@ SDALAdvanced Ship Design Automation Lab.

(1)

2009 Fall, Computer Aided Ship Design – Part1 Optimal Ship Design

@ SDAL

Advanced Ship Design Automation Lab.

http://asdal.snu.ac.kr Seoul

National Univ.

Naval Architecture & Ocean Enginee ring

@ SDAL

2009 Fall, Computer Aided Ship Design – Part1.Optimal Ship Design

Computer Aided Ship design -Part I. Optimal Ship Design-

September, 2009 Prof. Kyu-Yeul Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Seoul National University of College of Engineering

학부3학년 교과목“전산선박설계(Computer Aided ship design)”강의 교재

(2)

@ SDAL

Naval Architecture & Ocean Enginee ring

@ SDAL

Ch.6 Constrained Nonlinear Optimization method

6.1 Quadratic Programming; QP

6.2 Sequential Linear Programming; SLP

6.3 Sequential Quadratic Programming; SQP

- Ch.6 Constrained Nonlinear Optimization Method

(3)

@ SDAL

Naval Architecture & Ocean Enginee ring

@ SDAL

Ch.6 Constrained Nonlinear Optimization method

6.1 Quadratic Programming:QP

(4)

@ SDAL

[참고] 2변수 함수의 테일러 젂개 (복습 / 1)

2변수 함수 f ( x ₁ , x ₂ ) 에 대한 점 ( x ₁ ^* , x ₂ ^* ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

 

 



 



 



 



 

 

 

 

 

 

 



2

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 2 2

* 1 1 2

1

* 2

* 1 2 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

* 2 2 2

* 2

*

* 1 1 1 1

* 2

*

* 1 2

1

) ) (

, ) (

)(

) ( , 2 (

) ) (

, ( 2

1 ) ) (

, ) (

) ( , ) (

, ( ) , (

x x x

x x x f

x x x x

x x x x f

x x x

x x x f

x x x x x f

x f x x f

 ^x ^x  ^H ^x  ^x ^x  ^x ^c ^d ^d ^H ^x ^d

x x x x

x ( )

2 ) 1

( )

2 ( ) 1 (

) ( )

( )

( f

^*

f

^* ^T ^* ^* ^T ^* ^*

f

^* ^T ^T ^*

f          



) (

),

( x

^*

d x x

^*

c   f   라 가정

①

식①을 전개하면,

* * * * * * * *

* * 1 2 1 2 * 1 2 1 2 *

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

2 * * 2 * * 2 * *

2 * *2 * * * * 2 *

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2 2

1 1 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

1 ( 2 ) 2 ( ) ( 2

2 f x x f x x f x x f x x

f x x f x x x x x x

x x x x

f x x f x x f x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

   

    

   

  

         

   

*2 2

)

 

 

 

②

식 ②를 x로 미분하면 어떤 형태의 Matrix로 표현 될까?

④

* * * * * * * *

* * 1 2 1 2 * 1 2 1 2 *

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

2 * * 2 * * 2 * *

2 * *2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 * * 2 * *

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

1 1

2 2

( , ) ( , )

f x x f x x f x x f x x

f x x f x x x x x x

x x x x

f x x f x x f x x

x x x x

x x x

f x x f x x

x x x

x x x x

   

    

   

  

  

  

 

 

   

2 * * 2 * *

* 1 2 * * 1 2 *

2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 * * 2 * * 2 * *

2 * *2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

1 1 1

2 2 2

f x x f x x

x x x x x

x x x x

f x x f x x f x x

x x x x

x x x

 

 

   

  

  

  

③

식③을 전개하면,

x*는 상수 이므로 파란색 네모

안의 수는 모두 상수이다.

