격자 게이지 이론에서의 비섭동적 재규격화(NPR) 프로그램 최적화

자연에는 크게 네 가지 상호작용이 있다. 중력, 전자기력, 약력, 강력이 그것 이다. 그리고 각각의 상호작용마다 적용되는 입자들이 있다. 예를 들면 중력 은 사과나 지구와 같은 질량이 있는 입자에 적용이 되고, 전자기력은 전자나 양성자처럼 전하를 띤 입자에 적용이 된다. 네 가지 상호작용 중에 중력을 제외한 전자기력, 약력, 강력을 설명하는 물리학계의 이론 모형이 있는데, 이를 표준모형이라고 한다. 표준모형은 자연계 대부분의 물리현상을 설명함 으로써 큰 성공을 거두어왔다. 하지만 중성미자(neutrino)¹⁾의 질량의 존재 와 같은 표준모형이 예측하지 못하는 현상들이 실험적으로 발견됨으로써 표 준모형의 결함이 알려져 왔다. 본 연구단에서는 CP 위반의 정도를 나타내는 물리량인

ε

K를 실험에서 얻은 값과 표준모형에서 예측하는 값과의 차이가 극명하게 나타남을 보임으로써 표준모형의 진위를 판별하고 표준모형을 넘 어서는 초 표준모형에 대한 단서를 제공하는 연구를 진행하고 있다.

양자색역학(QCD, Quantum Chromodynamics)은 표준모형의 강력, 즉 강 한 상호 작용에 대한 이론이다. 전자기 상호작용이 전하(charge)를 가지 는 입자들 사이의 상호작용(예를 들어 정전기현상과 같은)을 말한다면, 강 한 상호작용은 색소전하(color charge)를 가지는 기본 입자인 쿼크와 글루 온으로 이루어진 입자들 사이의 상호작용을 가리킨다. 그런데 강한 상호작 용은 점근 자유성(asymptotic freedom)²⁾이라는 특성을 가지는데, 이로 인 해 쿼크나 글루온은 짧은 거리 혹은 낮은 에너지 규모에서 홀로 자유롭게 존 재하지 못한다. 반드시 쿼크나 글루온의 결합구조인 메존(meson)이나 베리 온(baryon)과 같은 강입자 안에 묶여 존재한다. 일상적으로 알고 있는 양성 자, 중성자와 같은 원자의 핵이 쿼크와 글루온으로 이루어진 강입자이다. 강 입자의 에너지 규모 또는 그에 해당하는 짧은 거리에서 강한 상호작용은 매 우 강력해서 기존의 해석적 방법인 섭동이론(perturbation theory)을 통해 서는 원하는 물리적 값을 계산할 수 없다. 따라서 강입자의 상호작용 또는 그 특성과 같은 물리현상을 이해하기 위해서는 비섭동적인 방법을 사용해 야 한다. 그 방법 중 하나가 격자게이지이론(lattice gauge theory)에 기초 하여 시공간을 격자로 나누어 슈퍼컴퓨터로 시뮬레이션 계산을 하는 격자 QCD(lattice QCD)이다.

01

연구분야 및 연구배경 소개

격자 QCD는 연속적인 시공간을 가상의 격자로 나누어 비연속적인 시공간 위에서 물리량을 계산한다. 임의의 물리량은 파인만 경로적분(Feynman path integral)을 이용하여 계산할 수 있다. 경로적분은 무한대의 4차원 부 피를 가지는 연속적인 시공간에는 무한한 계산량이 필요하기에 수치계산으 로 구할 수 없다. 하지만 4차원 시공간을 모눈종이의 격자처럼 쪼개어 유한 한 부피를 가정하면 유한한 계산량으로 경로적분을 구할 수 있다. 따라서 유 한한 부피의 격자 시공간에서는 QCD관련 물리량이 수치적으로 계산 가능하 다. 하지만 이 과정에서 가상의 격자를 도입했기 때문에, 실제 연속적인 시 공간에서의 물리량을 얻어내기 위해서 격자 간격을 0으로 보내어 연속적인 시공간에서의 값을 도출해야 한다. 따라서 격자시공간의 격자간격을 큰 것 에서부터 작은 것으로 달리하며 경로적분을 계산함으로써 격자 간격이 0일 때의 값을 도출할 수 있다. 이러한 비연속적인 격자 시공간을 연속적인 시공 간으로 돌려놓는 과정을 통하여 실제 물리량을 얻게 된다.

