다항함수의 적분법

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(x‹ )'=3x¤ 이므로: 3x¤ dx=x‹ +C (x› )'=4x‹이므로: 4x‹ dx=x› +C 3x¤ +2ax+b=(cx‹ +2x¤ +3x+C)'이므로 3x¤ +2ax+b=3cx¤ +4x+3

위의 식이 x에 대한 항등식이므로 3=3c, 2a=4, b=3

∴ a=2, b=3, c=1

02 부정적분의 계산

^본문125쪽

: x¤ dx= x‹ +C : x‹ dx= x› +C : xfl dx= x‡ +C : x⁄ ‚ dx= x⁄ ⁄ +C : 3 dx=3x+C : 2x dx=2: x dx

=2¥ x¤ +C=x¤ +C : 8x‡ dx=8: x‡ dx

=8¥ x° +C=x° +C

: (6xfi -12x‹ +4x)dx=: 6xfi dx-: 12x‹ dx+: 4x dx

=6: xfi dx-12: x‹ dx+4: x dx

=xfl -3x› +2x¤ +C : (3x+1)(2x-2)dx

=: (6x¤ -4x-2)dx

=2x‹ -2x¤ -2x+C : (2x+1)(6x-3)dx

=: (12x¤ -3)dx

=4x‹ -3x+C

: (4x¤ +2x)dx-: (x¤ -4x+1)dx

=: (3x¤ +6x-1)dx

=x‹ +3x¤ -x+C

: (x-1)¤ dx-: (x+1)¤ dx

=: {(x-1)¤ -(x+1)¤ }dx

=: -4x dx

=-2x¤ +C

f '(x)=6x¤ +2x-3이므로

16

14 13 12 11 09

1 8

07

1 2

06

05

1

04

11

1

03

7

1

02

4

1

01

3

10 09

08

^f(x)=: (6x¤ +2x-3)dx

=2x‹ +x¤ -3x+C f(0)=1이므로 C=1

∴ f(x)=2x‹ +x¤ -3x+1

f '(x)=3(x+1)(x-1)=3x¤ -3이므로 f(x)=: (3x¤ -3)dx

=x‹ -3x+C

f(-1)=-1+3+C=2이므로 C=0

∴ f(x)=x‹ -3x

f '(x)=(3x-1)(5x-3)=15x¤ -14x+3이므로 f(x)=:(15x¤ -14x+3)dx=5x‹ -7x¤ +3x+C f(0)=1이므로 C=1

∴ f(x)=5x‹ -7x¤ +3x+1 f(x)=: f '(x)dx

=: (2x+1)dx=x¤ +x+C f(0)=C=3이므로

f(x)=x¤ +x+3

∴ f(-1)=1+(-1)+3=3 f '(x)=-4x+3이므로

f(x)=: (-4x+3)dx=-2x¤ +3x+C 이 곡선이 점 (1, 2)를 지나므로

f(1)=-2+3+C=2에서 C=1

∴ f(x)=-2x¤ +3x+1 f '(x)=6x¤ -8x이므로

f(x)=: (6x¤ -8x)dx=2x‹ -4x¤ +C 이 곡선이 점 (1, -1)을 지나므로 f(1)=2-4+C=-1 ∴ C=1

∴ f(x)=2x‹ -4x¤ +1 f '(x)=3x¤ +2x이므로

f(x)=: (3x¤ +2x)dx=x‹ +x¤ +C 이 곡선이 점 (-1, 6)을 지나므로 f(-1)=-1+1+C=6 ∴ C=6 즉, f(x)=x‹ +x¤ +6

∴ f(1)=1+1+6=8 f '(x)=6x¤ -4x이므로

f(x)=: (6x¤ -4x)dx=2x‹ -2x¤ +C 이 곡선이 점 (1, 0)을 지나므로 f(1)=2-2+C=0 ∴ C=0 즉, f(x)=2x‹ -2x¤

∴ f(2)=16-8=8

03 부정적분과 미분의 관계

^본문128쪽

(x+2)f(x)={ x‹ -4x+C}'이므로 (x+2)f(x)=x¤ -4

1

02

3

25 24 22 21 19 18 17

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(x+2)f(x)=(x+2)(x-2)

∴ f(x)=x-2

(x+3)f(x)={ x‹ +;2%;x¤ +6x+C}'이므로 (x+3)f(x)=x¤ +5x+6

(x+3)f(x)=(x+2)(x+3)

∴ f(x)=x+2

주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf '(x)-6x¤ -4x

xf '(x)=6x¤ +4x, 즉 f '(x)=6x+4

∴ f '(1)=6+4=10

주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf '(x)-6x¤ +2x

xf '(x)=6x¤ -2x, 즉 f '(x)=6x-2 f(x)=: (6x-2)dx=3x¤ -2x+C이므로 f(1)=3-2+C=4에서 C=3

∴ f(x)=3x¤ -2x+3

∴ f(2)=12-4+3=11

f(x)=x¤ -4x+3=(x-1)(x-3)=0이므로 F(x)는 x=1에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 갖는다.

