수 리 영 역

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^



÷^



×^



의 값은? ¹⁾

[2점][2005년 10월]

① _ ② _ ③ _ ④ _ ⑤ _

2.

행렬



^{  } 



에 대하여 ^ 의 모든 성분의 합은? ²⁾ [2점][2005년 10월]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

3.

두 함수     ^,     

log_에 대하여    의 값은? ³⁾

[2점][2005년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

두 개의 주사위 , 를 동시에 던져 나오는 눈의 수를 각각

, 라 할 때,      일 확률은?(단, 주사위의 각 눈이 나 올 확률은 모두 같다.) ⁴⁾

[3점][2005년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





5.

연속확률변수 의 확률밀도함수

  가

   



^{   }  ≦  ≦  

       

2005학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

‘ 나 ’ 형 성명 수험번호 3

1

수 리 영 역

2 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

6.

첫째항이 , 공비가 인 등비수열



^



에서 첫째항부터 제

항까지의 합을 _ 이라 하자. 수열



^ 



^{가 등비수열을}

이루도록 하는 상수 의 값은? ⁶⁾

[3점][2005년 10월]

①  ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





7.

그림과 같이 정사각형 모양으로 배열된

개의 원형탁자와 세 가지 색 빨강, 파 랑, 노랑 보자기가 각각 장씩 있다. 이

장의 보자기로 탁자를 하나씩 덮을 때, 어떤 행과 어떤 열에도 같은 색이 놓이 지 않도록 덮는 방법의 수는? ⁷⁾

[3점][2005년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

8.

근원사건 전체의 집합 의 두 부분집합 ,에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, P≠, P ≠) ⁸⁾

[4점][2005년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. ⊂이면 P  이다.

ㄴ. ,가 배반사건이면 P  이다.

ㄷ. ,가 독립사건이면  ,는 배반사건이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.

행렬 



   ^{ }



에 대하여 _{  }



^{ }



^^ ^_



일 때, lim

→∞^ _

_{  }

의 값은? ⁹⁾

[4점][2005년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

‘ 나 ’ 형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

10.

어떤 두 직업에 종사하는 전체 근로자 중 한 직업에서 표본

 를, 또 다른 직업에서 표본 를 추출하여 월급을 조사하였더 니 다음과 같은 결과를 얻었다.

표본 표본의

크기 평균 표준

편차

신뢰도

(%) 모평균의 추정

 _     ≦  ≦ 

 _     ≦  ≦ 

(단위는 만원이고, 표본 , 의 월급의 분포는 정규분포를 이 룬다)

위의 자료에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? ¹⁰⁾ [4점][2005년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. 표본보다 표본의 분포가 더 고르다.

ㄴ. 표본의 크기가 표본의 크기보다 작다.

ㄷ. 신뢰도를 _보다 크게 하면 신뢰구간의 길이도 커진다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11.

다음은 등비수열 ^의 첫째항부터 제 항까지의 합을

_이라 하고 _ , _ 라 할 때, _ 을 , 로 나타내는 과정이다.(단,  ≠,  ≠)

자연수 에 대하여

 _ _ _… _ _{  } _{  } _{  }… _

 _{  } _{  } _{  }… _이라 하자.

등비수열 ^^{의 공비를 라 하면  , , 는 이 순} 서대로 공비가 (가) 인 등비수열을 이룬다.

등비중항의 성질에 의하여 ^

또한,











_ 

__  

___  따라서 _  (나) 이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? ¹¹⁾

[3점][2005년 10월]

(가) (나)

① ^{  } 

   ^

② ^ 

   ^

③ _^ _



^   ^

④ _^ _



^   ^

⑤ _^ _



^   ^

수 리 영 역

4 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12.

다음은

서로 다른



개에서



개를 선택하는 조합의 수

_C_

(

 ≦ 

)에 대한 어떤 성질을 설명하는 과정이다.

서로 다른

_

개를 , , , …,

^

이라 하자.

(ⅰ)

을 포함하여 

개를 선택하는 조합의 수는

(가)

이다.

를 포함하여 _

개를 선택하는 조합의 수는

(가)

이다.

을 포함하여 

개를 선택하는 조합의 수는

(가)

이다.

⋮



을 포함하여



개를 선택하는 조합의 수는

(가)

이다.

이상을 모두 합하면

 × (가)

이다.……㉠

(ⅱ)

그런데 위의 ㉠에 있는 조합의 수 중에는 , , , …,



의

_

개로 구성된 하나의 조합이

(나)

번 반복되어 계 산되었다.

(중략)

(ⅰ), (ⅱ)로부터 서로 다른



개에서



개를 선택하는 조 합의 수

_C_

는

C_r  (다) _×

  C_{  }

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? ¹²⁾

[3점][2005년 10월]

(가) (나) (다)

① _{  }C_{  }  



② _C_{  }  



③ _{  C  }  



④ _{  C    }





⑤ _C_{  }  



13.

