70. [정답] ②
[출제의도] 좌표공간에서 선분의 길이 계산하기
AB
71. [정답] ③
[출제의도] 이해능력-공간도형과 공간벡터
72. [정답] 30 [풀이]
D , 2, 5) D , 4, 5) Dn
… n
→∞
lim
D
∴
73. [정답] ④ [풀이]
를 원점 보트 자동차의 출발점을 각각 으 로 하는 공간좌표를 정하면
초 후의 각각의 위치는
≥
76. [정답] ⑤ [풀이]
A B C C에서 직선 에 내린 수선의 발 을 H라 하면 CH
삼수선 정리에 의하여 선분 OH와 선분 AB는 수직이고
∆ COH에서 피타고라스 정리에 의해 OH 이다.
∆OAB의 넓이
× OA× OB
× OH× AB이므로
× ×
× ×
⇒
⇒
⇒
∴
77. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 공간좌표를 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제 이다.
A , B , C 이므로 삼각형 ABC는 ∠C
인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는
AB
78. [정답] ① [풀이]
점 P에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라고 하면
PO⊥ 평면 , PH ⊥ AB 이므로 삼수선의 정리에 의하여 OH ⊥ AB 따라서 직각삼각형OAB에서
OA OB AB 이고
△ ⋅ AB ⋅ OH이므로
× ×
× × OH
∴ OH
한편 △POH도 직각삼각형이므로
PH
따라서 점 P에서 직선 에 이르는 거리는 1이다.
79. [정답] ② [풀이]
점 의 좌표를 ( 는 실수)로 놓으면
이므로 일 때, 의 최솟값은 이다.
80. [정답]
[풀이]
점 P의 좌표를 cos sin 이라 두면
AP
cos sin
cos cos cos
cos cos
cos
cos 일 때 최대가 되므로
AP≤
81. [정답] ② [풀이]
P 에서 OA에 내린 수선의 발을 H 라 하면 OA 로 일정하므로 PH
PH
⇒
한편, PH ⊥OA이므로
∙
⇒
∴
≤ ≤ 이므로
옆면의 넓이는 × ×
82. [정답] ④ [풀이]
AG, AB , GB 이므로 ∆ABG는 직각삼각형이다.
B에서 AG에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH는
이고 AH
이므로
,
이다.
∴
83. [정답] ④ [풀이]
사각뿔A BCDE 에서 밑면 BCDE 는 한 변이 인 정사각형이고 높이는 이므로 부피 라 하면
⋅
에서 이므로 ∆는 정삼각형이다. 따라서 ∆의 넓이는
이때, 가 최소가 되려면 의 값이 최대가 되어야 한다.
이므로
≥
∴ ≤
(단, 등호는 일 때, 성립한다.)
따라서 의 최댓값이 이므로 의 최솟값은
이다.
85. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 구의 성질을 이해하여 삼각형의 넓이를 구한다.
점 C는 구 위의 한 점이므로 삼각형 ABC는
∠ACB
인 직각삼각형이다.
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
× AC× BC
× ×
× ×
86. [정답] ⑤ [풀이]
평면과 평면 사이의 각을 , 평면과 평면 사이의 각을 라 하자.
cos cos 이때,
이므로
cos cos
sintan
∴ cos
∆QHM을 지나는 평면으로 입체를 자른 단면은 아래 그림과 같이
RQ, RS 이므로
QS
이고,SH 이므로 QH 이다.
PM MH , QH 이므로 Q
∴ PQ
88. [정답] ④ [풀이]
ㄱ. 점 P는 4초 만에 원점에 온다.
점 Q는 초 만에 원점에 온다. 각각 , 바퀴를 돌았다고 하면
를 만족하는 순서쌍은 밖에 없으므로 처음 출발 할 때만 만난다.
ㄴ. 이다.
ㄷ. 참
89. [정답] ④ [풀이]
직원뿔을 펼치면 다음 그림과 같다.
∠AOB
제이코사인법칙에 의해서
AB ···cos
∴ AB
에서 ∴
위의 그림과 같은 원뿔의 전개도에서
와 의 최단 거리는 이다.
에서 에 가장 가까운 지점을 라 하면
에서 까지는 오르막길,
에서 까지는 내리막길이 된다.
△에서 제이코사인법칙에 의하여
․ ․ ․ cos∘
∴
△의 넓이를 라 하면
× × × sin∘
한편, ․ ․ ․
∴
△에서
∴
90. [정답] ①
[출제의도] 구와 평면에 대해 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다.
점 O 와 점 M 의 평면 에 내린 수선의 발을 각각 O′ M′라 하고
점 M의 선분 OO′에 내린 수선의 발을 O″ 라 하면 그림에서
O′M′ O′′M OM 이고 ∆OO′M이 직각삼각형이므로
OO″ O″ O′ OO′ OO″
즉 정육면체의 높이가 이므로 한 모서리의 길이가 이다.
