Vibration Characteristics of A Rectangular Tank in accordance with Changing Thickness And Boundary Condition

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경계조건과 두께 변화에 따른 사각탱크의 진동 특성

Vibration Characteristics of A Rectangular Tank in accordance with Changing Thickness And Boundary Condition

배 성 용 S. Y. Bae

(접수일 : 2010년 12월 3일, 수정일 : 2010년 12월 13일, 채택확정 : 2010년 12월 20일)

Key Words：Added Mass(부가질량), Natural Frequency(고유 진동수), Natural Mode(고유 모드), Finite Element method(유한요소법), Boundary Element method(경계요소법), Fluid-Structure Interaction(유체-구조 연성), Boundary Condition(경계조건)

Abstract：Rectangular box type structures are used in many fields of civil, mechanical and marine engineering.

Especially, Most ship structures are often in contact with inner or outer fluid, like ballast, fuel and stern tanks.

Fatigue damages are sometimes observed in these tanks which seem to be caused by resonance with exciting force of engine and propeller. Vibration characteristics of these thin walled tanks in contact with fluid near engine and propeller are strongly affected by added mass of containing fluid. Therefore it is essentially important to estimate the added mass effect to predict vibration of the tanks. Many authors have studied vibration of rectangular tanks containing fluid. Few research on dynamic interaction among tank walls filled with fluid are reported in the vibration of rectangular tanks recently. In case of rectangular tanks, structural coupling between adjacent panels and effect of vibration modes of multiple panels on added mass of water have to be considered. In the previous report, a numerical analysis is performed for the coupling effect between panels of a tank on added mass of containing fluid, the effect of structural constraint between panels on each vibration mode for fluid region, and mode characteristics in accordance with changing breadth of the plates by using finite element method for plates and boundary element method for fluid region. In this paper, the coupling effect between panels of a tank on added mass of containing fluid, the effect of structural constraint between panels on each vibration mode for fluid region, and mode characteristics in accordance with changing length, thickness, and boundary condition of the plates are investigated numerically and discussed.

배성용(교신저자) : 부경대학교 조선해양시스템공학과 E-mail :[email protected], Tel :051-629-6616

1. 서 론

건축, 기계, 해양 등 많은 분야에 있어서 사각으로 된 박스형 구조물들이 존재하고 있다. 특히 선박에 있어서는 선미 탱크, 밸러스트 탱크, 오일 탱크 등과 같이 내부 혹은 외부가 유체에 접하고 있는 탱크구 조물들이 많이 존재한다. 이들 유체에 접하는 탱크 구조물들에는 외부로부터 슬래밍, 내부에서는 슬로싱 현상 등으로 인한 충격하중을 많이 받고 있다. 이러 한 충격하중으로 인한 손상 등에 대한 연구는 많이 이루어지고 있다. 한편, 진동이 원인으로 판단되는

피로손상이 발생하여 큰 사고를 일으키는 경우가 종 종 일어나고 있다. 특히 선미부근의 탱크는 기관실과 근접해 있기 때문에 엔진이나 프로펠러 등으로부터 전달되는 기진력에 의한 공진이 발생할 가능성이 있 다. 따라서 이러한 접수탱크 구조물의 진동특성을 정 확하게 예측하는 것이 요구되고 있다. 원통형이나 사 각형 탱크의 접수진동에 대해서는 많은 연구자들에 의해 연구되어져 왔다. Mazuch 등¹⁾은 원통형 탱크의 진동에 대해서 유체와 구조부분을 유한요소법을 이 용하여 해석하였고, Chiba²⁾는 원통형 탱크의 측면은 강체로 취급하고, 밑면은 탄성체, 윗면을 자유표면으 로 간주하여 진동해석을 하였다. 또한 Cho 등³⁾은 원 통형 탱크의 슬로싱 모드와 빌징 모드에 관해서 연

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구를 행하였다.

