초3~4 평면도형의
이동, 여러 가지
삼각형, 여러
가지 사각형
중2일차함수와 그래프
수학 평면좌표,
직선의 방정식,
원의 방정식
1. 벡터의연산
2. 평면벡터의성분과내적
II
2. 평면벡터의 성분과
내적
1. 벡터의 연산
벡터는 바람의 세기와 방향과 같이 크기와 방향을 갖는 양 을 표현하고 탐구하는 도구이다. 벡터는 자연 과학과 공학 등 다양한 분야에 필요한 기본 소양을 기르는 데 도움이 되며, 벡 터를 여러 가지 방법으로 다룸으로써 도형을 식으로 표현하고 이해하는 경험을 할 수 있다.
벡터의 연산
이 단원에서는 벡터의 뜻에 대하여 학습한다. 또한 벡터의 덧셈과 뺄셈 그리고 실수배의 의미와 그 활용에 대하여 알아본다.
우주에 있는 행성과 같이 인간이 직접 가기 어려운 곳을 탐색하기 위해서 무인 탐사 로봇을 활용하는 경우가 있다. 무인 탐사 로봇을 필요한 위치로 정 확히 이동시키기 위해서는 이동해야 할 방향과 이동할 거리를 모두 입력해 주어야 한다. 이처럼 어떤 물체의 움직임을 지시하거나 제어하고자 할 때 크 기와 방향을 모두 고려한 벡터의 개념이 활용된다.
01 벡터의 뜻 02 벡터의 덧셈과 뺄셈 03 벡터의 실수배
1
❶벡터의 뜻을 안다.
❷벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.
성취 기준
사각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.
중학교 수학 2 삼각형과 사 각형의 성질
성취 기준❶
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD의 두 대각선 AC, BD의 교점을 O라고 할 때, 다음 조건을 만족시키는 선분을 찾으시오.
(1) 선분 AB와 평행한 선분 (2) 선분 AO와 길이가 같은 선분
오른쪽 그림과 같은 정육각형 ABCDEF에서 선분 AB와 평행하고 길이가 2배인 선분을 찾으 시오.
1
3
사각형의 성질을 이해하고 설명할수 있다.
중학교 수학 2 삼각형과 사 각형의 성질
성취 기준❷
다항식의 사칙연산을 할 수 있 다.
수학 다항식의 연산 성취 기준❷
다음 식을 간단히 하시오.
(1) (x-3y)+(2x+5y) (2) (4a+5b)-2(a-3b)
4
D
B
O C A
오른쪽 그림과 같이 AB”=3, BC”='7이고 ∠B=90˘
인 직각삼각형 ABC에 대하여 선분 AC의 길이를 구 하시오.
2
피타고라스 정리를 이해하고 설명할 수 있다.
중학교 수학 2 피타고라스 정리
성취 기준❶
학습 계획 다음 빈칸에 스스로 학습 계획을 세워 꼭 실천해 보자.
복습할 내용 중학교 수학 삼각형과 사각형의 성질 피타고라스 정리
수학 다항식의 연산 01 벡터의 뜻 02 벡터의 덧셈과 뺄셈 03 벡터의 실수배 이 단원의 내용
V V
V
V
B C
A 3
'7
B E
C D
A F
스스로 점검 하고 계획 하기
벡터의 뜻
•벡터의 뜻을 안다.
벡터의 뜻
0 1
물체의 질량, 넓이, 길이, 속력 등과 같이 방향은 없이 크기만을 가지고 있는 물리량은 크기를 나타내는 수에 단위를 붙여 그 양을 나타낼 수 있다.
그러나생각의 싹에서 살펴본 바와 같이 어떤 사람이 가고자 하는 위치로 정확히 이동하기 위해서는 이동해야 하는 거리와 이동할 방향을 모두 알아야 한다.
따라서 크기만으로는 정확한 정보의 전달이 어려운 경우가 있기 때문에 크기와 방향을 모두 가지는 양을 생각할 필요가 있다.
예를 들어 힘, 속도, 가속도 등은 크기뿐만 아니라 방향도 함께 고려하여 그 양 을 나타낸다.
이와 같이 크기와 방향을 모두 가지는 양을 벡터라고 하며, 특히 평면에서의 벡터를평면벡터라고 한다.
상준이는 민규와의 약속 장소를 확인하기 위해 자신 의 현재 위치( )가 표시된 지도를 스마트폰으로 민 규에게 전송하였다. 민규는 전송된 사진을 보고 약속 장소 A로 오는 방법을 상준이에게 설명하려고 한다.
