312
2, a, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
aÛ`=2b yy ㉠
a, b, 30이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2b=a+30 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 aÛ`=a+30, aÛ`-a-30=0
(a+5)(a-6)=0 ∴ a=-5 또는 a=6 그런데 a, b는 양수이므로
a=6, b=18 ∴ b-a=12
답 12
313
세 실수가 등비수열을 이루므로 세 수를 차례대로 a, ar, arÛ`이라 하면
세 실수의 합이 ;2#;이므로
a+ar+arÛ`=a(1+r+rÛ`)= 32 yy ㉠ 세 실수의 곱이 -1이므로
a´ar´arÛ`=(ar)Ü`=-1
∴ ar=-1 yy ㉡
㉠z㉡을 하면 a(1+r+rÛ`)
ar =1+r+rÛ`
r =-;2#;
2(1+r+rÛ`)=-3r, 2rÛ`+5r+2=0 (2r+1)(r+2)=0
∴ r=-1
2 또는 r=-2 r=- 12 이면 a=2 r=-2이면 a= 12
따라서 등비수열을 이루는 세 실수는 2, -1, 1 2 이다.
답 2, -1,
;2!;
따라서 -1024는 제 6 항이다.
답 제
6 항
309
첫째항을 a라 하면 제 2 항이 6이므로 a´3=6 ∴ a=2
∴ aÇ=2´3Ç`ÑÚ`
aÇ이 10000보다 크려면
2´3Ç`ÑÚ`>10000 ∴ 3Ç`ÑÚ`>5000 양변에 상용로그를 취하면
log`3Ç`ÑÚ`>log`5000, (n-1)log`3>log`5000
n-1 >log`5+3 log`3 =
log`:Á2¼:+3
log`3 = 4-log`2 log`3
=7.___
∴ n>8.___
따라서 처음으로 10000보다 커지는 항은 제 9 항이다.
답 제
9 항
310
공비를 r라 하면 첫째항은 3이고 729는 제 6 항이므로 729=3rÞ`, rÞ`=243 ∴ r=3
이때 aª, a¢는 각각 제 3 항, 제 5 항이므로 aª+a¢ =3rÛ`+3rÝ`
=3´3Û`+3´3Ý`=270
답 270
311
나머지정리에 의하여 f(x)=xÛ`+2x+a를 x+1, x-1, x-2로 나누었을 때의 나머지는 각각 f(-1)=a-1, f(1)=a+3, f(2)=a+8
f(-1), f(1), f(2)가 이 순서대로 등비수열을 이루 면 f(1)은 f(-1)과 f(2)의 등비중항이므로 {`f(1)}Û`=f(-1)f(2)
(a+3)Û`=(a-1)(a+8) aÛ`+6a+9=aÛ`+7a-8
∴ a=17
따라서 f(x)=xÛ`+2x+17을 x+2로 나누었을 때의
314
xÜ`-2xÛ`+x=k에서 xÜ`-2xÛ`+x-k=0 yy ㉠
㉠의 세 근을 a, ar, arÛ`이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+ar+arÛ`=2
∴ a(1+r+rÛ`)=2 yy ㉡
aÛ`r+aÛ`rÛ`+aÛ`rÜ`=1
∴ aÛ`r(1+r+rÛ`)=1 yy ㉢
a´ar´arÛ`=k ∴ (ar)Ü`=k yy ㉣
㉢Ö㉡을 하면 ar=;2!;
이것을 ㉣에 대입하면 k=(ar)Ü`={;2!;}Ü`=;8!;
답 ;8!;
315
정사각형 AÇBÇCÇDÇ의 한 변의 길이를 lÇ이라 하면 정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 이어서 만든 정사 각형 AÁBÁCÁDÁ의 한 변의 길이 lÁ은
lÁ=4´ 1 '2
정사각형 AÁBÁCÁDÁ의 각 변의 중점을 이어서 만든 정 사각형 AªBªCªDª의 한 변의 길이 lª는
lª=lÁ´ 1
'2={4´ 1'2 }´ 1
'2=4´{ 1'2 }Û`
⋮
즉 수열 {lÇ}은 첫째항이 4´ 1
'2, 공비가 1 '2인 등비 수열이므로
lÇ=4´ 1
'2´{ 1'2 }Ç`-1=4´{ 1'2 }Ç`
따라서 정사각형 AÁ¼BÁ¼CÁ¼DÁ¼의 한 변의 길이 lÁ¼은 lÁ¼=4´{ 1'2 }Ú`â`=;8!;
이므로 정사각형 AÁ¼BÁ¼CÁ¼DÁ¼의 둘레의 길이는 4´;8!;= 12
답
;2!;
316
⑴ S°=2(3Þ`-1)
3-1 =243-1=242
⑵ S° = '2´{('2)Þ`-1}
'2-1 =('2+1)(8-'2)
=6+7'2
⑶ S°=1´{1-(-3)Þ`}
1-(-3) =244 4 =61
⑷ S°=;2!;´{1-(-2)Þ`}
1-(-2) = 12 ´33 3 =11