4/57

(5)

@ SDAL

[참고] 2변수 함수의 테일러 젂개 (복습 / 2)

2변수 함수 f ( x ₁ , x ₂ ) 에 대한 점 ( x ₁ ^* , x ^* ₂ ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

 

 



 



 



 



 

 

 

 

 

 

 



2

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 2 2

* 1 1 2

1

* 2

* 1 2 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

* 2 2 2

* 2

*

* 1 1 1 1

* 2

*

* 1 2

1

) ) (

, ) (

)(

) ( , 2 (

) ) (

, ( 2

1 ) ) (

, ) (

) ( , ) (

, ( ) , (

x x x

x x x f

x x x x

x x x x f

x x x

x x x f

x x x x x f

x f x x f

 ^x ^x  ^H ^x  ^x ^x  ^x ^c ^d ^d ^H ^x ^d

x x x x

x ( )

2 ) 1

( )

2 ( ) 1 (

) ( )

( )

( f

^*

f

^* ^T ^* ^* ^T ^* ^*

f

^* ^T ^T ^*

f          



) (

),

( x

^*

d x x

^*

c   f   라 가정

①

) ) (

, ) (

) ( , ( )

, (

) , ( )

, ( )

, ( ) , (

* 2 2 2 1

* 2

* 1 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1

* 2 2 1

* 2

* 1 2 2 2 1

* 2

* 1 2

* 2 1 1

* 2

* 1 2 2 1

1

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1 1

2 1

x x x

x x x x f

x x x x f x

x x f

x x x

x x x f

x x

x x x f

x x x x f

x x x f x

x x f x

x x f

 



 

 

 



 



 



 



 



 



 



) ) (

, ) (

) ( , ( )

, (

) , ( )

, ( )

, ( ) , (

* 1 1 2 1

* 2

* 1 2

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

2

* 2

* 1

* 1 2 1

* 2

* 1 2 1 2 1

* 2

* 1 2

* 2 2 2

* 2

* 1 2 2 2

2

* 2

* 1 2

2

* 2

* 1 2

2 1

x x x

x x x x f

x x x x f x

x x f

x x x

x x x f

x x

x x x f

x x x x f

x x x f x

x x f x

x x f

 



 

 

 



 



 



 



 



 



 



식④를 x ₁ 과 x ₂ 로 각각 미분 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

②

식 ②를 x로 미분하면 어떤 형태의 Matrix로 표현 될까?

④

* * * * * * * * 2 * * 2 * * 2 * *

* * 1 2 1 2 * 1 2 1 2 * 1 2 2 1 2 * 1 2 *2

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 1 1 1

2 * * 2 * *

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , )

2 2

( , ) ( , )

f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x

f x x f x x x x x x x x x x

x x x x x x x

f x x f x x

x x x

x x x x

      

       

      

 

 

   

2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * *

* 1 2 * * 1 2 * 1 2 2 1 2 * 1 2 *2

2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 2 2

( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , )

2 2 2

f x x f x x f x x f x x f x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x

    

    

      

x*는 상수 이므로 파란색 네모

안의 수는 모두 상수이다.

5/57

(6)

@ SDAL

[참고] 2변수 함수의 테일러 젂개 (복습 / 3)



 ^x ^x  ^c ^H ^x ^d

x H x x

x

) ( )

( ) (

) (

) , ( )

, (

) , ( )

, ( )

, (

) , (

) ) (

, ) (

) ( , (

) ) (

, ) (

) ( , ( )

, (

) , (

) ) (

, ) (

) ( , ( )

, (

) ) (

, ) (

) ( , ( )

, ( )

, (

) , ( )

(

*

* 2 2

* 1 1

2 1

* 2

* 1 2

2 1

* 2

* 1 2

2 1

* 2

* 1 2

2 1

* 2

* 1 2

2

* 2

* 1 1

* 2

* 1

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 1 1 2 1

* 2

* 1 2

* 2 2 2 1

* 2

* 1 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

2

* 2

* 1 1

* 2

* 1

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 1 1 2 1

* 2

* 1 2

2

* 2

* 1

* 2 2 2 1

* 2

* 1 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1

2 2 1

1 2 1













 