전송된 지도가 오른쪽 그림과 같다고 할 때, 다음 물 음에 답해 보자.
상준이가 있는 곳에서 극장까지의 거리가 약 100 m라고 할 때, 상준이가 약속 장소까지 이동해야 하는 거리를 대략적으로 구해 보자.
2
1
,2
를 바탕으로 상준이에게 약속 장소 A로 오는 방법을 설명해 보자.3
지도에 표시된 명칭을 이용하여 상준이가 가 야 할 방향을 설명해 보자.
1
생각의 싹
크기만을 가지는 양을 스 칼라(scalar)라고 한다.
뉴턴(Newton, I., 1642
~1727) 영국의 수학자로 방향이 있는 선분을 사용 하여 벡터의 시초가 되는 아이디어를 제시하였다.
[출처:``과학동아편집실, “수 학자를 알면 공식이 보인 다”]
벡터를 그림으로 나타낼 때는 오른쪽 그림과 같이 방향이 주어진 선분을 이용한다.
점 A에서 점 B로 향하는 방향과 크기가 주어진 선분 AB를 벡터 AB라고 하며, 이것을 기호로
AB≥
와 같이 나타낸다.
이때 점 A를 벡터 AB≥의시점, 점 B를 벡터 AB≥의종점이라고 한다.
오른쪽 그림과 같은 벡터를 기호로 나타내면 이고, 이 벡터의 시점은 점 , 종점은
점 이다.
확인하기
벡터 AB≥에서 선분 AB의 길이를벡터 AB≥의 크기라고 하며, 이것을 기호로
|AB≥≥|
와 같이 나타낸다.
벡터를 한 문자로 나타낼 때는 기호로 a¯, `b¯, `c¯, y
와 같이 나타내고, 벡터 a¯의 크기는 기호로
|a¯|
와 같이 나타낸다. 특히 크기가 1인 벡터를단위벡터라고 한다.
한편 AA≥,` BB≥와 같이 시점과 종점이 일치하는 벡터를영벡터라고 하며, 이것 을 기호로 0¯와 같이 나타낸다. 영벡터의 크기는 0이며 그 방향은 생각하지 않는다.
P
Q
오른쪽 그림과 같이 한 눈금의 길이가 1인 모눈종이 위에 그려진 네 벡터 AB≥, a¯, b¯, PP≥에 대하여 |AB≥|="“2¤ +1¤ = ,
|a¯|="“4¤ +3¤ = ,
|b¯|= 이므로 b¯는 단위벡터, PP≥는 영벡터이므로 |PP≥|=
확인하기
A
B
AB≥ a¯
a¯
=
a¯
b¯
P A
B
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 대각선 AC, BD의 교점을 E라고 할 때, 다음 벡터의 크기를 구하시오.
(1) AD≥ (2) CD≥
(3) AC≥ (4) EB≥
문제
1
2
5 A
B
D
E
C AB≥
A(시점)
B(종점)
벡터는 크기와 방향을 모두 가지는 양이므로 크기와 방향이 정해지면 하나의 벡터가 결정된다.
따라서 두 벡터 a¯, b¯의 크기와 방향이 각각 같을 때, 두 벡터 a¯, b¯는 서로 같다 고 하며, 이것을 기호로
a¯=b¯
와 같이 나타낸다.
오른쪽 그림에서 두 벡터 AB≥, CD≥는 시점의 위치가 다르지만 벡터 AB≥를 평행이동하여 벡터 CD≥와 겹칠 수 있으므로 두 벡터의 크기와 방향이 각각 같다.
따라서 AB≥=CD≥이다.
한편 벡터 a¯와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터를 기호로 -a¯
와 같이 나타낸다.
오른쪽 그림에서 AB≥와 BA≥는 크기가 같고, 방향이 반대이다.
따라서 BA≥=-AB≥이다.
이때 |-a¯|=|a¯|이다.
서로 같은 벡터
벡터를 평행이동하면 크 기와 방향이 같으므로 한 벡터를 평행이동한 벡터 들은 모두 같은 벡터이다.
C A D
B
a¯
A -a¯
B
오른쪽 그림과 같은 정육각형 ABCDEF에서 세 대각선 의 교점을 G라고 할 때, 정육각형의 각 꼭짓점 또는 점 G 를 시점과 종점으로 하는 벡터 중 AB≥와 같은 벡터의 개 수를 구하시오.
