다  이다

 × 가   × 나

 다이므로





^다



^이다.

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

279.

^{2 79)} 수직선 위에 다섯 개의 점 A, B, C, D, E가 같은

간격으로 순서대로 있을 때 옳은 것만을 보기, [ ] 에서 있는 대로 고른 것은?

선분 .

ㄱ BC를   로 외분한 점은 A이다.

선분 .

ㄴ AD를   로 내분한 점은 B이다.

선분 .

ㄷ AE를   로 내분한 점은 C이다.

선분 .

ㄹ CB를   로 외분한 점은 D이다.

선분 .

ㅁ DB를   으로 외분한 점은 E이다.

보 기

[ ]

① ㄱ ㄷ, ②ㄴ ㄷ, ③ ㄴ ㄷ ㄹ, ,

④ ㄴ ㄷ ㅁ, , ⑤ㄴ ㄹ ㅁ, ,

280.

^{2 80)} 두 점 A  , B 을 이은 선분 AB를   

로 내분하는 점이 직선     위에 있을 때 상수, 의 값은?

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

281.

^{28 1)} 세 점       를 꼭짓점으로 하는

삼각형 가 있다. ∠의 이등분선이 선분 와 만나는 점을  라 할 때,  의 값은?

①   ②  ③ 

④  ⑤ 

282.

^{28 2)} 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M, 변 BC를

  로 내분하는 점을 D라 하자. ^BC , ^AM^,

AD ^ 일 때 다음 보기, [ ] 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

삼각형 .

ㄱ ABD는 이등변삼각형이다.

.

ㄴ ^AC^ AB^ 이다.

삼각형 .

ㄷ ABC의 넓이는 이다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ ㄷ, ⑤ ㄴ ㄷ,

283.

^{28 3)} 두 점 A , B  을 이은 선분 AB를   

로 내분하는 점을 P, 선분 AB를   로 외분하는 점을 Q 라고 할 때 선분, PQ의 길이는?

①  ② ^ ③ ^

④ ^ ⑤ ^

284.

^{28 4)} 두 점 A  , B  를 이은 선분 AB의

연장선 위의 점 P 가 ^AB  BP를 만족시킬 때 두 수,

, 에 대하여  의 값은? ( ,단   )

①   ②  ③ 

④  ⑤ 

285.

^{2 85)} 세 꼭짓점의 좌표가 A , B , C 인 삼각형 ABC가 있다 그림과 같이. ^AC AD가 되도록 점 D를 선분 AB 위에 잡는다 점. A를 지나면서 선분 DC와 평행인 직선이 선분 BC의 연장선과 만나는 점을 P라 하자 이때 점. , P의 좌표는?

①



^

 





^②



^

 





^③



^

 





④



^

 





^⑤



^

 





286.

^{2 86)} 네 점         이 다음

조건을 만족할 때, 의 값은?

가 점

( ) 는 삼각형 의 내부에 있다.

나 세 삼각형

( )   의 넓이는 같다.

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

287.

^{2 87)} 세 점 A  , B , C 을 꼭짓점으로

하는 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA를   로 내분하는 점을 각각 D, E, F라 하고 E  이라 할 때, 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는?

①   ②    ③   

④    ⑤   

288.

^{28 8)} 그림과 같이 좌표평면에서 두 점 A , B 

과 제 사분면 위의 점 C 가 ^AC BC 를 만족시킨다.

두 선분 AC, BC를   으로 내분하는 점을 각각 P, Q 라고 할 때 삼각형, CPQ의 무게중심을 G라 하자 선분. CG의 길이가 ^ 일 때,  의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

289.

^{28 9)} 사각형 ABCD는 ^AB , ^BC , ^AC 인

평행사변형이다. ^BD 의 값은?

① ^ ② ^ ③ ^

④ ^ ⑤ ^

290.

^{29 0)} 두 점 A , B 과 축 위의 점 P에

대하여



^AP BP



의 최댓값은?

① 

^

② 

^

③ 

^

④ 

^

⑤ ^

291.