 







 





 









 





 









 





 





 

 

 



 



 

 





 





 









 





 





 

 

 



 



 



 

 

 





 





 







 



 



f

x x

x x x f x

x x x f

x x

x x f x

x x f

x x x f

x x x

x x x f

x x x

x x f

x x x

x x x x f

x x x f

x x x

x x x f

x x x

x x f x

x x f

x x x

x x x x f

x x x x f x

x x f

x x x f

x x x f f

) (

),

( x

^*

d x x

^*

c   f   ^{라 가정}

), ) (

, ) (

) ( , ( )

, ( ) ,

(

_*

2 2 2 1

* 2

* 1 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1 1

2

1

x x

x x x f

x x x x f x

x x f x

x x

f 



 

 

 



 



 ( , ) ( )

) ) (

, ( )

, ( ) ,

(

_*

2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 1 1 2 1

* 2

* 1 2

2

* 2

* 1 2

2

1

x x

x x x x f

x x x

x x f x

x x

f 



 

 



 



 



2변수 함수 f ( x ₁ , x ₂ ) 에 대한 점 ( x ₁ ^* , x ₂ ^* ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

 

 



 



 



 



 

 

 

 

 

 

 



2

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 2 2

* 1 1 2

1

* 2

* 1 2 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

* 2 2 2

* 2

*

* 1 1 1 1

* 2

*

* 1 2

1

) ) (

, ) (

)(

) ( , 2 (

) ) (

, ( 2

1 ) ) (

, ) (

) ( , ) (

, ( ) , (

x x x

x x x f

x x x x

x x x x f

x x x

x x x f

x x x x x f

x f x x f

 ^x ^x  ^H ^x  ^x ^x  ^x ^c ^d ^d ^H ^x ^d

x x x x

x ( )

2 ) 1

( )

2 ( ) 1 (

) ( )

( )

( f

^*

f

^* ^T ^* ^* ^T ^* ^*

f

^* ^T ^T ^*

f          



) (

),

( x

^*

d x x

^*

c   f   라 가정

①

식 ②를 x로 미분하면 어떤 형태의 Matrix로 표현 될까?

6/57

(7)

@ SDAL

[참고] 2변수 함수의 테일러 젂개 (복습 / 4)

2변수 함수 f ( x ₁ , x ₂ ) 에 대한 점 ( x ₁ ^* , x ₂ ^* ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

 

 



 



 



 



 

 

 

 

 

 

 



2

* 2 2 2

2

* 2

* 1 2

* 2 2

* 1 1 2

1

* 2

* 1 2 2

* 1 2 1

1

* 2

* 1 2

* 2 2 2

* 2

*

* 1 1 1 1

* 2

*

* 1 2

1

) ) (

, ) (

)(

) ( , 2 (

) ) (

, ( 2

1 ) ) (

, ) (

) ( , ) (

, ( ) , (

x x x

x x x f

x x x x

x x x x f

x x x

x x x f

x x x x x f

x f x x f

 ^x ^x  ^H ^x  ^x ^x  ^x ^c ^d ^d ^H ^x ^d

x x x x

x ( )

2 ) 1

( )

2 ( ) 1 (

) ( )

( )

( f

^*

f

^* ^T ^* ^* ^T ^* ^*

f

^* ^T ^T ^*

f          



) (

),

( x

^*

d x x

^*

c   f   라 가정

①

1 2 1

1 1

1 2 1

1 2

1

, ) ( , ) ( , )

(

x x x f d x x

x x f d

x x f



 



 



식 ①을 d ₁ 과 d ₂ 로 각각 미분 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

②

식 ②를 d로 미분하면 어떤 형태의 Matrix로 표현 될까?