1
함께 해결 하기
벡터가 같을 조건은 무엇인가?
벡터가 같아지기 위해서는 크기와 방향이 각각 같아야 한다.
선분 AB와 길이가 같 고 평행한 선분을 모 두 찾고 방향을 고려 한다.
선분 FG, GC, ED는 선분 AB와 길이가 같고 평행하다.
AB≥의 방향을 고려하면 AB≥와 같은 벡터는 FG≥, GC≥, ED≥
의 3개이다.
3
B E
C D
A
G F
오른쪽 그림을 보고, 다음 물 음에 답하시오.
(1) 서로 같은 벡터를 모두 구하시오.
(2) 서로 크기가 같고, 방향 이 반대인 벡터를 모두 구하시오.
문제
2
오른쪽 그림과 같이 정삼각형 ABC에서 세 변 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라고 하자. AD≥=a¯, DF≥=b¯라고 할 때, 다음 벡터를 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) DB≥ (2) CE≥ (3) EF≥
문제
3
B E C
D A
F a¯
b¯
창의・융합
일기 예보에서 바람을 설명할 때, “오늘은 북서쪽에서 초속 7 m의 바람이 불어오겠습니다.”와 같은 표현을 사용한다. 여기서 바람의 속도는‘북서쪽’이라는 방향과‘초속 7 m’라는 크기를 모 두 가지므로 벡터로 생각할 수 있다. 날씨를 표현하는 일기도에서는 다음과 같은 기호를 사용하 여 바람의 세기와 구름의 양을 표시하고 선분의 방향으로 바람의 방향을 나타낸다.
예를 들어[그림1]과 같은 기호는 초속 7 m의 북서풍이 불고 흐린 날씨를 의미한다.
다음 물음에 답해 보자.
(1) 초속 5 m의 남풍이 불고 흐린 날씨를 기호로 표현해 보자.
(2)[그림2]는 어느 날 우리나라 일부 지역의 일기도를 나 타낸 것이다. 기호를 보고 각 지역의 날씨를 설명해 보자.
기호
구름의 양 맑음 갬 흐림
[그림 2]
[그림 1]
a¯
e¯
c¯
b¯ g¯
d¯
f¯
h¯ i¯
기호 바람의 속력
(m/s) 고요함 1 2 5 7 10 12 25 27
벡터의 덧셈
•벡터의 덧셈, 뺄셈을 할 수 있다.
벡터의 덧셈과 뺄셈
0 2
두 벡터의 덧셈에 대해서 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯=AB≥, b¯=BC≥
가 되도록 세 점 A, B, C를 잡을 때, 벡터 AC≥로 나타내어지는 벡터 c¯를 두 벡터 a¯, b¯의 합이라고 하며, 이것을 기호로
a¯+b¯=c¯ 또는 AB≥+BC≥=AC≥
와 같이 나타낸다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
오른쪽 그림과 같이 강물이 북쪽에서 남쪽으로 5 km/h 의 속력으로 흐르는 강이 있다. 속력이 12 km/h인 배를 타고 서쪽에서 동쪽을 향하여 강을 가로질러 갈 때 실제 로 배가 가게 되는 방향을 말해 보자.
생각의 싹
삼각형을 이용하여 a¯+b¯
를 구할 때는 a¯의 종점에 b¯의 시점을 연결한다.
벡터의 덧셈
b¯
a¯+b¯
C
A a¯ B
또 평행사변형을 이용하여 두 벡터의 합을 나타낼 수도 있다.
오른쪽 그림과 같이 두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯=AB≥, b¯=AC≥
가 되도록 세 점 A, B, C를 잡고, 사각형 ABDC가 평행사변형이 되도록 점 D를 잡으면 AC≥=BD≥이므로
a¯+b¯=AB≥+AC≥=AB≥+BD≥=AD≥
이다.
평행사변형을 이용하여 두 벡터 a¯, b¯의 합을 구할 때는 a¯, b¯의 시점을 일치 시킨다.
D
b¯ b¯
a¯+b¯
C
A a¯ B
a¯
c¯ b¯
b¯
A B
C
두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯=AB≥, b¯=BC≥일 때, a¯+b¯=AB≥+BC≥=AC≥
두 벡터 a¯, b¯가 다음과 같을 때, a¯+b¯를 그림으로 나타내시오.