그림과 같이 세 곡선   log_,   log_,   log_와 직 선   (  )가 만나는

점을 각각 A, B, C라 할 때, _

BC AB

의 값은? ¹³⁾

[4점][2005년 10월]

① _ ② _



 ③ _ ④ _



 ⑤ _

14.

어떤 해운회사의 통계자료에 의하면 예약고객 명 중 명의 비율로 승선 한다고 한다. 정원이 명인 여객선의 예약고객이 명일 때, 승선한 고객이 예약고객만으로 정원을 초과하지 않을 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구 하면? ¹⁴⁾

[3점][2005년 10월]

① _{} ② _{} ③ _{}

④ _{} ⑤ _{}

<표준정규분포표>

 P ≦≦  

 

 

 

 

 

수 리 영 역

‘ 나 ’ 형 5

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15.

[그림]과 같이 네 개의 방이 통로로 연결되어 있을 때, 어 느 한 방에서 출발하여 모든 방을 한 번만 방문하는 방법의 수 는 출발하는 방의 경우의 수가 (가지)이고 각 경우에 모든 방 을 방문하는 방법의 수는 (가지)이므로,  ×  (가지)이다.

[그림_] [그림_]

[그림]와 같이 개의 방이 통로로 연결되어 있을 때, 어느 한 방에서 출발하여 모든 방을 한 번만 방문하는 방법의 수는? ¹⁵⁾

[4점][2005년 10월]

① 가지 ② 가지 ③ 가지

④ 가지 ⑤ 가지

16.

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형의 내부에 크기가 같은 원들이 첫째 행부터 차례로 한 개, 두 개, 세 개, _⋯, _개가 배열되어 있다. 이 원들은 서로 외접하고, 가 장자리의 원들은 삼각형의 각 변에 접한다.

자연수 의 값이 한없이 커질 때, 이 원들의 넓이의 합은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? ¹⁶⁾

[4점][2005년 10월]

① ^_ ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





17.

실질연봉은 연봉을 그 해의 물가지수로 나눈 값이라고 한다.

예를 들어, 물가지수가 인 해에 (만원)의 연봉을 받는 사람의 실질연봉은 _



 (만원)이다.

회사원 _K씨의 연봉은 매년 _씩 인상되고, 물가지수는 매년

씩 상승한다고 한다.

올해의 물가지수를 _이라 할 때, _K씨의 실질연봉이 처음으로 올해 실질연봉의 _배 이상이 되는 해는 올해부터 몇 년 후인 가?(단, log  , log  , log  으로 계 산한다.) ¹⁷⁾

[4점][2005년 10월]

① 년 후 ② 년 후 ③ 년 후

④ 년 후 ⑤ 년 후

단답형(18～25)

18.

_{  }



^{    }_{  }



^{    }의 값을 구하시오. ¹⁸⁾

[3점][2005년 10월]

수 리 영 역

6 ^‘나’형

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19.

수렴하는 무한수열



^



^{에 대하여} lim

 → ∞_{  } 

_{  } 

  일 때, lim

 → ∞

_의 값을 구하시오. ¹⁹⁾

[3점][2005년 10월]

20.

수직선 위를 움직이는 점 P 가 있다. 한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈이 나오면 오른쪽으로 만큼, 홀수의 눈이 나오면 왼 쪽으로 만큼 점 P 가 움직인다.

주사위를 번 던진 후 원점에서 출발한 점 P 가 다시 원점으로 돌아왔을 때, 점 _P 가 점 _{A }을 들러 왔을 확률은 _



 (_{ }는 서로소인 자연수)이다. 이 때, ^ ^의 값을 구하시오.(단, 주사위 의 각 눈이 나올 확률은 같다.) ²⁰⁾

[4점][2005년 10월]

21.

행렬 

 

^{ }  에 대하여 ^의   성분을 구하시오. ²¹⁾ [3점][2005년 10월]

22.

각 자리의 수가 서로 다른 세 자리 자연수를 작은 수부터 차 례로 나열할 때, _번째에 나열되는 수를 구하시오. ²²⁾

[3점][2005년 10월]

수 리 영 역

‘ 나 ’ 형 7

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23.

두 영양제 M, N 각각 한 알에 들어있는 칼슘 및 비타민의 양과 영양제의 가격은 표와 같다.

구분 영양제

칼슘 (mg)

비타민 (mg )

가격 (원)

M   

N   

어떤 사람이 두 영양제 M, N 으로 칼슘  mg, 비타민  mg 을 섭취하려고 한다. 섭취한 영양제 M, N이 각각 , (알)이 고, 그 때의 총 비용이 (원)일 때,

 

^ 

 

^ ,   

 

^

가 성립한다.  일 때, _{ }의 값을 구하시오. ²³⁾

[4점][2005년 10월]

24.

