Estimation of Probability Precipitation by Regional Frequency Analysis using Cluster analysis and Variable Kernel Density Function

水 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第28卷 第2B 號·2008年 3月 pp. 225 ~ 236

군집분석과 변동핵밀도함수를 이용한 지역빈도해석의 확률강우량 산정

Estimation of Probability Precipitation by Regional Frequency Analysis using Cluster analysis and Variable Kernel Density Function

오태석*·문영일**·오근택***

Oh, Tae Suk

·

Moon, Young-Il

·

Oh, Keun-Taek

···

Abstract

The techniques to calculate the probability precipitation for the design of hydrological projects can be determined by the point frequency analysis and the regional frequency analysis. Probability precipitation usually calculated by point frequency analysis using rainfall data that is observed in rainfall observatory which is situated in the basin. Therefore, Probability pre- cipitation through point frequency analysis need observed rainfall data for enough periods. But, lacking precipitation data can be calculated to wrong parameters. Consequently, the regional frequency analysis can supplement the lacking precipitation data. Therefore, the regional frequency analysis has weaknesses compared to point frequency analysis because of suppositions about probability distributions. In this paper, rainfall observatory in Korea did grouping by cluster analysis using position of timely precipitation observatory and characteristic time rainfall. Discordancy and heterogeneity measures verified the grouping precipitation observatory by the cluster analysis. So, there divided rainfall observatory in Korea to 6 areas, and the regional fre- quency analysis applies index-flood techniques and L-moment techniques. Also, the probability precipitation was calculated by the regional frequency analysis using variable kernel density function. At the results, the regional frequency analysis of the variable kernel function can utilize for decision difficulty of suitable probability distribution in other methods.

Keywords : point frequency analysis, regional frequency analysis, L-moment, index flood method, variable kernel density function

···

요 지

수공구조물의 설계를 위한 확률강우량의 산정방법은 크게 지점빈도해석과 지역빈도해석으로 구분된다. 일반적으로 확률강 우량은 대상유역에 위치하는 강우관측소에서 관측된 강우량자료를 지점빈도해석으로 추정하게 된다. 지점빈도해석을 통한 확 률강우량을 산정하기 위해서는 충분한 기간 동안의 관측된 강우량자료의 확보가 필수적이라 할 수 있으나 관측자료의 부족 으로 인해 매개변수의 편의가 발생할 수 있다. 따라서 부족한 강우자료를 보완하고 안정적인 확률강우량을 산정하기 위한 방안으로 지역빈도해석이 추천되어지고 있다. 따라서 본 연구에서는 우리나라 강우관측소의 위치 및 시간강우량 특성을 이용 한 군집분석을 수행하여 강우관측소를 군집화 하였다. 군집화 된 강우관측소를 대상으로 L-moment법을 통해 산정한 매개변 수를 이용하여 각각의 지역별로 불일치성 및 이질성 검정을 통한 지역구분을 수행하여 우리나라 강우관측소를 6개 지역으로 구분하였다. 구분된 지역별로 L-moment법, 지수홍수법 및 변동핵밀도함수를 적용한 지역빈도해석을 수행하여 각각 확률강우 량을 산정하여 비교하였다. 분석결과에서 변동핵밀도함수를 이용한 지역빈도해석은 다른 기법에서 적합한 확률분포형 결정이 어려운 경우 등에 충분히 활용할 수 있는 것으로 나타났다.

핵심용어

:

지점빈도해석, 지역빈도해석, L-moment, 지수홍수법, 변동핵밀도함수

···

1. 서 론

수공구조물의 설계시에는 대상유역에서 관측된 홍수량 자 료의 빈도해석을 통해 확률홍수량을 산정하는 것이 가장 바 람직한 것으로 알려져 있다. 그러나 관측자료 부족 등의 이 유로 강우량을 빈도해석 하여 산정된 확률강우량을 강우-유 출 모형에 적용하여 설계홍수량을 산정하고 있다. 따라서 수

공구조물의 설계에 있어 가장 중요한 변수 중의 하나가 확 률강우량이다. 확률강우량을 산정하는 방법은 크게 지점빈도 해석(point frequency analysis)과 지역빈도해석(regional fre-

quency analysis)

으로 구분된다. 지점빈도해석을 통해 확률강

우량을 산정할 때에는 충분한 기간 동안의 관측된 강우자료 가 존재하여야 하며, 그렇지 못할 경우에는 선정된 확률분포 형에서 매개변수의 편차가 발생될 수 있다.

