열전도 이론의 유한요소 정식화

열전도 해석은 구조물의 온도 분포를 구하는 해석이다. 시간에 따라 온도 분포 가 바뀌는 천이(Transient) 열전도 해석과 시간에 따라 온도 분포 변화가 없는 정 상 상태(Steady state) 해석이 있다. 열전도 해석도 선형 해석과 비선형 해석이 있는데, 온도 해석의 비선형성으로는 온도에 따라 열전도도와 같은 물성치가 바뀌 는 경우가 해당된다.

경계 조건으로는 온도 조건, 열 유속 조건이 있다. 온도 조건은 말 그대로 경계 면에서 일정한 온도를 유지하는 조건이다. 유체와 접하는 경계의 열 유속 조건을 직접 지정하거나 열전달 계수와 유동 측 온도를 설정하는 방법이 있다. 단열 조건 인 경우에는 열 유속이 0이 된다. 열전달 계수는 일반적으로 알려진 열 전달 계수 (대류 열전달)나 간단한 수식으로도 구할 수 있으나 정확히 하려면 전산 유체역학 (CFD, Computational Fluid Dynamics) 방법을 통한 유동 해석을 통하여 보여주는 것이 좋다. 그러나 전산 유체역학에서 구해지는 열전달 계수는 오차가 큰 경우가 많으므로 해석 결과의 물리적 판단에는 주의를 요한다.

등방성의 재료일 때 3차원 비정상 열전도 문제의 지배 방정식은 다음과 같다.

(2.1)

위의 식을 3차원 비정상 열전도 방정식으로 기술하면 다음과 같다.

(2.2)

위 식에서, T : 온도 (ﾟC), c : 비열 (cal/g·ﾟC),  ^{: 밀도 (}^),  ^: y,z 방향의 열전도율 (cal/cm·sec·ﾟC), t : 시간(sec),  : 단위 시간당 입열 량이다.

또한, 물체 표면의 열적 경계조건은 Fourier 법칙을 사용하여 다음과 같이 구성 된다.

(2.3)

경계에서 열 전달이 있을 경우에 q는 다음 식과 같이 표현된다.

(2.4)

위 식에서, q : 열 유속(Heat flux) (cal/sec·^), n : 물체 표면의 외법선 방향 _ : 열 전달 계수 (cal/^·sec·ﾟC), _ : 외부 온도 (ﾟC) 이다.

Galerkin 법을 적용한 고체 열전도 문제를 정식화하기 위해 모델을 유한 개로 분할하고, 한 요소내 발생하는 온도 분포를 아래 식으로 나타내었다.

(2.5)

위 식에서, T : 요소의 온도, N : 절점 온도와 요소 내 온도를 연결하는 형상 함수 Matrix,  : 시간 t에 대한 요소의 절점온도 벡터이다.

식(2.2)에 Galerkin법을 적용시키면 다음과 같이 된다.

(2.6)

위 식에서, V : 요소의 영역이다.

위 식을 Green-Gauss 정리를 이용하여 전개하면 다음과 같이 구해진다.

(2.7)

위 식에서 S : 요소의 경계이다.

식 (2.3), (2.4), (2.5)를 식 (2.7)에 대입하면 다음과 같이 구해진다.

(2.8)

3차원 비정상 열전도식을 Matrix화 하면 다음과 같이 구해진다.

(2.9)

위 식에서 K : 열전도 Matrix, C : 열용량 Matrix, F : 열 유속 벡터이다.

K, C, F의 내용은 다음 식과 같다

(2.10)

(2.11)

(2.12)

식 (2.9)를 풀 경우에 와 

 의 2개의 미지수가 존재하지만, 시간 증분을

∆라 하고 증분 전 온도를 ^, 증분 후 온도를 ^ 및 그 중간 온도를 ^이라 하면, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

(2.13)

식 (2.13)으로부터 다음과 같은 식을 구성할 수 있다.

(2.14)

최종적으로 식 (2.9)를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

(2.15)

위 식에서, ∆_ : 시간 증분, ^ : 증분 후 절점 온도, ^ : 증분 전 절점 온도 K : 열전도 Matrix, C : 열용량 Matrix, F : 열 유속 벡터이다.

식(2.15)에서, 시간 t에 대한 ^의 값을 알면 이 연립 방정식의 해인 ^{를 구할} 수 있다. 초기조건으로서 _{  }^ 을 대입하면 된다. [17]