15는 제 20 항이므로 -5+19d=15 ∴ d=;1@9);
답 n=18, d=
;1@9);
293
첫째항을 a, 공차를 d라 하면 S¥= 8{2a+(8-1)d}2 =104
∴ 2a+7d=26 yy ㉠
SÁ¤-S¥= 16{2a+(16-1)d}2 -104=360
∴ 2a+15d=58 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, d=4
290
등차수열의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하 면
⑴ 첫째항이 1, 공차가 2-1=1이므로 10을 제 n 항 이라 하면
aÇ=1+(n-1)=10 ∴ n=10 ∴ SÁ¼=10(1+10)
2 =55
⑵ 첫째항이 1, 공차가 3-1=2이므로 23을 제 n 항 이라 하면
aÇ=1+2(n-1)=23 2n-1=23 ∴ n=12 ∴ SÁª=12(1+23)
2 =144
⑶ 첫째항이 -12, 공차가 -9+12=3이므로 15를 제 n 항이라 하면
aÇ=-12+3(n-1)=15 3n-15=15 ∴ n=10 ∴ SÁ¼=10(-12+15)
2 =15
⑷ 첫째항이 15, 공차가 11-15=-4이므로 -41을 제 n 항이라 하면
aÇ=15-4(n-1)=-41 -4n+19=-41 ∴ n=15 ∴ SÁ°=15{15+(-41)}
2 =-195
⑸ 첫째항이 ;2!;, 공차가 1- 12 =1
2 이므로 10을 제 n 항이라 하면
aÇ=1
2 +;2!;(n-1)=10 n2 =10 ∴ n=20
∴ Sª¼=20{;2!;+10}
2 =105
⑹ 첫째항이 -;3!;, 공차가 - 23 +;3!;=-1 3 이므로 -5를 제 n 항이라 하면
aÇ=-1
3 -;3!;(n-1)=-5
S[ª]=2+4+y+100
이것은 첫째항이 2, 끝항이 100, 항수가 50인 등차 수열의 합이므로
S[ª]= 50(2+100)2 =2550 Û 3 의 배수의 합을 S[£]이라 하면 S[£]=3+6+y+99`
이것은 첫째항이 3, 끝항이 99, 항수가 33인 등차 수열의 합이므로
S[£]= 33(3+99)2 =1683
Ü 2와 3의 최소공배수인 6의 배수의 합을 S[¤]이라 하 면
S[¤]=6+12+y+96
이것은 첫째항이 6, 끝항이 96, 항수가 16인 등차 수열의 합이므로
S[¤]= 16(6+96)2 =816 따라서 2 또는 3의 배수의 총합 S는 S =S[ª]+S[£]-S[¤]
=2550+1683-816=3417
답 3417
297
aÇ =SÇ-SÇÐÁ
=(2nÛ`-3n)-{2(n-1)Û`-3(n-1)}
=4n-5 (n¾2)
그런데 SÇ에서 상수항이 0이므로 이 수열은 첫째항부 터 등차수열을 이룬다.
∴ aÇ=4n-5
∴ aÁ¼=35
답 35 다른풀이 aÇ=SÇ-SÇÐÁ (n¾2)이므로
aÁ¼=SÁ¼-S»
=(2´10Û`-3´10)-(2´9Û`-3´9) =170-135=35
298
SÇ=nÛ`-2n+3이므로 따라서 제 17 항부터 제 24 항까지의 합은
Sª¢-SÁ¤ = 24{-2+(24-1)´4}2 -464
=1080-464=616
답 616
294
일반항 aÇ은
aÇ=-29+(n-1)´4=4n-33
aÇ=4n-33<0이 되는 n의 최댓값은 8이므로 첫째 항부터 제 8 항까지의 합이 최소가 된다.
∴ S¥=8{2´(-29)+7´4}
2 =-120
답 제
8 항,
최솟값：-120 다른풀이 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 SÇ =n{2´(-29)+(n-1)´4}2
=2nÛ`-31n
=2{n- 314 }Û`- 9618
n이 314 에 가장 가까운 자연수일 때 SÇ은 최소가 되므 로 n=8일 때 최솟값은 2´8Û`-31´8=-120이다.
295
100과 200 사이에 있는 자연수 중에서 5로 나누었을 때 나머지가 2인 수를 작은 것부터 순서대로 나열하면 102, 107, 112, y, 197
이것은 첫째항이 102, 공차가 5인 등차수열이므로 197을 제 n 항이라 하면
197=102+5(n-1)
∴ n=20
즉 197은 제 20 항이다.
따라서 첫째항이 102, 끝항이 197, 항수가 20인 등차 수열의 합을 구하면
20(102+197)
2 =2990
답 2990
296
Ú 2의 배수의 합을 S[ª]라 하면
확인체크념원리익히기
301
수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 수열 {3aÇ*Á-aÇ}의 공차는 3d-d=2d=6
∴ d=3
즉 수열 {aÇ}은 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열이므 로
aÇ=2+3(n-1)=3n-1 aû>100에서 3k-1>100
∴ k>101
3 =33.___
따라서 aû>100을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 34이다.