^{2 91)} 그림과 같이 축 위의 두 점 A, E에 대하여 두 선분 OA, AE를 각각 한 변으로 하는 두 정삼각형 OAB, AEF가 있다 선분. AF 위의 점 C를 잡았더니 선분 AC를 한 변으로 하는 정삼각형 ACD에 대하여 세 삼각형 OAB, ACD, AEF의 넓이의 비가     이었다 점. F의  좌표가 일 때 선분, OC의 길이는? ( ,단 O는 원점이고, 점 D는 축 위의 점이다.)

① ^ ② ^ ③ ^

④ ^ ⑤ ^

292.

^{2 92)} 다음 그림과 같은 직사각형 ABCD와 그 내부의

임의의 점 P, ^BC의 중점 M에 대하여

CM^  PA^ PC^ PD^ PM^이 성립한다고 할 때, 상수 , , , 에 대하여   의 값은?

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

293.

^{29 3)} 어느 도시는 아래 그림과 같이  아파트 단지에서

동쪽으로 , 북쪽으로  떨어진 지점에  아파트 단지가 있고,  아파트 단지에서 동쪽으로  떨어진 지점에  아파트 단지가 있다. ^^ ^ ^이 최소가 되도록 하는 위치에 공원 를 건설하였을 때, ^의 길이는? ( ,단 각 아파트 단지와 공원은 점으로 보도록 한다.)

① 

^

② ^ ③ 

^

④ 

^

⑤ ^

294.

^{29 4)}  에 대한 방정식        을 만족시키는

정수  를 좌표평면 위의 점  로 나타낼 때 이, 점들을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이는?

①  ②  ③ 

④ ^ ⑤ ^

295.

^{2 95)} 그림과 같이 일차함수   의 그래프와 이차함수

  ^의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다 곡선.   ^ 위에 두 점  를 잡고 직선,    위에 두 점  를 잡아 이 도형 위에 정사각형 를 그린다 이 정사각형. 의 넓이가 ^일 때,  의 값은? ( ,단  는

유리수이다.)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

296.

^{2 96)} 수직선 위의 두 점   에 대하여 점

가 ^ ≥ 을 만족시킬 때 선분, 의 길이의 최솟값은? ( ,단 는 원점이다.)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

297.

^{2 97)}

 

^^ 



^^  



이 최대일 때 실수, 의

값을 라 하고,



^^ 



^^  이 최소일 때 실수,

의 값을 라 하자 세 점.  ,  ,  와 직선

 위의 점  에 대하여 선분 ^의 길이가 선분

의 길이의 _



배일 때, 의 값은? ( ,단  는 실수이고,

  이다.)

298.

^{29 8)} 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 

모양의 종이를 점 가 원점에 두 점, , 가 각각 축,

축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다 점. 는 선분 의 중점이고 선분 를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점

는 ′으로 옮겨졌다 점. ′의 좌표가 _



일 때 직선,

′의 방정식은    이다. 의 값은? ( ,단 ,

은 상수이고 종이의 두께는 고려하지 않는다, .)

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



299.

^{29 9)} 점   과 직선       위의 서로

다른 두 점  에 대하여 삼각형 가 정삼각형이 된다.

변 의 중점이 축 위에 있을 때 음수, 의 값은?

①   ②   ③  

④   ⑤  

300.

^{30 0)} 점 P가 직선        위를 움직일 때 점,

A 와 점 P를 이은 선분 AP를   으로 내분하는 점 Q의 자취의 방정식은?

①       ②      

301.

^{3 01)} 두 그릇 A, B가 있다. A그릇에는 농도가 인 소금물 g이 들어있고, B그릇에는 농도가 인 소금을

g이 들어있다 두 그릇. A, B의 소금물을 모두 섞을 때의 농도를 라 하자 이때. , , 을 좌표로 하는 수직선 위의 점을 각각 P, Q, R라 하면 점 R는 선분 PQ 을   으로 내분하는 점이다 서로소인 두 자연수. ,  에 대하여 _



 의 값은? ( ,단     )

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



302.

