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2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅱ 수능특강

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(1)
(2)

이 책의

차례

EBS

i

홈페이지(www.ebs

i

.co.kr)에 들어 오셔서 회원으로 등록하세요.

본 방송 교재의 강의 프로그램은 EBS 인터넷 방송을 통해 다시 보실 수 있습니다. (VOD 무료 서비스 실시) 단원명 집필자 쪽수

01.

방정식

김형정

4

02.

부등식

김형정

16

03.

삼각함수(1)

김형정

28

04.

삼각함수(2)

김의석

40

05.

함수의 극한

김의석

52

06.

함수의 연속

김의석

66

07.

미분계수와 도함수

최현탁

78

08.

여러 가지 함수의 미분법

최현탁

90

09.

여러 가지 함수의 도함수

최현탁

102

10.

도함수의 활용(1)

김상훈

114

11.

도함수의 활용(2)

김상훈

128

12.

도함수의 활용(3)

김상훈

140

(3)

구성

활용법

이 책의 활용법

이 책의 구성

본 교재를 통해 기대한 바의 학습 효과를 거두기 위해서는 다음의 두 가지 사항을 유념하여야 합니다. 첫째, 본 교재는 수학교육과정과 교과서의 내용을 준수하여 집필되었기에 교과서와 연계하여 공부하여 야 수능 준비에 만전을 기할 수 있습니다. 둘째, 본 교재는 방송과 교재를 입체적으로 활용해야 학습효과 를 높일 수 있기에 학생 본인의 창의적이고도 실천적인 방송 학습 계획이 중요합니다. 예습 없이 TV 앞 에 앉아서 방송만 시청해서는 학습 효과를 기대할 수 없기에 미리 예습을 하고, 시청 후에는 예습과정에 서 해결하지 못한 부분과 시청 중 별도의 중요 표시를 해 두었던 내용을 다시 한 번 확인하도록 합니다.

1.

개념 정리 & 확인 문제

교과서의 핵심 내용을 체계적으로 정리하였으며 개념, 정리, 공식 에 대한 이해를 확인할 수 있는 문제들을 제시하였다.

2.

예제 & 유제

예제는 개념을 적용한 대표문항으로 문제를 해결하는 데 필요한 주요 개념을 풀이전략으로 제시하여 풀이과정의 이해를 돕도록 하였고 유제는 예제와 유사한 내용의 문제나 일반화된 문제를 제 시하여 학습내용과 문제에 대한 연관성을 익히도록 구성하였다.

3.

출제 경향 & 대표 기출 문제

대학수학능력시험과 모의평가 기출문항과 변형문제로 구성하였 으며 기존 출제유형을 파악할 수 있도록 출제경향과 출제의도를 제시하였다.

4. Level 1 - Level 2 - Level 3

Level 1 기초연습문항은 기초개념의 인지정도를 확인할 수 있는 문항을 제시하였으며, Level 2 기본연습은 기본응용문제를, 그리고 Level 3 실력완성은 수학적 사고력과 문제해결능력을 함양할 수 있는 문항들 과 신유형 문항을 제시하여 대학수학능력시험 실전에 대비할 수 있도 록 구성하였다.

(4)

|

방정식

01

1.

분수방정식

⑴ x-

=0,

+1=

와 같이 분모에 미지수가 들어 있는 분수식을 포함하고 있는 방정식을 분수방

정식이라고 한다.

⑵ 분수방정식을 푸는 순서

① 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 변형한다.

② ①에서 얻은 다항방정식을 푼다.

③ ②에서 구한 다항방정식의 근 중에서 분수방정식의 분모를 0으로 하는 근(무연근)을 제외한 나머지를 근으

로 한다.

5

2x

1

2

x+1

다항방정식과 분수방정식을 통틀어서 유리방정식이라고 한다.

0

1

0

2

다음 분수방정식의 근을 구하시오.

⑴ x-

=0

⑵ 1+

1

=x

x

4

x+3

다음 분수방정식의 근을 구하시오.

⑴ 1+

=

-

=

4

x¤ -4

1

x+2

x

x-2

2

x¤ -3x+2

2

x-2

확인문제 정답과 풀이 4쪽 참고 분수방정식의 풀이 과정에서 무연근이 생기는 이유를 알아보자. 분수방정식 A=B가 주어졌을 때, 분모의 최소공배수 L을 양변에 곱하면 LA=LB에서 L=0 또는 A=B 이때, LA=LB의 근 중에는 A=B의 분모를0이 되게 하는 근, 즉 L=0의 근이 포함될 수 있는데 이러한 근이 분수방정식 A=B의 무연근이다. 무연근(無緣根)은‘주어진 방정식의 근과 관계가 없는 근’이란 뜻이다. 참고 분수방정식 - =1을 풀어 보자. 양변에 분모의 최소공배수 x(x+2)를 곱하면 (x+2)-2=x(x+2) ① 다항방정식으로 변형한다. 정리하여 풀면 x=x¤ +2x, x¤ +x=0, x(x+1)=0 ∴ x=0 또는 x=-1 ② 다항방정식을 푼다. 그런데 x=0은 주어진 분수방정식의 분모를 0이 되게 하므로 근이 될 수 없다. 따라서 x=-1만이 주어진 분수방정식의 근이 된다. ③ 무연근을 확인하여 근을 구한다. 2 x(x+2) 1 x | 보기 | LA=LB의 근 A=B의 근 무연근

(5)

01 방정식

5

⑶ 여러 가지 형태의 분수방정식의 풀이

① 여러 개의 분수식이 있는 방정식은 적당한 항끼리 짝을 지어 통분한 다음 푼다.

② 분수식 중 (분자의 차수)

æ(분모의 차수)인 것이 있으면 분자를 분모로 나누어

(분자의 차수)<(분모의 차수)로 변형하여 푼다.

③ 같은 부분이 반복되어 나오는 경우에는 그 부분을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 푼다.

⑷ 분수방정식의 활용

① 구하는 값을 미지수 x로 놓는다. 이때, 문제의 조건에 맞게 x의 값의 범위를 정한다.

② 주어진 조건을 이용하여 x에 관한 분수방정식을 세운다.

③ 분수방정식을 풀어 근을 구한다.

④ 구한 근 중에서 x의 값의 범위를 만족시키면서 무연근이 아닌 근을 찾는다.

영철이는 집에서 1.6 km 떨어진 학교까지 일정한 속력으로 걸어서 등교하는 데 20분이 걸린다고 한다. 영철 이가 걷는 속력을 x m/분으로 놓으면 (시간)= 이므로 =20 양변에 x를 곱하면` 20x=1600 ∴ x=80 1600 x (거리) (속력) | 보기 |

0

3

분수방정식

x+3

1

-

x+4

1

-

x+5

1

+

x+6

1

=0의 근을 구하시오.

확인문제 정답과 풀이 4쪽

0

4

농도가 5 %인 소금물 400 g을 농도가 4 %인 소금물로 만들기 위해서 더 넣어야 할 물의 양을 구하시오.

분수방정식은 속력, 일, 농도 등 실생활과 관련된 문제를 해결하는 데 유용하게 사용된다. ① 속력이나 시간을 구하는 문제 (시간)= , (속력)= ② 시간당 일의 양이나 시간을 구하는 문제 (시간)= , (시간당 일의 양)= ③ 용액의 양을 구하는 문제 (농도)=(용질의 양)_100(%) (용액의 양) (전체 일의 양) (시간) (전체 일의 양) (시간당 일의 양) (거리) (시간) (거리) (속력) 참고

(6)

0

6

다음 무리방정식의 근을 구하시오.