* 1 1

1

x x

d  



1

d x



   d

₂

 x

₂

 x

₂^*

2

1

2

d x



 

Chain rule에 의해

2 2 1

2 2

2 2 1

2 2

1

, ) ( , ) ( , )

(

x x x f d

x x

x x f d

x x f



 



 



양면을 d₁으로 미분 양면을 d₂로 미분

식 ②를 d로 미분한 결과는 x로 미분한 결과와 같다.

 ^x ^x  ^c ^H ^x ^d

x H x x

x d

d ) ( ) ( ) ( ) ( )

(   _*  _*  _*   _*



 



 f f f

) (

),

( x

^*

d x x

^*

c   f   ^{라 가정}

7/57

(8)

@ SDAL

2차 계획 문제(Quadratic Programming Problem)의 정식화

여기서,

i i

i j

ij i j

ij i i

j j

x d

x g

a x h

n x f

c

g b

h e

f f

f

































, / ) (

), (

), ( )

(

x x

x

x x

x

라고 가정하면

Matrix form

Minimize Subject to

) 1 ( ) ) (

1 ) (

1 ( 2

1 

 

  

 ^T ⁿ _n ^T ⁿ _n _n _n

f c d d H d

) 1 ( )

1 ) (

(

) 1 ( )

1 ) (

(



 



 





m n n

T m

p n n

T p

b d

A

e d

N

x H x x

x x

x

x    f   f ^T    ^T 

f ( ) ( ) ( ) 0 . 5

Minimize

m to j

g g

g

p to j

h h

h

T j j

j

T j j

j

1 ; 0 )

( )

(

1 ; 0 )

( )

(































x x x

x x

x x x

x Subject to x

Taylor 급수의 1차항(선형항)만 고려한 등호 제약 조건

Taylor 급수의 1차항(선형항)만 고려한 부등호 제약 조건 Taylor 급수의 2차항까지 고려한 목적 함수

: 2차 형식의 목적 함수

: 선형화 된 등호 제약 조건 : 선형화 된 부등호 제약 조건

8/57

(9)

@ SDAL

Simplex 방법을 이용핚 2차 계획 문제의 풀이 방법

Minimize Subject to

) 1 ( ) ) (

1 ) (

1 ( 2

1 

 

  

 ^T ⁿ _n ^T ⁿ _n _n _n

f c d d H d

) 1 ( )

1 ) (

(

) 1 ( )

1 ) (

(



 



 





m n n

T m

p n n

T p

b d

A

e d

N

Lagrange 함수

) (

2 1

) 1 ( )

1 ) (

( )

1 (

) 1 ( 2

) 1 ( )

1 ) (

( )

1 (

) 1 ( ) ) (

1 ) (

1 (



 



 



 











p n n

T p T p

m m

n n T m T m

n n n n

T n n

L T

e d

N v

b s

d A

u

d H

d d

c

0 s

b d

A ^T ⁽ ^m ^ ⁿ ⁾ ₍ _n _ ₁ ₎  ₍ _m _ ₁ ₎  ₍ _m _ ₁ ₎ ² 

 s ₍ _m _ ₁ ₎ ²

9/57

(10)

@ SDAL

Simplex 방법을 이용핚 2차 계획 문제의 풀이 방법

Lagrange 함수

) (

2 ) 1

, , , (

) 1 ( ) 1 ) (

( )

1 (

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ) (

( )

1 (

) 1 ( ) ) (

1 ) (

1 (



 



 



 











p n n

T p T p

m m

n n T m T m

n n n n

T n n

L T

e d

N v

b s

d A

u

d H

d d

c u

s v d

Kuhn-Tucker 필요 조건:  L ( , , , , ) d v u s u  0

( , , , )

i i 0,

i

L u s

s

  



d v s u ) 0 , , , (

) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (







 





 



m m

n n m T n

L A d s b

u

u s v d

0 v

N u

A d

H d c

u s v

d     





) 1 ( ) ( )

1 ( ) ( )

1 ( )