(1) (2)
b¯
a¯
b¯
a¯
문제
1
벡터의 덧셈에 대한 성질을 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 사각형 ABDC가 평행사변형이 되도록 점 D를 잡으면 AC≥=BD≥이고 AB≥=CD≥이므로
a¯+b¯=AB≥+BD≥=AD≥, b¯+a¯=AC≥+CD≥=AD≥
이다. 따라서
a¯+b¯=b¯+a¯
이므로 벡터의 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다.
오른쪽 그림에서 a¯=AB≥, b¯=BC≥, c¯=CD≥라 고 할 때, 벡터의 덧셈에 대해서 다음이 성립 함을 보이시오.
(a¯+b¯)+c¯=a¯+(b¯+c¯)
문제
2
C
b¯ b¯
a¯+b¯
D
a¯
a¯
A B
c¯
b¯ C
D
a¯
A
B
임의의 벡터 a¯에 대하여 a¯=AB≥라고 하면 a¯+0¯=AB≥+BB≥=AB≥=a¯
이다.
또 -a¯=BA≥이므로
a¯+(-a¯)=AB≥+BA≥=AA≥=0¯
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
벡터의 덧셈에 대한 성질 세 벡터 a¯, b¯, c¯에 대하여
❶``a¯+b¯=b¯+a¯ (교환법칙)
❷``(a¯+b¯)+c¯=a¯+(b¯+c¯) (결합법칙)
❸``a¯+0¯=0¯+a¯=a ¯
❹``a¯+(-a¯)=(-a¯)+a¯=0¯
오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 AB≥+BC≥+CA≥=0¯
임을 보이시오.
1
함께 해결 하기
주어진 식을 어떻게 계산할까?
결합법칙이 성립하므로 (AB≥+BC≥)+CA≥로 계산할 수 있다.
벡터의 합을 계산한다.
AB≥+(BC≥+CA≥)를 계산하면 어떤 결과가 나올까?
AB≥+BC≥+CA≥=(AB≥+BC≥)+CA≥
=AC≥+CA≥
=AA≥
=0¯
풀이 참조 AB≥+(BC≥+CA≥)=AB≥+BA≥=AA≥=0¯
따라서 결합법칙이 성립하므로 (AB≥+BC≥)+CA≥로 계산했 을 때와 같은 결과가 나옴을 알 수 있다.
C
A B
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 AB≥+AD≥+CB≥+CD≥=0¯
임을 보이시오.
문제
3
다음을 간단히 하시오.
(1) (CD≥+AB≥)+BC≥ (2) (BC≥+DE≥)+(CD≥+AB≥)
문제
4
D C
A B
벡터의 덧셈에서 결합법 칙이 성립하므로 (a¯+b¯)+c,¯ a¯+(b¯+c¯) 를 간단히 a¯+b¯+c¯로 나 타낸다.
두 벡터의 뺄셈에 대해서 알아보자.
두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯와 -b¯의 합 a¯+(-b¯)를 a¯에서 b¯를 뺀 차라고 하며, 이것을 기호로
a¯-b¯
와 같이 나타낸다. 즉
a¯-b¯=a¯+(-b¯) 이다.
오른쪽 그림과 같이 두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯=AB≥, b¯=AC≥가 되도록 세 점 A, B, C를 잡고 사각형 ABDC가 평행사변형이 되도록 점 D를 잡으면
a¯-b¯=a¯+(-b¯)
=CD≥+DB≥
=CB≥
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
벡터의 뺄셈
벡터의 뺄셈
b¯ a¯-b¯
a¯
C
A B
b¯ a¯-b¯ -b¯
a¯+(-b¯) a¯
a¯
C D
A B
a¯-b¯=a¯+(-b¯)
=AB≥+CA≥=CB≥
두 벡터 a¯, b¯가 다음 그림과 같을 때, a¯-b¯를 그림으로 나타내시오.
(1) (2) (3)
b¯
a¯
b¯
a¯
b¯
a¯
문제
5
두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯=AB≥, b¯=AC≥라고 하면 a¯-b¯=AB≥-AC≥=CB≥
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD에서 두 대각선의 교점을 O라 하고 a¯=OA≥, b¯=OB≥라고 할 때, 다음 벡터 를 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) AB≥ (2) BC≥
2
함께 해결 하기
주어진 벡터를 어떻게 a¯, b¯로 나타내는가?
주어진 벡터를 벡터들의 합으로 나타낸 후 시작점과 끝점이 바뀌면 벡터의 부호가 바뀜을 이용한다.