구와 평면의 교점을 원점이라 하고,
O M N L H 라 하자.
LH 이므로 H′ 에 대하여
LH LH′ PH PH′이 성립한다.
점O P H′ 이 일직선에 놓이게 된다.
OP PH OP PH′ ≥ OH′
따라서 OP PH의 최솟값은
2. 선분의 내분점과 외분점 91. [정답] ③
[출제의도] 좌표공간에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가
두 점 A , B 에 대하여 선분 AB를 으로 내분하 는 점의 좌표가 이므로
× ×
이다. 즉, 이므로
92. [정답] ⑤
[출제의도] 좌표공간에서 선분의 내분점을 이해하여 관련 문항을 해 결할 수 있다.
93. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 선분의 내분점 계산하기
×
94. [정답] ② [풀이]
선분 AB 를 로 내분하는 점을 P라 하자.
P의 좌표가 이므로
×
∴
95. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 벡터의 연산을 이해하여 관련 문항을 해결 할 수 있다.
두 점 A B 의 중점의 좌표는
이므로
따라서 이므로
96. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 계산 능력 – 공간좌표
⋅ ⋅
,
⋅ ⋅
,
⋅ ⋅
∴
97. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 공간좌표
→
∴
98. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 두 점의 내분점을 구할 수 있는가?
내분점의 좌표는
이므로∴
99. [정답] ③ [풀이]
A , B 이고
AB를 로 내분하는 점의 좌표는
에서 ,
∴
100. [정답] ① [풀이]
101. [정답] ⑤ [풀이]
, ∴
102. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 공간좌표의 내분점 계산하기 선분 AB를 로 내분하는 점의 좌표는
이므로
103. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 선분의 외분점을 구할 수 있는가
두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 외분하는 점의 좌표는
× ×
× ×
× ×
즉,
이 점이 축 위에 있으므로
에서 따라서
104. [정답]
[풀이]
P , Q 이므로
선분 PQ 를 로 내분하는 점의 좌표를 라 하면
∴
105. [정답] 350 [풀이]
[출제의도] 공간좌표 이해하기
그림과 같이 점 M을 좌표공간의 원점으로 하면
107. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 공간좌표를 이용하여 삼각형의 무게중심의 좌표를 구할 수 있는가?
세 점 A , B , C 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표는
∴
이때, 무게중심의 좌표가 이므로
,
∴
∴
108. [정답] 20 [풀이]
[출제의도] 공간도형과 공간좌표
평면 가 평면 위에 있다고 하면 세 구가 평면 위에 있으므로 세 구의 방정식은
으로 나타낼 수 있고 세 구의 중심은 각각 A B C 이다.
이때, △ABC의 무게중심에서부터 평면 까지의 거리는△ABC의 무게중심의 좌표와 같으므로
109. [정답] ② [풀이]
정육면체 A 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (3, 1, 3) 정육면체 B 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (3, 3, 1) 정육면체 C 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (1, 3, 1) 이므로 개의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표 는
∴
110. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 공간도형의 성질을 알고 이를 이용하여 선분의 길이를 구 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
O
구 를 평면으로 자른 단면은 원
이 되므로, 밑면의 넓이는 가 되고, 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 이다.
∴원뿔의 부피의 최댓값은
112. [정답] ④ [풀이]
주어진 그림에서 위, 아래의 단면은 원이다.
즉, 반지름의 길이를 각각 , 로 놓고 위 그림을 얻을 수 있다.
구의 중심에서 위의 단면까지의 거리를 로 놓으면
,
따라서 두 단면의 넓이의 합은
따라서
일 때, 넓이의 합은 최댓값
를 갖는다.
113. [정답] ④ [풀이]
구 의 중심을 A 라 하고 구 에서
의 중심을 B 라 하자.
두 구가 원점 O 에서 서로 접하므로 두 벡터 OA와 OB는 평행하다.
즉, OB OA 는 실수)
∴
∴
∴
114. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 구의 방정식을 구할 수 있는가?
가 축, 축에 접하면서 평면과 만나서 생긴 원의 반지름이 이 므로
∴
115. [정답] ③ [풀이]
좌표공간은 평면, 평면, 평면에 의해 다음과 같이 개의 영역으 로 나누어진다.
① 인 영역,
② 인 영역,
③ 인 영역,
④ 인 영역,
⑤ 인 영역,
⑥ 인 영역,
⑦ 인 영역,
⑧ 인 영역,
한편, 주어진 구
의 중심은 이므로 구 의 중심은 ⑤의 영역에 있다.
따라서 구 는 ⑤의 영역을 지난다.
또, 구의 반지름의 길이 는 이고,
이므로
구 는 평면, 평면, 평면에 의하여 두 부분으로 나누어진다.
따라서 구 는 ①, ⑦, ⑥의 영역을 지난다.
한편,
이므로 구 는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다.따라서 ③의 영역을 지난다.
또,
이므로구 는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 ②의 영역을 지난다.