⑴ 2x-

'ƒ2x+3=-1

⑵ 2'ƒx+4-1=x

무리방정식의 풀이 과정에서 무연근이 생기는 이유를 알아보자. 무리방정식 A=B가 주어졌을 때, 양변을 제곱하면 A¤ =B¤

(A-B)(A+B)=0에서 A=B 또는 A=-B

이때, A¤ =B¤ 의 근 중에는 A=B의 근이 아닌 A=-B의 근이 포함될 수 있는데 이러한 근이 무리방정식 A=B의 무연근이다. 참고 A¤ B¤ 의 근 = 무연근 A=B의 근 무리방정식 'ƒx-1+x=3을 풀어 보자. 주어진 방정식에서 무리식만이 좌변에 있도록 x를 우변으로 이항하면 'ƒx-1=3-x …… ㉠ 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고치면 x-1=(3-x)¤ ① 다항방정식으로 변형한다. 정리하여 풀면 x-1=x¤ -6x+9, x¤ -7x+10=0, (x-2)(x-5)=0 ∴ x=2 또는 x=5 ② 다항방정식을 푼다. ⁄ x=2를 무리방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)='∂2-1=1, (우변)=1 즉, (좌변)=(우변)이므로 x=2는 주어진 방정식의 근이다. ¤ x=5를 무리방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)='∂5-1=2, (우변)=-2 즉, (좌변)+(우변)이므로 x=5는 주어진 방정식의 근이 아니다. 따라서 x=2만이 주어진 무리방정식의 근이 된다. ③ 무연근을 확인하여 근을 구한다. | 보기 |

방정식

01

0

5

다음 무리방정식의 근을 구하시오.

⑴ "√2-2x¤ =x+1

⑵ 'x=

+

1

2

x

2

확인문제 정답과 풀이 5쪽

2.

무리방정식

⑴ 'ƒ2x+1=3, 'ƒx+4-'ƒx-1=1과 같이 미지수에 대한 무리식을 포함하고 있는 방정식을 무리방정식이라

고 한다.

⑵ 무리방정식을 푸는 순서

무리방정식을 풀 때에는 분수방정식의 경우와 마찬가지로 주어진 방정식을 다항방정식으로 고쳐서 푼다.

① 각 항을 적절히 이항한 다음, 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다.

② ①에서 얻은 다항방정식을 푼다.

③ ②에서 구한 다항방정식의 근 중에서 무연근이 있는지를 조사하여 무연근을 제외한 나머지를 근으로

한다.

(7)

01 방정식

7

0

7

무리방정식 'ƒ6x+1-'∂2x=1의 근을 구하시오.

확인문제 정답과 풀이 5쪽

0

8

무리방정식 "√x¤ +x-2=x¤ +x-4의 모든 근의 곱은?

① -6

② -4

③ -2

④ 2

⑤ 4

0

9

그림을 이용하여 무리방정식 2x=3'ƒx+2-2의 실근을 구하시오.

⑶ 여러 가지 무리방정식의 풀이

① 근호가 여러 개일 때에는 적당히 이항하여 근호가 없어질 때까지 제곱하는 과정을 반복한다.

예를 들어, 근호가 두 개 있는 무리방정식은 '∂A='∂B+C의 꼴로 변형하고 양변을 제곱하여 '∂B=D의

꼴로 만든 다음, 다시 한 번 양변을 제곱한다.

② 같은 부분이 반복되어 나오는 경우에는 그 부분을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 푼다. 이때, 치환

된 문자의 범위에 주의한다.

⑷ 무리방정식의 실근의 개수

무리방정식 "çf(x)=

g(x)의 근은 두 함수 y="çf(x)와 y=g(x)의 그래프가

만나는 교점의 x좌표와 같다.

즉, 오른쪽 그림에서 실선으로 표시된 함수 y="çf(x)의 그래프와 y=g(x)의

그래프가 만나는 점의 x좌표 a는 방정식 "çf(x)=g(x)의 근이다.

그러나 점선으로 표시된 함수 y=-"çf(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프가

만나는 점의 x좌표 b 는 방정식 -"çf(x)=g(x)의 근이므로 방정식

"çf(x)=g(x)에서는 무연근이 된다.

무리방정식 "çf(x)=g(x)의 양변을 제곱하여 방정식` f(x)={g(x)}¤ 을 푼다는 것은 두 방정식 "çf(x)=g(x) 또는 -"çf(x)=g(x)의 근을 구하는 것과 같다. 이때, -"çf(x)=g(x)에서 나오는 근이 무연근이 된다. 그러나 그림과 같은 경우에는 -"çf(x)=g(x)의 근이 존재하지 않으므로 무리방정식 "çf(x)=g(x)의 근과 다항방정식` f(x)={g(x)}¤ 의 근이 서로 같음을 알 수 있다. 즉, 무리방정식에서 무연근이 항상 존재하는 것은 아님에 주의한다. 참고 x y O a b y=g(x) f(x) y= f(x) y=-x y O b a y=g(x) f(x) y= f(x) y=-x y O -2 2 y=2x+ 3 2 3 -7 4 y='ƒƒx+2 y=-'ƒƒx+2

(8)

예제

www.ebsi.co.kr

1

여러 가지 형태의 분수방정식의 풀이

1

분수방정식

-

=

-

의 근을 a라 할 때, 2a+10의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

x+5

x+4

x+4

x+3

3x+7

x+2

3x+4

x+1

⑴ 분수식 중 (분자의 차수)æ(분모의 차수)인 것이 있으면 분자를 분모로 나누어 (분자의 차수)<(분모의 차수)로 변 형하여 푼다. ⑵ 여러 개의 분수식이 있는 방정식은 적당한 항끼리 짝을 지어 통분한 다음 푼다. 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하면 각 항이 사차다항식이 되어 복잡해진다. 각 항의 분자를 분모로 나누어 분자가 상수항인 분수방정식으로 바꿔 준다. - = -{3+ }-{3+ }={1+ }-{1+ } - = -양변을 통분하면 = 양변에 분모의 최소공배수 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)를 곱하면 (x+3)(x+4)=(x+1)(x+2) x¤ +7x+12=x¤ +3x+2 4x=-10 ∴ x=-;2%; 이 값은 주어진 분수방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 근이다. ∴ 2a+10=2¥{-;2%;}+10=5 1 (x+3)(x+4) 1 (x+1)(x+2) 1 x+4 1 x+3 1 x+2 1 x+1 1 x+4 1 x+3 1 x+2 1 x+1 x+5 x+4 x+4 x+3 3x+7 x+2 3x+4 x+1

분수방정식

x+1

1

+

x+7

1

=

x+3

1

+

x+5

1

의 근이 a일 때, a¤ 의 값을 구하시오.

확인유제

유제

정답과 풀이 6쪽

0

1

분수방정식

+

=2의 모든 근의 합은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

2x+3

2x+3

발전유제

0

2

풀 이 전 략 풀 이 ⑤ 답

(9)

01 방정식

9

철수와 민수는 A빌딩의 유리창을 닦으려고 한다. 철수가 혼자서 유리창을 닦는 데 걸리는 시간은 민수가 혼자서

유리창을 닦는 데 걸리는 시간보다 2시간만큼 더 걸린다고 한다. 두 사람이 함께 유리창을 닦으면 2시간 24분이

걸린다고 할 때, 민수 혼자서 유리창을 닦는 데 걸리는 시간은?

① 3시간

② 3시간 20분

③ 3시간 40분

④ 4시간

⑤ 4시간 20분

발전유제

0

4

예제

2

2

분수방정식의 활용

윤수는 산책로 A를 따라 올라갔다가 산책로 B를 따라서 내려왔다. 산책로 A, B의 거리는 각각 800 m, 320 m이고

산책로 B를 내려올 때의 속력은 산책로 A를 올라갈 때의 속력보다 30 m/분 더 빨랐다. 윤수가 산책로 A와 B를 따

라 산책한 총 시간이 20분일 때, 산책로 A를 올라갈 때의 속력은?

(단, 올라갈 때와 내려올 때의 속력은 각각 일정하다.)

① 40 m/분

② 45 m/분

③ 50 m/분

④ 55 m/분

⑤ 60 m/분

분수방정식은 속력, 거리, 시간의 관계를 묻는 문제를 푸는 데 많이 사용된다. 윤수가 산책로 A를 올라갈 때의 속력을 x m/분이라 하면, 산책로 B를 내려올 때의 속력은 (x+30)m/분이다. 따라서 산책로 A를 올라가는 데 걸린 시간과 산책로 B를 내려오는 데 걸린 시간은 각각 분, 분이다. 산책로 A와 B를 따라 산책한 총 시간이 20분이므로 다음 식이 성립한다. + =20 + =1 양변에 분모의 최소공배수 x(x+30)을 곱하면 40(x+30)+16x=x(x+30) x¤ -26x-1200=0 (x-50)(x+24)=0 ∴ x=50 또는 x=-24 그런데 x>0이므로 x=50이고, 이 근은 위의 분수방정식의 분모를 0이 되게 하지 않으므로 근이다. 따라서 산책로 A를 올라갈 때의 속력은 50 m/분이다. 16 x+30 40 x 320 x+30 800 x 320 x+30 800 x

240 km 떨어진 두 도시를 자동차로 왕복하는데, 돌아올 때는 갈 때보다 시속 20 km 더 빠른 속력으로 운전하였

다. 갈 때의 자동차의 속력이 시속 x km이었을 때, 왕복하는 데 걸린 시간은 7시간이었다. x의 값을 구하시오.