주어진 벡터를 구한다. (1) AB≥=AO≥+OB≥=-OA≥+OB≥=-a¯+b¯
(2) BC≥=BO≥+OC≥=(-OB≥)+(-OA≥)
=(-OA≥)+(-OB≥)=-a¯-b¯
(1) -a¯+b¯ (2) -a¯-b¯
D
B O
C
A a¯ b¯
문제
6
오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC에서 AB≥=a¯, AC≥=b¯라고 할 때, 다음이 성립함을 설명해 보시오.
|a¯|-|b¯|<|a¯-b¯|<|a¯|+|b¯|
문제
7
오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF에서 AB≥=a¯, AF≥=b¯라고 할 때, 다음 벡터를 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) EC≥ (2) CB≥
B D
C
A E
F b¯
a¯
b¯
a¯ B
C
A
창의・융합
오른쪽 그림은 어떤 물체의 윗면의 고리에 세 줄 A, B, C를 연결하여 세 방향에서 잡아당기고 있는 것을 위에서 바라본 것이다. 세 줄 사이 의 각의 크기는 90˘, 120˘, 150˘를 유지한다고 한다. 줄 A에는 10'3 N, 줄 B에는 10 N의 힘이 작용한다고 하면 줄 C에는 몇 N의
힘이 작용하는지 구해 보자. (단, 잡아당기는 세 힘은 평형을 이룬다.) 120°
150°
10'3 N
10 N A
B
C
추론
벡터의 실수배
•벡터의 실수배를 할 수 있다.
벡터의 실수배
0 3
오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 벡터 a¯에 대하여 a¯+a¯는 a¯와 방향이 같고 크기가 |a¯|의 2배인 벡터이다.
이것을
a¯+a¯=2a¯
로 나타낸다.
또 (-a¯)+(-a¯)는 a¯와 방향이 반대이고 크기가 |a¯|
의 2배인 벡터이다. 이것을 (-a¯)+(-a¯)=-2a¯
와 같이 나타낸다.
일반적으로 실수 k와 벡터 a¯의 곱 ka¯를 벡터 a¯의실수배라고 한다.
오른쪽 그림과 같이 다섯 개의 벡터 a¯, b¯, c¯, d¯, e¯
가 있다. 다음 물음에 답해 보자.
벡터 a¯와 방향이 반대이고 크기가 3배인 벡 터를 찾아보자.
2
벡터 a¯와 방향이 같고 크기가 2배인 벡터를 찾아보자.
1
생각의 싹
b¯ d¯
a¯
c¯ e¯
a¯
2a¯
-2a¯
벡터의 실수배
실수 k와 벡터 a¯에 대하여
❶`a¯+0¯일 때,
`⁄ k>0이면 `ka¯는 ``a¯와 방향이 같고 크기는 `k|a¯|인 벡터이다.
`¤ k<0이면 `ka¯는 ``a¯와 방향이 반대이고 크기는 |k||a¯|인 벡터이다.
`‹ k=0이면 `ka¯=0¯이다.
❷`a¯=0¯일 때, ka¯=0¯이다.
(1) a¯와 방향이 같고 크기가 |a¯|의 배인 벡터는 ;2!; a¯ 이다.
(2) a¯와 방향이 반대이고 크기가 |a¯|의 3배인 벡터는 a¯ 이다.
확인하기
두 벡터 a¯, b¯가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 벡터를 그림으로 나타내시오.
(1) 2a¯
(2) 3a¯+;3@; b¯
문제
1
b¯
a¯
벡터의 실수배에 대한 성질을 알아보자.
두 벡터 a¯, b¯에 대하여 3(2a¯), 2a¯+3a¯, 3(a¯+b¯)는 다음 그림과 같이 각각 6a¯, 5a¯, 3a¯+3b¯임을 알 수 있다.
b¯
2a¯ 2a¯ a¯
3a¯
3b¯
5a¯ 3a¯
2a¯ 6a¯
2a¯
3a¯+3b¯
a¯+b¯
일반적으로 벡터의 실수배에 대하여 다음이 성립한다.
벡터의 실수배에 대한 성질 실수 k, l과 벡터 a¯, b¯에 대하여
❶`k(la¯)=(kl)a¯ (결합법칙)
❷`(k+l)a¯=ka¯+la¯ (분배법칙)
❸`k(a¯+b¯)=ka¯+kb¯ (분배법칙)
벡터 a¯와 실수 k에 대하여 다음이 성립한다.