한편, 사각형 접수탱크 구조물에 대한 연구는 Kito⁴⁾가 탄성체로서의 박판이 접수되어 있을 때 비 접수 진동수에 부가 질량 효과를 고려하였고, 최근까 지 주로 이용되어 왔다. Nishino 등⁵⁾은 급수전개법을 이용하여 연접하는 두 평판사이의 부가 질량 효과를 규명하였고, Bartlett 등⁶⁾은 사각형 탱크의 밑면의 고 유진동수를 평가하기 위하여 유한요소법을 이용하여 부가질량을 계산하였다. 또한 탱크를 구성하는 복수 의 탄성판 연성을 고려한 진동특성 연구나 마주보는 탄성판으로 인한 유체의 부가질량 효과 등이 연구되 어 왔다.^7),8) 한편, 탄성판 사이의 경계조건, 폭의 변 화에 따른 경계조건의 변화, 탄성판의 두께에 따른 부가질량 효과 등에 대한 연구도 진행되어 왔다. 그 러나, 판의 길이 방향의 변화에 따른 경계조건, 두께, 탄성판의 구성 등을 종합적으로 고찰한 연구는 찾아 보기 힘들다.

이에 본 연구에서는 접수탱크구조물의 진동특성을, 탱크를 구성하고 있는 탄성평판의 종횡비, 경계조건, 두께, 수위의 변화 등을 길이의 변화를 통해서 종합 적으로 검토하여 보았다.

2. 이론 해석

본 연구에서는 구조 부분을 유한 요소법으로 이산 화하고 유체 부분을 경계 요소법으로 이산화 하여 유체-구조사이의 연성조건을 적용하여 부가질량행렬 을 구하고 그것을 자유진동방정식에 고려한다.

유한요소법으로 이산화하면 구조부의 지배방정식 은 다음과 같다.

      (1) 여기서,  , ,  는 각각 질량 행렬, 강성 행렬, 절점 변위 벡터이다. 등가 외력 벡터  는 다음과 같 이 나타낼 수 있다.

  



_^   (2)

여기서,  은 형상함수이다. 자유표면을 가진 탄성 판으로 이루어진 접수탱크 구조물의 진동 해석을 하 기 위해 유체는 완전유체로 가정하고, 압력  , 유체 밀도 _일 때 원진동수  인 조화진동이라 가정하 고 체적력을 무시하면 선형화된 유체의 운동방정식 으로 부터 압력  와 속도포텐셜  의 관계를 다음

과 같이 나타낼 수 있다.

    _ (3)

한편, 라플라스 방정식을 이용한 경계적분방정식 에 대하여 경계요소를 이용하여 이산화하고 식(3)을 적용시키면 압력과 압력구배의 관계식이 다음과 같 이 얻어진다.

   



^





⁽⁴⁾

여기서, 는 계수 행렬이다. 유체부와 탄성판과 접하는 부분은 아래첨자 1을 사용하고, 자유표면인 부분은 아래첨자 2를 사용하여 표현하면 식(4)는 다 음으로 나타낼 수 있다.







^





__

__



 ^



_

_ 





^





__

__







^







_



_ (5)

여기서, _ 

_

은 탄성판에서의 압력 및 압력구 배벡터 이고,

_ 

_

은 자유표면상에서의 압력 및 압력구배벡터이다.

식(5)에 유체부의 경계조건 _ 을 대입하여 분 리하면, 다음 식과 같이 된다.

__ _

_

 _

_

(7)

__ _

_

 _

_

(8)

식(7)과 식(8)에서 

_

을 소거하면 다음 식과 같 이 압력과 압력구배의 관계식이 얻어진다.

_  _ __^{ }_^{ }

 _ __^{ }_^{ } 

_

 



^

_



⁽⁹⁾

또, 구조부의 면외 방향 성분을 Fig. 1 과 같이

 로 하여 조화진동을 가정하고,   _^{  } 라고 하면 탄성판과 유체면의 경계면에 있어서 운동학적 조건식 (3)에 의해 다음과 같은 관계식이 얻어진다.

(3)



_

  _^_ (10)

따라서, 식(2)에 식(9) (10)을 대입하면 등가외력벡 터  는 다음과 같이 된다.

  _^_^^^^^{ }^^^{ }^^^^^^ (11) 여기서, M^*는 부가질량행렬이다.