1 (

) , , , (

p p n m

m n n

n n n

n

L

0 e

d v N

u s v

d   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

) , , , (

p n n

T p p

L

0 i  to m

10/57

(11)

@ SDAL

Simplex 방법을 이용핚 2차 계획 문제의 풀이 방법

)

0

1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 (







 





m m

n T

n m n

L A d s b

u

)

,

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

0 v

N u

A d

H

d  c    





p p n m

m n n

n n n

n

L N d e 0

v   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

p n n

T p p

L

Kuhn-Tucker 필요 조건:

①

식①의 양변에 를 곱한다. s

_i

i i 0 u s 

양변에 를 곱해도 이라는 해는

변하지 않는다.

ⁱ

s u

_i

 0 or s

_i

 0

2

0 u s i i 



)

0

1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 (







 





m m

n T

n m n

L A d s b

u

)

,

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

0 v

N u

A d

H

d  c    





p p n m

m n n

n n n

n

L N d e 0

v   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

p n n

T p p

L

변경된 Kuhn-Tucker 필요 조건:

①’

( , , , )

 L d v u s  0

0 s

u v

d 

 L ( , , , )

i i

0,

i

L u s s

  

 ⁱ ^ ⁰ ^{to m}

2 0,

i i i

L u s s

  

 ⁱ ^ ⁰ ^{to m}

11/57

(12)

@ SDAL

)

0

1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

1 (







 





m m

n T

n m n

L A d s b

u

)

,

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

0 v

N u

A d

H

d  c    





p p n m

m n n

n n n

n

L N d e 0

v   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

p n n

p T p

L

Simplex 방법을 이용핚 2차 계획 문제의 풀이 방법

변경된 Kuhn-Tucker 필요 조건:

를 로 치환 (단, )

2 s

i

s

_i

s 

_i

0 ) 0

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

1 (



 



 





m m

n T

n m n

L A d s b

u

) ,

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

0 v

N u

A d

H

d  c    





p p n m

m n n

n n n

n

L N d e 0

v   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

p n n

p T p

L

여기서, u _i , s _i   0 ; i  1 to m

선형 부정 방정식에서 구한 해가 이비선형 부정 방정식을 만족하는지 확인하여 해를 확정한다.

이 식들은 설계 변수

d,s’,u,v에 대해

모두 선형이므로, 이 식들로부터 설계 변수 를 구하는 문제는 등호 제약 조건만으로 이루어진 선형 계획 문제임

( , , , )

 L d v u s  0

① ’

2 0,

i i i

L u s s

  

 ⁱ ^ ⁰ ^{to m}

i i

0,

i

L u s s

   



_{비선형 부정 방정식}

ⁱ ^ ⁰ ^{to m}

_{선형 부정 방정식}

12/57

(13)

@ SDAL

) 0

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

1 (



 



 





m m

n T

n m n

L A d s b

u

) ,

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

0 v

N u

A d

H

d  c    





p p n m

m n n

n n n

n

L N d e 0

v   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

p n n

p T p

L

여기서, u s _i , _i   0; i  1 to m

d,s’,u,v에 대해

Simplex 방법을 이용핚 2차 계획 문제의 풀이 방법

)

,

1 ( ) 1 ( )

1

(

_p   y _p   z _p 

v

등호 제약 조건에 대한 Lagrange multiplier 는 부호의 제한이 없으므로 Simplex 방법을 이용하기 위해서 다음과 같이 변환해야 함

Kuhn-Tucker 필요 조건으로부터

설계 변수 d _(n×1) 는 부호의 제한이 없으므로 Simplex 방법을 이용하기 위해서 설계 변수를 아래와 같이 변환해야 함

) 1

; 0 ,

0 (

)

,

1 ( )

1

(

_n _  d ^ _n _  d ^ _n _ d _i ^  d _i ^  i  to n d

) 1 (

p 

v

) 1

; 0 ,

0 ( y _i  z _i  i  to p

i i

0,

i

L u s s

   



