◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
log log의 값은? 1)
[2점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
두 행렬 가
일 때, 행렬 은? 2)[2점][2006년 9월]
①
②
③
④
⑤
3.
두 벡터 이 이루는 각의 크기 의 값은? (단, ≦ ≦ 이다.) 3)[2점][2006년 9월]
①
②
③
④
⑤
4.
연립부등식
︳
︳
≧
≦ 을 만족시키는 정수 의 개수는? 4)
[3점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
5.
좌표공간의 세 점A ,B ,C 에 대하여 일 때, 삼각형ABC의 넓이의 최소값은?
(단, ＞이고 ＞이다.) 5)
[3점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
6.
집합 ∣＜＜에서 정의된 함수 가
︳
︳
＜ ≦
＜＜
일 때, 함수 가 에서 연속이 되도록 하는 함 수 를 <보기>에서 모두 고른 것은? 6)
[3점][2006년 9월]
<보 기>
ㄱ.
＜＜ ㄴ.
＜＜ ㄷ.
＜ ≦
2006년 9월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘가’형
수 리 영 역
2 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7.
함수 log 의 그래프의 개형으로 알맞은 것은? 7)
[3점][2006년 9월]
① ②
③ ④
⑤
8.
양수 에 대하여 삼차함수 의 극대점 의 좌표를 라 하자.
,
일 때,
의 값은? 8)[3점][2006년 9월]
① ② ③
④ ⑤
9.
쌍곡선
의 두 초점 , 을 각각 F F′이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점P ＞에 대하여 선분F′P 위의 점Q가 FP PQ를 만족시킬 때, 점Q가 나타내는 도형 전체의 길이는? 9)
[4점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
10.
어느 농장의 생후 개월된 돼 지 마리의 무게는 평균 kg, 표준편차 kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 마리의 돼 지 중 무거운 것부터 차례로 마리 를 뽑아 우량 돼지 선발대회에 보
내려고 한다. 우량 돼지 선발대회에 보낼 돼지의 최소 무게를 오른 쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? 10)
[3점][2006년 9월]
① kg ② kg ③ kg
④ kg ⑤ kg
P ≦ Z ≦ z
수 리 영 역
‘가’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11.
수열
이 을 만족시킨다. 다음은 두 자연수 에 대하여
의 값을 구하는 과정이 다. (단, ＜이다.)
⋯
⋯
(
(가))
(나) ( (가) )
(다)
위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 11)
[3점][2006년 9월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
12.
함수 에 대하여 그림과 같이 구간 을 등분한 후, 구간
를 밑변으로 하고 높이가
인 직사각형의 넓이를 라 하자.
(단, 은 자연수이고 ⋯ 이다.)
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 12)
[4점][2006년 9월]
<보 기>
ㄱ.
lim
→ ∞
ㄴ.
lim
→ ∞
ㄷ.
lim
→ ∞
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
4 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
13.
이산확률변수 의 확률분포표는 다음과 같다.
…
계
PX x
…
(단, ＞이고 … 이다.)집합 ∣ ≦ ≦ 에서 정의된 두 함수 가
P ≦ X ≦ x , P X＞x 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 1 3)
[4점][2006년 9월]
<보 기>
ㄱ.
ㄴ.
P ≦ X ≦ F F ㄷ.
P ≦ X ≦ G G ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
14.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형을 넓이가 같은개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 인 사분원 개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 이라 하자.
에서 한 변의 길이가 인 정사각형 개를 각각 넓이가 같은 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가
인 사분원 개의 외 부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 라 하자.
에서 한 변의 길이가
인 정사각형 개를 각각 넓이가 같 은 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가
인 사분원 개 의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 도형을 이라 하고 그 넓이를 이라 할 때,
lim
→ ∞
의 값은? 14 )
[4점][2006년 9월]
⋯
①
②
③
④ ⑤
15.