절점 변위벡터 u는 조화진동 u = u₀e^{i ω t}라고 가 정하여 식(11)을 식(1)에 대입하면 다음의 자유진동 방정식이 얻어진다.

{ K -^ω²( M + M^*) } u₀= 0 (12)

Fig. 1 Geometry of a rectangular element

3. 수치계산 및 고찰

접수 탱크구조의 진동특성을 파악하기 위해서 탄 성판의 개수, 탄성판의 폭과 탄성판 사이의 길이를 변화시켜 가면서 계산을 수행하였고, 각각에 대해서 경계조건과 두께, 탱크의 수위를 달리하여 계산을 실 행하고 고찰하였다. 계산에 이용된 모델은 Fig. 2에

Fig. 2 Model for the present analysis

나타내고 있는 것과 같이 폭을 Y방향으로, 길이를 X 방향으로 설정하였으며, 높이와 수위는 각각 H와 d 로 설정하고, 전 계산 모델에서 윗면은 자유 표면으 로, 밑면은 강체로 가정하였다. 그 계산 모델의 제원 과 재료특성은 Table 1에 나타내고 있다.

Table 1 Principal dimensions and material properties of the model

Length L=1.0(m) Breadth B=1.0(m) Height H=1.0(m) Young's modulus E=2.06E+11(Pa)

Poisson's ratio ^ν=0.3 Density of elastic panel ^  ^

Density of Fluid ^  ^

3.1 경계조건에 의한 진동특성

탱크를 구성하는 4개의 측면 중, 1면만이 탄성판인 경우, 마주보는 두 측면이 탄성판인 경우, 4측면 판 이 모두 탄성판인 경우를 계산하여, 경계조건의 영 향을 고찰해 보았다. 각각의 경우에 대해서 폭(B)을 1m, 0.7m, 0.5m에 대하여, 길이(L)을 1m, 0.8m, 0.6m, 0.4m, 0.2m로 변화시켜 가면서 계산을 수행하 였다. 단, 4측면이 모두 탄성판인 경우에는 폭은 1m 로 두고, 길이만을 변화시켰다. 계산은 탄성판의 높 이는 일정하게 유지하면서 두께, 경계조건, 수위를 바꾸어가면서 실행하였다. 경계조건 중 단순지지조건 은 병진방향 변위는 구속하고, 회전방향 변위는 자유 로 한 것이다. 이하 s.s는 단순지지 조건, fix는 고정 지지 조건으로 사용되고 있다. 또한, Fig. 3 에 나타 낸 것과 같이 서로 같은 방향으로 나타나는 모드를 동상모드, 서로 반대 방향으로 나타나는 모드를 역상 모드라고 정의하기로 한다.

계산 결과, 폭이 작을수록, 두께가 두꺼울수록, 수 위가 낮을수록 모든 경계조건에서 고유진동수가 높 아지는 것을 확인 할 수 있다. 또한, 단순지지조건 보다 고정지지 경계조건에서 고유진동수가 높게 나 타난다.

경계조건의 영향을 고찰하기 위해서 우선, 1면과 마주보는 면만이 탄성판인 경우에 있어서 s.s 조건과 fix 조건과의 비를 각 두께에 대해서 계산한 결과를 Fig. 4-Fig. 8에 나타내었다. 단, 비 접수인 경우와 길이의 변화를 고려하여 계산한 경우에는 경계조건 에 따라 두께의 영향은 거의 나타나지 않았다.

(4)

(opposit-phase mode) (in-phase mode) Fig. 3 In-phase mode and opposite-phase mode in

opposite plates

먼저, Fig. 4-Fig. 6 에서는 탄성판이 1개인 경우에 대해서 폭의 변화를 통한 계산 결과 중 1차와 2차 고 유진동수에 대하여 나타낸 것이다. 그림으로부터 알 수 있듯이 모든 경우에 있어서 2차보다 1차 고유진 동수에서 두께의 변화에 의한 경계조건의 영향이 크 게 달라지고 있다. 이것은 1차 고유진동수에 대한 모 드는 상․하, 좌․우 모두 반파모드가 나타나고, 2차 고유진동수에 대한 모드는 폭이 작을수록 상․하 1 파 모드, 좌․우 반파모드가 나타나며, 폭이 높이와 같아지면, 대각 모드가 나타나기 때문이라고 생각된 다. 즉, 모드형상에 의해 두께의 영향이 나타나고 있 다는 것을 알 수 있다.