비선형 부정 방정식

ⁱ ^ ⁰ ^{to m}

_{선형 부정 방정식}

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(14)

@ SDAL

Simplex 방법을 이용핚 2차 계획 문제의 풀이 방법

행렬식 표현

 







 









 





 





 

 





 











 





 



 



) 1 (

) ( )

( ) ( ) ) (

( )

(

) ( )

( ) ( ) ) (

( )

(

) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

p m n

p p m m n n

p p p

p m

n p T p n

T p

p m p

m m

n m T m n

T m

p n p

n m

n n

n

e b c

z y s u

d d

0 0

N N

0 0

I 0

A A

N N

0 A

H H

)

,

1 ( ) 1 ( )

1

(

_p   y _p   z _p 

v ( y _i  0 , z _i  0 ; i  1 to p )

) 0

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

1 (



 



 





m m

n T

n m n

L A d s b

u

) ,

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

0 v

N u

A d

H

d  c    





p p n m

m n n

n n n

n

L N d e 0

v   





 



) 1 ( ) 1 ) ( ( )

1 (

p n n

T p p

L

여기서, u _i , s _i   0 ; i  1 to m

d,s’,u,v에 대해

Kuhn-Tucker 필요 조건으로부터

) 1

; 0 ,

0 (

)

,

1 ( )

1

(

_n _  d ^ _n _  d ^ _n _ d _i ^  d _i ^  i  to n d

i i

0,

i

L u s s

   

 ⁱ ^ ⁰ ^{to m}

여기에서 d와 v는

그 부호를 확신할 수 없으므로

인위 변수를 추가하고 인위 목적 함수를 만들어서 Simplex 방법으로 문제를 푼다.

선형 부정 방정식 비선형 부정 방정식

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@ SDALAdvanced Ship Design Automation Lab.

@ SDAL

Naval Architecture & Ocean Enginee ring

@ SDAL

Computer Aided Ship design -Part I. Optimal Ship Design-

September, 2009 Prof. Kyu-Yeul Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Seoul National University of College of Engineering

학부3학년 교과목“전산선박설계(Computer Aided ship design)”강의 교재

@ SDAL

Naval Architecture & Ocean Enginee ring

@ SDAL

Ch.6 Constrained Nonlinear Optimization method

6.1 Quadratic Programming; QP

6.2 Sequential Linear Programming; SLP

6.3 Sequential Quadratic Programming; SQP

@ SDAL

Naval Architecture & Ocean Enginee ring

@ SDAL

Ch.6 Constrained Nonlinear Optimization method

6.1 Quadratic Programming:QP

@ SDAL

[참고] 2변수 함수의 테일러 젂개 (복습 / 1)

2변수 함수 f ( x 1 , x 2 ) 에 대한 점 ( x 1 * , x 2 * ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

 

 



 



 



 



 

 

 

 

 

 

 



) ) (

, ) (

)(

) ( , 2 (

) ) (

, ( 2

1

) ) (

, ) (

) ( , ) (

, ( ) , (

x x x

x x x f

x x x x

x x x x f

x x x x f

x x x

x x x f

x x x x x f

x f x x f

 x x  H x  x x  x c d d H x d

x x x x

x ( )

2 ) 1

( )

2 ( ) 1 (

) ( )

( )

( f

f

f

f          



) (

),

( x

d x x

c   f   라 가정

①

식①을 전개하면,

2변수 함수 f ( x ₁ , x ₂ ) 에 대한 점 ( x ₁ ^* , x ₂ ^* ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)

 ^x ^x  ^H ^x  ^x ^x  ^x ^c ^d ^d ^H ^x ^d

2변수 함수 f ( x ₁ , x ₂ ) 에 대한 점 ( x ₁ ^* , x ^* ₂ ) 에서의 테일러 전개식 (3차 이상의 고차항은 무시할 경우)