세 양수 에 대하여 행렬 를
라 하자. 행렬의 역행렬이 존재하지 않을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 15 )
[4점][2006년 9월]
<보 기>
ㄱ.
는 이 순서로 등비수열을 이룬다.
ㄴ.
의 역행렬이 존재한다. (단,
는 단위행렬이다.) ㄷ.
이면
이다.
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16.
자연수 에 대하여 점 Pn을 다음 규칙에 따라 정한다.(가) 점
P의 좌표는
이다.
(나) 점
Pn의 좌표가
일 때,
＜
이면 점
Pn 의 좌표는
이고
이면 점
Pn 의 좌표는
이다.
점Pn의 좌표가 일 때, 의 값은? 16)
[4점][2006년 9월]
① ② ③
④ ⑤
17.
개의 수 ⋯ 이 오른쪽 표와 같이 배열되어 있다. 각 행에서 한 개씩 임의 로 선택한 세 수의 곱을 으로 나눈 나머지 가 이 될 확률은? 17)[4점][2006년 9월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
‘가’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
단답형
18. lim
→
의 값을 구하시오. 18)
[3점][2006년 9월]
19.
함수 의 극대값을 , 극소값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오. 19)[3점][2006년 9월]
20.
곡선 위의 점P 에서의 접선과 원점 사이의 거리 를 라 하자.lim
→ ∞
일 때, 의 값을 구하시오. 20) [3점][2006년 9월]
21.
그림은 모든 모서리의 길이가 인 두 개의 정사각뿔 O ABCD,O′ DCEF에 대하여 모서리CD를 일치시킨 도형 을 나타낸 것이다. OB OF 의 값을 구하시오.(단, 면ABCD와 면DCEF는 한 평면 위에 있다.) 21)
[3점][2006년 9월]
22.
타원
의 두 초점을 F F′이라 하자.
이 타원 위의 점 P가 OP OF를 만족시킬 때,
PF ⋅PF′의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) 2 2)
[4점][2006년 9월]
23.
자연수 에 대하여 두 함수 log의 그래프가 직선 과 만나는 교점의 좌표를 각각 라 하자. 가 세 자리의 자연수일 때, 의 값을 구하시오. 23 )[4점][2006년 9월]
수 리 영 역
6 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
24.
수련회에 참가한 여학생 명과 남학생 명을 개의 방에 배 정하려고 한다. 여학생은 호실에 명, 호실에 명을 배정하고, 남학생은 호실과 호실에 각각 명씩 배정하는 방법의 수를 구하시오. 24)[4점][2006년 9월]
25.
서로 수직인 두 평면 의 교선을이라 하자. 반지름의 길이가 인 원판이 두 평면 와 각각 한 점에서 만나고 교선 에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면 와 °의 각 을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 에 나타나는 원판의 그림자의 넓이를 라 하자. 의 값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.) 25)
[4점][2006년 9월]
미분과 적분
26.
tan
일 때, cos의 값은? (단, ＜＜
이다.) 26)
[3점][2006년 9월]
①
②
③
④
⑤
27.
가 의 함수일 때, 곡선 ln 위의 점 에서의 접선의 기울기는? 27)[3점][2006년 9월]
① ②
③
④ ⑤
28.
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 가 을 만족시킬 때, <보기>
에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? 28)
[3점][2006년 9월]
<보 기>
ㄱ.
인 실수 가 구간 에 두 개 이상 존 재한다.
ㄴ. ′ 인 실수 가 구간 에 적어도 한 개 존재한다.
ㄷ. ′′ 인 실수 가 구간 에 적어도 한 개 존재한다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
‘가’형 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
29.
그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 인 부채꼴 OAB가 있다. 부채꼴의 호AB의 길이를 , 삼각형OAB 에 내접하는 원의 둘레의 길이를 라 할 때,lim
→
의 값은?29 )
[4점][2006년 9월]
①
②
③ ④
⑤
단답형
30.