하지만,
이므로 구 는 축과 만나지 않는다.따라서 ⑧의 영역을 지나지 않는다.
또,
이므로 원점의 구 의 외부에 있다.따라서 ④의 영역을 지나지 않는다.
따라서 구 가 지나는 영역은 ①, ②, ③, ⑤, ⑥, ⑦의 개이다.
116. [정답] 45 [풀이]
중심에서 까지의 거리가 3이므로 그 평면이 만드는 원의 반지름은
∴
이것은 평면의 경우도 마찬가지이다.
그런데 두 평면이 서로를 중심에서 3만큼 떨어지게 남겨두고 자르므로 여기서 왼쪽 부분의 넓이가 두 평면에 의해 잘린 단면의 한 부분이 된 다. 이 넓이를 구해서 곱하기 2를 하면 된다.
117. [정답] [풀이]
[출제의도] 공간도형과 공간벡터
구를 평면에 수직이고 OP 를 지나는 평면으로 잘라서 단면화해 보자.
이때 아래와 같은 그림을 얻을 수 있다.
를 평면에 정사영 시킨 점을 이때, OH OP 이다.
PQ 를 만족하도록 평면 를 잡고 평면과 이루는 각을 라 하자.
의 넓이를 라 하면,
cos
cos가 최대인 순간은 위의 그림과 같이가 와 평면의 교선에 최대한 가까이 있는 경우이다.
이 때 를 구하면
cos cos
, cos
cos
따라서 원 의 넓이의 최댓값은
∴
118. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 구 중심의 자취 구하기 두 구 ⋯⋯ ①
⋯⋯ ②의 중심
O C 사이의 거리는
이므로 두 구는 외접한다.이때, 반지름이 2인 구의 중심 P 는 OP CP 를 만족하므 로, 점 P는 선분 OC를 회전축으로 회전한 도형의 둘레가 된다. 그림에서
∠COP 라 놓으면, cos ⋅⋅
점 P에서 선분 OC에 수선을 내린 수선의 발을 H라 하면,
PH ⋅ sin
cos
OE
이다.
따라서 DE BC
이므로 AB
이다.
이므로 이다.
120. [정답] 11 [풀이]
평면과 평면이 이루는 각을 단면화시켜서 관찰하기 위하여 우선 도형을 옆에서 관찰하면 다음과 같다.
S의 중심을 O라 하면
OO , OH 이고 ∴ OH
위에서 이 도형의 이면각 를 표현하기 위해 O O O H 를 포함하 는 평면으로 자른 단면을 그려보면 다음과 같다.
이때, sin
cos sin
도형 D의 단면의 넓이는 이므로 정사영의 넓이는 ×
이다
∴
(∵
)
또한, 구하고자 하는 도형은 점
을 지나면서 평면에 평행한 평면과 구 의 교선이므로
, 따라서 도형 전체의 길이는
×
∴
122. [정답] 72 [풀이]
[출제의도] 공간도형과 이차곡선에 관한 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
꼭짓점이 A이고 구에 접하는 접선들로 이루어진 직원뿔을 평면으로 자른 단면은 타원이므로, 두 점 P Q는 타원 위의 점이다. 따라서 타원 의 장축은 직선 위에 존재하고, 장축의 한 끝점은 원점이다.
그림과 같이 원점을 O, 구의 중심을 O′ , O′에서 축에 내린 수선의 발 을 T , 원점이 아닌 장축의 다른 끝점을 R, AR과 구의 접점을 U, 점 T 에서 AO′에 내린 수선의 발을 H라 하자.
A T U
R
O′
A
T
O R
H U
OT AT AU AO′ 이므로 직각삼각형 ATO′에서 TH
이고 ∆ATU에서 제이코사인법칙에 의하여 cos∠TAU
이다. 직각삼각형 AOR에서 최댓값
OR 이므로 이다.
123. [정답]
[풀이]
[출제의도] 이해 능력 – 공간벡터
구 는 중심이 이고 반지름이
이다.
원 는 중심이 이고 반지름이 이다.
구의 중심을 C , 원의 중심을 C 라 하고 C에서 평면에 내린 수선의 발을 H 라 하자.
CQ
CH HQ
HQ따라서 HQ가 최대일 때, CQ가 최대가 된다.
HQ가 최대가 되도록 하는 점 Q는 직선 H C 위에 놓인다.
이때, 최댓값은
HC CQ
이다.따라서 CQ의 최댓값은
HQ
이다.따라서 PQ의 최댓값은 CQ 이다.
[다른풀이]
점 를 A, 점 를 A′, 점 를 B라 하자.
구 을
평면으로 정사영시킨 점 A′을 중심으로 하는 반지름 인 원
과 점 B를 중심으로 하고 반지름이 인 원
이 그림과 같다.
AQ의 최댓값은 , AA′ , PQ의 최댓값은 이다.
124. [정답] ④ [풀이]