그림과 같이 곡선   log_위의 점 P 에서 축에 내린 수 선의 발이 _{A  }이고, 곡선 _{  log}



 위의 점 _Q에서 _축 에 내린 수선의 발이 B  이다.

삼각형 PAB와 삼각형 QCB의 넓이가 서로 같아지도록 점 Clog_   을 잡을 때, 상수 _의 값을 구하시오.(단,

   ) ²⁴⁾

[4점][2005년 10월]

25.

어떤 교육심리학자는 아무 의미가 없는 음절(예를 들면 “강 넝동룽”)을 학생에게 들려주고 시간이 흐른 후 그 음절을 다시 기억하게 하는 실험을 하였다. 이 실험에 참가한 학생 명 중 분 후에 정확하게 음절을 기억한 학생의 비율을 라 할 때,      log_( ≧ ) 가 성립하였다고 한다.

이 실험에 참가한 학생 명 중 분 후에 정확하게 음절을 기억하는 학생 수를 구하시오.(단, log   으로 계산한다.) ²⁵⁾

[3점][2005년 10월]

객관식(26～29)

26.

함수     ^에 대하여 등식       를 만족하는 실수 의 값은? ²⁶⁾

[3점][2005년 10월]

① _{  log} ② _{  log} ③ _{  log}

④   log_ ⑤   log_

수 리 영 역

8 ^‘나’형

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27.

무한급수 _{  }



^{∞ }_{  }^{ 의 합은? 27)}

[3점][2005년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

28.

이차정사각행렬  에 대하여   의 역행렬이  일 때, 행렬  의 역행렬은?(단, 는 단위행렬) ²⁸⁾

[4점][2005년 10월]

①   ②   ③ 

④   ⑤  

29.

자연수 , 에 대하여 log , log 의 지표를 각각 , 이 라 하자. ^ ^  를 만족하는 , 에 대하여 순서쌍

  의 개수는? ²⁹⁾

[4점][2005년 10월]

①  ②  ③ 

④ _{} ⑤ _{}

단답형(30)

30.

명씩 탑승한 두 대의 자동차 A , B가 어느 휴게소에서 만 났다. 이들 _명은 연료절약을 위해 좌석수가 _개인 자동차 _B 에 모두 승차하려고 한다.

자동차 B의 운전자는 자리를 바꾸지 않고 나머지 명은 임의로 앉을 때, 처음부터 자동차 B에 탔던 명이 모두 처음 좌석이 아닌 다른 좌석에 앉게 될 확률은 _



 (, 는 서로소인 자연 수)이다. 이 때, _{  }의 값을 구하시오. ³⁰⁾

[4점][2005년 10월]

수 리 영 역

‘ 나 ’ 형 9

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2005년 10월 모의고사 나형 해설지

1 ② 2 ⑤ 3 ⑤ 4 ① 5 ④

6 ② 7 ④ 8 ② 9 ③ 10 ⑤

11 ③ 12 ④ 13 ③ 14 ① 15 ④ 16 ⑤ 17 ③ 18 130 19 48 20 13 21 364 22 307 23 35 24 108 25 520 26 ② 27 ③ 28 ① 29 ① 30 33

1) ②

(준식) ^



×^{ }



× ×^^



 ^

 



×^{ }

 



  2) ⑤

^  



^{  } 







^{  } 







^{  } 



따라서 모든 성분의 합은 이다.

3) ⑤

  



^

log_



^{ }



^





^{  ×   }

4) ①

∣ ∣ 인 경우는        

       의 가지이다.

따라서 구하는 확률은 

  

 이다.

5) ④

구하는 확률은 음영이 들어간 부분의 넓이와 같다.

∴



^

 ≦_{≦ }







^{ }



6) ②

_{ }



^ 

,_{   }



^ 

   

 ․^{  } 

  

그런데 _ 가 등비수열이므로 

  

  ∴  

P_{  } P  P∩

 P  P 

  ∴참 ㄷ. 가 독립이면 P∩ P ․P  P , P 이므로 P∩이지만  가 배반이면 P∩  이다. ∴ 거짓

9) ③





   ^{ }



^에서 ^



   ^{ }

 

   ^{ }



 

∴ ^ ^^ ^…^ ^

∴_{  }



^{    …   }_^{ }

∴_ 

^ 

, _{  }  

^{  } 

∴lim

→∞^ _

_{  }

lim

→∞^{  } ^{  } 

^{  } 

  10) ⑤

표본평균으로부터 모평균을 추정할 때, 신뢰도 에 해당하는 값을 라 하면

    ․



^

 ≦  ≦   ․



^



    ․



^

 ≦  ≦   ․



^



ㄱ. 표준편차가 작은 표본의 분포가 더 고르다.