자연수 에 대하여 구간 에서 곡선
sin와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 하자.
∞
α일 때, α의 값을 구하시오. 30)
[4점][2006년 9월]
확률과 통계
31.
다음은 개의 자료에 대하여 십의 자리의 수를 줄기로, 일 의 자리의 수를 잎으로 하는 줄기와 잎 그림이다.
줄기 잎
(단, 는 ≦ ≦ ≦ ≦ ≦ ≦ 인 정수이다.) 이 자료의 평균이 이고 중앙값이 일 때, 의 값은?31)
[3점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
32.
어느 마라톤 대회에서 완주한 참 가자들의 완주 시간은 평균 시간, 표준편차 시간인 정규분포를 따른 다고 한다. 이 대회에서 완주한 참가 자 중 임의추출한 명의 완주 시간 의 평균 이시간 분 이상이고시간분 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? 32)
[3점][2006년 9월]
① ② ③
④ ⑤
P ≦≦
수 리 영 역
8 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
33.
어느 농장에서 한 상자에 개의 과일을 넣어 판매하고 있 는데, 한 상자당 상한 과일의 개수는개라 한다. 한 상자에서개의 과일을 임의추출하여 상한 과일이 없으면 이 상자를
원에 판매하고, 상한 과일이 개 이상이면 상자 속의 상 한 과일을 모두 정상인 과일로 바꾸어 원에 판매한다. 이 러한 방식으로 상자를 판매할 때, 전체 판매액의 기대값은? 33)
[3점][2006년 9월]
① 원 ② 원
③ 원 ④ 원
⑤ 원
34.
대학수학능력시험에 응시하려는 수험생 중 수리 영역의 ‘가’형을 선택하는 수험생의 비율를 신뢰도 로 구간추정하려 고 한다. 이 시험에 응시하려는 수험생 중 명을 임의추출하 여 조사하였더니 명이 ‘가’형을 선택한다고 응답하였다. 신뢰 구간의 길이를, 최대 허용 표본오차를이라 할 때,
의 값은? 3 4)
[4점][2006년 9월]
①
②
③
④
⑤
단답형
35.
어느 공장에서 생산되는 제품의 길이의 모표준편차는 이다.이 공장에서 생산된 제품 중 크기 인 표본을 일 동안 매일 임 의추출하여 다음 자료를 얻었다.
자료(제품의 길이)
일째 표본
일째 표본
일째 표본
일 동안의 표본에 대한 자료의 범위의 평균이 모표준편차의 배라 할 때, 일째 표본 속에 포함된 자료 의 값을 구하시오.
(단, ＜이다.) 35 )
[4점][2006년 9월]
이산수학
36.
을 로 나눈 나머지는? 36)[3점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
37.
다음 명제의 반례가 되는 그래프는? 3 7)[3점][2006년 9월]
꼭지점을 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소색의 수가
이면 그 그래프는 수형도이다.
① ②
③ ④
⑤
38.
다음은 개의 꼭지점이 인 어느 그래프의 인접 행렬이다.
이 그래프에 대한 <보기>의 설명에서 옳은 것을 모두 고른 것 은? 38)
[3점][2006년 9월]
<보 기>
ㄱ. 변의 개수는
이다.
ㄴ. 차수가
인 꼭지점의 개수는
이다.
ㄷ. 꼭지점
와 꼭지점
를 잇는 두 개의 변으로 이루어진 경로의 개수는
이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
39.
그림은 개의 도시A B C D E F G H를 꼭지점으로 하는 그래프의 변 위에 두 도시 사이의 도로를 건설하는 데 필 요한 비용을 써 넣은 것이다.도시D와 도시E 사이를 직접 연결하면서 모든 도시가 연결되 도록 도로망을 구축하는 데 필요한 최소 비용은?
(단, 단위는 억원이다.) 39)
[4점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
10 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
단답형
40.
그림은 지점A부터 지점L까지 개의 지점을 연결한 것이 다.