^{3 02)} 두 점 A  , B 를 이은 선분 AB를   

로 내분하는 점을 P,   로 외분하는 점을 Q라고 한다.

선분 PQ의 중점 M의 좌표는   일 때 옳은, 설명만을 보기[ ] 에서 있는 대로 고른 것은?

점 .

ㄱ M은 ^AQ를   로 내분하는 점이다.

. ㄴ   

.

ㄷ   

보 기

[ ]

① ㄱ ②ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ,

④ ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,

303.

^{30 3)} 좌표평면 위의 네 점 _ , _ , _ ,

_ 에 대하여 제 사분면 위의 네 점 _, _, _, _ 는 다음 조건을 만족시킨다.

네 점 _, _, _, _는 각각

__, ^__, ^__, ^__의 중점이다.

점 _의 좌표를



^ _



^{이라고 할 때, }_의 값은?

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



304.

^{30 4)} ∆ABC에서 선분 AB를   으로 내분하는 점을

D, 선분 BC를   로 외분하는 점을 E라 하고 두 점, D 와 E를 지나는 직선 과 선분 AC가 만나는 점을 F라 하자. ∆ABC의 넓이는 ∆CEF의 넓이의 _



 배이다 이 때. ,

의 값은? ( ,단 , 은 서로소인 자연수이다.)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

305.

^{3 05)} 좌표평면에 세 점       를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다 직선.  위의 점 와 직선  위의 점 가 다음 조건을 만족한다 이때 선분. ,

의 길이의 제곱은?

가 점

( ) 는 제 사분면 점, 는 제 사분면 위의 점이다.

나

( ) ∆의 넓이   ×∆의 넓이

다

( ) ∆의 넓이  

×∆의 넓이

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

306.

^{30 6)} 다음은 나폴레옹 삼각형에 대한 설명이다.

임의의 삼각형 에 대하여 변   를 한 변으로 하는 세 개의 삼각형   를 삼각형

의 외부에 그리고 세 정삼각형 , ,

의 무게중심을 각각   라 하자 이때 삼각형. ,

는 정삼각형이 되고 이 삼각형을 나폴레옹‘ 삼각형 이라 한다’ . ( ,단 모든 점은 같은 평면 위에 있다.)

좌표평면 위의 점  ^ ,   ,  을 꼭짓점으로 하는 삼각형 에서 얻어지는 나폴레옹 삼각형 의 한 변의 길이를 라 할 때 ^의 값은?

①  ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 

307.

^{3 07)} 그림과 같이 직선 _



 

 이 축과 만나는 점을

, 축과 만나는 점을 라 하고 선분 를 등분하는 점을 각각     라 하자.

선분 를   으로 외분하는 점을 , 선분 를   로 외분하는 점을 라 하자 삼각형. 의 무게중심의 좌표가



^

 





^{일 때, }

의 값은? ( ,단 점 는 원점이고,

     이다.)

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



308.

^{30 8)} 삼각형 의 내부의 세 점   에 대하여,

는 ^의 중점, 는 ^의 중점, 는 ^의 중점이다.

이때 삼각형, 의 무게중심과 삼각형 의 무게중심이 일치하는 것을 증명하는 과정이다. ( )~( )가 마 에 들어갈 것으로 옳은 것은?

를 지나는 직선을 축으로 하고,

점 를 지나 ^에 수직인 직선을 축으로 잡아

 이라고 하자.

삼각형 의 무게중심을 _이라고 하면

_ 가  

 ⋯ ①

또 점, 의 좌표를  라고 하면





^

 





^{ }



^

 

 

 



^이므로

삼각형 의 무게중심을 _라고 하면

_ 나  다 

한편 점, 는 ^의 중점이므로

  라    마

_의 좌표에 대입하면 _



^

 





^{⋯ ②}

에 의하여 점 ,

① ② _과 _는 일치한다.