(단, 갈 때와 돌아올 때의 속력은 각각 일정하다.)

유제

정답과 풀이 7쪽 풀 이 전 략 풀 이 확인유제

0

3

③ 답

(10)

예제

www.ebsi.co.kr

3

여러 가지 무리방정식의 풀이

3

무리방정식 "√2x¤ -4x+1+x¤ -2x=7의 모든 근의 곱은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

같은 부분이 반복되어 나오는 경우에는 그 부분을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 푼다. "√2x¤ -4x+1+x¤ -2x=7에서 x¤ -2x=t로 놓으면 'ƒ2t+1+t=7 'ƒ2t+1=7-t …… ㉠ 양변을 제곱하면 2t+1=(7-t)¤ t¤ -16t+48=0 (t-4)(t-12)=0 ∴ t=4 또는 t=12t=4를 무리방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)=3,(우변)=3 (좌변)=(우변)이므로 t=4는 방정식 ㉠의 근이다. ¤t=12를 무리방정식 ㉠에 대입하면 (좌변)=5,(우변)=-5 (좌변)+(우변)이므로 t=12는 방정식 ㉠의 근이 아니다. 따라서 방정식 ㉠의 근은 t=4이다. 그런데 t=x¤ -2x이므로 x¤ -2x=4에서 x¤ -2x-4=0 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱은 -4이다.

무리방정식 2x¤ +x-"√4x¤ +2x+5=5의 모든 근의 곱은?

① -6

② -5

③ -3

④ 3

⑤ 5

확인유제

유제

정답과 풀이 7쪽

0

5

무리방정식 'ƒx+3-'ƒ10-x=1의 근을 구하시오.

발전유제

0

6

풀 이 전 략 풀 이 ① 답

(11)

01 방정식

11

무리방정식 "√1-x¤ =|x+a|가 단 한 개의 실근을 갖도록 하는 실수 a의 값을 각각 a, b라 할 때, ab의 값은?

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

발전유제

0

8

예제

4

4

무리방정식의 근과 그래프

무리방정식 'ƒ2x+k=;2!;x+3이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 정수 k의 값의 합을 구하시오.

무리방정식 "√2x+k=ax+b(a, b는 상수)가 실근을 가질 때, 실수 k의 값의 범위를 구하는 순서 ⑴ y="√2x+k, y=ax+b의 그래프를 그린다. ⑵ y="√2x+k의 그래프를 움직여 보면서 y=ax+b의 그래프와 만나는 k의 값의 범위를 구한다. 주어진 무리방정식의 실근은 두 함수 y='ƒ2x+k, y=;2!;x+3 의 그래프가 만나는 점의 x좌표이다. ⁄두 그래프가 접할 때 ⁄'ƒ2x+k=;2!;x+3의 양변을 제곱하면2x+k=;4!;x¤ +3x+9;4!;x¤ +x+(9-k)=0위의 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식 D=0이다.D=1¤ -4¥;4!;¥(9-k)=k-8=0∴ k=8 ¤곡선 y='ƒ2x+k가 점 (-6, 0)을 지날 때0='ƒ-12+k∴ k=12, ¤에서 주어진 무리방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 8<k…12이다. 따라서 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 k의 값은 9, 10, 11, 12 이므로 그 합은 42이다.

무리방정식 'ƒx-2=x+k가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오.

유제

정답과 풀이 8쪽 풀 이 전 략 풀 이 확인유제

0

7

42 답 x y O -6 3 y= x+31 2 y='ƒƒƒ2x+k

(12)

방정식에서 출제되고 있는 유형은 크게 세 가지이다. 첫째는 분수방정식의 해를 구하고 무연근의 존재 여부를 판단하는 형 태, 둘째는 분수방정식이나 무리방정식에서 그래프를 이용하여 실근의 개수를 구하는 형태, 셋째는 무리방정식의 해를 구 하는 데 특히 치환을 이용하는 형태이다. 2011학년도 대수능 | 출제 의도 | 무리방정식의 해를 구할 수 있는지, 무연근을 가려낼 수 있는지, 같은 부분이 반복되어 나오는 경우에는 그 부분 을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 할 수 있는지 등을 묻는 문제이다.

무리방정식 "√4x¤ -5x+7-4x¤ +5x=1의 모든 실근의 곱은? [3점]

① -;2!;

② -;2#;

③ -;2%;

④ -;2&;

⑤ -;2(;

03

출제경향 & 대표기출문제

출제 경향 2010년 6월 평가원 | 출제 의도 | 분수방정식의 근을 구하는 과정을 알고 있는지, 무연근의 정확한 의미와 무연근이 생기는 조건을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

분수방정식

+

=

가 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 모든 상수 a의 값의 곱은? [3점]

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

ax+5

x¤ -1

x-2

x+1

x

x-1

02

2009학년도 대수능 | 출제 의도 | 분수방정식의 근을 구하는 과정을 알고 있는지, 그래프를 이용하여 무리방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지 를 묻는 문제이다.

그림은 좌표평면에서 중심이 원점 O이고 반지름의 길이가 1인 원과 점 (0, -1)을

지나는 이차함수 y=f(x)의 그래프를 나타낸 것이다. 방정식

-

=

의 서로 다른 실근 x의 개수는? [3점]

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

2

1

f(x)-1

1

f(x)+1

01

x y O 1 -1 -1 1 y=f(x) 정답과 풀이 8`쪽

(13)

01 방정식

13

04

함수` f(x)=x-2'ƒx-1에 대하여 방정식` f(x)=4를 만족시키는 x의 값을 a라 할 때,` f(5a)의 값을 구하시오.

05

방정식 `'∂3x-'ƒ2x+1=1의 근을 구하시오.

03

분수방정식 - =1은 서로 다른 세 실근 a, b, c를 가진다. a+b+c의 값은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

2(x+1) x(x-3) x(x-3) x+1

02

분수방정식 - =1- 2x 의 근을 a라 할 때, 45a¤ 의 값을 구하시오. x¤ +x+1 x+2 x‹ -1 x x-1

01

분수방정식 + = 의 모든 근의 합은?

① -3

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 3

1 x-3 x¤ -2x-3 1 x+1

Level

1

기초연습

www.ebsi.co.kr 정답과 풀이 9`쪽

(14)

Level

2

기본연습

01

분수방정식 + = 가 근을 갖지 않도록 하는 모든 상수 a의 값의 합은?

① 1

② 3

③ 5

④ 7

⑤ 9

a x¤ -x-6 2 x-3 1 x+2

03

그림과 같이 제`1`사분면에서 무리함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=2x가 접한다. 방정식 = 가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 정수 a의 값의 합 을 구하시오. (단, `f(x)='ƒpx-q이고, p, q는 양의 실수이다.) a 5x 1 f(x)+x 정답과 풀이 10`쪽 x y y=f(x) y=2x O q p

04

무리방정식 "√3x¤ -8x-2-"√-3x¤ +8x+3=1의 모든 근의 곱은?

① -3

② -2

③ -1

④ 1

⑤ 2

02

두 전하 a, b 사이에 작용하는 전기력 F를 쿨롱의 힘이라 하고 다음과 같이 계산된다. F=k¥ (k:쿨롱 상수, qå:전하 a의 전하량(C), q∫:전하 b의 전하량(C), d:두 전하 사이의 거리(m)) 그림과 같이 일직선 위에 거리가 1 m만큼 떨어져 있고 전하량이 각각 4 C, 9 C 인 두 전하 m, n 사이에 전하량이 T C인 시험전하 t를 두었다. 두 전하 m, t 사이에 작용하는 쿨롱의 힘과 두 전하 n, t 사이에 작용하는 쿨롱의 힘이 서로 같을 때, 두 전하 m, t 사이의 거리 는? (단, T>0)

① 0.25 m

② 0.3 m

③ 0.35 m

④ 0.4 m

⑤ 0.45 m

qåq∫

05

어느 공원에는 그림과 같이 직선 AD의 조깅코스와 원 모양의 조깅코스가 있는데, 각각 의 길이는 2 km, p`km이고 두 코스는 B지점에서 한 번 만난다. 원의 중심을 지나는 새 로운 조깅코스 A-B-C-D를 만들었더니 그 길이 AB”+BC”+CD”가 총 2.6 km라 고 할 때, 두 지점 A, B 사이의 거리는? (단, 조깅코스의 폭은 무시한다.)