지점A에서 출발하여개의 지점을 거쳐 지점L에 도착하는 방 법의 수를 구하시오. 40)
[4점][2006년 9월]
※ 확인 사항
수 리 영 역
‘가’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2006년 9월 고3 모의고사 가형 해설지
1) ① log log
2) ⑤
이므로
3) ②cosθ
⋅
⋅
≦θ≦ 이므로 θ
4) ④
≧
≦ 에서
≧
⇔ ≧ 또는 x = 4
∴ ≧ 또는 ≦ 또는 x = 4 ----㉠
≦ ⇔ ≦
≦
∴ ≦ ----㉡
따라서 ㉠ , ㉡을 동시에 만족하는 의 범위는
≦ 또는 ≦ ≦ 이므로
구하는 정수의 개수는 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8 로 7개이다.
5) ②
에서 이므로 ∆는 정삼각형이다.
따라서 ∆의 넓이는
이 때, 가 최소가 되려면 의 값이 최대가 되어야 한다.
이므로
≧
∴ ≦ (단, 등호는 일 때, 성립한다.)
ㄱ.
lim
→
lim
→
,
lim
→
lim
→
∴
lim
→
이 때, × 이므로
는 에서 연속이다.
ㄴ.
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
∞ 따라서
lim
→
의 값이 존재하지 않으므로
는 에서 불연속이다.
ㄷ.
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
∴
lim
→
이 때, × 이므로 는 에서 연속이다.
따라서 연속인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
<참고>
의 그래프는
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고,
의 그래프는
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
이를 이용하여 와 의 그래프를 그려서 생각하면 좀 더 쉽게 연속성을 파악할 수 있다.
7) ②
log
log log
이므로 함수 log
의 그래프는
log
의 그래프를 축의 방향으로 1만큼, 축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이다.
따라서 log
의 그래프의 개형은 ②이다.
8) ①
의 그래프와 의 그래프는 다음과 같다.
수 리 영 역
12 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
∴
9) ③
다음 그림에서 쌍곡선의 정의에 의하여 ′ 이고
이므로 ′
F F'
P
O Q
P
따라서 점 는 점 ′으로부터 거리가 항상 6인 점이므로 점 ′을 중심으로 하고 반지름의 길이가 6인 원위의 점이다.
한편 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식이 ±
이므로 점근선이
축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각
이고 이 때 ∠′θ 라 하면
일 때 θ
이다.
따라서 점 가 움직이는 도형의 길이는 중심각의 크기가
이고 반지름의 길이가 6인 부채꼴의 호의 길이이므로
×
10) ④
돼지의 무게를 라 하면 는 정규분포 을 따른다. 우량돼지 선발대회에 보낼 세 마리의 돼지에서 최소 무게를 라 하면
≧
이므로
≧
≧
≦≦
∴
≦≦
이 때, 표준정규분포표에서
≦≦ 이므로
∴
따라서 우량 돼지 선발대회에 보낼 돼지의 최소 무게는
kg이다.
11) ①
이므로
이다.
∴
⋯
⋯
따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로
, , 이다.
12) ⑤ ㄱ.
lim
→∞
lim
→∞
×
→∞lim
×
lim
→∞
∙
×
∙
(참)
ㄴ.
∴
lim
→∞
lim
→∞
(참) ㄷ.
lim
→∞
lim
→∞
×
lim
→∞
×
lim
→∞
(참) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
13) ④
ㄱ. ≦≦
(참)
ㄴ. ≦≦ ≦≦ ≦
≦≦ ≦≦
(거짓) ㄷ. ≦≦ ≧
(참) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
14) ④
⋮
lim
→∞
⋯
수 리 영 역
‘가’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15) ⑤
의 역행렬이 존재하지 않으므로 ∴
ㄱ. 에서 는 와 의 등비중항이므로 는 이 순서로 등비수열을 이룬다. (참)
ㄴ.