F(x)= x‹ -2x¤ +3x+C이므로

F(1)-F(3)={ -2+3+C}-(9-18+9+C)=

주어진 그래프에서 f '(x)=ax(x-2)이므로 f(x)=: f '(x)dx= ax‹ -ax¤ +C 이때, x=0에서 극소, x=2에서 극대이므로 f(0)=1에서 C=1

f(2)=5에서 a-4a+C=- a+1=5

∴ a=-3

∴ f(x)=-x‹ +3x¤ +1

주어진 그래프에서 f '(x)=ax(x-3)이므로 f(x)=: f '(x)dx= ax‹ - ax¤ +C 이때, x=0에서 극대, x=3에서 극소이므로 f(0)=11에서 C=11

f(3)=2에서 9a- a+C=- a+11=2

∴ a=2

∴ f(x)= x‹ -3x¤ +11

∴ f(1)= -3+11=

주어진 그래프에서 f '(x)=x¤ -4x이므로 f(x)=: f '(x)dx=: (x¤ -4x)dx

= x‹ -2x¤ +C

f(0)=1에서 C=1이므로 f(x)= x‹ -2x¤ +1

∴ f(3)=9-18+1=-8

1 3 1

3

11

26 3 2

3 2 3

9 2 27

2

3 2 1 3

10

4 3 8

3 1 3

09

4 3 1

3 1 3

08

06 05

1

03

3

04 구분구적법

^본문130쪽

오른쪽 그림에서 (n-1) 개의 직사각형의 넓이의 합을 T«이라고 하면

T«= ¥ {2- }

= { - }

= ¥ - ¥

T«=

-따라서 구하는 도형의 넓이는

nlim⁄¶T«=lim_n⁄¶[ - ]

=4- =

사각뿔의 높이를 n등분하여 각 분점을 지나고 밑면에 평행 한 평면으로 사각뿔을 자른 다음, 다음 그림과 같이 (n-1) 개의 사각기둥을 만든다.

이때 각 사각기둥의 높이는 이므로 각 사각기둥의 밑면의 한 변의 길이를 위에서부터 차례로 구하면

, , , y,

(n-1)개의 사각기둥의 부피의 합을 V«이라고 하면 V«={ }2 +{ }2 +y+[ ]2

= {1¤ +2¤ +y+(n-1)¤ }

= a¤ h{1- }{2- } 따라서 구하는 부피는 lim

n⁄¶V«= a¤ h 원뿔의 높이를 n등분하여 각 분점을 지나고 밑면에 평행 한 평면으로 원뿔을 자른 다 음, 다음 그림과 같이 (n-1) 개의 원기둥을 만든다.

각 원기둥의 높이는 이므 로

h n

r h

hn x

04

1 3 1 n 1 n 1

6 a¤ h

n‹

h n (n-1)a

n h

n 2a

n h n a n

(n-1)a n 3a

n 2a

n a n

h n a

h h

n

03

4 3 8 3

4(n-1)(2n-1) 3n¤

4(n-1) n

4(n-1)(2n-1) 3n¤

4(n-1) n

(n-1)n(2n-1) 6 8

n‹

(n-1)n 2 8 n¤

8k¤

n‹

8k n¤

n-1¡_k=1

2k n 2k

n 2 n

n-1¡_k=1 ^O

y

x y=x(2-x)

2(n-1)n

n2 2

n4

02

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x : r= : h, 즉 x=

각 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 위에서부터 차례로 구 하면

, , , y,

(n-1)개의 원기둥의 부피의 합을 V«이라고 하면 V«=p{ }2 +p{ }2 +y+p{ }2

= {1¤ +2¤ +y+(n-1)¤ }

= ¥

= pr¤ h{1- }{2- } 따라서 구하는 원뿔의 부피는 limn⁄¶V«=lim

n⁄¶ pr¤ h{1- }{2- }= pr¤ h 그림에서 한 직사각형의

넓이는 {1+ k}3 ¥ 이 므로

(n개의 직사각형의 넓이 의 합)

= {1+ k}3 ¥

∴ (구하는 넓이)

=limn⁄¶ {1+ k}3 ¥

그림에서 k번째 직사각형의 넓이는 {f(xk)-g(xk)}¥

n개의 직사각형의 넓이는 Sn= {f(xk)-g(xk)}¥

따라서 구하는 넓이 S는 S=lim

nڦSn=lim

n⁄¶ {f(xk)-g(xk)}¥

05 정적분의정의

^본문132쪽

f(x)=x¤ 으로 놓으면 정적분의 정의에서 a=0, b=3이므로 Dx= = , xk=0+kDx=

f(xk)=xk¤ ={ }2 =

∴:)3 x¤ dx=lim_n⁄¶¡_k=1ⁿ f(xk)Dx 9k¤

n¤

3k n

3k n 3

n 3-0

n

02

b-a n

¡n k=1

b-a n

¡_k=1n

b-a n x

y=f(x) y=g(x)

xk xk+1

a b

06

2 n 2 n

¡n k=1

2 n 2 n

¡_k=1n

2 n 2 n

O 1 3

y

x y=x ‹

n2 1+ k

05

1 3 1 n 1 n 1

6

1 n 1 n 1

6

(n-1)n(2n-1) 6 pr¤ h

n‹

pr¤ h n‹

h n (n-1)r

n h

n 2r

n h n r n

(n-1)r n 3r

n 2r

n r n

r n h

n =lim

n⁄¶ ¥ =lim

n⁄¶ k¤

=limn⁄¶ ¥

=9

f(x)=x+1로 놓으면 정적분의 정의에서 a=1, b=3이므로 Dx= = , xk=1+kDx=1+

f(xk)={1+ }+1=2+

∴:!3 (x+1)dx=lim_n⁄¶ f(xk)Dx

=limn⁄¶ {2+ }¥

=limnڦ {2+ }

=limn⁄¶[ ¥n+ ¥ ]

=4+2=6

f(x)=x¤ +1로 놓으면 정적분의 정의에서 a=0, b=3이므로 Dx= = , xk=0+kDx=

f(xk)= +1

∴:)3 (x¤ +1)dx=lim_n⁄¶ f(xk)Dx

=limn⁄¶ { +1}¥

=limn⁄¶[ ¥ +n¥ ]

=9+3=12

06 정적분과 미분의 관계

^본문133쪽

주어진 등식의 양변에 x=a를 대입하면 :Aa f(t)dt=0이므로

a¤ -4a+4=(a-2)¤ =0, a=2

주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 정적분과 미분 의 관계에서

f(x)=(x¤ -4x+4)'=2x-4

∴ a=2, f(x)=2x-4

주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(t)dt=0이므로 0=1+1+a ∴ a=-2 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x¤ +2x+a

a=-2를 대입하면 f(x)=3x¤ +2x-2

∴ f(1)=3

:)/ (t-1)f(t)dt=x‹ -x¤ -x+a의 양변에 x=0을 대입 하면

:)0 (t-1)f(t)dt=0이므로 a=0

04

03 02

3 n n(n+1)(2n+1)

