단순-고정 경계조건

양단 경계조건을 기본함수 (4-112)에 대입하여 계수 값을 구하기 위한 방정식을 구하면 아래와 같다.

  ^→ _  ″  → _ 

  → _ _ _  ′  → _ _ _ 

상기 방정식을 정리하여 얻은 계수, _ 

_^, _ 

_를 기본함수 (4-112)식

에 대입하면, _  ^ 

^ 



_  ^ ^  (4-113) 와 같이 단순-고정 경계조건에서의 기본 파형함수를 생성할 수 있다. 그리고, 기함 수, 우함수 성질을 이용하여 계산과정의 복잡함을 피하고자 파형함수의 수식을 재 정리 하였다.

       ≦  ≦  (4-114) _ _  ^   

_ _^ ^ ^    (4-115) 2차 모드 이상의 단순-고정 경계조건의 파형 함수는 다음의 방정식 (4-112)을 사 용하여 일반화 할 수 있다.

___{  }⋅ _{  }^{  }



^{⋅  } (4-116) (_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수값)

방정식 (4-112)에서 구한 파형함수의 운동방정식에 직교 관계식을 이용하여 2차 및 3차 모드 이상의 파형함수를 구할 수 있다.     에 만족하는 값이다.



_{ }^{⋅⋅ } (4-117) ( i, j : 진동차수 , _ : Kronecker delta)

이를 이용하여 방정식 (4-5)를 이용한 단순-고정 경계조건의 2차 모드 파형함수는 방정식 (4-118)을 통해 구할 수 있다.

_ __⋅  _⋅_ (4-118) 방정식 (4-118)식 양변에 _을 곱하여 적분하여 정리하여 (4-120)와 같이 계수를 구할 수 있고,



_{ }^{⋅⋅ }



_{ }^{⋅  ⋅  } (4-119)

_ 



_{ }^{⋅}



_{ }^{⋅⋅}

(4-120)

방정식 (4-118) 식 양변을 제곱하여 직교관계식을 적용하여 _ 계수를 다음과 같 이 구할 수 있다.

_^_{ }



_{ }^{⋅  ⋅⋅}



_{ }^{⋅}

(4-121)

(_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수 값)

(4-120),(4-121)에서 구한 계수들을 방정식 (4-118)식에 대입하면 2차모드 파형함 수를 구할 수 있다.

또한, 단순-고정 경계조건의 3차모드 파형함수는 방정식 (4-122)을 통해 구할 수 있다.

_ __⋅  _⋅_ _⋅_ (4-122) 방정식 (4-122) 양변에 _를 곱하여 적분하면,



_{ }^{⋅⋅ }



_{ }^{⋅  ⋅ ⋅⋅  } (4-123) 와 같고, 여기서 직교관계식에 의해



_{ }^{⋅⋅⋅  이므로}

_  



_{ }^{⋅}



_{ }^{⋅⋅}

(4-124)

와 같이 정리되어, 계수를 구할 수 있다. 다시 방정식 (4-122)식 양변에 _을 곱하 여 적분하면,



_{ }^{⋅⋅ }



_{ }^{⋅⋅  ⋅⋅ ⋅  } (4-125) 과 같이 정리되며, 직교관계식에 의해



_{ }^{⋅⋅⋅  이 되면,}

_ 



_{ }^{⋅}



_{ }^{⋅⋅⋅}

(4-126)

와 같이 계수를 구할 수 있다. 또한, 방정식 (4-122)식 양변을 제곱하여 직교관계 식을 적용하여 _ 계수를 구할 수 있다.

_^_{ }



_{ }^{⋅  ⋅ ⋅⋅}



_{ }^{⋅}

(4-127)

(_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수)

(4-124),(4-126) 및 (4-127)에서 구한 계수들을 방정식 (4-122)식에 대입하면 3차 모드 파형함수를 구할 수 있다.

4차 이상 모드함수는 (4-116)식 일반화 함수를 이용하여 모드에 필요한 계수와 다 항식을 구할 수 있다.