한국과학기술정보연구원 격자 게이지 이론에서의 비섭동적 재규격화(NPR) 프로그램 최적화

그림 1. CKM 행렬의 유니터리티 삼각형 (Particle Data Group, "Review of Particle Physics")

표준모형에는 강한 상호작용의 기본입자인 쿼크들 간의 섞임을 나타내는 CKM 행렬이라는 유니터리(unitary) 행렬이 있다. [그림 1]의 중앙에 있는 삼각형은 이 유니터리 특성을 나타내고 여러 측정과 계산으로부터 CKM 행 렬요소의 제약을 보여 준다. 본 연구단에서 계산하고자 하는 물리량은 이며, 이것은 중성 케이온의 CP 비대칭 정도를 나타내는 값이다.

ε

K도 CKM 행 렬요소를 제약하는 역할을 한다.

현재

ε

K의 불확실성은 주로 Vcb와 BK라는 물리량에서 비롯되는데, 이 값들 은 강입자 에너지 규모에서 QCD의 효과가 들어 있다. 강입자 에너지 규모와 같이 낮은 에너지 규모에서의 QCD 계산은 앞서 설명한 이유로 격자 QCD 계 산을 통해서만 원하는 정밀도로 구할 수 있다. 본 연구단의 연구목표는

ε

K의 불확실성을 줄이기 위해 Vcb와 BK를 보다 정밀하게 계산하고자 하는 것이다.

앞서 밝힌 바와 같이 격자 QCD를 통해 계산된 값은 연속적인 시공간의 값으 로 변환하는 과정이 필요하다. 그 과정 중에 필요한 방법들이 여러 가지 있는 데, 본 연구단에서는 비섭동적 재규격화(Non-perturbative Renormalization, NPR)를 이용하여 BK상수를 보다 정밀하게 계산하고자 한다. NPR을 통해 맞춤 인자(matching factor)를 얻을 수 있는데, 이 값은 격자 위에서 계산된 결과를 RI-MOM scheme으로 바꾸는 데 사용이 된다. 그리고 RI-MOM scheme에서 의 값은 섭동이론으로 계산된 맞춤인자를 이용하여 다시 continuum scheme, 즉 연속적인 시공간의 값인 scheme에서의 BK를 얻는 데 사용된다.

기존에는 NPR 방법을 사용하지 않고 one-loop perturbation을 토대로 계 산된 맞춤인자를 이용하여 격자 위에서 계산된 BK값을 scheme으로 바 꾸었다. 이때 one-loop 맞춤인자로부터 오는 4.4%의 오차가 현재 상수 계 산의 오차 중 가장 큰 부분이다. 그런데 NPR 방법을 사용하게 되면 이는 2%

이하로 작아지게 된다.

결론적으로 NPR방법을 사용한 계산으로 BK를 2% 이하의 오차범위 내에서 결정하여 실험으로 얻은

ε

K값과 이론인 표준모형으로 얻은

ε

K값의 차이 를 더욱 정밀하게 계산하고, 이를 통해 표준모형의 진위에 대한 확실한 실마 리를 얻고자 하는 것이 궁극적인 연구목표이다.

물리적인 결과를 얻기 위해서는 하나의 격자 앙상블에서의 계산만으로 충분

Lattice a(fm) amℓ/ams Geometry Progress ID Coarse lattice 0.12 0.01/0.05 20³×64 690/1500 C3 Fine lattice 0.09 0.0062/0.031 28³×96 1017/1500 F1 Superfine lattice 0.06 0.0036/0.018 48³×144 -/1500 S1 Ultrafine lattice 0.045 0.0028/0.014 64³×192 -/1500 U1 격자 QCD는 수치계산방식의 특성상 수많은 계산량이 요구되므로, 슈퍼컴퓨 (Columbia Physics System), MILC (MIMD Lattice Computation), CHROMA 등이 있다. 최근에는 이러한 CPU 기반 라이브러리들에 덧붙여

>> 병렬확장성 실험 결과

[표 3]은 (시공간 격자 크기) gauge configuration을 사용하여 최적화된 NPR 프로그램의 병렬확장성을 측정한 결과이다.

