4 곡선의 오목·볼록과 변곡점

함수 f(x)=ax‹ +bx¤ +cx의 그래프의 x=2인 점에서의 접선의 기울기가 4이고 점 (1, 2)가 곡선 y=f(x)의 변 곡점일 때, 세 상수 a, b, c의 곱 abc의 값은?

① -12 ② -6 ③ 3 ④ 6 ⑤ 12

f ''(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f ''(x)의 부호가 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다.

풀 이 전 략

f(x)=ax‹ +bx¤ +cx에서

f '(x)=3ax¤ +2bx+c, f ''(x)=6ax+2b x=2에서의 접선의 기울기가 4이므로

f '(2)=12a+4b+c=4 …… ㉠ 또, 점 (1, 2)가 곡선 `y=f(x)의 변곡점이므로

f(1)=a+b+c=2 …… ㉡ f ''(1)=6a+2b=0

∴ b=-3a …… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 a=1, b=-3, c=4이므로 abc=-12

풀 이

① 답

닫힌 구간` [0, 2p]에서 정의된 함수` f(x)=e≈ sin x의 그래프가 열린 구간 (a, b)에서 위로 볼록할 때, b-a의 최댓값을 구하시오. (단, e는 자연로그의 밑이다.)

확인유제

유제

^{정답과 풀이 83쪽}

07

함수` f(x)=ln(1+x¤ )의 그래프에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

발전유제

08

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. 함수` f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

ㄴ. 곡선 `y=f(x)는 열린 구간 (-1, 1)에서 아래로 볼록하다.

ㄷ. 두 변곡점에서의 접선은 서로 수직이다.

보기

출제경향 & 대표기출문제

2008학년도 대수능

| 출제 의도 | 함수 f(x)와 합성함수 (fÁf)(x)의 그래프의 증감과 오목·볼록 판정에 대하여 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

함수 `f(x)=x+sin x에 대하여 함수`

g(x)를 `g(x)=(fÁf)(x)로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는

대로 고른 것은? [3점]

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03

정답과 풀이 83`쪽

함수의 극댓값 또는 극솟값을 구하는 이해 문제와 합답형 문제가 출제되며, 함수의 증감과 오목·볼록을 판정하는 합답형 문제가 출제된다. 또, 도형 또는 문장으로 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다.

출제 경향

2011학년도 대수능

| 출제 의도 | 미분법을 이용하여 함수의 극솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

함수 `f(x)=(x-1)¤ (x-4)+a의 극솟값이 10일 때, 상수 a의 값을 구하시오. [3점]

01

2009년 6월 평가원

| 출제 의도 | 조건을 만족시키는 삼각형 ABP의 넓이에 대한 관계식 f(t)를 구하고, 미분을 통하여 f(t)의 최댓값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

좌표평면 위에 점 A(0, 2)가 있다. 0<t<2일 때, 원점 O와 직선 `y=2 위의 점 P(t, 2)를 잇는 선분 OP의 수 직이등분선과 y축의 교점을 B라 하자. 삼각형 ABP의 넓이를 `f(t)라 할 때,` f(t)의 최댓값은` ;aB;'3이다.

a+b의 값을 구하시오. (단, a, b는 서로소인 자연수이다.) [3점]

02

ㄱ. 함수` f(x)의 그래프는 열린 구간 (0, p)에서 위로 볼록하다.

ㄴ. 함수 `g(x)는 열린 구간 (0, p)에서 증가한다.

ㄷ. `g'(x)=1인 실수 x가 열린 구간 (0, p)에 존재한다.

보기

11 도함수의 활용(2)

137

01

함수 f(x)=x‹ -3x¤ -2kx+2가 극값을 갖도록 하는 정수 k의 최솟값은?

① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2

02

닫힌 구간 [-3, 3]에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 y=f(x)가 극값을 갖는 x의 값의 합은?

① -2 ② -1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

03

닫힌 구간 [-2, 2]에서 함수 f(x)=(x¤ -3)e—≈ 의 최댓값과 최솟값을 각각 M, m이라 할 때, Mm의 값은?

(단, e는 자연로그의 밑이다.)