6 27

n‹

3 n 9k¤

n¤

¡n k=1

¡n k=1

9k¤

n¤

3k n 3

n 3-0

n

04

n(n+1) 2 4 n¤

4 n

2k n

¡n k=1

2 n

2 n 2k

n

¡_k=1n

¡_k=1n

2k n 2k

n

2k n 2

n 3-1

n

03

n(n+1)(2n+1) 6 27

n‹

¡_k=1n

27 n‹

3 n 9k¤

n¤

¡_k=1n

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주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 (x-1)f(x)=3x¤ -2x-1=(3x+1)(x-1)

∴ f(x)=3x+1 ∴ f(1)=4

07 정적분의 기본 정리

^본문134쪽

:!2 3x¤ dx=[x‹ ]2!=8-1=7 :)1 10x› dx=[2xfi ]1)=2-0=2 :!2 (2x‹ -3x¤ +2x-4)dx

=[ x› -x‹ +x¤ -4x]2!

={ ¥2› -2‹ +2¤ -4¥2}-{ -1+1-4}=-:!3 (x-1)(x+2)dx

=:!3 (x¤ +x-2)dx=[ x‹ + x¤ -2x]3!

={ ¥3‹ + ¥3¤ -2¥3}-{ + -2} = :*8 (x-1)° dx=0

:!0 (x¤ +x)dx=[ x‹ + x¤ ]0!

=0-{ + }=-:!- 2 (3x¤ -4x)dx=[x‹ -2x¤ ]-!2

=(-8-8)-(1-2)

=-16+1=-15 :)k{;2!;x+1}dx=[ x¤ +x]k)= k¤ +k

즉, k¤ +k= 이므로

k¤ +4k-5=0, (k+5)(k-1)=0

∴ k=-5 또는 k=1 k>0이므로 k=1

08 함수의 실수배, 합, 차의 정적분

^본문135쪽

:)1 (2x-x¤ )dx+:)1 (2x+x¤ )dx

=:)1 {(2x-x¤ )+(2x+x¤ )}dx

=:)1 4xdx=[2x¤ ]1)

=2-0=2

:!3 (x+1)¤ dx-:!3 (x-1)¤ dx

=:!3 {(x+1)¤ -(x-1)¤ }dx

=:!3 4xdx=[2x¤ ]3!

=18-2=16

03

02

5 4 1

4

1 4 1

08

4

07

5 6 1 2 1 3

1 2 1

06

3

05

26 3 1

2 1 3 1

2 1 3

1 2 1 3

04

1 2 1

2 1

2 1 2

03 02 01

:!3 (x-1)¤ dx-:#1 2x dx

=:!3 (x-1)¤ dx+:!3 2xdx

=:!3 {(x¤ -2x+1)+2x}dx

=:!3 (x¤ +1)dx=[ x‹ +x]3!

=(9+3)-{ +1}=

:_0! (x‹ -3x¤ +2x)dx+:)- 1 (x‹ -3x¤ -2x)dx

=:_0! (x‹ -3x¤ +2x)dx-:_0! (x‹ -3x¤ -2x)dx

=:_0! {(x‹ -3x¤ +2x)-(x‹ -3x¤ -2x)}dx

=:_0! 4xdx=[2x¤ ]0_!

=0-2=-2

:_1! (x¤ +1)dx-:_1! x¤ dx

=:_1! {(x¤ +1)-x¤ }dx

=:_1! dx=[x]1_!=2

09 정적분의성질

^본문136쪽

:)1 (x¤ +1)dx+:!3 (x¤ +1)dx

=:)3 (x¤ +1)dx

=[ x‹ +x]3)

=(9+3)-0=12

:_1@(x‹ -x)dx+:!2 (x‹ -x)dx

=:_2@(x‹ -x)dx

=[ x› - x¤ ]2_@

=(4-2)-(4-2)=0 :)2 (x-1)¤ dx-:#2 (x-1)¤ dx

=:)2 (x-1)¤ dx+:@3 (x-1)¤ dx

=:)3 (x-1)¤ dx

=:)3 (x¤ -2x+1)dx

=[ x‹ -x¤ +x]3)

=(9-9+3)-0=3

:_2!(4x‹ -6x-1)dx-:#2 (4x‹ -6x-1)dx

=:_2!(4x‹ -6x-1)dx+:@3 (4x‹ -6x-1)dx

=:_3!(4x‹ -6x-1)dx

=[x› -3x¤ -x]3_!

=(81-27-3)-(1-3+1)

=51+1=52

05

1 3

04

1 2 1 4

03

1 3

02 06 05

32 3 1

3 1 3

04

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:)7 f(x)dx=:)4 f(x)dx+:$7 f(x)dx

=:)4 f(x)dx+{:$1 f(x)dx+:!7 f(x)dx}

=:)4 f(x)dx-:!44 f(x)dx+:!7 f(x)dx

=3-2+6=7

10 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분

^본문137쪽

:)4 |x-1|dx

=:)1 (-x+1)dx+:!4 (x-1)dx

=[- x¤ +x]1)+[ x¤ -x]4!=5 :)6 |x-4|dx

=:)4 (-x+4)dx+:$6 (x-4)dx

=[- x¤ +4x]4)+[ x¤ -4x]6$

=10

:)2 |x¤ -1|dx

=:)1 (-x¤ +1)dx +:!2 (x¤ -1)dx

=[- +x]1)+[ -x]2!