1a¯=a¯, (-1)a¯=-a¯, 0a¯=0¯, k0¯=0¯
벡터의 연산은 벡터의 실수배에 대한 성질을 이용하여 다항식의 연산과 같은 방법으로 할 수 있다.
다음을 간단히 하시오.
2(a¯+2b¯)-(a¯-b¯)
1
함께 해결 하기
벡터의 덧셈, 뺄셈, 실 수배에 대한 성질을 이용하여 간단히 한다.
2(a¯+2b¯)-(a¯-b¯)
=2a¯+4b¯-a¯+b¯
=2a¯-a¯+4b¯+b¯
=(2-1)a¯+(4+1)b¯
=a¯+5b¯
`a¯+5b¯
다음을 간단히 하시오.
(1) 3(a¯-b¯)+2(-a¯+2b¯)
(2) (a¯+b¯-2c¯)+3(a¯-3b¯)-2(b¯-3c¯)
문제
2
다음을 만족시키는 벡터 x¯를 벡터 a¯, b¯로 나타내시오.
2x¯+a¯=3a¯-4b¯
2
함께 해결 하기
벡터의 실수배에 대한 성질을 이용하여 푼다.
2x¯+a¯=3a¯-4b¯에서 2x¯=3a¯-4b¯-a¯
2x¯=2a¯-4b¯
다음을 만족시키는 벡터 x¯를 벡터 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) a¯+2b¯=3x¯-2a¯+5b¯
(2) (2a¯+3b¯-x¯)+3(5b¯+x¯)=0¯
문제
3
x¯를 a¯, b¯로 나타낸다. x¯=a¯-2b¯
`x¯=a¯-2b¯
실수배에 대한 분배법칙 덧셈에 대한 교환법칙 실수배에 대한 분배법칙
오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯의 방향이 같거나 반대일 때, a¯와 b¯는 서로 평행하다고 하며, 이것을 기호로
a¯//b¯
와 같이 나타낸다.
a¯, b¯가 모두 영벡터가 아닐 때, 한 벡터가 다른 벡터의 실수배가 되는 것은 a¯//b¯
가 되기 위한 필요충분조건이다.
일반적으로 벡터의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
벡터의 평행
벡터의 평행
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯에 대하여
a¯//b¯ HjjK b¯=ka¯ (단, k+0인 실수)
영벡터가 아닌 두 벡터 2a¯-b¯, 4a¯-2b¯에 대하여 4a¯-2b¯=2(2a¯-b¯)
이므로 두 벡터 2a¯-b¯, 4a¯-2b¯는 서로 하다.
확인하기
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 서로 평행하지 않고, 두 벡터 2a¯-kb¯, -4a¯+6b¯가 서로 평행할 때, 실수 k의 값을 구하시오.
문제
4
서로 다른 세 점이 한 직선 위에 있을 조건에 대하여 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 서로 다른 세 점 A, B, C 에 대하여
AC≥=kAB≥
를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하면 AB≥//AC≥
이므로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
역으로 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 AC≥=kAB≥를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재한다.
A
AC≥=kAB≥
B
C
a¯ b¯=2a¯ b¯=-3a¯
AC≥=kAB≥
AB≥//AC≥
세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C에 대하여 OA≥=a¯, OB≥=b¯, OC≥=;3@;a¯+;3!;b¯
일 때, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있음을 보이시오.
3
함께 해결 하기
세 점이 한 직선 위에 있을 조건은 무엇일 까?
AC≥=kAB≥가 성립하는 0이 아닌 실수 k가 존재함을 보인다.
AB≥, AC≥를 구한다. AB≥, AC≥를 각각 a¯, b¯로 나타내면 AB≥=OB≥-OA≥=-a¯+b¯
AC≥=OC≥-OA≥={;3@;a¯+;3!;b¯}-a¯=-;3!;a¯+;3!;b¯
AC≥=;3!;(-a¯+b¯)
세 점이 한 직선 위에
있음을 보인다. 따라서 AC≥=;3!; AB≥이므로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에
있다. 풀이 참조
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 서로 평행하지 않고 평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C와 실수 k에 대하여
OA≥=3a¯+b¯, OB≥=2a¯+3b¯, OC≥=-a¯+kb¯
일 때, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있도록 하는 상수 k의 값을 구해 보시오.
문제
5
문제 해결
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 4이고 중심각의 크기가 90˘
인 부채꼴 OAB가 있다. 반지름 OB 위에 선분 OC의 길이가 3이 되도록 점 C를 잡아 직각삼각형 OAC를 그린다. 호 AB 위의 점 P와 빗변 AC 위의 점 Q에 대하여 `OX≥= , OY≥= 라 고 할 때, 다음 물음에 답해 보자.
