고유치 해석

1차모드 2차모드 3차모드

(a) 고유모드형상

_=1.87510407 =1.78702 sec

_=4.69409113

=0.28515 sec

_=7.85475744

=0.10184 sec

(b) 고유주기

Fig. 3.9 균일단면을 가진 외팔보의 고유모드형상 및 고유주기

참고로 단일자유도계에서 고유주기를 구하는 방법은 다음과 같다. 단일자유도계의 운동방정식에서 하중과 감쇄항을 영으로 가정. 자유진동 방정식을 만들게 되면 식 3.44와 같은 선형 2차 미분방정식이 된다.

    

   

(3.44)

여기서 u가 진동에 의한 변위이기 때문에 이를 단순히  cos(여기서 A는 초 기 변위치와 관련한 상수)라고 가정하면 위 식은 식 3.45와 같다.

 ^ cos   (3.45)

상기의 등식이 항상 만족하기 위해서는 좌변의 괄호내의 값이 0이 되어야 하므로 고유치는 식 3.46과 같은 형태로 구해지게 된다.

^ 

   



    

  _{ }



 (3.46)

여기서,

^ : 고유치(eigenvalue)

 : 회전고유진동수(rotational natural frequency)

 : 고유진동수(natural frequency)

 : 고유주기(natural period)

그리고 모드기여계수는 해당 모드의 영향을 총 모드에 대한 비율로 나타낸 것으로 다음 식 3.47로 표현된다.

_  





여기서,

_ : 모드기여계수(modal participation factor)

 : 임의의 모드차수(mode number)

_ : 임의의 i 위치의 질량(mass)

_ : 임의의 i 위치의 m차 모드벡터(mode shape)

일반내진설계기준에서는 해석에 포함되는 모드별 유효질량(Effective Modal Mass) 의 합이 전체 질량의 90%이상을 확보하도록 요구하고 있다. 이는 해석결과에 영향을 주는 대부분의 주요모드를 포함하도록 하기 위한 것이다.

_{  }



 

^

여기서,

_ : 모드별 유효질량(effective modal mass)

임의 질량의 자유도가 구속되어 있을 경우에는 총질량에는 반영되지만 해당 자유도 의 모드벡터가 억제되어 질량성분이 유효질량에는 포함되지 않는다. 그러므로 모드별 유효질량을 계산하여 전체질량에 대한 비를 평가하고자 할 경우에는 질량이 입력된 성 분의 자유도가 구속되지 않도록 해야 한다.

특히 건축구조물에서 지하구조물의 횡변위가 구속된 경우, 해당 층의 횡질량성분은 입력할 필요가 없다.

구조물의 동적거동을 제대로 분석하기 위해서는 고유치를 결정하는 질량과 강성을 정확하게 반영하는 것이 가장 기본이 되는 작업이다. 여기서 강성은 구조부재를 유한 요소로 모델링함으로써 거의 모든 강성성분을 비교적 근접하게 반영할 수 있으나, 질 량은 구조부재 자체의 질량이 전체 질량에 비해 적기 때문에 바닥슬래브 등 모델에 포 함되지 않은 재료에 대한 질량성분을 정확하게 파악하여 입력하는 것이 매우 중요하 다.

질량성분은 절점당 6개의 자유도성분에 따라 일반적으로 이동질량성분(Translational

Masses) 3개와 회전질량성분(Rotational Mass Moment of Inertia) 3개로 입력된다.

여기서 회전질량성분은 회전질량관성에 기인한 것으로 내진설계에서는 지진이 선방향 지진가속도로 가해지기 때문에 동적응답에 직접적인 영향을 미치지는 않으나, 구조물 이 비정형일 때(질량중심과 강성중심이 일치하지 않을 때)는 모드형상을 일부 변형시킴 으로써 동적응답에 간접적인 영향을 미치게 된다.

질량성분은 다음 식 3.49와 3.50과 같이 계산된다.

이동질량성분



회전질량관성모멘트



여기서,

 : 전체 무게중심에서 해당 미소질량성분 중심까지의 거리

질량의 입력단위계는 중량을 중력가속도로 나눈 단위([중량(시간²/길이)])와 같으며 회전질량관성모멘트의 단위계는 질량에 길이단위의 제곱을 곱한 단위([중량(시간²/길 이)×길이²])와 같다. 예를 들면 MKS 또는 English 단위계를 사용할 경우에는 중량에 중력가속도를 나눈 값을 질량으로 입력해야 하며, SI 단위계를 사용할 경우에는 MKS 단위계에서 사용되는 중량치를 그대로 질량으로 입력하고 그 대신 탄성계수값이나 하 중을 입력할 때는 MKS 단위계에서 사용되는 값에 중력가속도를 곱하여 입력하면 된 다

Fig. 3.10 질량데이터의 산정방법

A.점성감쇠(Voigt 형태, Maxwell 형태) B.이력형감쇠

C.마찰감쇠

내부마찰 감쇠(재료감쇠) 외부마찰 감쇠 미끄러짐 마찰 감쇠 D.일산감쇠

E.모드감쇠 비례감쇠

질량비례형 강성비례형 Rayleigh 형 Caughey 형

비비례감쇠 에너지 비례형