=2

:!3 |3x¤ -6x|dx

=:!2 (-3x¤ +6x)dx +:@3 (3x¤ -6x)dx

=[-x‹ +3x¤ ]2!+[x‹ -3x¤ ]3@

=6

6x|x-1|=[

이므로

:)3 6x|x-1|dx

=:)1 6x(1-x)dx+:!3 6x(x-1)dx

=:)1 (6x-6x¤ )dx+:!3 (6x¤ -6x)dx

=[3x¤ -2x‹ ]1)+[2x‹ -3x¤ ]3!=29 :_1! f(x)dx=:_0! f(x)dx+:)1 f(x)dx

=:_0! x¤ dx+:)1 2xdx

=[ x‹ ]0_!+[x¤ ]1)

=4 3 1 3

08

6x(1-x) (x…1) 6x(x-1) (x>1)

06

O 2

y

x y=»»|3x ¤ -6x|

05

x‹

3 x‹

3 _{-1 1 2}

y

x y=»»|x ¤ -1|

O

04

1 2 1

2

03

1 2 1

2

02

06

_{f(x)=[ 이므로}

xf(x)=[

:_1! xf(x)dx=:_0! 2xdx+:)1 (-3x¤ +2x)dx

=[x¤ ]0_!+[-x‹ +x¤ ]1)

=-1

f(x)=

[

^이므로

:_1! xf(x)dx=:_0! 3xdx+:)1{- x¤ +3x}dx

=[ x¤ ]0_!+[- x‹ + x¤ ]1)

=-f(x)=[ 이므로

:_1! xf(x)dx=:_0! (-x¤ +x)dx+:)1 xdx

=[- x‹ + x¤ ]0_!+[ x¤ ]1)

=-f '(x)=[ 이므로

:)4 f '(x)dx=:)2 xdx+:@4 (4-x)dx

=[ ]2)+[4x- ]4@=4 :)4 f '(x)dx=[f(x)]4)=f(4)-f(0)이므로 f(4)-f(0)=4

11 그래프의 대칭을 이용한 정적분

^본문139쪽

:_1! (xfi +2x)dx=0

:_1! (5x› +4x‹ +3x¤ +2x+1)dx

=2:)1 (5x› +3x¤ +1)dx

=2[xfi +x‹ +x]1)=6

:_1! (11x⁄ ‚ +12x⁄ ⁄ +13x⁄ ¤ +14x⁄ ‹ )dx

=2:)1 (11x⁄ ‚ +13x⁄ ¤ )dx

=2[x⁄ ⁄ +x⁄ ‹ ]1)=4 :_1! x‹ (1+x)¤ dx

=:_1! x‹ (1+2x+x¤ )dx

=2:)1 2x› dx=2[ xfi ]1)=4 5 2

5

05

04 03 02

x¤

2 x¤

2 x (x…2) 4-x (x>2)

12

1 3

1 2 1

2 1 3 -x+1 (x…0) 1 (x>0)

11

1 2

3 2 1 2 3

2

3 2

3 (x…0)

-;2#;x+3 (x>0)

10

2x (x…0)

-3x¤ +2x (x>0)

2 (x…0)

-3x+2 (x>0)

09

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:_0!(3x¤ +4x‹ +5x› )dx-:!0 (3x¤ +4x‹ +5x› )dx

=:_0!(3x¤ +4x‹ +5x› )dx+:)1 (3x¤ +4x‹ +5x› )dx

=:_1!(3x¤ +4x‹ +5x› )dx=2:)1 (3x¤ +5x› )dx

=2[x‹ +xfi ]1)=4

:Ab f(x)dx=:_-Ba f(x)dx를 만족하면 함수 y=f(x)의 그래 프는 y축에 대하여 대칭이다.

보기의 함수 중 y축에 대하여 대칭인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

12 정적분으로 나타내어진 함수

^본문140쪽

:)2 f(t)dt=k (k는 상수)yy ㉠으로 놓으면 f(x)=-3x¤ +2x+k

이것을 ㉠에 대입하면 :)2 (-3t¤ +2t+k)dt=k [-t‹ +t¤ +kt]2)=k -8+4+2k=k ∴ k=4 따라서 f(x)=-3x¤ +2x+4이므로 f(1)=-3+2+4=3

:)2 f(t)dt=k (k는 상수)yy ㉠으로 놓으면 f(x)=2x-3k

이것을 ㉠에 대입하면 :)2 (2t-3k)dt=k [t¤ -3kt]2)=k 4-6k=k ∴ k=

따라서 f(x)=2x- 이므로

f(1)=2- =

:)1 tf(t)dt=k (k는 상수)yy ㉠으로 놓으면 f(x)=x¤ -2x+k

이것을 ㉠에 대입하면

:)1 t(t¤ -2t+k)dt=k, :)1 (t‹ -2t¤ +kt)dt=k [ t› - t‹ + t¤ ]1)=k, - + =k

=- ∴

k=-따라서 f(x)=x¤ -2x- 이므로 f(3)=9-6- =

:!/ f(t)dt=x‹ -2ax¤ +ax의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(t)dt=1-2a+a, 0=1-a ∴ a=1

:!/ f(t)dt=x‹ -2ax¤ +ax의 양변을 x에 대하여 미분하면

06

13 6 5 6

5 6 5 6 5

12 k 2

k 2 2 3 1 4 k

2 2 3 1 4

04

2 7 12

7

12 7 4 7

03

02 07

06

:!/ f(t)dt= (x‹ -2ax¤ +ax)

f(x)=3x¤ -4ax+a=3x¤ -4x+1

∴ f(3)=27-12+1=16

:@/ f(t)dt=x¤ -ax-6의 양변에 x=2를 대입하면 0=4-2a-6 ∴ a=-1

:@/ f(t)dt=x¤ -ax-6의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x+1

∴ f(5)=2¥5+1=11

F(x)=:)/ (t‹ -1)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)= :)/ (t‹ -1)dt=x‹ -1