(1) 두 벡터 OX≥, OP≥의 방향을 비교하고, 벡터 OX≥의 크기를 구해 보자.
(2) 점 P가 호 AB를 따라 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 움직일 때, 벡터 OX≥의 종점 X가 나타 내는 도형의 길이를 구해 보자.
(3) 점 Q가 빗변 AC를 따라 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 움직일 때, 벡터 OY≥의 종점 Y가 나타내는 도형의 길이를 구해 보자.
(4) (2), (3)에서 구한 도형을 서로 비교해 보자.
OQ≥
|OQ≥|
OP≥
|OP≥|
4
3 C
A O
P Q
B
문제 해결
1. 벡터의 뜻
크기와 을 모두 가지
는 양을 벡터라고 한다.
벡터 AB≥의 크기는 기호로 와 같이 나타낸다.
2. 벡터의 덧셈과 뺄셈 AB≥+BC≥=
AB≥-AC≥=
3. 벡터의 실수배
❶실수 k, l과 벡터 a¯, b¯에 대하여
⁄ k(la¯)= a¯
¤ (k+l)a¯=ka¯+ a¯
‹ (a¯+b¯)=ka¯+kb¯
❷영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯에 대하여 a¯ b¯ HjjK b¯=ka¯ (단, k+0인 실수)
스스로 확인하기
생각의 나무
다음 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.벡터의 뜻 p.65
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 4개로 만들어진 도형 ABCDEF가 있다. 다음을 만족시 키는 벡터를 모두 구하시오.
(1) AB≥와 같은 벡터 (2) AF≥와 방향은 반대이고 크기가 같은 벡터
1
벡터의 덧셈과 뺄셈 p.67
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD 에서 벡터 AC≥를 두 벡터의 합으로 나타 내시오.
2
벡터의 실수배 p.72
오른쪽 그림과 같이 한 눈금의 길이가 1 인 모눈종이에서 a¯=OA≥, b¯=OB≥라고 할 때, 다음 벡터를 a¯, b¯로 나타내시오.
(1) OC≥ (2) OD≥
3
기초 문제
중단원 마무리
정답 및 풀이 p.175A B C
D
1
F E
C
A B
D
C
O A B D
b¯
a¯
벡터의 연산
1. 벡터의 연산
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정 육각형 ABCDEF에서 AB≥=a¯, BC≥=b¯, CD≥=c¯라고 할 때, |a¯-b¯-c¯|의 값을 구하 시오.
4
사각형 ABCD와 점 O에 대하여 OA≥+OC≥=OB≥+OD≥가 성립할 때, 사각형 ABCD는 어떤 사각형인지 말하시오.
7
‘스스로 확인하기’를 한 결과 부족한 부분은 무엇인가요?
중단원의 학습 계획을 잘 실천하였나요?
기본 문제
심화 문제
벡터의 덧셈과 뺄셈 p.70
오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC에서 CA≥=a¯, CB≥=b¯이고, 선분 CA를 1 : 2로 내 분하는 점을 P, 선분 CB의 중점을 Q라고 할 때, PQ≥를 a¯, b¯로 나타내시오.
5
벡터의 실수배 p.73
영벡터가 아닌 평행하지 않은 두 벡터 a¯, b¯에 대하여 p¯=a¯+2b¯, q¯=-a¯+b¯, r¯=3a¯-mb¯일 때, p¯-3q¯와 q¯+r¯가 서로 평행하도록 하는 실수 m의 값을 구하시오.
6
벡터의 실수배 p.74
벡터의 덧셈과 뺄셈 p.68
오른쪽 그림과 같이 ∠AOB=60˘인 부채꼴 OAB에서 OA≥=a¯, OB≥=b¯라고 하자.
∠AOB를 이등분하는 벡터 OC≥를 a¯, b¯를 이 용하여 나타내어 보시오. (단, 점 C는 호 AB 위에 있다.)
8
벡터의 실수배 p.74 문제 해결
b¯
c¯
2 a¯
C D
E F A
B
b¯
C a¯
P Q
A B
b¯
a¯
60°
C
O
A
B
탐구 학습
벡터의 연산을 이용한 물체의 상대 속도
수학 역량
쑥 쑥 쑥 쑥
쑥 쑥 쑥 쑥
자동차를 타고 가다 보면 반대 방향으로 오는 차는 매우 빠르게 다가오는 것처럼 느껴지고, 같은 방향으로 가는 차는 상대적으로 느리게 다가오거나 멀어지는 것처럼 느껴진다. 이러한 현상은 벡터를 이용한 상대 속도로 설명할 수 있다.