또한, 폭이 B/H=0.5인 경우에는 2차에서, 폭이 B/H=1.0인 경우에는 1차에서 수위가 낮을수록 두께 의 변화에 의한 경계조건의 영향이 두드러지게 나타 나는 경향을 보이고 있으나 두께가 두꺼워 질수록 차이는 줄어들고 있다. 이것은 유체가 접하고 있는 부분의 모드와 관련이 있는 것으로 판단된다. 즉, 폭 이 작으면, 2차 모드가 상․하 1파 모드이지만 유체

Fig. 4 The effect of boundary condition at the 1st and 2nd natural frequencies in one plate(B/H=0.5)

가 접하는 부분만 고려하면 상․하, 좌․우 반파모드 혹은 1/4파 모드가 나타나며, 이것은 폭이 높이와 같 은 경우의 1차 모드와 같은 경향을 보이고 있다. 전 체적으로 수위가 아주 낮거나 높을 때, 경계조건의 영향은 더 크게 나타나고 있다.

Fig. 7에서는 탄성판이 마주보고 있는 경우의 폭이 B/H=0.5인 경우의 계산 결과를 나타낸 것이다. 수위 가 높을수록 경계조건의 영향은 크게 나타나지만 두 께의 변화에 의한 경계조건의 영향은 거의 나타나지 않는다는 것을 볼 수 있다. Fig. 8에서는 B/H=1.0인 경우의 계산 결과를 나타낸 것으로 Fig. 7에서와는 반대로 수위가 낮을수록 경계조건의 영향은 크게 나 타나고 두께의 영향도 크게 작용하고 있다는 것을 알 수 있다. 이것은 한면이 탄성판인 경우의 폭 변화 와 같은 경향을 보이고 있으며, 일반적으로 마주보는 탄성판의 경우, 1차 고유모드가 역상 모드로 나타나 기 때문에 부가 질량 효과가 크게 나타나고, 수위의

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영향과 경계조건의 영향의 대․소에 의해 결정되고 있다고 볼 수 있다. 즉, 폭이 작을 때는 경계조건의 영향이 크게 나타나고, 폭이 점점 커지면서 부가질량 의 영향이 크게 나타나고 있는 것으로 판단된다. 그 림에서 보면 폭이 B/H=0.5인 경우 비 접수일 때 경 계조건의 비가 약 1.98인데 비해. B/H=1.0인 경우, 비 접수일 때 경계조건의 비가 약 1.81로 상대적으로 적게 나타나고 있다. Fig. 9에서는 측면 4면 모두가 탄성판인 경우, 경계조건의 영향을 나타낸 그래프이 다. 그래프로부터 알 수 있듯이 수위가 높을수록 경 계조건의 영향이 적게 나타나며, 두께의 영향도 거의 나타나지 않는다. 이것은 Fig. 10에서 알 수 있듯이 비 접수인 경우, 길이가 길수록 경계조건의 영향은 크게 나타나지만, 접수인 경우는 길이에는 크게 영향 을 받지 않고 있는 것으로 미루어 볼 때 부가질량의 영향보다 모드의 형태에 의한 경계조건의 영향이 상 대적으로 더 크게 작용하고 있기 때문으로 판단 할 수 있다.