∴ F'(2)=8-1=7

13 정적분으로 정의된 함수의 극대・극소, 최대・최소

본문142쪽

f(x)=:)/ (t¤ -6t+8)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=x¤ -6x+8=(x-2)(x-4)

f '(x)=0에서 x=2 또는 x=4

따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극대이므로 극댓값은 f(2)=:)2 (t¤ -6t+8)dt=[ t‹ -3t¤ +8t]2)=

F(x)=:)/ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x)

f(x)=0에서 x=0 또는 x=2

따라서 함수 F(x)는 x=0에서 극소이면서 최소이므로 구하는 최솟값은 F(0)

f(x)=:?^x+1(t¤ +t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)={(x+1)¤ +(x+1)}-(x¤ +x)=2(x+1) f '(x)=0에서 x=-1

따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 최소이므로 구하는 최솟 값은

f(-1)=:_0!(t¤ +t)dt=-:)- 1 (t¤ +t)dt

=-[ t‹ + t¤ ]-)1 =-1 6 1

2 1 3

04

03

20 3 1

3

02

d dx

08

07

d dx d

dx

x y 2 y 4 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x y 0 y 2 y

f(x) - 0 + 0

-F(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

x y -1 y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

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14 정적분으로 정의된 함수의 극한

^본문143쪽

limx⁄ 0 :)/ f(t)dt=lim_{x⁄ 0}

=F'(0)=f(0)=-1 limx⁄ 1 :!/ f(t)dt=lim_{x⁄ 1} ¥

= F'(1)= f(1)

= (4-3+1)=1

limx⁄ 0 :!^1+xf(t)dt=lim

x⁄ 0

=F'(1)=f(1)

=4-3=1 limx⁄ 0 :#^3+xf(t)dt= lim

x⁄ 0

= F'(3)= f(3)

= (3¥3¤ +1)=14

15 정적분과급수

^본문144쪽

nlim⁄¶ { } =:)4 x dx=[ x¤ ]4)=8

nlimڦ {2+ }3

=limn⁄¶ {2+ }3 ¥ ¥

= :@4 x‹ dx= [ x› ]4@=90

nlim⁄¶ (2n+3k)¤

=limn⁄¶ {2+3¥ }2

=limn⁄¶ ¥ {2+ }2

= :@5 x¤ dx= [ x‹ ]5@=13

nlimڦ f {1+ } =lim_nڦ f {1+ }

=6lim

nڦ f {1+ }

=6:!2 f(x)dx=6:!2 x¤ dx

=6[ x‹ ]2!=6{ - }=14

nlimڦ [{2+;n!;}2 +{2+;n@;}2 +y+{2+;nN;}2 ]

=limnڦ {2+;nK;}2

f(x)=x¤, a=2, b=3이라고 하면 Dx= , x˚=a+kDx=2+k

n 1

n 1 n

¡_k=1n

1

10

n

1 3 8 3 1

3

1 n k n

¡n k=1

6 n k n

¡n k=1

k n 6 n

¡n

09

k=1

1 3 1 3 1

3

3k n

¡_k=1n

3 n 1 3

k n

¡n k=1

1 n

¡n k=1

1

08

n‹

1 4 3 2 3

2

3 2 2 n 2k

n

¡_k=1n

3 n 2k

n

¡n

07

k=1

1 2 4

n 4k

n

¡n

05

k=1

1 2

1 2 1

2

F(3+x)-F(3) x 1

2 1

06

2x

F(1+x)-F(1) x 1

05

x

1 2

1 2 1

2

1 x+1 F(x)-F(1)

x-1 1

x¤ -1

04

F(x)-F(0) x 1

02

x

이므로

nlim⁄¶ {2+;nK;}2 =lim_n⁄¶ f(x˚)Dx

=:@3 f(x)dx=:@3 x¤ dx

=[ x‹ ]3@=

nlim⁄¶ {(n+1)¤ +(n+2)¤ +y+(2n)¤ }

=limn⁄¶[{1+ }2 +{1+ }2 +y+{1+ }2 ]¥

=limn⁄¶ {1+ }2 ¥

f(x)=x¤, a=0, b=1이라고 하면 Dx= , x˚=a+kDx=

이므로

nlim⁄¶ {1+ }2 ¥ =:)1 (1+x)¤ dx

=:!2 x¤ dx=[ x‹ ]2!

=

f(0)=f(3)=0이므로 이차함수 f(x)를 f(x)=kx(x-3) (k<0)으로 놓으면

nlimڦ f { }=lim_nڦ` f { } =:)1 f(x)dx

=:)1 kx(x-3)dx=k:)1 (x¤ -3x)dx

=k[ x‹ - x¤ ]1)=k{ - }

=- k 즉, - k= 이므로 k=-1

따라서 f(x)=-x(x-3)=-x¤ +3x이므로 f '(x)=-2x+3

∴ f '(0)=3

두 점 A(a, F(a)), B(a+c, F(a+c))를 지나는 직선의 기울기는

= {F(a+c)-F(a)}

= :A^a+cf(x)dx (∵ F'(x)=f(x))

이때, Dx= = , x˚=a+kDx=a+ 라

하면

정적분의 정의에 의하여 :A^a+cf(x)dx= lim

n⁄¶ f(x˚)Dx

= lim

nڦ f {a+ }

=limnڦ f {a+ }

따라서 직선의 기울기와 같은 값을 갖는 것은 ②이다.