2
⑸ S° =-2´[1-{;2!;}Þ`]
1-;2!; =-4´31 32 =-31
8
답 ⑴ 242 ⑵ 6+7
'2
⑶ 61 ⑷
11
2 ⑸ - 31 8
317
첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면
⑴ a=1, r=3이므로 SÇ=1´(3Ç`-1)
3-1 =3Ç`-1 2
⑵ SÇ=2+2+y+2=2n
⑶ a=1
2 , r=-1이므로
SÇ=;2!;´{1-(-1)Ç`}
1-(-1) =1-(-1)n 4
⑷ a=1, r=-2이므로 SÇ=1´{1-(-2)Ç`}
1-(-2) =1-(-2)Ç`
3
⑸ a=0.1, r=0.1이므로 SÇ=0.1´(1-0.1Ç`)
1-0.1 =;9!;[1-{ 1 10 }Ç`]
답 ⑴ 3Ç`-1
2 ⑵ 2n ⑶
1-(-1)Ç`
4
⑷
1-(-2)Ç`
3
⑸;9!;[1-{ 1
10 } Ç` ]
확인체크념원리익히기
318
첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면
⑴ a=1, r=2이므로 256을 제 n 항이라 하면 1´2ÇÇ`ÑÚ`=256 ∴ n=9
∴ S»=1´(2á`-1)
2-1 =2á`-1=511
⑵ a=1 2 , r=1
2 이므로 {1
2 }Ú`â`을 제 n 항이라 하면 12 ´{1
2 }ÇÇ`ÑÚ`={ 12 }Ç`={ 12 }Ú`â` ∴ n=10 ∴ SÁ¼=;2!;´[1-{;2!;}Ú`â`]
1-;2!; =1-{1
2 }Ú`â`= 10231024
⑶ a=;3@;, r=-;3!;이고 2
243 는 제 5 항이므로
S°=;3@;´[1-{-;3!;}Þ`]
1-{-;3!;} =1
2 [1-{-;3!;}Þ`]
= 122243
⑷ a=5, r=2이므로 160을 제 n 항이라 하면 5´2ÇÇ`ÑÚ`=160 ∴ n=6
∴ S¤=5(2ß`-1) 2-1 =315
⑸ logª`4+logª`4Ü`+logª`4á`+logª`4Û`à`+logª`4¡`Ú`
=logª`2Û`+logª`2ß`+logª`2Ú`¡`+logª`2Þ`Ý`+logª`2Ú`ß`Û`
=2+6+18+54+162
에서 a=2, r=3이고 162는 제 5 항이므로 S°=2(3Þ`-1)
3-1 =242
답 ⑴ 511 ⑵ 1023
1024 ⑶ ;2!4@3@;
⑷ 315 ⑸ 242
319
공비를 r라 하면 a¢=aÁrÜ`=2rÜ`=-54 rÜ`=-27 ∴ r=-3
∴ SÁ¼=2´{1-(-3)Ú`â`}
1-(-3) =1-3Ú`â`
2
답 1-3Ú`â`
2
320
첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면
aÁ+a£=a+arÛ`=a(1+rÛ`)=-10 yy ㉠ 이때 r=1이면 a=-5
이것은 S¢=20을 만족시키지 않으므로 r+1 S¢ =a(1-rÝ`)
1-r =
a(1+rÛ`)(1+r)(1-r)
1-r
=a(1+rÛ`)(1+r)=20 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 1+r=-2
∴ r=-3
이것을 ㉠에 대입하면 a{1+(-3)Û`}=-10
∴ a=-1
답 -1
321
첫째항이 x, 공비가 (x+1)Û`이므로 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면
SÇ =x[{(x+1)Û`}Ç`-1]
(x+1)Û`-1
=x{(x+1)Û`Ç`-1}
xÛ`+2x
=(x+1)Û`Ç`-1
x+2 (∵ x>0)
답
(x+1)Û`Ç`-1 x+2
322
첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면
S¤= a(1-rß`)1-r =4 yy ㉠ SÁª= a(1-rÚ`Û`)1-r =12 yy ㉡
324
첫째항을 a, 공비를 r라 하면
aª=ar=4 yy ㉠
a°=arÝ`=32 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=8 ∴ r=2 r=2를 ㉠에 대입하면 2a=4 ∴ a=2 따라서 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 SÇ=2(2Ç`-1)
2-1 =2Ç`±Ú`-2 SÇ>1000에서 2Ç`±Ú`-2>1000
∴ 2Ç`±Ú`>1002
이때 2á`=512, 2Ú`â`=1024이므로 n+1¾10 ∴ n¾9
따라서 첫째항부터 제 9 항까지의 합이 처음으로 1000보다 커진다.