이 때, ≠ (∵ , ) 따라서 는 역행렬이 존재한다. (참)
ㄷ.
에서 행렬이 서로 같을 조건에 의해 ∴ ( ∵ ) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.
16) ③
⋯일 때 Pn의 좌표를 차례로 나열하면 다음과 같다.
→ : 개
→→→→ : 개
→→→ ⋯ → : 개
→→→ ⋯ → : 개
⋯
→→→ ⋯ → : 개 따라서 구하는 의 값은
⋯
17) ③
각 행에서 하나씩 택하여 곱하는 경우의 수는
× × (가지)
택한 수의 곱이 3으로 나누었을 때, 나머지가 1이 되는 경우는 택한 세 수의 지수의 합이 짝수일 때이다. 1행, 2행, 3행에서 택한 수의 지수를 순서쌍으로 나타내어 지수의 합이 짝수인 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) (짝수, 짝수, 짝수) × × (가지) (ⅱ) (짝수, 홀수, 홀수) × × (가지) (ⅲ) (홀수, 짝수, 홀수) × × (가지) (ⅲ) (홀수, 홀수, 짝수) × × (가지) 따라서 구하는 확률은
18)
lim
→
lim
→
′
이 때 ′ 인 의 값은 또는 이므로 함수의 극대값 과 극소값의 곱은
× 이다. 따라서
이므로
× ×
20)
′ 이므로 점 에서의 접선의 방정식은
즉, ⋯㉠ 직선 ㉠과 원점 사이의 거리 는
∣ ∣
∴
lim
→∞
lim
→∞
∴
21)
점 O에서 평면 ABCD에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH이므로 OH
O
A
B C E
G F O′
H
이 때, 그림과 같이 좌표공간을 설정하면 두 점 B, F의 좌표는 각각 B , F
∴ OB , OF
∴
OB OF
22)
타원의 정의로부터
′ --- ㉠
또, OP OF이므로 아래 그림과 같이 점 는 중심이 원점이고 지름의 길이가 ′인 원위의 점이다.
x O
y
6 - 6
F
F
'
- 20
20 P
4
수 리 영 역
14 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
23)
log 이므로
log
가 세 자리의 자연수이고
≦ 일 때, ≦ log
≧ 일 때, ≧ log
이므로
일 때, log 은 자연수가 아니다.
일 때, log
일 때, log 은 자연수가 아니다.
∴
24)
여학생 5명을 1, 2호실에 각각 3명, 2명씩 배정하는 방법의 수는
×
남학생 6명을 3, 4호실에 각각 3명씩 배정하는 방법의 수는
××
×
따라서 구하는 모든 방법의 수는 ×
25)
반지름의 길이가 인 원판이 평면 , 와 맞닿는 점을 각각 라 하고, 두 점 에서 교선 에 내린 수선의 발을 라 하고, 점 에서 선분
에 내린 수선의 발을 라 하면 주어진 상황의 단면을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.
태양광선
그림자가 부분에 해당되는 영역 ′은 원판에서 다음과 같다.
′
′ {(부채꼴의 넓이)-(삼각형 의 넓이)}
⋅⋅
⋅⋅sin
이 때, ′
이므로
∴ ,
∴
26) ⑤
tan
tan
tan
∴ cos
(∵
)
27) ①
양변을 에 대하여 미분하면
ln
ln
ln
따라서 점 에서의 접선의 기울기는 28) ②
ㄱ. 는 미분가능하므로 연속함수이다.
이므로 중간값의 정리에 의하여
인 실수이 구간 에 적어도 한 개 존재한다.
또한, 이므로
인 실수가 구간에 적어도 한 개 존재한다.
따라서,
인 실수가 구간 에 적어도 두 개 존재한다. (참) ㄴ. 로 놓으면
가 연속함수이므로 도 연속함수이다.
이므로 롤의 정리에 의하여
′ 인 실수가 구간에 적어도 한 개 존재한다.