① 가( ): 

  

② 나( ): 



③ 다( ): 

 

④ 라( ): 



⑤ 마( ): _





309.

^{3 09) } ^   인 삼각형 에서 선분 의 중점을 라 할 때, ^^이다 각. 의 이등분선이 선분 와 만나는 점을 , 선분 와 선분 가 만나는 점을 라 하자 점. 에서 ^까지의 거리는?

① 

 ② 

^

③ 



④ 

^

⑤ 

310.

^{3 10)} 좌표평면 위의 두 점 A  , B 에 대하여

선분 AB를    (    )으로 외분하는 점을 Q라 하자.

점 P    에 대하여 삼각형 PAQ의 넓이가 일 때, 점 Q의 좌표를  라 하자. 의 값은?

①   ②   ③  

④   ⑤  

311.

^{3 11)} 직선       위의 점 , 직선

     위의 점 , 두 직선의 교점 에 대하여 선분 와 선분 를   으로 외분하는 점을 각각 ,

라 한다 직선. 와 직선 의 교점 에 대하여

   일 때,  의 값은? ( ,단   ,   )

312.

^{31 2)} 두 점   ,   에 대하여 선분 ^를

  으로 내분한 점이 제 사분면에 있을 때 조건,

  

  를 만족한다 이때 두 실수. ,  에 대하여

  의 최댓값은?

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



빠른정답

276) ⑤ 277) ④ 278) ③ 279) ④ 280) ① 281) ⑤ 282) ⑤ 283) ③ 284) ③ 285) ⑤ 286) ① 287) ④ 288) ③ 289) ③ 290) ⑤ 291) ⑤ 292) ③ 293) ① 294) ② 295) ⑤ 296) ① 297) ① 298) ② 299) ② 300) ⑤ 301) ④ 302) ③ 303) ④ 304) ⑤ 305) ④ 306) ④ 307) ⑤ 308) ④ 309) ④ 310) ② 311) ① 312) ⑤

정답 및 풀이 1) ^





^  ^  ^^

2)  





^  ^   ^ 

 ^ ^ 

^  ^    

에 대한 차방정식이 해가 존재하지 않으려면   이어야 한다.

    ^    , ^     ,      

   또는   

∴     

3) _





교차로 를 중심으로 좌표평면을 세우면

시간 후의 의 좌표는    , 의 좌표는

   이다.





^  ^  ^



^^   





^{  }

^ 



∴  

일 대 최소이다.

4) 

 

^   ^ ∴  

5)  

점 의 좌표를  라 하면 ^ 이므로

  ^   ^,   

∴점 의 좌표는  이다.

6) ^

  ),   ,  가 되도록 좌표평면을 세우고 물류창고의 좌표를  라 하자.

 에서  ^ ^ ^ ^

∴  

 에서

  ^^    ^   ^

∴  

  

∴



^  ^   ^ ^

7) ∠  인 직각삼각형이다.





^ ^ ^ ^





^  ^   ^^





^  ^   ^ ^

∴ ^ ^ ^이므로 ∠  인 직각삼각형이다.

8) 





^^ , ^



^ ^





^ ^  ^^

^ ^ ^이므로 ^ ^  

^   ,      ∴   

∴모든 의 곱은 이다.

9) 

^ ^^ 

^ ^

^  ^

i   인 경우

  ^ 

^    



    

따라서 실수 는 개다.

  인 경우

  ^  

^   



     

따라서 실수 는 존재하지 않는다.

iii   인 경우

^   ^ 

∴  

따라서 실수  값의 개수는 이다.

10) ^

그림에서 ^ ′, ^ ′이므로

∴    ′  ′≥ ′′



^^ ^

 

∴  의 최솟값은 ^

11) ^



^^^



^  ^   ^  

≥ 



^^ ^^

12) ^

         ,  라 할 때

 



^  ^ ^



^ ^  ^ 이므로 최솟값은 ^의 길이와 같다.

따라서



^^^^이다.