상대 속도란 어떤 물체에서 다른 물체를 보았을 때의 상대적인 속도로 두 물체 A, B 가 각각 v¯Å, v¯ı의 속도로 움직이고 있을 때, 물체 A가 바라본 물체 B의 상대 속도는 다음과 같다.
v¯Åı=v¯ı-v¯Å=v¯ı+(-v¯Å)
예를 들어 오른쪽 그림과 같이 오른 쪽 방향으로 가는 속도가 양수인 빨간 색 자동차에 타고 있는 사람이 파란색 자동차를 바라볼 때의 상대 속도는 각 각 다음과 같다.
첫 번째 [그림 1]과 같이 반대 방향 으로 가는 자동차의 경우에 빨간색 자 동차 속도가 30 km/h, 파란색 자동
차의 속도가 -20 km/h이므로 빨간색 자동차에 타고 있는 사람이 파란색 자동차를 바라볼 때의 상대 속도는 (상대방 자동차의 속도)-(자신이 탄 자동차의 속도), 즉 (-20)-30=-50 (km/h)이 된다.
두 번째 [그림 2]와 같이 같은 방향으로 가는 자동차의 경우에 빨간색 자동차 속도가 30 km/h, 파란색 자동차의 속도가 20 km/h이므로 빨간색 자동차에 타고 있는 사람 이 파란색 자동차를 바라볼 때의 상대 속도는 20-30=-10 (km/h)이 된다. 즉 반 대 방향으로 가는 차가 같은 방향으로 가는 차보다 자신에게 빠르게 다가오는 것처럼 느껴지게 된다.
세 사람이 오른쪽 그림과 같은 속도로 동쪽이 나 서쪽 방향으로 이동하고 있을 때, 다음 물 음에 답해 보자.
(1) 말을 탄 사람이 바라본 조깅하는 사람의 상대 속도를 구해 보자.
(2) 말을 탄 사람이 바라본 자전거를 타고 있 는 사람의 상대 속도를 구해 보자.
1
17 m/s
8 m/s 3 m/s
[그림 1]
30 km/h
30 km/h
20 km/h
20 km/h
[그림 2]
벡터를 활용한 컴퓨터 그래픽
컴퓨터 그래픽은 크게 래스터(raster) 그래픽 방식과 벡터(vector) 그래픽 방식 으로 나뉜다. 래스터 그래픽은 점방식 그래픽이라고도 하는데 화면을 구성하는 기본 단위인 픽셀(pixel)에 하나씩 그래픽 정보를 저장하여 화면에 표시하는 방식이다.
래스터 그래픽 방식은 이미지를 구현할 때 별도의 연산이 필요 없기 때문에 하드웨어 에 부담을 적게 주어 웹 사이트나 애플리케이션 등에서 많이 사용된다. 하지만 이 방식 은 이미지를 확대하거나 축소하면 형태가 왜곡될 수 있다는 단점이 있다.
예를 들어 다음 그림과 같이 래스터 그래픽 방식으로 제작된 그림을 확대하면 픽셀 의 정보가 저장되지 않은 부분이 생겨 이미지가 깨지는 현상이 발생한다.
벡터 그래픽 방식은 래스터 그래픽 방식과 달리 그래픽의 형태를 수학적 공식의 형태로 저장하는데 이때 벡터의 성질을 사용하게 된다.
예를 들어 화면에 x축과 y축을 설정하여 점의 위치를 지정하고 그 점으로부터 점이 이동하는 경로의 방향과 크기, 색, 두께 등을 결정하여 이미지를 저장하는 것이다.
따라서 벡터 그래픽 방식은 이미지를 화면에 나타낼 때 수학적 연산을 통해 각 픽셀 의 정보를 구하게 되어 하드웨어에 부담을 준다는 단점이 있다. 하지만 이 방식은 다음 그림과 같이 화면을 확대해도 이미지가 왜곡되지 않는다는 장점이 있어 로고 제작 등 과 같은 분야에서 많이 사용된다.
수학으로 세상보기
[출처: 김진호, 이규남, 나인호, 「비트맵과 벡터방식을 혼합한 이미지 편집도구 구현에 관한 연구」]