1 n ck

n

¡n k=1

c n ck

n

¡n k=1

1 c

¡n k=1

1 c 1

c

ck n c

n (a+c)-a

n 1 c 1 c F(a+c)-F(a)

(a+c)-a

13

7 6 7 6

7 6

3 2 1 3 3

2 1 3

1 n k n

¡n k=1

k n

¡n k=1

1 n

12

7 3

1 3 1

n k n

¡n k=1

k n 1

n

1 n k n

¡n k=1

1 n n n 2

n 1

n 1

11

n‹

19 3 1

3

¡n k=1

1 n

¡n k=1

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16 곡선과 xx축 사이의 넓이

^본문146쪽

곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -2x=x(x-2)=0 에서 x=0 또는 x=2 구간 [0, 2]에서 y…0이므로 S=-:)2 (x¤ -2x)dx

=-[ -x¤ ]2)=

곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -4x+3=(x-1)(x-3)=0 에서 x=1 또는 x=3

구간 [1, 3]에서 y…0이므로 S=-:!3 (x¤ -4x+3)dx

=-[ -2x¤ +3x]3!=

곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x‹ +3x¤ +2x

=x(x+1)(x+2)=0 에서 x=-2, x=-1, x=0 구간 [-2, -1]에서 yæ0이 고 [-1, 0]에서 y…0이므로 S=:_-@1 (x‹ +3x¤ +2x)dx

-:_0!(x‹ +3x¤ +2x)dx

S=:_-@1 (x‹ +3x¤ +2x)dx+:)- 1 (x‹ +3x¤ +2x)dx

=[ +x‹ +x¤ ]-_1@+[ +x‹ +x¤ ]-)1

=

y=x¤ +x-2의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이 S는 S=-:)1 (x¤ +x-2)dx

+:!2 (x¤ +x-2)dx S=-[ x‹ + x¤ -2x]1)

+[ x‹ + x¤ -2x]2!

S=3

y=x¤ -4x+3의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이 S는 S=:)1 (x¤ -4x+3)dx

-:!2 (x¤ -4x+3)dx S=[ x‹ -2x¤ +3x]1)

-[ x‹ -2x¤ +3x]2!=21 3

1 3

O y

1 x 2

3 y=x ¤ -4x+3

08

1 2 1 3

1 2 1 3

O y

2 x 1

y=x ¤ +x-2

07

1 2

x›

4 x›

4

-1 O -2

y

x y=x ‹ +3x ¤ +2x

05

4 3 x‹

3

O y

3 x 1

y=x ¤ -4x+3

03

4 3 x‹

3

O y

2 x y=x ¤ -2x

02

y=x(x-1)(x-3)

=x‹ -4x¤ +3x

의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이 S는 S=:)1 (x‹ -4x¤ +3x)dx

-:!2 (x‹ -4x¤ +3x)dx

S=[ x› - x‹ + x¤ ]1)-[ x› - x‹ + x¤ ]2!

S=

y=x¤ (x-2)=x‹ -2x¤ 의 그래프 는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이 S는 S=-:)2 (x‹ -2x¤ )dx

+:@4 (x‹ -2x¤ )dx S=-[ x› - x‹ ]2)

+[ x› - x‹ ]4@

S=24

S™=:)1 xfi dx=[ xfl ]1)=

S¡+S™=1이므로 S¡=

∴ S¡ : S™=5 : 1

17 곡선과 yy축 사이의 넓이

^본문148쪽

y='x에서 x=y¤ 이고 1…y…2일 때 xæ0이므로 S=:!2 y¤ dy=[ y‹ ]2!

= (8-1)=

곡선 x=y¤ -4와 y축의 교점의 y좌표는 y¤ -4=0에서 (y+2)(y-2)=0

∴ y=-2 또는 y=2 -2…y…2일 때 x…0이므로 S=-2:)2 (y¤ -4)dy

=-2[ -4y]2)=

x=y¤ -2y와 y축의 교점의 y좌 표는 y¤ -2y=0에서

y(y-2)=0

∴ y=0 또는 y=2 1…y…2일 때 x…0,

2…y…3일 때 xæ0이므로 _O

2 1 3 y

x x=y ¤ -2y

04

32 3 y‹

3

O

-2 2 y

x x=y ¤ -4

02

7 3 1

3

1 3

O y

1 x 1 2

4 y=÷x

01

5 6

1 6 1

11

6

2 3 1 4

2 3 1 4

O 2 4

y

x y=x ¤ (x-2)

10

3 2

3 2 4 3 1 4 3

2 4 3 1 4

O y

1 3 x

2

y=x(x-1)(x-3)

09

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S=-:!2 (y¤ -2y)dy +:@3 (y¤ -2y)dy

S=-[ y‹ -y¤ ]2!+[ y‹ -y¤ ]3@

= + =2

18 두 곡선 사이의 넓이

^본문149쪽

교점의 x좌표는 x¤ +2=-x+2에서 x¤ +x=0, x(x+1)=0

∴ x=-1 또는 x=0

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:_0!{(-x+2)-(x¤ +2)}dx

=:_0!(-x-x¤ )dx

=:)- 1 (x+x¤ )dx

=[;2!;x¤ +;3!;x‹ ]-)1 = 교점의 x좌표는

-x¤ +3x=x에서 x(x-2)=0

∴ x=0 또는 x=2

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:)2 {(-x¤ +3x)-x}dx

=:)2 (-x¤ +2x)dx

=[- +x¤ ]2)=

교점의 x좌표는

-x¤ +x+4=-x+1에서 (x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3 따라서 구하는 도형의 넓이 S는

S=:_3!{(-x¤ +x+4) -(-x+1)}dx S=:_3!(-x¤ +2x+3)dx

=[- x‹ +x¤ +3x]3_!=

두 곡선의 교점의 x좌표는 -x¤ +4x-3=x¤ -6x+5, 2(x-1)(x-4)=0

∴ x=1 또는 x=4

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:!4 {(-x¤ +4x-3)

-(x¤ -6x+5)}dx

O 1

4 y

x y=x ¤ -6x+5

y=-x ¤ +4x-3

05

32 3 1

3

O -1

3 y

x y=-x ¤ +x+4 y=-x+1

04

4 3 x‹

3

y

x

y=-x ¤ +3x

O 2

03

y=x

1 6

y

x y=-x+2 -1 O

y=x ¤ +2

02

4 3 2 3

1 3 1

3

S=:!4 (-2x¤ +10x-8)dx

=[- x‹ +5x¤ -8x]4!=9 두 곡선의 교점의 x좌표는 2x¤ -4x-4=x¤ -2x+4, (x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는 x=4 따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:_4@{(x¤ -2x+4)