*서울시립대학교 공과대학 토목공학과 박사과정 수료 (E-mail : waterboy@uos.ac.kr)

**정회원·교신저자ㆍ서울시립대학교공과대학토목공학과교수 (E-mail : ymoon@uos.ac.kr)

***정회원·서울시립대학교 공과대학 토목공학과 석사과정 (E-mail : civil798@uos.ac.kr)

관측된 강우자료의 부족에 따른 문제점을 해결하기 위한 대안으로 지역빈도해석에 대한 많은 연구가 수행되어 안정 적인 확률강우량을 산정할 수 있는 것으로 나타났다

(Stedinger

등, 1995; Hosking 등, 1997; 이동진 등, 2001;

허준행 등, 2007a). Flood Estimation Handbook(Institute

of Hydrology, 1999)

에 따르면 대상 자료의 기간이 구하려

는 재현기간 T보다 작은 경우에는 지점빈도해석보다는 지역 빈도해석을 추천하고 있으며, 자료기간이 T에서 2T일 때는 지점빈도해석과 지역빈도해석을 병행하여 수행하고, 자료기 간이 2T 이상일 때에는 지점빈도해석을 사용하는 것을 추천 하고 있다.

류경식 등(2004)은 gamma family 분포형 등에 L-moment 법을 이용해 지역빈도해석에 적용하였고, 남우성 등(2005)은 지수홍수법에 근거한 지역빈도해석을 수행함에 있어 Fuzzy-c

means

기법, 주기성 척도, L-moment비 척도 등의 유사성

척도를 도입하여 지역을 구분하여 지역빈도해석의 기법별 성 능을 검토하였다. 허준행 등(2004)은 한강 유역에 대해 지역 빈도해석을 실시하여 지점빈도해석을 수행한 결과와 비교·

분석하였다. 또한, 허준행 등(2007a, 2007b)은 지역형상 추 정법과 지수홍수법을 이용하여 우리나라 강우자료에 지역빈 도해석이 지점빈도해석보다 적합함을 밝혔다. 차영일 등

(2001)

은 L-monent법으로 지역적인 동질성을 확보하여 선형

회귀식과 Kernel Regression을 적용한 후 미계측유역에 대 한 확률 홍수량을 산정하였으며, 오태석 등(2006)은 핵밀도 함수를 이용한 지역빈도해석을 수행하여 확률강우량을 추정 하였다.

본 연구에서는 지역빈도해석을 수행함에 있어 수문학적 동 질성이 확보된 지역을 대상으로 변동핵밀도함수를 적용하였 다. 핵밀도함수를 이용한 빈도해석방법은 Lettenmaier과

Burges(1977)

가 자료의 모멘트를 만족시키고 단일첨두를 가

지는 밀도함수에 맞도록 Cubic Spline Fit를 확률밀도함수에 이용함으로써 소개되기 시작하였으며, Yakowitz(1985)와

Adamowski

등(1985)이 각각 독자적으로 핵밀도함수와 관련

된 연구를 통해 수문학에 적용되었다. 이 후, Adamowski와

Labatiuk(1987), Bardsley(1988, 1989), Lall

등(1993), Moon 과 Lall(1994) 등에 의하여 수문 분야와 연관성을 갖으며 발전되어 왔다. 이 중에서 극치 수문 자료를 이용한 빈도해 석 등에 활용하기 위한 변동핵밀도함수(variable kernel

density function)

가 확률홍수량과 확률갈수량 산정에 활용되

었다(Lall 등, 1993; Moon 등, 1994; Moon 등, 1993; Moon 등, 1996; 차영일 등, 2006).

그러므로 본 연구에서는 변동핵밀도함수를 지역빈도해석에 적용한 확률강우량을 산정하였다. 산정된 확률강우량을 지점 빈도해석과 L-moment법 및 지수홍수법에 의해 산정된 확률 강우량과 비교함으로써 우리나라의 강우자료에 대한 비매개 변수적 지역빈도해석의 적용성과 산정된 확률강우량의 적절 성을 평가하였다. 따라서 우리나라의 기상청에서 관할하는

76

개 강우관측소 중에서 10년 이상의 강우관측자료가 존재 하는 70개 지점을 대상으로 군집분석과 L-moment법에 따른 불일치성 및 이질성 검정을 통해 강우자료의 군집을 결정하 였다. 또한, 70개 강우관측지점 중에서 30년 이상 관측자료 가 존재하는 61개 지점을 대상으로 지점빈도해석을 수행하

였으며, 각 군집별로 지역빈도해석을 수행하여 산정된 확률 강우량을 비교하였다.