나. 3차 방정식 파형함수

· 기본함수

  _ _  _^ _^ ( ≦  ≦  ) (4-128)

· 양단 경계조건

BC GBC NBC

단순-고정 (S-F)

   ,   

′  

-* S-F : Simple-Free

양단 경계조건을 기본함수 (4-128)에 대입하여 계수 값을 구하기 위한 방정식을 구하면 아래와 같다.

  → _ 

  → _ _ _  ′  → _ _ _ 

상기 방정식을 정리하여 얻은 계수, _ _, _ _를 기본함수 (4-128)식에 대입하면

_  ^ ^ 

_    ^ (4-129) 와 같이 단순-고정 경계조건에서의 기본 파형함수를 생성할 수 있다. 그리고, 기 함수, 우함수 성질을 이용하여 계산과정의 복잡함을 피하고자 파형함수의 수식을 재정리 하였다.

       ≦  ≦  (4-130)

_ _     ^

_ _^ ^    (4-131) 2차 모드 이상의 고정-자유 경계조건의 파형 함수는 다음의 방정식 (4-132)을 사 용하여 일반화 할 수 있다.

___{  }⋅ _{  }^{  }



^{⋅  } (4-132) (_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수값)

방정식 (4-132)에서 구한 파형함수의 운동 방정식에 직교 관계식을 이용하여 2차 및 3차 모드 이상의 파형함수를 구할 수 있다.     에 만족하는 값이다.



_{ }^{⋅⋅ } (4-133) ( i, j : 진동차수 , _ : Kronecker delta)

이를 이용하여 방정식 (4-132)를 이용한 고정-자유 경계조건의 2차 모드 파형함수 는 방정식 (4-134)을 통해 구할 수 있다.

_ __⋅  _⋅_ (4-134) 방정식 (4-134)식 양변에 _을 곱하여 적분하여 정리하여 (4-136)와 같이 계수를 구할 수 있고,



_{ }^{⋅⋅ }



_{ }^{⋅  ⋅  } (4-135)

_ 



_{ }^{⋅}



_{ }^{⋅⋅}

(4-136)

방정식 (4-134) 식 양변을 제곱하여 직교관계식을 적용하여 _ 계수를 다음과 같 이 구할 수 있다.

_^_{ }



_{ }^{⋅  ⋅⋅}



_{ }^{⋅}

(4-137)

(_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수 값)

(4-136),(4-137)에서 구한 계수들을 방정식 (4-134)식에 대입하면 2차모드 파형함

수를 구할 수 있다.

또한, 고정-자유 경계조건의 3차모드 파형함수는 방정식 (4-138)을 통해 구할 수 있다.

_ __⋅  _⋅_ _⋅_ (4-138) 방정식 (4-138) 양변에 _를 곱하여 적분하면,



_{ }^{⋅⋅ }



_{ }^{⋅  ⋅ ⋅⋅  } (4-139) 와 같고, 여기서 직교관계식에 의해



_{ }^{⋅⋅⋅  이므로}

_  



_{ }^{⋅}



_{ }^{⋅⋅}

(4-140)

와 같이 정리되어, 계수를 구할 수 있다. 다시 방정식 (4-138)식 양변에 _을 곱하 여 적분하면,



_{ }^{⋅⋅ }



_{ }^{⋅⋅  ⋅⋅ ⋅  } (4-141) 과 같이 정리되며, 직교관계식에 의해



_{ }^{⋅⋅⋅  이 되면,}

_ 



_{ }^{⋅}



_{ }^{⋅⋅⋅}

(4-142)

와 같이 계수를 구할 수 있다. 또한, 방정식 (4-11)식 양변을 제곱하여 직교관계식 을 적용하여 _ 계수를 구할 수 있다.

_^_{ }



_{ }^{⋅  ⋅ ⋅⋅}



_{ }^{⋅}

(4-143)

(_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수)

(4-140),(4-142) 및 (4-143)에서 구한 계수들을 방정식 (4-138)식에 대입하면 3차

모드 파형함수를 구할 수 있다.

4차 이상 모드함수는 (4-132)식 일반화 함수를 이용하여 모드에 필요한 계수와 다 항식을 구할 수 있다.

문서에서 저작자표시 (페이지 58-66)