① 0.5 km

② 0.6 km

③ 0.7 km

④ 0.8 km

⑤ 0.9 km

A B C D 4 C T C 9 C 1 m t n m

(15)

정답과 풀이 11`쪽

Level

3

실력완성

신유형 www.ebsi.co.kr 01 방정식

15

04

무리방정식 'ƒx+|x|=;4!;x+k가 서로 다른 실근을 2개 이상 갖도록 하는 실수 k의 최댓값을 a, 최솟값을 b라 할 때, 20(a+b)의 값을 구하시오.

03

함수 f(x)=[ 의 그래프가 그림과 같다. 무리방정식 'ƒ6f(x)+7-1=2f(x)의 모든 실근의 합은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

|x+1|-1(x…0) | x-2|-2(x>0)

02

이차함수 y=f(x)와 삼차함수 y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식 - =0의 실근의 개수는? (단, 함수 f(x)의 최솟값은 -1이다.)

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

f(x)+1 g(x)-1 g(x)-1 f(x)+1

01

100 이하의 두 자연수 a, b(a<b)에 대하여 분수방정식 + = -가 오직 하나의 근을 갖도록 하는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하시오. x (x-a)(x-b) 1 x 1 x-b 1 x-a x O -1 2 -1 -2 -2 4 y y=f(x) x O 2 1 -1 y y=f(x) y=g(x)

(16)

|

부등식

02

1.

삼차부등식과 사차부등식

⑴ 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 f(x)>0, f(x)æ0, f(x)<0, f(x)…0의 꼴로 정리하였을 때,

`f(x)가 삼차의 다항식이면 삼차부등식이라 하고, `f(x)가 사차의 다항식이면 사차부등식이라고 한다. 또, 삼

차 이상의 부등식을 통틀어 고차부등식이라고 한다.

⑵ 고차부등식을 푸는 순서

① 최고차항의 계수가 양수가 되도록 항을 한쪽으로 이항하여 `f(x)>0, f(x)æ0, f(x)<0, f(x)…0

과 같은 꼴로 만든다.

②` f(x)를 실수의 범위에서 인수분해한 다음, 방정식 `f(x)=0의 해를 구한다.

③ 표나 수직선을 이용하여` f(x)=0의 해를 경계로 하여 구간을 나눈 다음, `f(x)의 부호를 조사하여 부등식

의 해를 구한다.

0

1

0

2

다음 삼차부등식의 해를 구하시오.

⑴ `x‹ +x¤ …2x

⑵ `x‹ -3x¤ -x+3>0

다음 사차부등식의 해를 구하시오.

⑴ `x(x-2)(x-4)(x-6)…0

⑵ `(x¤ -1)(x¤ -4)>0

확인문제 정답과 풀이 13쪽 삼차부등식 x‹ +2x>3x¤ 을 풀어 보자. 부등식의 우변을 좌변으로 이항하여 내림차순으로 정리하면 x‹ -3x¤ +2x>0 ① f(x)>0의 꼴로 만든다. f(x)=x‹ -3x¤ +2x로 놓고 인수분해하면 f(x)=x(x¤ -3x+2)=x(x-1)(x-2) 방정식 `f(x)=0의 해는 x=0 또는 x=1 또는 x=2 ② f(x)=0의 해를 구한다. 여기서 방정식 `f(x)=0의 해 x=0, x=1, x=2를 경계로 ``f(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다. 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값의 범위는 0<x<1 또는 x>2 ③ 표나 수직선을 이용하여 `f(x)의 부호를 조사하고 부등식의 해를 구한다. x의 범위 인수 | 보기 | x 1 2 0 + + - -x x-1 x-2 f(x) x<0 -x=0 0 -0 x=1 + 0 -0 0<x<1 + -+ 1<x<2 + + -x=2 + + 0 0 x>2 + + + +

(17)

02 부등식

17

⑶ 특별한 형태의 고차부등식

① 제곱인수가 있는 고차부등식의 해법

•(x-a)¤ f(x)>0

HjK f(x)>0이고 x+a

•(x-a)¤ f(x)æ0

HjK f(x)æ0 또는 x=a

② 일정한 부호의 인수가 있는 고차부등식의 해법

모든 실수 x에 대하여 f(x)>0일 때

f(x)g(x)>0

HjK g(x)>0

⑷ 연립부등식

연립부등식 [

의 해는 연립부등식을 이루고 있는 각 부등식 f(x)>0과

g(x)>0을 동시에 만족시

키는 것으로 각각의 부등식을 풀어 공통부분을 구한다.

즉, A={x|f(x)>0}, B={x|

g(x)>0}이라 하면 연립부등식 [

의 해집합은 A;B이다.

이때, 공통부분은 수직선을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

f(x)>0

g(x)>0

f(x)>0

g(x)>0

확인문제 정답과 풀이 14쪽

0

4

부등식 (x¤ +x-12)(x¤ +2x+3)<0을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

0

5

연립부등식 [

x¤ -5x<0

을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

x‹ -9xæ0

0

3

다음 부등식의 해를 구하시오.

⑴ `(x+1)(x-2)¤ >0

⑵ `(x-1)(x+2)¤ æ0

n이 짝수일 때 (x-a)« f(x)>0 HjK f(x)>0이고 x+a (x-a)« f(x)æ0 HjK f(x)æ0 또는 x=a ¤n이 홀수일 때 (x-a)« f(x)>0 HjK (x-a)f(x)>0 (x-a)« f(x)æ0 HjK (x-a)f(x)æ0 참고

(18)

분수부등식 >0의 양변에 g(x)를 곱하면 부등호의 방향이 바뀔 수 있다. 즉, g(x)>0일 때에는 f(x)>0이지만 g(x)<0일 때에는 f(x)<0이 된다. 따라서 g(x)>0일 때와 g(x)<0일 때로 나누어서 풀어야 되는 번거로움이 생긴다. 그러나g(x)+0일 때 {g(x)}¤ >0이므로 양변에 {g(x)}¤ 을 곱하면 주어진 분수부등식은 부등호의 방향이 그대로인 일차, 이차 또는 고차부등식으로 바뀐다. f(x) g(x) 참고 분수부등식 x+2… 를 풀어 보자. 우변을 좌변으로 이항하여 정리하면 x+2- …0, …0, …0, …0 양변에 분모의 제곱인 (x-1)¤ 을 곱하면 (x+3)(x-1)(x-2)…0, x+1 (x+3)(x-2) x-1 x¤ +x-6 x-1 (x+2)(x-1)-4 x-1 4 x-1 4 x-1 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값의 범위는 x…-3 또는 1<x…2 | 보기 |

부등식

02

1 2 -3 + + - - x

0

7

다음 분수부등식의 해를 구하시오.

⑴ `

æ

2-x

⑵ `x…

12

x-1

2

x+1

0

6

다음 분수부등식의 해를 구하시오.

⑴ `

<0

⑵ `

x¤ -2x-3

æ0

x-2

x+1

x-2

확인문제 정답과 풀이 14쪽

2.

분수부등식

⑴ 부등식

<0, x-1æ

과 같이 분모에 미지수가 들어 있는 분수식을 포함하고 있는 부등식

을 분수부등식이라고 한다. 또, 일차부등식, 이차부등식, 고차부등식 및 분수부등식을 통틀어 유리부등식이

라고 한다.

⑵ 분수부등식을 푸는 순서

① 주어진 분수부등식을 정리하여

>0,

æ

0,

<0,

0과 같은 꼴로 만든다.

② 부등식의 양변에 {

g(x)}¤ 을 곱하여 얻은 부등식 f(x)g(x)>0, f(x)g(x)æ0, f(x)g(x)<0,

f(x)g(x)…0의 해를 구한다.