-(2x¤ -4x-4)}dx S=:_4@(-x¤ +2x+8)dx

=[- x‹ +x¤ +8x]4_@=36 두 곡선의 교점의 x좌표는 x¤ -2x-1=-2x¤ +4x-1, 3x(x-2)=0

∴ x=0 또는 x=2

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:)2 {(-2x¤ +4x-1)

-(x¤ -2x-1)}dx S=:)2 (-3x¤ +6x)dx

=[-x‹ +3x¤ ]2)=4 두 곡선의 교점의 x좌표는 x‹ -2x¤ =-x¤ +2x, x(x+1)(x-2)=0

∴ x=0 또는 x=-1 또는 x=2

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:_0!{(x‹ -2x¤ )

-(-x¤ +2x)}dx S=+:)2 {(-x¤ +2x)

-(x‹ -2x¤ )}dx

S=:_0!(x‹ -x¤ -2x)dx+:)2 (-x‹ +x¤ +2x)dx

=[ x› - x‹ -x¤ ]0_!+[- x› + x‹ +x¤ ]2)=

두 곡선의 교점의 x좌표는 x(x+2)=x(x+2)(x-1), x(x+2)(2-x)=0

∴ x=-2, x=0, x=2 따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:_0@{x(x+2)(x-1)

-x(x+2)}dx S=+:)2 {x(x+2)

-x(x+2)(x-1)}dx

y=x(x+2)

y=x(x+2)(x-1) O y

2 x -2

09

37 12 1

3 1 4 1

3 1 4

y=-x(x-2) -2x ¤ y=x ‹

O y

-1 2 x

08

2

y=-2x ¤ +4x-1 y=x ¤ -2x-1

O y

x

07

1 3

O y

-2 4 x

y=x ¤ -2x+4

y=2x ¤ -4x-4

06

2 3

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S=:_0@(x‹ -4x)dx+:)2 (-x‹ +4x)dx

=[ -2x¤ ]0_@+[- +2x¤ ]2)=8

곡선 y=2(x+1)(x-2)와 x축의 교점의 x좌표는 x=-1 또는 x=2이므로 구하는 도형의 넓이 S는

S= =9

곡선 y=-x¤ +7x와 직선 y=2x+4로 둘러싸인 도형의 넓 이는 y=(-x¤ +7x)-(2x+4)=-x¤ +5x-4의 그래프 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

교점의 x좌표는 -x¤ +5x-4=-(x-1)(x-4)=0에서 x=1 또는 x=4이므로 구하는 도형의 넓이 S는

S= =

두 곡선 y=x¤ -3x, y=-x¤ +5x-6으로 둘러싸인 도형의 넓이는

y=(-x¤ +5x-6)-(x¤ -3x)=-2x¤ +8x-6의 그래프 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

교점의 x좌표는

-2x¤ +8x-6=-2(x-1)(x-3)=0에서 x=1 또는 x=3이므로 구하는 도형의 넓이 S는

S= =;3*;

19 역함수의 그래프로 둘러싸인넓이

^본문152쪽

두 곡선 y=f(x)와 y=g(x) 는 직선 y=x에 대하여 대칭이 므로 구하는 넓이를 S라고 하 면 S는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이 의 2배이다.

곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 x‹ =x에서 x(x+2)(x-2)=0

∴ x=0 또는 x=2 (∵ xæ0) 따라서 구하는 넓이 S는

S=2:)2{x- x‹ }dx=2[ x¤ - x›]2)=2 f(x)=x¤ (xæ0)에서

f(2)=4, f(3)=9 이때, :@3 f(x)dx=S¡, :$9 g(x)dx=S™라고 하면 그 값은 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같다.

∴:@3 f(x)dx+:$9 g(x)dx

=S¡+S™=3_9-2_4=19

O y

x y=f(x) 9

4

2 3 S™

S¡

04

1 16 1 2 1

4 1 4

O y

2 x 2

y=f(x)

y=g(x)

02

y=x

|-2|(3-1)‹

6

15

9 2

|-1|(4-1)‹

6

13

|2|{2-(-1)}‹

6

11

x›

4 x›

4

20 속도와 거리

^본문153쪽

시각 t=0일 때의 물체의 위치가 x=3이므로 시각 t일 때의 물체의 위치 x는

x=3+:)t (t¤ -3t+2)dt=3+[ t‹ - t¤ +2t]t)

= t‹ - t¤ +2t+3

물체의 위치의 변화량은:Ab v(t)dt이므로 :)2 (t¤ -3t+2)dt

=[ t‹ - t¤ +2t]2)=

v(t)=t¤ -3t+2=(t-1)(t-2) 이므로

구간 [0, 1]에서 v(t)æ0 구간 [1, 2]에서 v(t)…0 따라서 시각 t=0에서 t=2까지 물체가 움직인 거리는

:)2 |t¤ -3t+2|dt

=:)1 (t¤ -3t+2)dt+:!2 (-t¤ +3t-2)dt

=[ t‹ - t¤ +2t]1)+[- t‹ + t¤ -2t]2!=1 두 점 P, Q가 t초 후 같은 위치에 있어야 하므로 :)t 7t(4-t)dt=:)t 2t(3-t)(6-t)dt :)t (2t‹ -11t¤ +8t)dt=[ t› - t‹ +4t¤]t)

= t¤ (3t-4)(t-6)=0

∴ t=0 또는 t= 또는 t=6

따라서 움직이기 시작하여 두 번째 만나는 것은 6초 후이다.