∴참 ㄴ. ․



^_

  , ․



^_

  이므로



^ 



^  ∴ _ ^ _ ^ ∴ _ _ ∴참

ㄷ. 신뢰도를 보다 크게 하면 도 더 커지므로 ․



^_

 , ․



^_

 의 값이 더 커진다.

따라서 신뢰구간의 길이도 커진다. ∴ 참

11) ③

_{ }

  

^  

, _{ }

 

^^  

, _{ }

  

^^  

이므로 는 공비가 ^(가) ^ 인 등비수열이고

, , 를 ^에 대입하여 정리하면

^   ^

수 리 영 역

10 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

∴BC

AB

 



 log_



 log_

 

14) ①

예약하여 승선하는 사람의 수를 확률변수  라 하면

는 이항분포 B



^{ }





^{를 따른다.}

∴    × 

 ,    × 

× 

 ^ 이 때, 는 근사적으로 N  ^을 따른다.

∴ P ≦   P



^{≦ }

  



 P ≦  

15) ④

(ⅰ) 번 방에서 출발하는 경우: ^가지

^번, ^번, 번 방에서 출발하는 경우도 같으므로  ×  (가지)

(ⅱ) 번 방에서 출발하는 경우: 가지

번 방에서 출발하는 경우도 같으므로  ×  (가지)

따라서 구하는 경우의 수는 (가지)이다.

16) ⑤

한 원의 반지름의 길이를 _이라 하면

 _ ^ _  ∴ _  ^

 또, 원의 총 개수는

     …   

 

이므로 원의 총 넓이는

_{ }



 

․_^   ^ ^

 

∴ lim^ 

 lim_



^{  }



^

․



^{  }





 



(준식)_{  }



^      × 

 ×

  ×  

19) 48 lim

→∞

_ lim

→∞

_{  } lim

→∞

_{  }  라 하면

lim

→∞_{  } 

_{  } 

 에서   

  

  ∴  

20) 13

점 P 가 원점으로 다시 돌아오는 경우는 (짝, 짝, 홀, 홀)이 배열되는 경우:

 

  (가지),

이 때, 점 A을 들러 왔을 경우는 (짝 × × × ):

 (가지), (홀, 짝, 짝, 홀) :(가지)

따라서 구하는 확률은 

  

 

 이고 ^ ^ 

21) 364



 

^{ }  ^, ^

 

^{ } 

 

^{ }  



^^{   }



^,

^^ 



^^{     } ^



^{, … ,}

^



^    ⋯ ^



 

∴ _    ⋯ ^ 

22) 307

백의 자리수가 인 자연수( □△)가 ․  개, 백의 자리수가 인 자연수( □△)가 ․  개다.모두 ^{개 이므로} ^{번째 수는 백의} 자리수가 이고, 작은 수부터 번째 수인 이다.

23) 35



    

    ^,

 

^{ } 

 

^ 

 

^

 

^ 

 

^{ } 

 

 

^  





 ^{  }

  

^

∴ _{ }







 ^{  }



또한,     이므로      

 

^ ∴  

수 리 영 역

‘ 나 ’ 형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

    ×   log

     ×   

  

따라서 구하는 학생 수는  ×  (명)이다.

26) ②

  , ^  ×^,

  log_․^    log_ 27) ③

  





   

 _{  }



^{ }_^



^

   





 





^

 

  

   





  



∞

  

  lim

 → ∞_{  }



^{ }_{   }^

 lim

→∞





^

 

  

   





^{ }

28) ①

  , ^  

   ,   

∴ ^{ }   29) ①

 가 자연수이고  이 지표이므로

 ^은  ≧ ^,  ≧ ^{인 정수이다.}

^ ^ 인 경우는 다음 두 가지의 경우가 있다.

(ⅰ)      일 때,

 ≦ log  ^이므로  ≦   

 ≦ log  이므로  ≦   

  의 개수는  ×  

(ⅱ)      일 때, (ⅰ)의 경우와 순서만 바뀌므로   의 개수는 

따라서, 순서쌍   의 개수는    

30) 33

명이 개의 좌석에 앉는 경우의 수는   

(ⅰ) 자동차 에 탔던 명끼리 자리를 바꾸어 앉고 나머지 ^{개의 좌석에} 자동차 에서 온 명이 자리에 앉는 경우의 수   (가지)

(ⅱ) 자동차 에 탔던 명이 자신들이 앉지 않았던 개의 좌석에 앉는 경우의 수 _P_^, 그 각각의 경우에 대하여 자동차 에서 온 사람이 앉는