′ ′ 이므로
′ ′ 에서 ′
따라서, ′ 인 실수가 구간에 적어도 한 개 존재한다. (참) ㄷ. (반례)
이면
이지만
′
″ 이므로
″ 인 실수는 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
29) ③
그림에서 삼각형 넓이는 △
sinθ 한편 삼각형 의 내접원의 반지름의 길이를 라 하면
수 리 영 역
‘가’형 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
A B
O
θ
sinθ sin θ
∴
sin θ
sinθ
따라서 θ
sin θ
sinθ 이므로
lim
θ→
lim
θ→θ
×
sin θ
sinθ
lim
θ→θ
sinθ×
sin θ
× 30)
sin∣
sin∣이 때, ∣sin∣는 주기가 인 주기함수이므로 임의의 자연수 에 대하여
sin∣
sin cos
∴
sin∣ ⋅
∴
∞
∞
∴
∴
31) ①
(평균) × ×
× × ÷
∴ ⋯ ㉠
한편, 중간값은 20개의 자료 중 10번째로 큰 수와 11번째로 큰 수의 평균과 같으므로
(중간값)
∴ ⋯ ㉡
㉠㉡을 계산하면 32) ②
≤≤
≤≤
≤≤ ≤≤
33) ⑤
한 상자에서 3개를 임의추출할 때 나오는 상한 과일의 개수를 확률변수라고 하면
≧
이므로 한 상자를 판매할 때 판매액의 기댓값은
×
×
(원)
이고, 130상자를 판매할 때 전체 판매액의 기댓값은
×
× ×
(원) 34) ④
표본비율을 이라 하면
이므로
신뢰도 95%의 신뢰구간의 길이 은
× ×
× ×
×
한편 이 때의 최대 허용 표본 오차 은
×
×
∴
× ×
× ×
×
×
35)
일째 표본의 범위는
일째 표본의 범위는
수 리 영 역
16 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
⋯일 때 을 로 나눈 나머지를 차례로 쓰면
⋯
과 같이 이 주기적으로 반복된다.
이 때, × 이므로 을 로 나눈 나머지는 이다 37) ④
반례는 꼭지점을 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소의 색의 수가 2이지만 수형도는 아닌 것이다.
수형도는 회로를 갖지 않는 연결된 그래프이므로 보기 중 수형도가 아닌 것은 ③, ④, ⑤이다.
이 중 ③과 ⑤는 꼭지점을 색칠하는데 필요한 최소의 색수는 3개이고 ④는 2개이므로 반례로 알맞은 것은 ④이다.
38) ⑤
주어진 인접행렬을 이용하여 5개의 꼭지점을 연결한 그래프를 그리면 다음과 같다.
•
• •
•
•
ㄱ. 변의 개수는 의 8개이다. (참) ㄴ. 각 꼭지점의 차수는 , , , , 이므로 차수가 3차인 꼭지점은 의 4개이다. (참)
ㄷ. 꼭지점에서 꼭지점를 잇는 두 개의 변으로 이루어진 경로는
의 2개이다. (참)
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
39) ①
도시 D와 도시 E 사이를 직접 연결하면서 모든 도시가 연결되도록 도로망을 연결할 때 최소비용으로 연결하는 방법은 다음과 같다.
A
F
B
D E
G H
C 15 16
18
15 17
20 30
따라서 필요한 최소비용은
40)
지점 에서 출발하여 개의 지점을 거쳐 지점 에 도착하는 경우는 다음과 같다.
(i)의 개의 점에서 한 점을 거친 후에 를 거치는 경우
(가지)
(ii)와 를 거치고, 와 중 한 점을 거치지 않고, 와 , 와 ,
와 , 와 를 연속하여 거치는 경우의 수는 (가지)
(iii)와 를 거치고, 와 를 모두 거치지 않는 경우의 수는 (가지) 따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 경우의 수는
(가지)