③ ②에서 구한 해 중에서 방정식

g(x)=0을 만족시키는 x의 값은 제외한다.

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

6

x-2

x

x+1

(19)

02 부등식

19

0

8

다음 분수부등식의 해를 구하시오.

⑴ `

>0

⑵ `

2x-1

æ0

x¤ -2x+1

x-3

x¤ +1

확인문제 정답과 풀이 15쪽

0

9

다음 분수부등식의 해를 구하시오.

⑴ `

1

⑵ `

2x¤ +3x-3

…1

x¤ -4x+5

x¤ +3x-2

x¤ +x+1

10

물이 5 km/시의 일정한 속력으로 흐르는 강이 있다. 이 강의 상류 쪽 P지점에서 하류 쪽으로 10 km 떨어진

Q지점까지 배로 왕복하려고 한다. 왕복한 시간이 1시간 30분을 넘지 않도록 하려면 흐르지 않는 강물에서 배

의 속력은 a km/시 이상이어야 한다. a의 값을 구하시오.

⑶ 일정한 부호의 인수를 포함한 분수부등식

모든 실수 x에 대하여 `f(x)>0이면

>0

HjK g(x)>0

g(x)

>h(x)

HjK g(x)>f(x)h(x)

f(x)

g(x)

f(x)

⑷ 분수부등식의 활용

① 구하는 값을 미지수 x로 놓는다.

② 주어진 조건을 이용하여 x에 관한 분수부등식을 세운다.

③ 부등식을 풀고, 구한 해가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

모든 실수에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다. 절대부등식의 예는 다음과 같다. ① x¤ +2x+1=(x+1)¤ æ0 ② x¤ -2x+1=(x-1)¤ æ0 ③ x¤ +x+1={x+;2!;}2 +;4#;>0 ④ x¤ -x+1={x-;2!;}2 +;4#;>0 ⑤ x¤ +4x+5=(x+2)¤ +1>0 ⑥ x¤ -4x+5=(x-2)¤ +1>0 참고 어떤 공장에서는 3000개의 제품을 생산하는 데 소요되는 시간이 12시간을 넘지 않아야 한다. 이 공장에서 매 시간당 생산할 수 있는 제품의 개수를 x로 놓으면 (시간)= 이므로 …12이다. x>0이므로 양변에 x를 곱하면 3000…12x ∴ xæ250 따라서 매 시간당 생산할 수 있는 제품의 개수는 250개 이상이어야 한다. 3000 x (전체 일의 양) (시간당 일의 양) | 보기 |

(20)

예제

www.ebsi.co.kr

1

고차부등식

1

연립부등식 [

을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

x› -8x¤ -9…0

x‹ +8>0

⑴ a‹ +b‹ =(a+b)(a¤ -ab+b¤ ) ⑵ a‹ -b‹ =(a-b)(a¤ +ab+b¤ )

풀 이 전 략 [ 부등식 ㉠의 좌변을 인수분해하면 x› -8x¤ -9=(x¤ +1)(x¤ -9)=(x¤ +1)(x+3)(x-3) 그런데 x¤ +1>0이므로 (x¤ +1)(x+3)(x-3)…0 HjK (x+3)(x-3)…0 따라서 부등식 ㉠을 만족시키는 x의 값의 범위는 -3…x…3 …… ㉢ 부등식 ㉡의 좌변을 인수분해하면 x‹ +8=(x+2)(x¤ -2x+4) 그런데 x¤ -2x+4=(x-1)¤ +3>0이므로 x‹ +8>0 HjK x+2>0 따라서 부등식 ㉡을 만족시키는 x의 값의 범위는 x>-2 …… ㉣ ㉢과 ㉣을 동시에 만족시키는 x의 값의 범위는 -2<x…3 그러므로 연립부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다. x› -8x¤ -9…0 …… ㉠ x‹ +8>0 …… ㉡ 풀 이 ④ 답

연립부등식 [

(x-3)¤ (x-1)…0

을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

(x+1)‹ (x-4)<0

확인유제

유제

정답과 풀이 15쪽

0

1

부등식 x› -x‹ -13x¤ +x+12…0을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 1

② 3

③ 5

④ 7

⑤ 9

발전유제

0

2

-3-2 3 x ㉢ ㉣

(21)

02 부등식

21

예제

2

2

미정계수를 포함한 고차부등식

자연수 k에 대하여 부등식 (x-3)(x-6)(x-k)<0을 만족시키는 자연수 x의 개수를 f(k)라 할 때,

f(k)의

값을 구하시오.

8

¡

k=1 부등식 (x-3)(x-6)(x-k)<0의 풀이는 k가 속하는 영역에 따라 다음과 같이 세 가지로 나누어서 푼다.k… 3일 때 ¤ 3<k… 6일 때k>6일 때 풀 이 전 략 자연수 k에 대하여 부등식 (x-3)(x-6)(x-k)<0을 만족시키는 자연수 x의 집합을 A˚라 하자.k…3일 때 k=1이면, A¡={4, 5} ∴ f(1)=2 k=2이면, A™={1, 4, 5} ∴ f(2)=3 k=3이면, A£={1, 2, 4, 5} ∴ f(3)=4 ¤3<k…6일 때 k=4이면, A¢={1, 2, 5} ∴ f(4)=3 k=5이면, A∞={1, 2} ∴ f(5)=2 k=6이면, A§={1, 2} ∴ f(6)=2k>6일 때 k=7이면, A¶={1, 2} ∴ f(7)=2 k=8이면, A•={1, 2, 7} ∴ f(8)=3 따라서 ⁄, ¤, ‹에서 f(k)=(2+3+4)+(3+2+2)+(2+3)=21 8 ¡ k=1 풀 이 21 답 3 6 k x + + - -k 6 3 x + + - -6 k 3 x + + -

-연립부등식[

(x-3)(x-6)(x-9)…0

의정수해가3개가되도록하는모든양의실수a의값의합을구하시오.

(x-a)(x-a-2)…0

발전유제

0

4

정수 a에 대하여 부등식 (x¤ -2ax)(x-a)¤ <0의 정수 해가 10개가 되도록 하는 a의 최댓값을 M, 최솟값을

m이라 할 때, M-m의 값을 구하시오.

유제

정답과 풀이 16쪽

(22)

예제

www.ebsi.co.kr

3

분수부등식의 풀이

3

분수부등식

+

+

-2를 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은?

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

8

x¤ -4x+3

5

x-3

4

x-1

0 HjK g(x)h(x)0, f(x)+0, h(x)+0 f(x)g(x) f(x)h(x) 풀 이 전 략 주어진 부등식은 + +-2 이므로 우변을 이항하여 정리하면 …000 x+1이므로 부등식의 좌변을 약분하면0, x+1 양변에 (x-3)¤ 을 곱하면 (2x+3)(x-3)…0, x+1, x+3 따라서 주어진 분수부등식의 해는 -;2#;…x<1 또는 1<x<3이므로 정수 x는 -1, 0, 2이고 그 합은 1이다. 2x+3 x-3 (x-1)(2x+3) (x-1)(x-3) 2x¤ +x-3 (x-1)(x-3) 4(x-3)+5(x-1)+8+2(x¤ -4x+3) (x-1)(x-3) 8 (x-1)(x-3) 5 x-3 4 x-1 풀 이 ② 답

분수부등식

<

을 만족시키는 양의 정수 x의 개수는?

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

1

x-1

2x¤ -6x+7

x‹ -1

확인유제

유제

정답과 풀이 16쪽

0

5

분수부등식

|x-2|

x+3

æ

2를 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

발전유제

0

6

(23)

02 부등식

23

예제

4

4

분수부등식에 대한 연립부등식

연립부등식

…0

x+2

를 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합은?