기차가 정지하는 시각은 v(t)=60-3t=0에서 t=20 기차가 20초 동안 움직인 거리는

:)2 0 |v(t)|dt=:)2 0 (60-3t)dt

=[60t- t¤ ]2)0 =600(m) v(t)=30-2t=0에서 t=15

전동차가 15초 동안 움직인 거리는 :)1 5 |30-2t|dt=:)1 5 (30-2t)dt

=[30t-t¤ ]1)5 =225(m) v(t)= =t¤ -4t+3

v(t)=0이면 t=1 또는 t=3 v(t)<0이면 1<t<3 v(t)>0이면 t<1 또는 t>3

이므로, 물체의 운동은 다음 그림과 같다.

dx

09

dt

08

3 2

07

4 3

1 6

11 3 1 2

05

3 2 1 3 3

2 1 3

O 2

1 2

v(t)

t

03

2 3 3

2 1 3

02

3 2 1 3

3 2 1 3

01

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따라서 t=0에서의 운동 방향과 반대 방향으로 이동한 거 리는

:!3 |t¤ -4t+3|dt=:!3 (t¤ -4t+3)dt

= (3-1)‹ =

3 km를 달리는 동안, 출발 후 t분 후의 위치 s(t)는 s(t)=:)t{ t¤ + t}dt= t‹ + t¤

따라서 속력이 일정해지는 시각은 t‹ + t¤ =3 (t-2)(t¤ +3t+6)=0 ∴ t=2(분)

또, 그 때의 일정한 속도는 v(2)=4(km/분) 따라서 5분 동안 이 열차가 달린 거리는 3+4_3=15(km)

t초 후의 높이를 h(t)라고 하면 h(t)=55+:)t (50-10t)dt

=-5t¤ +50t+55 따라서 구하는 높이는

h(6)=-5¥6¤ +50¥6+55=175(m) 최고점에 도달할 때 속도 v(t)=0이므로 v(t)=50-10t=0에서 t=5

즉, 5초 후에 최고점에 도달한다.

따라서 최고점에 도달하였을 때 물체의 높이는 h(5)=-5¥5¤ +50¥5+55=180(m)

지면에 떨어지는 순간의 물체의 높이 h(t)=0이므로 -5t¤ +50t+55=0에서

t=-1 또는 t=11

이때, t>0이므로 지면에 떨어지는 순간의 시각 t는 t=11

따라서 t=11일 때의 속도는 v(11)=50-10¥11=-60(m/초)

t=5에서 최고점에 도달하므로 던진 후 2초부터 8초까지 움 직인 거리는

:@8 |50-10t|dt

=:@5 (50-10t)dt+:%8 (-50+10t)dt

=[50t-5t¤ ]5@+[-50t+5t¤ ]8%=90(m)

발사 후 t초가 지나는 순간의 물체의 높이를 h(t)라고 하면 h(t)=:)t v(t)dt+h(0)

지상으로부터 20 m의 높이에서 쏘아 올렸으므로 t=0일 때 물체의 높이는 h(0)=20

∴ h(t)=:)t (49-9.8t)dt+20=49t-4.9t¤ +20 따라서 t=1일 때의 지상으로부터의 물체의 높이 h(1)은 h(1)=49¥1-4.9¥1¤ +20=64.1(m)

시각 t초일 때 야구공의 지면으로부터의 높이 h m는

16

15 14 13 12 11

1 4 1 4 1 4 1 4 1

2 3 4

10

4 3 1

6

t=1 t=3

0

h=1.4+:)t (-9.8t+14)dt

=1.4+[-4.9t¤ +14t]t)=-4.9t¤ +14t+1.4 이고, 지면에 닿는 순간의 높이는 h=0이므로 -4.9t¤ +14t+1.4=0, 즉 7t¤ -20t-2=0 t>0이므로 t=

따라서 야구공이 운동장 지면에 닿을 때까지 걸리는 시간은 초이다.

21 속도 그래프의 해석

^본문156쪽

원점에서 출발하였으므로 t=3일 때 점 P의 위치는 :)3 v(t)dt이고 실제 움직인 거리가 :)3 |v(t)|dt이다.

0…t…5에서 점 P가 움직인 거리는:)5 |v(t)|dt이다.

t=2, t=4에서 속도가 0이고 t=2, t=4의 좌우에서 속도 의 부호가 바뀌므로 운동 방향이 바뀐다.

점 P는 t=2, t=4에서 정지하므로 0…t…5에서 두 번 정지 한다.

:)2 v(t)dt=:@4 {-v(t)}dt이면

:)2 v(t)dt+:@4 v(t)dt=:)4 v(t)dt=0이므로 점 P의 t=4에서의 위치는 원점이다.

ㄱ. 원점을 출발한 후 2초까지 수직선의 양의 방향으로 움직 이므로 출발 후 2초에서 점 P의 위치는 원점이 아니다.

ㄴ. 0<t<2, 5<t<6일 때, v(t)>0이므로 점 P는 수직선 의 양의 방향으로 움직이고, 2<t<5일 때, v(t)<0이 므로 점 P는 수직선의 음의 방향으로 간다.

ㄷ. v(t)의 부호가 바뀌는 시각은 t=2와 t=5일 때이므로 6 초 동안 움직이면서 운동 방향을 2번 바꿨다.

ㄱ. 점 P의 진행 방향은 t= , t=5일 때 바뀐다.

ㄴ. |v(t)|의 값이 가장 큰 것은 t=3일 때이다.

ㄷ. t=7일 때 점 P의 위치는:)7 v(t)dt=0이므로 t=7일 때 점 P는 원점에 놓여 있다.

⑴:)c v(t)dt=-3+4-20=-19

⑵:)c |v(t)|dt=3+4+20=27

⑶ t=a일 때의 위치는 5+:)a v(t)dt=5-3=2 t=b일 때의 위치는 5+:)b v(t)dt=5-3+4=6 t=c일 때의 위치는 5+:)c v(t)dt=5-3+4-20=-14

1 1

-1 2

3 4

6 O

v(t)

t

① ②

③

④

09 08

7

07

3

06 05 04 03 02 01

10+'∂114 7

10+'∂114 7

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