① -5e‹ ② -4e‹ ③ -3e‹ ④ -2e‹ ⑤ -e‹

04

함수 f(x)=x› -6x¤ +3의 그래프가 열린 구간 (a, b)에서 위로 볼록할 때, a의 최솟값 a와 b의 최댓값 b에 대하여 (b-a)¤ 의 값은?

① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

Level 1 ^기초연습

www.ebsi.co.kr

정답과 풀이 84`쪽

O 1 2 3 2

3

-2

-3 x

y

-1

05

열린 구간 (0, 2p)에서 정의된 함수 f(x)=x¤ -4 cos x의 그래프에서 변곡점의 x좌표들의 합은?

①` ;2#;p ② 2p ③` ;2%;p ④ 3p ⑤` ;2&;p

Level 2 ^기본연습

01

삼차함수 f(x)=ax‹ +bx에 대하여 x=1에서의 접선의 기울기가 양이고, 극값을 갖지 않을 필요충분조건은?

① a>0, b>0 ② a>0, bæ0 ③ a>0, b<0

④ a<0, b>0 ⑤ a<0, bæ0

02

함수 f(x)=kx+2 cos x가 극값을 갖지 않도록 하는 양의 정수 k의 최솟값은?

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

03

-2…x…3에서 함수 f(x)= 의 최댓값과 최솟값의 합은?

① -;2!; ② 0 ③` ;2!; ④ 1 ⑤` ;2#;

x x¤ +1

04

미분가능한 함수 f(x)=x¤ +ax-b ln x가 x=1에서 극값을 갖고 변곡점의 x좌표가 ;2!;일 때, 두 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

① -3 ② -1 ③ 1 ④ 3 ⑤ 5

05

삼차함수 f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+5에 대하여 y=f'(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답과 풀이 85`쪽

O 2 x

y

y=f '(x)

ㄱ. 함수 `f(x)는 x=1에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. 3a+b+c=0

ㄷ. a=1일 때, y=f(x)의 그래프는 x축에 접한다.

보기

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

정답과 풀이 86`쪽

Level 3 ^실력완성

www.ebsi.co.kr

11 도함수의 활용(2)

139

02

^{함수` y=e—≈¤}±⁄ 의 그래프가 그림과 같을 때, 이 곡선 위의 한 점 P(a, e—å^¤±⁄ )에서 그 은 접선과 x축이 만나는 점을 Q라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 하자. 삼각형 PQH의 넓이가 최대가 되는 a의 값은? (단, a…-1)

① -3 ② -2'2 ③ -2

④ -'2 ⑤ -1

01

사차함수 `f(x)=x› +ax‹ +bx+c의 도함수 y=f'(x)의 그래프가 그림과 같이 점 (-1, 0)을 지나고 점 (2, 0)에서 x축에 접한다. 함수 y=f(x)의 그래프가 x축 과 오직 한 점에서 만날 때, 세 상수 a, b, c의 합 a+b+c의 값은?

① 20 ② 21 ③ 22

④ 23 ⑤ 24

O x

-1 2

y y=f '(x)

O x P Q H

y e

y=e—≈ ±⁄²

04

함수 `f(x)=cos x¤ 에 대한 다음 <보기>의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

① ㄴ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. x=0에서 극값을 갖는다.

ㄴ. 열린 구간 {0, }에서 위로 볼록한 함수이다.

ㄷ. 열린 구간 {0, }에서 방정식` f('p)=f(0)+ 의 근은 x='∂2p이다.

2 f '(x)

x p

2 '∂2p

2 보기

신유형

03

좌표평면에 곡선 `y=16-x› 이 있다. 곡선 y=16-x› 이 x축과 만나는 두 점을 A(2, 0), B(-2, 0)이라 하고, `y축과 만나는 점을 C(0, 16)이라 하자. 곡선 `y=16-x› 위의 한 점 P(a, 16-a› )과 P의 y축에 대한 대 칭점 Q(-a, 16-a› )에 대하여 오각형 APCQB의 넓이의 최댓값은 a`‹'2+b이다. 두 유리수 a, b의 합 a+b의 값은? (단, 0<a<2)

① 32 ② 36 ③ 40

④ 44 ⑤ 48

^{B O x}

C

A

P(a, 16-a› ) Q(-a, 16-a› )

-2 2 16

y

y=16-x›

문서에서 2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅱ 수능특강 (페이지 135-140)