① 5

② 6

③ 7

④ 8

⑤ 9

x¤ -1

x-5

x-6

x¤ +2x

(

{

9

연립부등식의 해는 연립부등식을 이루고 있는 각각의 부등식을 동시에 만족시키는 것으로 각각의 부등식을 풀어 공통 부분을 구한다. 풀 이 전 략 …0에서0 x(x+2)(x-6)…0, x+0, x+-2 ∴ x<-2 또는 0<x…6 …… ㉠ …x+2에서 우변을 좌변으로 이항하여 정리하면 …0 …0 3(x+3)(x-5)…0, x+5 ∴ -3…x<5 …… ㉡ ㉠, ㉡에서 주어진 연립부등식의 해는 -3…x<-2 또는 0<x<5이므로 정수 x는 -3, 1, 2, 3, 4이고 그 합은 7이다. 3(x+3) x-5 x¤ -1-(x+2)(x-5) x-5 x¤ -1 x-5 x-6 x(x+2) x-6 x¤ +2x 풀 이 ③ 답

연립부등식

æ

x

을 만족시키는 정수 x의 개수는?

x¤ +x-20<0

① 5

② 6

③ 7

④ 8

⑤ 9

3x¤ +14x

x¤ +4

·

{

ª

확인유제

유제

정답과 풀이 17쪽

0

7

연립부등식 1<

x+3

4x

3의 해와 부등식

x-b

x-a

0의 해가 서로 같을 때, 2a+b의 값을 구하시오.

발전유제

0

8

-3-2 0 5 6 x ㉠ ㉠ ㉡

(24)

부등식에서 출제되고 있는 유형은 크게 세 가지이다. 첫째는 고차부등식과 분수부등식의 해를 구하는 형태, 둘째는 미정계 수를 포함한 고차부등식과 분수부등식의 해를 구하는 형태, 셋째는 함수의 그래프를 통하여 분수부등식의 해를 구하는 형태이다.

출제경향 & 대표기출문제

출제 경향 2011학년도 대수능 | 출제 의도 | 미정계수를 포함한 분수부등식의 근을 구하는 과정을 알고 있는지, 분모를 0으로 하는 값은 근에서 제외시키는 것을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

x에 대한 분수부등식 1+

을 만족시키는 정수 x의 개수가 3이 되도록 하는 자연수 k의 값을 구

하시오. [3점]

1

x-1

k

x-k

02

2010년 6월 평가원 | 출제 의도 | 그래프를 이용하여 함수 f(x)를 구하고, 분수부등식의 근을 구하는 과정을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다.

두 집합 A=[x|

1], B={x|-5<x<5}에 대하여 집합 A;B에 속하

는 정수의 개수는? (단, f(2)=f(-2)=0)

[3점]

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

f(x+1)

f(x-1)

03

2010년 6월 평가원 | 출제 의도 | 미정계수를 포함한 고차부등식의 근을 구하는 과정을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

x에 대한 부등식 x(x-a)(x-1)¤ <0을 만족시키는 자연수 x의 개수가 4일 때, 실수 a의 최댓값은? [3점]

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

01

정답과 풀이 17`쪽 x y y=f(x) O 2 -2

(25)

02 부등식

25

02

부등식 (x+4)¤ (x+2)(x-4)…0을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 6

② 7

③ 8

④ 9

⑤ 10

05

연립부등식 - x-61<9x-8 을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오.

03

연립부등식 [x(x-3)(x-6)<0 을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합을 구하시오. (x+2)(x-1)(x-4)(x-7)<0

04

부등식 …0을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

x¤ -6x+8 |x(x-3)|

01

부등식 x‹ -6x¤ +3x+10<0을 만족시키는 모든 양의 정수 x의 값의 합은?

① 5

② 7

③ 9

④ 11

⑤ 13

Level

1

기초연습

www.ebsi.co.kr 정답과 풀이 18`쪽

(26)

Level

2

기본연습

01

자연수 a에 대하여 부등식 (x-a)(x-a¤ )(x-22)<0을 만족시키는 자연수 x의 개수를 f(a)라고 할 때, f(a)의 최솟값은?

① 5

② 6

③ 7

④ 8

⑤ 9

02

두 함수 f(x)=x‹ -2x¤ -4x+6, g(x)= x-3에 대하여 부등식 (fÁg)(x)<g(x)를 만족시키는 모든 양의 정 수 x의 값의 합을 구하시오. 1 2

03

두 집합 A={x|x¤ +x-2<0}, B=[x| + æ0]에 대하여 A,B가 되도록 하는 a의 최솟값은? (단, a>-1)

① ;2!;

② ;2#;

③ ;2%;

④ ;2&;

⑤ ;2(;

1 x-3 a x+2 정답과 풀이 19`쪽

04

함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 - …1을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

2 f(-x)-1 1 f(-x)

05

준수가 다니는 초등학교에서는 총 30번의 받아쓰기 시험을 본다. 지금까지 모두 10번의 시험이 있었고 준수의 성적 은 평균 92점이었다. 남은 시험에서는 계속 100점을 받는다고 할 때, 지금부터 몇 번째 시험에서 처음으로 준수의 성 적은 평균 95점 이상이 되는가?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

x O -3 -2 -1 -1 3 2 1 y y=f(x) 1 2

(27)

정답과 풀이 21`쪽

Level

3

실력완성

신유형 www.ebsi.co.kr 02 부등식

27

03

부등식 …0을 만족시키는 정수 x의 개수가 4가 되도록 하는 모든 자연수 a의 값의 합을 구하 시오. (단, a+14) (x-a)(x-7)¤ 2x-a

01

두 집합 A, B가

A={x|x¤ -25<0}, B={x|x‹ -(a+1)x¤ +(a-2)x+2a…0}

일 때, 집합 A;B의 원소 중 정수의 개수가 6이 되도록 하는 모든 정수 a의 값의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

02

오른쪽 그림은 삼차함수 y=f(x)의 그래프이다. 부등식 >0의 해가 x<a 또는 x>b가 되도록 하는 모든 정수 a의 값의 합은? (단, a<b)

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

f(x-1) f(x+a)

04

서로 다른 세 자연수 a, b, c에 대하여 abc=40일 때, 부등식 …0을 만족시키는 모든 자연수 x의 값의 합을 S라 하자. S의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값을 구하시오. x-c (x-a)(x-b) y=f(x) x y O -1 5 2

(28)

|

삼각함수(1)

03

1.

삼각함수의 정의

2.

삼각함수 사이의 관계

0

1

0

2

원점 O와 점 P(-4, 3)을 지나는 동경 OP가 나타내는 각을 h라 할 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ `cosec h

⑵ `sec h

⑶ `cot h

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ `cosec :¡6¡:p

⑵ `sec {-;4#;p}

⑶ `cot ;3$;p

0

3

cosec h=3일 때, 8(cot¤ h+sec¤ h)의 값을 구하시오.

확인문제 정답과 풀이 23쪽

cosec = = =2, sec = = ='2, cot = = = '3 3 1 '3 1 tan;3“; p 3 1 1 cos ;4“; p 4 1 ;2!; 1 sin ;6“; p 6 cosec h= = (y+0) sec h= = (x+0) cot h= =x(y+0) y 1 tan h r x 1 cos h r y 1 sin h

1+tan¤ h=sec¤ h, 1+cot¤ h=cosec¤ h

| 보기 | x y -r -r r r x y P(x, y) O r h '2 2

sin¤ h+cos¤ h=1의 양변을 cos¤ h(cos h+0), sin¤ h(sin h+0)로 각각 나누면

+1=

, 1+

=

따라서 1+tan¤ h=sec¤ h, 1+cot¤ h=cosec¤ h이다. 1 sin¤ h cos¤ h sin¤ h 1 cos¤ h sin¤ h cos¤ h 증명 위 그림과 같이 각 h를 나타내는 동경과 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 원의 교점을 P(x, `y)라고 하면, sin h=;r};, cos h=;r{;, tan h=;[};의 값의 역수인 ;]R;, ;[R;, ;]{;의 값은 h의 값에 따라 각각 하나로 정해진다. 따라서 h → ;]R;(y+0), h → ;[R;(x+0), h → ;]{;(y+0)와 같은 대응은 각각 h의 함수이다.

이를 차례로 h에 대한 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고, 기호 cosec h=;]R;(y+0), sec h=;[R;(x+0), cot h=;]{;(y+0)로 나타낸다.

(29)

03 삼각함수(1)

29

3.

사인함수, 코사인함수의 덧셈정리

sin(a+b)=sin a`cos b+cos a`sin b sin(a-b)=sin a`cos b-cos a`sin b

cos(a+b)=cos a`cos b-sin a`sin b cos(a-b)=cos a`cos b+sin a`sin b

확인문제 정답과 풀이 23쪽

0

5

sin ;8%;p cos ;8#;p-cos ;8%;p`sin ;8#;p의 값은?

