수막새 원의 둘레 위에 있는 세 점 A, B, C를 연결하여 △ABC 를 만든다.
원의 둘레 위의 세 점 A, B, C를 연결하여 삼각형 ABC를 그 리면 수막새 원은 △ABC의 외접원이므로 △ABC의 외심을 작도하면 수막새 원의 중심을 찾을 수 있다.
따라서 수막새 원의 중심은
ㄴ. AB”와 BC”의 수직이등분선의 교점 으로 찾을 수 있다.
2 058
165˘보조선 OA를 긋고 크기가 같은 각을 표시한다.
보조선 OA를 그으면
점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”
즉 △OAB, △OCA는 이등변삼각형 이므로
∠OAB=∠OBA=35˘
∠OAC=∠OCA=20˘
∴ x=35˘+20˘=55˘
또 y=2x이므로 y=2_55˘=110˘
따라서 x+y=55˘+110˘=
2 059
26˘삼각형에서 두 변의 수직이등분선의 교점은 외심이다.
점 O가 삼각형 ABC의 외심이므로 보조선 OC를 그으면
∠BOC=2∠A=2_64˘=128˘
이때 △OBC에서 OB”=OC”이므로
∠OBC=∠OCB
=;2!;_(180˘-∠BOC)
=;2!;_(180˘-128˘)
=
64˘
B E C
A
D O
B C
O y A
x
35˘
35˘
20˘
20˘
배의 위치
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2 060
②직각삼각형의 빗변의 중점과 직각삼각형의 외심은 일치한다.
① 점 M이 △ABC의 외심이므로
①CM”=AM”=BM”
① CM”=;2!;_16=8 (cm)
② MB”=MC”이므로
△MBC는 이등변삼각형이다.
∴ ∠MCB=∠MBC=40˘
③ AM”=CM”이므로 △AMC는 이등변삼각형이다.
④ ∠AMC는 △BCM의 한 외각이므로
∠AMC=∠MBC+∠MCB
=40˘+40˘=80˘
⑤ 직각삼각형 ABC의 빗변 AB의 중점 M은 외심이다.
따라서 옳지 않은 것은②
2 061
12 cm¤밑변의 길이와 높이가 같은 삼각형의 넓이는 같다.
점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”
이때 △ABO와 △AOC에서 밑변의 길이는 각각 OB”, OC”
이고 OB”=OC”이므로
△ABO=△AOC 즉 △ABC=2△AOC
이때 △ABC의 넓이는 ;2!;_6_8=24 (cm¤ )이므로 2△AOC=24 ∴ △AOC=12 cm¤
따라서 고추장 불고기 맛에 해당하는 부분의 넓이는
2 062
10˘MA”=MB”=MC”인 것을 이용한다.
점 M은 직각삼각형 ABC의 빗변 BC의 중점이므로
△ABC의 외심이다.
이때 MA”=MB”=MC”에서
△MAB는 이등변삼각형 이므로 ∠MAB=∠MBA=40˘
이때 ∠AMH는 △ABM의 한 외각이므로
∠AMH=40˘+40˘=80˘
따라서 △AMH에서
∠MAH=180˘-90˘-80˘=
B MH C
A
40˘
40˘
A
B C
O
6 cm 8 cm
10 cm 80˘
M
40˘ 40˘
8 cm
B C
A 8 cm
8 cm
2 063
∠BAC=60˘, ∠ABC=75˘, ∠BCA=45˘∠AOB+∠BOC+∠COA=360˘
, , 의 크기 각각 구하기 55
∠AOB+∠BOC+∠COA=360˘이고
∠AOB：∠BOC：∠COA=3：4：5이므로
∠AOB=360˘_ =90˘
∠BOC=360˘_ =120˘
∠COA=360˘_ =150˘
, , 의 크기 각각 구하기 55 이때 점 O는 △ABC의 외심이므로
B
B ;2!;∠BOC=;2!;_120˘=
;2!;∠COA=;2!;_150˘=
;2!;∠AOB=;2!;_90˘=
2 064
16˘삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.