13)  

점 를  라 하면

^ ^   ^  ^ ^   ^

∴  일 때 최소이다. ∴   

14)  

점 의 좌표를    라 하자.

^ ^ ^ ^^  ^

 ^ 

  ^

  일 때 최소이다.

∴ 

15)   ,   ,  ^, ^

 이고, ^를 삼등분한 점이  이므로

   이다.

^ ^



 ^^







 ^^



^ ^^



^ ^



^^^ 따라서 가  , 나 ,

다^ 라 ^

16) 

    라 하면 ^   파푸스 정리에 의해 ^^ 

 

^





^   

^    

     

   

    

      

∴^ ^ ^ ^ 

17) 

의 중점을 이라 하자.

와 는 ^를 삼등분하는 점이므로

의 중점 또한 이다.

  , ^   중선정리에 의해

∆에서 ^^ ^ 



^^ ^



    



^^



이므로 ^^ 



∆에서 ^ ^ 



^ ^



∴^ ^ 



^

 



^{ }

18)   

점 는 ^를   으로 내분하는 점 점, 는 ^를   로 외분하는 점 점, 는 ^의 중점이다.

∴점   의 위치는 다음 그림과 같다.

∴왼쪽부터 나열하면   이다.

19) _





    , ^    

 라 하면 ^ , ^ , ^ 

∴   

    이므로 ^_{ }



 

∴  

∠의 이등분선이 와 만나는 점을 라 하면

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로 AC의 중점과 BD의 중점이 일치한다.



  

 

  

  

 

 

∴         

33) ^

의 중점과 ^의 중점이 같으므로



  

   

   

 

  



  

∴



^  ^  ^ ^

34) ③

 이므로  ^^ ^ ^

     ⋯ ①

 이므로 ^  ^  ^ ^

     ⋯ ②

② ①×을 하면,   ,      



∴   × 

 

35) ③

가 ∠의 이등분선이므로 ^   

∆  ∆     





^ ^  ^ 





^  ^  ^ 

∴∆  ∆    

36) ⑤



^ ^   ^^

 ^  ,  ^ ,   ±,     

∴양수 는 이다.

37) ⑤

    ⋯ ①

^ ^   ^   ^,     ⋯ ②

①을 ②에 대입하면,    ,      

∴  

39) ⑤



^^  ^ ^

^   , ^   

∴모든 실수 의 값의 곱은  이다.

40) ⑤

  라 하면 ^   , ^ 

직각삼각형에서 ^   ^ ^ ∴  



   

 

 ∴  

    

 

∴



^

 

^^ 

41) ③





^ ^   ^ 

42) ③

그림과 같이 최단거리는 ^′′이다.

∴′′



^ ^ ^^

43) ①

지점 을 원점으로 좌표축을 세우면 시간 후 석민이의 좌표는    , 지원이의 좌표는    이다.

^   ^  ^≤ , ^    ≤ ,      ≤ 

∴ ≤  ≤ 

44) ①

점 는 직선    위의 점이므로     ⋯ ①

 이므로 ^  ^  ^   ^

    ⋯ ②

①을 ②에 대입하면,     ∴     

∴  

그림에서 ^ ′, ^ ′

∴   ′  ′≥ ′′



^^^ ^

46) ③





^ ^    ^ ^

47) ③

       ,        ,    

    은 정수이므로 다음과 같다.

     

   

   

       

       

∴              

네 꼭짓점으로 하는 사각형의 대각선의 길이는 두 점

 ,    사이의 거리



^ ^ ^ ^와 두 점      사이의 거리



^  ^   ^ ^이다.

∴두 대각선의 길이의 합은 ^이다.

48) ①

점 의 좌표를  이라 하자.

 이므로

^   ^ ∴  

∴    

49) ③





^  ^   ^^

   ^

^    ^

∴ ^



^  ^  ^ ^의 양변을 제곱하여 정리하면

^    ,     ∴    

∴의 값의 합은 이다.

50) ④

축 위의 점 를  이라 하면 ^ 

축 위의 점 를  이라 하면 ^ 

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