① 0

②` ;2!;

'3

⑤ 1

2

'2

2

0

4

0

6

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ `sin 75˘

⑵ `cos 105˘

sin 10˘ sin 110˘+sin 80˘ sin 20˘의 값은?

①` ;2!;

1+'3

2

1+'2

2

'3

2

'2

2

오른쪽 그림과 같이 두 각 a, b를 나타내는 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 P, Q 라고 하면 P(cos a, sin a), Q(cos b, sin b)이다.

이때, 삼각형 POQ에서 코사인법칙에 의하여 PQ”¤ =OP”¤ +OQ”¤ -2¥OP”¥OQ””¥cos(∠POQ) 이고, OP”=OQ”=1, ∠POQ=a-b이므로 PQ”¤ =2-2 cos(a-b)

한편, 두 점 사이의 거리 공식에 의하여

PQ”¤ =(cos b-cos a)¤ +(sin b-sin a)¤ =2-2(cos a`cos b+sin a`sin b) 따라서 2-2 cos(a-b)=2-2(cos a`cos b+sin a`sin b)가 성립하고, 이 식을 정 리하면

cos(a-b)=cos a`cos b+sin a`sin b …… ㉠

등식 ㉠은 임의의 a, b에 대하여 성립하므로 b 대신에 -b를 대입하면 cos {a-(-b)}=cos a`cos(-b)+sin a`sin(-b)

∴ cos(a+b)=cos a`cos b-sin a`sin b 또한, sin h=cos {;2“;-h}이므로

sin(a+b)=cos[;2“;-(a+b)]=cos[{;2“;-a}-b]=cos {;2“;-a} cos b+sin {;2“;-a} sin b ∴ sin(a+b)=sin a`cos b+cos a`sin b …… ㉡

등식 ㉡에서 b 대신에 -b를 대입하면

sin {a+(-b)}=sin a`cos(-b)+cos a`sin(-b) ∴ sin(a-b)=sin a`cos b-cos a`sin b

증명 x y -1 -1 1 1 P Q O b a

(30)

0

7

0

8

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ `tan 105˘

⑵` tan 15˘

두 직선` y=-3x+1과 `y=2x가 이루는 예각의 크기를 h라 할 때, tan h의 값을 구하시오.

확인문제 정답과 풀이 23쪽

5.

두 직선이 이루는 각의 크기

삼각함수(1)

03

두 직선` y=mx+n,` y=m'x+n'이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하고, 두 직선이 이루 는 예각의 크기를 h라 하면 tan h=|tan(a-b)|=| |=| | (단, mm'+-1) m-m' 1+mm' tan a-tan b 1+tan a`tan b sin a`sin b 1-11111 cos a`cos b sin a ` sin b 112+112cos a ` cos b 두 직선이 이루는 예각의 크기 h는 h=|a-b| 또는 h=p-|a-b|이다. ⁄ a>b일 때, h=a-b 또는 h=p-(a-b)이므로 tan h=|tan(a-b)|

¤ a<b일 때, h=b-a 또는 h=p-(b-a)이므로 tan h=|tan(b-a)|=|tan(a-b)| ⁄ ¤

∴ tan h=|tan(a-b)|=| |=| | (∵ m=tan a, m'=tan b)

m-m' 1+mm' tan a-tan b 1+tan a`tan b 설명 x O y y=mx+n y=m'x+n' a b h x O y y=m'x+n' y=mx+n b a h x O y y=m'x+n' y=mx+n h a b x O y y=m'x+n' y=mx+n a h b

4.

탄젠트함수의 덧셈정리

tan(a+b)= , tan(a-b)= tan a-tan b 1+tan a`tan b tan a+tan b 1-tan a`tan b 사인과 코사인의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트의 덧셈정리를 알아보자. 사인과 코사인의 덧셈정리에 의하여 tan(a+b)= =

여기서 우변의 분자와 분모를 cos a`cos b(cos a`cos b+0)로 나누면

tan(a+b)=

∴ tan(a+b)= …… ㉠

등식 ㉠은 임의의 a, b에 대하여 성립하므로 b 대신에 -b를 대입하면 tan(a-b)= = tan a-tan b

1+tan a`tan b tan a+tan(-b)

1-tan a`tan(-b) tan a+tan b 1-tan a`tan b

sin a cos b+cos a sin b cos a cos b-sin a sin b sin(a+b)

cos(a+b) 증명

(31)

03 삼각함수(1)

31

0

9

다음 식을 r sin(h+a)의 꼴로 나타내시오. (단, r>0, 0…a<2p)

⑴` sin h+cos h

⑵` -'3 sin h+cos h

확인문제 정답과 풀이 24쪽

10

함수` f(x)=sin x-2 cos x의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M-m의 값은?

① '3

② 2'3

③ 4

④ 2'5

⑤ 5

6.

삼각함수의 합성

⑴ a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin(h+a) {단, cos a=

, sin a=

}

a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ cos(h-b) {단, cos b=

, sin b=

}

⑵ 삼각함수 a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ sin(h+a)의 최댓값은 "√a¤ +b¤ , 최솟값은 -"√a¤ +b¤ 이다.

a

"√a¤ +b¤

b

"√a¤ +b¤

b

"√a¤ +b¤

a

"√a¤ +b¤

삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 a sin h+b cos h(a+0, b+0)를

r sin(h+a) (단, r>0, 0…a<2p)

의 꼴로 나타내어 보자.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 P(a, b)를 잡고, 동경 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 a라고 하면, OP”="√a¤ +b¤ 이므로

sin a= , cos a=

∴ a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ { sin h+ cos h} ="√a¤ +b¤ (cos a`sin h+sin a`cos h) ="√a¤ +b¤ sin(h+a)

한편, b=;2“;-a로 놓으면 sin b= , cos b=

∴ a sin h+b cos h="√a¤ +b¤ { sin h+ cos h} ="√a¤ +b¤ (sin b`sin h+cos b`cos h) ="√a¤ +b¤ cos(h-b) b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ 설명 a b O P(a, b) y x a a b O P(a, b) y x b "√a¤ +b¤

(32)

예제

www.ebsi.co.kr

1

삼각함수 사이의 관계

1

sin h+cos h=

일 때, cosec¤ h+sec¤ h의 값은?

① 8

② 10

③ 12

④ 14

⑤ 16

'2

2

⑴ sin¤ h+cos¤ h =1 ⑵ cosec h= , sec h= 1 cos h 1 sin h 풀 이 전 략 sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h+2 sin h`cos h+cos¤ h=;2!; sin¤ h+cos¤ h=1이므로

1+2 sin h`cos h=;2!; ∴ sin h`cos h=-;4!; ∴ cosec¤ h+sec¤ h= + = = = = 1 =16 {-;4!;}2 1 (sin h`cos h)¤ 1 sin¤ h`cos¤ h cos¤ h+sin¤ h sin¤ h`cos¤ h 1 cos¤ h 1 sin¤ h '2 2 풀 이 ⑤ 답

tan h=-;2!;일 때, 4 sec¤ h+cosec¤ h의 값은?

① 10

② 12

③ 14

④ 16

⑤ 18

확인유제

유제

정답과 풀이 25쪽

0

1

=2일 때,

+

1

의 값을 구하시오.

1-sin h

1

1+sin h

3 sin h-cos h

sin h+2 cos h

발전유제

0

2

(33)

03 삼각함수(1)

33

예제

2

2

사인함수, 코사인함수의 덧셈정리

0<a<;2“;, ;2#;p<b<2p이고, sin a=;3!;, cos b=;3@;일 때, sin(a-b)의 값은?

2+2'∂10

9

1+2'∂10

9

3+'∂10

9

1+'∂10

9

-1+'∂10

9

좌표평면의 각 사분면에서 양의 값을 갖는 삼각함수는 다음 그림과 같다. 풀 이 전 략

0<a<;2“;, ;2#;p<b<2p에서 cos a>0, sin b<0이므로 cos a="√1-sin¤ a=Æ…1-;9!;=

sin b=-"√1-cos¤ b=-Æ…1-;9$;=-∴ sin(a-b)=sin a`cos b-cos a`sin b

=;3!;_;3@;- _{- } = 2+2'∂10 9 '5 3 2'2 3 '5 3 2'2 3 풀 이 ⑤ 답

sin a+cos b=;2#;, cos a+sin b=-

일 때, sin(a+b)의 값은?