답 제
9 항
325
log£`(SÇ+3)=n+1에서 SÇ+3=3Ç`±Ú`
∴ SÇ=3Ç`±Ú`-3
aÇ =SÇ-SÇÐÁ=(3Ç`±Ú`-3)-(3Ç`-3)
=2´3Ç` (n¾2) 첫째항 aÁ=SÁ=3Û`-3=6
이때 aÁ=6은 위의 aÇ=2´3Ç`에 n=1을 대입한 것과 같다.
∴ aÇ=2´3Ç`
답 aÇ=2´3Ç`
326
aÇ =SÇ-SÇÐÁ=(2´3Ç`+k)-(2´3Ç`ÑÚ`+k)
=4´3Ç`ÑÚ` (n¾2) yy ㉠
첫째항 aÁ=SÁ=2´3+k=6+k yy ㉡
수열 {aÇ}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한 것과 ㉡이 같아야 하므로
6+k=4 ∴ k=-2
답 -2 다른풀이 SÇ=2´3Ç`+k에서 2+k=0
∴ k=-2
㉡에서 a(1-rß`)(1+rß`)
1-r =12
이 식에 ㉠을 대입하면 1+rß`=3 ∴ rß`=2
∴ SÁ¥ =a(1-rÚ`¡`) 1-r
= a(1-rß`)(1+rß`+rÚ`Û`)1-r
= a(1-rß`)1-r ´(1+rß`+rÚ`Û`)
=4(1+rß`+rÚ`Û`) (∵ ㉠)
=4(1+2+2Û`)
=28
답 28 다른풀이 S¤=4, SÁª-S¤=rß`S¤이므로 4rß`=8
∴ rß`=2
이때 SÁ¥-SÁª=rÚ`Û`S¤이므로
SÁ¥ =SÁª+rÚ`Û`S¤=(rß`+1)S¤+rÚ`Û`S¤
=(rÚ`Û`+rß`+1)S¤=(2Û`+2+1)´4
=7´4=28
323
첫째항을 a, 공비를 r라 하면 첫째항부터 제 10 항까지 의 합은
a(1-rÚ`â`)
1-r =2 yy ㉠
제 21 항부터 제 30 항까지의 합은 첫째항이 aªÁ=arÛ`â`, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제 10 항까지의 합 과 같으므로
arÛ`â`(1-rÚ`â`)
1-r =8 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 2rÛ`â`=8, rÛ`â`=4
∴ rÚ`â`=2 (∵ r는 실수)
따라서 제 11 항부터 제 20 항까지의 합은 첫째항이 aÁÁ=arÚ`â`, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제 10 항까지의 합과 같으므로
arÚ`â`(1-rÚ`â`)
1-r =a(1-rÚ`â`)
1-r ´rÚ`â`=2´2=4
답 4
확인체크념원리익히기
∴ S =1_(1+0.05){(1+0.05)Ú`â`-1}
(1+0.05)-1 S= 10+10(1+0.12)+10(1+0.12)Û`+
y+10(1+0.12)á``