Fig. 7 The effect of boundary condition at the 1st natural frequencies in opposite plate(B/H=0.5)

Fig. 8 The effect of boundary condition at the 1st natural frequencies in opposite plate(B/H=1.0)

Fig. 9 The effect of boundary condition at the 1st natural frequencies in 4 plate(L/H=0.6)

Fig. 10 The effect of boundary condition at the 1st natural frequencies in 4 plate(d/H=0.0)

Fig. 11 The modes of the 1st and 2nd natural frequencies in each plate(d/H=0.7, fix B.C)

Fig. 11은 탱크의 길이가 L/H=0.6, 폭이 B/H=0.5m, 수위가 d/H=0.7,두께가 0.002m 인 경우의 1면과 대면의 1차와 2차의 고유모드를 나타낸다. 1면 이 탄성판인 경우, 1차 모드는 반파로 나타나고 있으

(6)

나, 2차 모드인 경우에는 좌․우에서는 반파 모드이 지만, 상․하 에서는 1파 모드가 나타나고 있다. 마 주보는 대면이 탄성판인 경우에는 1,2차 모드가 전부 반파모드이지만, 1차는 역상 모드가 2차는 동상 모드 가 나타나고 있다는 것을 볼 수 있다.

3.2 부가질량효과에 의한 진동 특성

3.1절에서 계산한 결과 값을 식 (13)을 이용하여 고유진동수에 대한 부가질량효과를 고찰 하였다.

( f _water)

i= 1

2π

k_i m _i+ m ^*_i

= 1

1 + ε _i ( f _air)

i (13) 여기서, k _i는 i차의 모드 강성, m_i는 i차의 모 드질량, m ^*_i는 m _i에 대한 모드 부가질량이고, ε _i 는 부가질량 파라메타이다.

Fig. 12는 1면이 탄성판인 경우, 수위 d/H=0.3일 때 각 폭과 경계조건에 대한 부가질량 효과를 나타 낸 것이다. 폭이 작을수록 단순지지 보다 고정지지 경계조건에서 부가질량 효과는 크게 나타나지만, 길 이의 변화에는 많은 차이를 보이지 않고 있다. 이것 은 수위가 낮기 때문에 판의 고유진동수에 부가질량 의 영향이 상대적으로 적게 미치고 있다고 생각 할 수 있다. 따라서, 3.1절에서 고찰한 것과 같이 모드 의 영향으로 인하여 B/H=0.5와 B/H=0.7의 부가질량 효과가 길이에 따라 일정한 경향을 보이지 않고 길 이 L/H=0.6근방에서는 역전되기도 하고, 단순지지 조건일 때가 고정지지 조건일 때 보다 더 크게 작용 하기도 하는 것으로 사료된다.

Fig. 12 The effect of added mass of each breadth in one plate.

Fig. 13 The effect of added mass of each plate.

Fig. 13은 폭 B/H=1.0인 경우의 수위 d/H=0.7일 때, 탄성판의 개수와 경계조건에 대한 부가질량 효과 를 나타낸 것이다. 그래프로부터 길이가 짧을수록, 고정지지조건 보다 단순지지 조건에서 부가질량 효

(d/H=0.3) (d/H=0.3)

(d/H=0.5) (d/H=0.5)

(d/H=0.7) (d/H=0.7)

(d/H=1.0) (d/H=1.0) (a) B/H=0.7 (b) B/H=0.5

Fig. 14 The modes of 1st natural frequencies in opposite plates.

(7)

(d/H=0.3) (d/H=0.3)

(d/H=0.5) (d/H=0.5)

(d/H=0.7) (d/H=0.7)

(d/H=1.0) (d/H=1.0) (a) L/H=0.8 Fix B.C (b) L/H=0.8 S.S B.C Fig. 15 The modes of 1st natural frequencies in

4 plates

과는 크게 작용하고 있는 것을 알 수 있다. 또한, 대 면 > 4측면 > 1면의 순서로 부가 질량 효과가 나타 나고 있다. 이것은 수위를 달리 하더라도 같은 경향 을 보이고 있다. 단 길이가 L/H=0.6이상인 경우부터 4측면 판의 고정지지 경계조건은 상대적으로 가장 큰 부가질량 효과가 단순지지 경계조건은 상대적으 로 가장 작은 부가질량 효과가 나타난다. 이것은 길 이와 경계조건에 관계없이 대면 탄성판인 경우의 1 차 모드는 역상 모드가 나타나는 반면, 4측면이 탄성 판인 경우에는 고정지지 경계조건에서 길이가 짧으 면, 연접하는 두면은 동상 모드가 마주보는 두면은 역상모드가 나타나고 길이가 멀어질수록 4면 모두가