[표3]과 [그림2]에서 볼 수 있듯이 CPU 코어 수의 증가에 따라 계산 속도가 일정하게 증가하고 있다. 이는 프로그램이 데이터 커뮤니케이션 부분이 거의 없으며 CPU 수를 크게 확장하여도 계산속도 향상에 문제가 없는 병렬화에 최적화된 프로그램이라는 것을 알려준다. 그렇기 때문에 CPU 수만 충분하다 면 Superfine, Ultrafine 격자 앙상블처럼 큰 격자 앙상블의 경우에는 8000 CPU 이상에서 작업을 수행하여 단위 작업 당 계산 시간을 줄일 수 있다.

격자 간격 크기가 줄어들수록 격자 점의 개수가 늘어나므로 계산량은 더욱 더 많아진다. 기존의 최적화하지 않은 프로그램에 대해서 KISTI 타키온2 시 스템을 사용하여 첫 번째 단계의 총 계산시간을 대략적으로 구해보면 8,192 CPU 코어 사용기준으로 10.9년이 필요하다. 이는 상당히 긴 시간으로 프로 그램의 최적화와 병렬화가 필수적임을 알 수 있다. 특히 본 연구단의 NPR 계산 프로그램은 계산량 대비 데이터 커뮤니케이션의 비중이 거의 없어 병 렬화에 효율적이다. 또한 기존에 최적화된 부분이 많지 않아, 최적화를 통해 성능향상을 얻을 여지가 많다. 따라서 KISTI의 최적화 병렬화 지원을 통해 계산성능이 크게 향상될 수 있을 것이다.

[표 2]에 8³×32(시공간 격자 크기) gauge configuration을 사용하고 KISTI 타키온2의 16개 CPU 코어를 사용하여 최적화된 코드의 성능을 측정한 결과 를 나타내었다.

[표 2]에서 볼 수 있듯이 최적화가 필요한 부분이 프로그램의 전체 소요시간 에서 차지하는 비중이 매우 커서(99.99%), 전체의 프로그램과 최적화가 된 부분 모두 약 2.2배의 성능 향상 효과를 얻을 수 있었다. 또한 최적화 전후 프로그램을 통해 얻어진 값의 차이 또한 오차 범위 내에서 일치하였다. 이로 써 최적화된 코드를 즉시 적용하여 쓸 수 있으며, 연구의 진행에 매우 큰 도 움이 될 것이라 기대한다. 결과적으로 본 연구에서 소요된 계산 시간은 절반 이상 줄어들었다.

16 CPUs 최적화 적용 부분 소요시간

(초)

프로그램 총 소요 시간 (초)

최적화 전 22360 22363

최적화 후 10333 10138

소요시간 비율 2.207 2.206

CPU 코어 개수 CPU 코어 개수 비율 소요 시간(시간) 계산 속도(1/시간)

88 1 29.03 1

1029 1.844 16.58 1.751

2058 3.5 8.55 3.395

4116 7 4.57 6.352

한국과학기술정보연구원

04

성능 향상 및 연구기여도

표 2. 최적화 전후의 최적화 적용 부분, 프로그램 전체 소요 시간과 그 비율

표 3. CPU 개수에 따른 계산 소요 시간

그림 2. CPU코어 수에 따른 병렬확장성 격자 게이지 이론에서의 비섭동적 재규격화(NPR) 프로그램 최적화

[6]. Jon A. Bailey, Yong-Chull Jang, Weonjong Lee, Sungwoo Park, 2015,

“Determination of

ε

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[12]. Jon A. Bailey, Jaehoon Leem, Weonjong Lee, Yong-Chull Jang, 2016,

“Heavy-heavy current improvement for calculation of B→D(*)ℓν

문서에서 KISTI 슈퍼컴퓨팅 최적병렬화 사례집 (페이지 28-33)