점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”
따라서 △OAC는 OA”=OC”인 이등변삼각형이므로
∠OAC=∠OCA=32˘
또 △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로
∠OAB=∠OBA=48˘
∴ ∠CAB=∠OAB-∠OAC
=48˘-32˘=
A B
C
48˘
32˘
O
32˘
5 3+4+5
4 3+4+5
3 3+4+5
삼각형의 외심과 비례식으로 주어진 각의 크기 LECTURE
삼각형 ABC에서 점 O가 외심일 때
∠AOB：∠BOC：∠COA=x：y：z이면
∠AOB=360˘_
∠BOC=360˘_
∠COA=360˘_ z x+y+z
y x+y+z
x x+y+z
B C
A
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O2 065
;;¡3§;;p cm¤점 O가 △ABC의 외심인 것을 이용한다.
점 가 AA 의 외심인 것 알기 22 원 O 위에 세 점 A, B, C가 있으므로 점 O는 △ABC의 외심이다.
, 의 길이 구하기 22 이때 OB”=OC”=OA”=4 cm
B
B 의 크기 구하기 44
또 △OAB와 △OCA는 이등변삼각형이므로
∠OAB=∠OBA=25˘, ∠OAC=∠OCA=35˘
∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC
=25˘+35˘=60˘
∴ ∠BOC=2∠A=2_60˘=120˘
부채꼴 의 넓이 구하기 22
따라서 부채꼴 BOC는 반지름의 길이가 4 cm이고, 중심각의 크기가 120˘이므로 그 넓이는
p_4¤ _ =
2 066
⑴ 90˘ ⑵ 120˘직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.
△ 가 직각삼각형임을 알기 33
⑴ AO”=BO”=CO”이고
⑴외심 O가 BC”의 중점이므로
△ABC는 ∠A=90˘인 직각 삼각형이다.
∴ ∠BAC=90˘
의 크기 구하기 44
⑵ △OAB에서 OA”=OB”이므로
∠OAB=∠OBA=30˘
따라서 ∠OAC=∠BAC-∠OAB=90˘-30˘=60˘
의 크기 구하기 33
⑵이때 점 O'이 △AOC의 외심이므로
∠OO'C=2∠OAC=2_60˘=
30˘ 60˘
B C
A
O O' 30˘
120˘
360˘
B
C A
25˘ O35˘
4 cm 35˘
120˘
25˘
098, 099쪽
2 067
⑴ 27˘ ⑵ 71˘삼각형에서 세 내각의 크기 합은 180˘이고
∠PAO=90˘이므로
⑴ 90˘+x+63˘=180˘
∴ x=
⑵ 90˘+x+19˘=180˘
∴ x=
2 068
x=35˘, y=5점 I가 △ABC의 내심이므로
∠CAI=∠BAI=x
∠ACI=∠BCI=25˘
△AIC에서
x+120˘+25˘=180˘
∴
또 삼각형의 내심 I에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ==
2 069
⑴ 58˘ ⑵ 113˘⑴ △ABC에서
x+2_(33˘+28˘)=180˘
x+122˘=180˘
∴ x=
⑵ ∠IBC=a, ∠ICB=b라 하면
△ABC에서 2_(23˘+a+b)=180˘
23˘+a+b=90˘ ∴ a+b=67˘
△IBC에서 x+a+b=180˘
∴ x=180˘-(a+b)
=180˘-67˘=
B C
A
I 23˘ 23˘
a x a
b b 33˘
33˘
x
B C
A
I 28˘
28˘
I
B C
A
25˘
25˘
120˘
x x
5 cm
y cm A
P O
19˘
x A
P x 63˘ O
삼각형의 내심
0 3 3
다른 풀이
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;2{;+33˘+28˘=90˘, ;2{;=29˘
∴ x=58˘다른풀이
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