② -;2!;

③ ;2!;

'3

2

3-'3

2

-3+'3

2

'3

2

발전유제

0

4

0<a<;2“;, p<b<;2#;p이고 sin a=;5$;, cos b=-;1∞3;일 때, 65 cos(a+b)의 값을 구하시오.

유제

정답과 풀이 25쪽 확인유제

0

3

x O tan h cos h sin h sin h cos h tan h y x O cot h sec h cosec h cosec h sec h cot h y

(34)

예제

www.ebsi.co.kr

3

탄젠트함수의 덧셈정리

3

점 (0, 3)을 지나는 직선 중에서 직선` y=;2!;x와 이루는 예각의 크기가 45˘인 직선은 2개 존재한다. 이 두 직선과 x축

으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① 7

② 9

③ 11

④ 13

⑤ 15

두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'이 이루는 예각의 크기를 h 라 하면 tan h =| | (단, mm'+ -1) m-m' 1+mm' 풀 이 전 략

두 직선

`

y=;4!;x,

`

y=ax가 이루는 예각의 크기가 45˘일 때, 양수 a의 값은?

① ;4%;

② ;2#;

③ ;5*;

④ ;3%;

⑤ ;4&;

확인유제

유제

정답과 풀이 25쪽

0

5

이차방정식 2x¤ -9x-1=0의 두 근을 tan a, tan b라 할 때, tan {a+b-;4“;}의 값은?

① ;3!;

② ;2!;

③ ;2#;

④ 2

⑤ 3

발전유제

0

6

점 (0, 3)을 지나는 직선의 방정식을` y=ax+3이라 하자.

두 직선` y=ax+3, y=;2!;x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=a, tan b=;2!;이다. 두 직선이 이루는 각의 크기가 45˘이므로 tan 45˘=|tan(a-b)|=

|

|

=| | ∴ =—1 ⁄ =1일 때, 2a-1=a+2 ∴ a=3 ¤ =-1일 때, 2a-1=-a-2 ∴ a=-;3!; 따라서 구하는 직선의 방정식은` y=3x+3과` y=-;3!;x+3이고두직선의x절편은각각-1, 9이므로 구하는 넓이 S는 S=;2!;_(9+1)_3=15 2a-1 a+2 2a-1 a+2 2a-1 a+2 2a-1 a+2 a-;2!; 1+a¥;2!; 풀 이 ⑤ 답 x O 45° 45° y y=ax+3 y= x12 3

(35)

03 삼각함수(1)

35

예제

4

4

삼각함수의 합성

함수 f(x)=2 sin x+'3 cos {x+;3“;}+1의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, 2M-m의 값은?

① 3

② 4

③ 2'3+1

④ 3'3

⑤ 3'3+1

삼각함수의 합성이란 sin h 와 cos h 로 표현된 a sin h+b cos h `꼴의 삼각함수를 하나의 삼각함수

r sin(h +a ) 또는 r cos(h-b)

의 꼴로 변형하는 것을 말한다.

풀 이 전 략

g(x)=2 sinx+'3 cos{x+;3“;}로 놓으면

g(x)=2 sin x+'3{cos x cos ;3“;-sin x sin ;3“;}

=2 sin x+'3{;2!; cos x- sin x} =;2!;(sin x+'3 cos x) =;2!;¥2 {;2!; sin x+ cos x} =sin {x+;3“;} f(x)=g(x)+1이고 -1…g(x)…1이므로 0…f(x)…2이다. 따라서 함수 f(x)의 최댓값 M=2, 최솟값 m=0이다. ∴ 2M-m=2_2-0=4 '3 2 '3 2 풀 이 ② 답

함수` f(x)=2 sin {x-;6“;}+3 cos x의 최댓값은?

① '6

② '7

③ 2'2

④ '∂10

⑤ 2'3

확인유제

유제

정답과 풀이 26쪽

0

7

0…x<2p에서 함수 f(x)=2 sin x-2 cos x+'2는 x=a에서 최솟값, x=b에서 최댓값을 갖는다. 이때,

a+b의 값은?

① ;2#;p

② ;4&;p

③ 2p

④ ;4(;p

⑤ ;2%;p

(36)

삼각함수의 덧셈정리를 이용하는 계산 문제와 탄젠트함수의 덧셈정리를 활용하는 도형 문제가 출제되고 있으며, 삼각함수 의 합성을 이용한 최댓값, 최솟값을 구하는 문제가 출제되고 있다.

출제경향 & 대표기출문제

출제 경향 2007년 6월 평가원 | 출제 의도 | 삼각함수의 합성을 이용하여 합성함수의 최댓값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

두 함수 `f(x)=

, `

g(x)='3 sinx-cosx에대하여닫힌구간`

[0, p]에서 함수` y=(fÁg)(x)의 최댓값은?

[3점]

① `;2!;

② 1

③ `;2#;

④ 2

⑤` ;2%;

1

x+2

02

2007학년도 대수능 | 출제 의도 | 탄젠트함수의 덧셈정리를 적용할 수 있는지를 묻는 문제이다.

그림과 같이 원 x¤ +y¤ =1 위의 점 P¡에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q¡이

라 할 때, 삼각형 P¡OQ¡의 넓이는 ;4!;이다. 점 P¡을 원점 O를 중심으로 ;4“;만

큼 회전시킨 점을 P™라 하고, 점 P™에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q™라 하

자. 삼각형 P™OQ™의 넓이는? (단, 점 P¡은 제`1사분면 위의 점이다.) [3점]

① 1

②` ;4%;

③` ;2#;

④` ;4&;

⑤ 2

01

정답과 풀이 26`쪽 O P™ P¡ Q¡ Q™ x y p 4

(37)

03 삼각함수(1)

37

02

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 5개로 이루어진 도형에서 ∠ACB=a, ∠ECD=b라 할 때, sin (a-b)의 값은?

'5

10

'6

10

1

5

'3

10

'2

10

05

함수 y=2 sin x-2'3 cos x의 그래프는 함수 y=a sin x의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼 평행이동시킨 것이다. 이때, 두 상수 a, b에 대하여 12abp 의 값을 구하시오. {단, a>0, 0<b< }p2

01

h가 제`2사분면의 각이고 sin h=;5#;일 때, sec h-cot h의 값은?

① ;1¡2;

② ;1¡0;

③ ;8!;

④ ;6!;

⑤ ;4!;

03

tan h=a일 때, tan (h+45˘)의 값을 a로 나타내면? (단, 0˘<h<45˘)

1+2a

1+a

1+3a

1+a

1+a

1-a

1+2a

1-a

1+3a

1-a

04

그림에서 tan a=;3!;, tan b=;2!;이다.

∠BAC=h라 할 때, 70 tan h의 값을 구하시오.

Level

1

기초연습

www.ebsi.co.kr 정답과 풀이 27`쪽 a b A E B C D A B C D b a h

(38)

Level

2

기본연습

01

sec h+cosec h=4일 때, cot¤ h의 값을 구하시오. 1+tan h

02

그림과 같이 AB”를 지름으로 하는 반원 위에 한 점 P가 있다.

삼각형 PAB에서 AB”='5이고 PA”:PB”=1:2일 때, cos(A-B)의 값은?

① ;3!;

② ;2!;

③ ;5#;

④ ;3@;

⑤ ;5$;

03

함수 f(x)=sin x {0…x…;2“;}의 역함수를 g(x)라 하고 g{;4#;}=a, g{;4!;}=b라고 할 때, f(a+b)f(a-b)의 값은?

① ;4!;

'3

4

③ ;2!;

3'3

8

⑤ ;4#;

정답과 풀이 27`쪽

05

;6“;…x…p에서 정의된 함수` y=('3 cos x-sin x)¤ -3('3 cos x-sin x)+2의 치역은?

① [y|-;4!;…y…0]

② [y|-;4!;…y…6]

③ [y|-;4!;…y…12]

④ {y|0…y…6}

⑤ {y|0…y…12}

04

원 x¤ +y¤ =5 위의 두 점 (1, 2), (-1, 2)에서의 접선을 각각 l, m이라 하자. 두 직선 l, m이 이루는 예각의 크기 를 h라고 할 때, tan h의 값은?

① ;3!;

② ;3@;

③ 1

④ ;3$;

⑤ ;3%;

A P B ' 5

참조

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