역상 모드가 나타나게 되어 부가질량 효과가 크게 나타나며, 단순지지조건에서는 길이가 짧을 때에는 고정지지 경계조건과 같은 경향을 보이고 있지만, 길 이가 멀어질수록 연접면과 대면이 똑같이 동상모드 가 되어 상대적으로 부가질량 효과가 작게 작용하고 있기 때문으로 사료된다. Fig. 14는 대면이 탄성판인 경우, 길이가 L/H=0.2, 폭이 B/H=0.7일 때 각 수위에 대한 최 저차 고유 모드를 나타낸 것이다. Fig.15는 4측면이 모두 탄성판인 경우의 최 저차 고유진동수 에 대한 모드로서 길이 L/H=0.8일 때의 고정지지 경 계조건과 단순지지 경계조건의 각 수위에 대해서 나 타낸 것이다.

4. 결 론

선박이나 해양구조물 등에 많이 배치되어 있는 사 각형 탱크구조물의 진동 특성에 대한 기초 자료를 제공하기 위해 판의 개수, 두께, 수위, 폭등을 변화시 켜서 계산하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

1) 일반적으로 대부분의 경우에 있어서 단순지지 경계조건 보다 고정지지 경계조건에서 최저차 고유 진동수는 높게 나타난다.

2) 경계조건의 영향은 수위가 낮을수록, 두께의 변 화에 민감하며 길이의 변화에는 관계없이 일정한 효 과를 갖는다.

3) 부가질량 효과는 길이의 영향을 가장 크게 받 으며, 길이가 짧을수록 최저차 고유진동수에서는 크 게 작용한다.

4) 길이가 짧을 때에는 대면> 4측면> 1면의 순서 로 최저차 고유진동수에서 부가질량의 효과가 나타 나지만, 길이가 길어지면 4측면판의 고정지지 조건에 서 가장 큰 부가질량효과가 나타나고, 단순지지 조건 에서 가장 작은 부가질량의 효과가 나타난다.

이상과 같이 사각형 탱크가 유체에 접해 있는 경 우에는 경계조건, 두께, 폭, 길이의 변화에 의해 고유 진동수의 변화가 있기 때문에 접수 탱크의 기초 설 계단계에서 신중히 고려되어야 할 것으로 사료된다.

참고 문헌

1. T. Mazuch, J. Horacek, J. Trnka and J. Vesely, 1996, “Natural Modes and Frequencies of a Thin Clamped-free Steel Cylindrical Storage Tank Partially Filled with Water: FEM and

(8)

measurement”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 193(3), pp. 669-690.

2. M. Chiba, 1994,“Axisymmetric Free Hydroelastic Vibration of A Flexural Bottom Plate in A Cylindrical Tank Supported on An Elastic Foundation”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 169(3), pp. 387-394.

3. J. R. Cho and J. M. Song, 2001,“Assessment of Classical Numerical Models for The Separate Fluid-structure Modal Analysis”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 239(5), pp. 995-1012.

4. F. Kito, 1960, “On Vibration of A Rectangular Tank Filled with Water”, J. Soc. Naval Arch. of Japan, Vol. 106, pp. 75-82.

5. 西野宏外, 1995, “級數展開法による接水防撓板の振動特性に関する研究", 日本造船学会論文集, 第 178号, pp. 371-379.

6. S. Bartlett, M. Winton and P. D. Clausen, 2001,“An Added Mass Theory for The Base Partially Filled Rectangular Tank for Use with FEA”, Journal of Sound and Vibration, Vol.

246(2), pp. 211-223.

7. 배성용, 2005, “접수탱크구조 진동해석”, 한국동력 기계공학회지, 제9권, 제4호, pp. 65-70.

8. 배성용, 2005, “부가질량 효과와 호흡모드를 고려 한 구조-유체 연성진동해석”, 한국동력기계공학회 지, 제9권, 제4호, pp. 71-76.