답 34
302
⑴ -2Ö1=-2에서 공비가 -2이므로 주어진 수열 은 1, -2, 4 , -8, 16
⑵ 1 32 Ö 1
16 =;2!;에서 공비가 ;2!;이므로 주어진 수열 은 ;2!;, ;4!; , ;8!; , 116 , 1
32
⑶ -54Ö18=-3에서 공비가 -3이므로 주어진 수 열은 2 , -6 , 18, -54
⑷ -1Ö'2=- 1
'2=- '22 에서 공비가 -'2 2 이므 로 주어진 수열은 '2, -1, '22 , -;2!; , '2
4
⑸ 1Ö('2-1)= 1'2-1='2+1에서 공비가 '2+1이므로 주어진 수열은
'2-1, 1, '2+1, 3+2'2
답 ⑴ 4, 16 ⑵ 1
4 , ;8!; ⑶ 2, -6
⑷ -;2!;, ''''''
2
4 ⑸ 3+2'2
303
⑴ 첫째항이 1, 공비가 2Ö1=2이므로 aÇ=1´2Ç`ÑÚ`=2Ç`ÑÚ`
aÁ=SÁ=1Û`-2´1+3=2 aÁ¼ =SÁ¼-S»
=(10Û`-2´10+3)-(9Û`-2´9+3)=17
∴ aÁ+aÁ¼=2+17=19
답 19
299
n=1일 때 삼각형 PF'F의 세 변 위에 있는 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 (-1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 0)의 4개이므로
aÁ=4
n=2일 때 삼각형 PF'F의 세 변 위에 있는 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 (-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), (-1, 1), (1, 1), (0, 2)의 8개이므로
aª=8 ⋮
즉 수열 {aÇ}은 첫째항이 4, 공차가 4인 등차수열이므 로 첫째항부터 제 5 항까지의 합은
5{2´4+(5-1)´4}
2 =60
답 60
300
aÇ=aÁ+2(n-1)=2n+aÁ-2
이때 수열 aÁ+aª, aª+a£, a£+a¢, y의 일반항은 aÇ+aÇ*Á =(2n+aÁ-2)+{2(n+1)+aÁ-2}
=4n+2aÁ-2
따라서 등차수열 {aÇ+aÇ*Á}의 공차는 4이다.
답 4 참고 수열 {aÇ}의 첫째항을 a라 하고 각 항을 나열해 보면
a, a+2, a+4, a+6, y
수열 {aÇ+aÇ*Á}의 각 항을 나열해 보면 2a+2, 2a+6, 2a+10, 2a+14, y
따라서 수열 {aÇ+aÇ*Á}은 첫째항이 2a+2, 공차가 4 인 등차수열이다.
305
aÇ=2Û`ÑÇ`에서
aÁ=2Û`ÑÚ`=2, aª=2Û`ÑÛ`=1
∴ (공비)=aª aÁ =;2!;
답 첫째항：2, 공비：;2!;
306
공비를 r라 하면 제 4 항이 -8이므로
aÁrÜ`=-8 yy ㉠
제 7 항이 64이므로
aÁrß`=64 yy ㉡
㉡Ö㉠ 을 하면 rÜ`=-8 ∴ r=-2 r=-2를 ㉠에 대입하면 aÁ=1
∴ aÇ=1´(-2)Ç`ÑÚ`=(-2)Ç`ÑÚ`
∴ a°=(-2)Þ`ÑÚ`=(-2)Ý`=16
답 aÇ=(-2)Ç`ÑÚ`, a°=16
307
첫째항을 a, 공비를 r라 하면
aÁ-a¢=a-arÜ`=a(1-rÜ`)=56 yy ㉠ aÁ+aª+a£ =a+ar+arÛ`=a(1+r+rÛ`)
=14 yy ㉡
㉠Ö㉡을 하면 a(1-rÜ`)
a(1+r+rÛ`)= a(1-r)(1+r+rÛ`)a(1+r+rÛ`) = 5614 1-r=4 ∴ r=-3
㉡에서 a(1-3+9)=14 ∴ a=2
∴ a°=arÝ`=2´(-3)Ý`=162
답 162
308
첫째항이 1, 공비가 -4이므로 -1024를 제 n 항이라 하면
1´(-4)Ç`ÑÚ`=-1024=(-4)Þ`
n-1=5 ∴ n=6
⑵ 첫째항이 4, 공비가 -4Ö4=-1이므로 aÇ=4´(-1)Ç`ÑÚ`
⑶ 첫째항이 3, 공비가 -1Ö3=- 13 이므로 aÇ=3´{-;3!;}Ç`ÑÚ`
⑷ 첫째항이 -2, 공비가 3Ö(-2)=-;2#;이므로 aÇ=-2´{-;2#;}Ç`ÑÚ`
⑸ 첫째항이 2, 공비가 2'3Ö2='3이므로 aÇ=2´('3)Ç`ÑÚ`
답 ⑴ aÇ=2Ç`ÑÚ` ⑵ aÇ=4´(-1)Ç`ÑÚ`
⑶ aÇ=3´{-;3!;}Ç`ÑÚ`
⑷ aÇ=-2´{-;2#;}Ç`ÑÚ`
⑸ aÇ=2´('3)Ç`ÑÚ`
304
첫째항을 aÁ, 공비를 r라 하면
⑴ aÁ=2´3â`=2, r=aª aÁ =2´3Ú`
2´3â`=3
⑵ aÁ={;2!;}â`=1, r=aª aÁ =
{;2!;}Ú`
{;2!;}â`= 12
⑶ aÁ=(-2)Ú`=-2, r=aª
aÁ =(-2)Û`
(-2)Ú` =-2
⑷ aÁ=3´{1 2 }Û`=;4#;
r=aª aÁ =
3´{;2!;}Ý`
3´{;2!;}Û`={ 12 }Û`=;4!;
⑸ aÁ =4ÑÚ`=;4!;, r=aª aÁ =4-ÜÜ`
4-Ú``=4ÑÛ`= 1 16 답 ⑴ 첫째항 : 2, 공비 : 3 ⑵ 첫째항 : 1, 공비 : ;2!;
⑶ 첫째항 : -2, 공비 : -2 ⑷ 첫째항 : ;4#;, 공비 : ;4!;
⑸ 첫째항 :
;4!;,
공비 :1
16
확인체크념원리익히기 나머지는
f(-2)=(-2)Û`+2´(-2)+17=17