2. 지역빈도해석의 이론

2.1

강우 자료의 지역 구분

우리나라의 기상청에서 관할하는 70개 강우관측소에서 관 측된 강우자료를 군집분석에 적용하여 강우자료의 통계특성 이 유사한 강우관측소끼리 군집을 구분하였다. 구분된 군집 을 대상으로 각각의 강우관측소가 포함되는 군집을 달리하 여 L-moment법에 의해 불일치성 및 이질성 검정을 통해 강우관측소가 포함되는 군집을 확정하여 빈도해석에 이용하 였다.

2.1.1

군집 분석

모집단에 소속된 많은 개체들의 특성인자를 통한 분류를 수행하기 위해서 사용되는 다변량분석 기법이 군집분석

(clustering analysis)

이다. 군집 분석을 통해 개체를 분류하기

위해서는 Euclidean 거리를 계산하고 거리가 가까운(유사성 이 높은) 개체끼리 묶어야 한다. Euclidean 거리는 두 개체 사이의 유사 정도를 거리로 표현할 수 있으며 거리가 멀면 유사성(similarity)이 떨어진다. 권세혁(2004)에 따르면, 군집 과 군집의 유사성을 측정하는 방법으로 Nearest neighbor,

Furthest neighbor, Centroid neighbor, Average neighbor,

Ward's minimum variance

등의 기법이 있다. 이 중에서

Nearest neighbor

방법은 개체간의 거리가 가까워 개체를 묶

는 경향이 있어 군집의 수가 줄어들고 furthest는 군집간 거 리가 최소화 하는 경향이 있어 개체수가 적은 군집을 얻게 된다.

2.1.2

강우 자료의 동질성 검정

L-moment

법은 근래에 많이 사용되고 있는 매개변수 추정

방법(Hosking 등, 1997)으로써 확률가중모멘트법의 선형조합 으로 표시되며, 전통적인 방법인 모멘트법이나 최우도법과는 달리 매개변수의 추정에서 거의 편이 되지 않는 것으로 알 려지고 있다.

L-moment

법을 이용해 동질성을 갖는 강우 자료군의 선택

은 다음과 같은 두 가지 절차를 거쳐 선택되어질 수 있다.

첫째, 불일치척도(discordancy measure)에 의해 일관성이 없 는 자료나 이상자료를 제거한 후, 둘째 이질성척도(hetero-

geneity measure)

에 의해 소유역의 소속된 자료군의 수문학

적 동질성을 갖는지를 평가하여 자료를 구분한다. 불일치척 도 D(i)는 다음 식 (1)과 같이 정의한다.

(1)

여기서, U

i

는 이며 순서대로 지점 i의 L-moment 비인 L-변동계수, L-왜도, L-첨도인 벡터이고, 는 소유역 내 지점들 U

i

의 산술평균벡터이고, S는 표본자료의 공분산 벡터이다. 불일치척도에 의해 이상 자료를 제거한 후 소속된 지점의 자료계열의 수문학적 동질성의 파악을 위해 식 (2)와 같이 이질성척도 H를 사용한다(Hosking 등, 1997).

D i

( )=

1

3--- U

(

_i–U

)

^TS^–1

(

U_i–U

)

tⁱ, t₂ⁱ, t₃ⁱ

[ ]

^T

U

(2)

(3)

여기서, n

i

는 지점별 자료수, N은 유역내 지점수, t

⁽ⁱ⁾

는 표 본 L-moment, 는 n

i

에 가중한 표본자료 집단의 평균 L-

CV,

그리고

μv, σv

는 V를 표본자료 집단의 평균 L-

moment

인 t

^R, ,

를 kappa 분포형에 적합시킨 다음,

충분한 횟수의 모의발생을 실시하여 계산된 V의 평균 및 표준편차이다.

2.2

지역빈도해석 방법

본 연구에서는 L-moment법과 지수홍수법 및 변동핵밀도 함수를 적용한 지역빈도해석 기법을 통해 우리나라의 지역 빈도해석에 의한 확률강우량을 산정하였다.

2.2.1 L-moment

기법

지역빈도해석의 적용을 위한 L-moment 기법에 의한 매개 변수 추정은 Hosking과 Wallis(1997)에서 제시한 것과 동일 하며, 이를 통해 추정된 확률분포형을 통해 Quntile값을 계 산하게 된다. 동질성을 갖는 한 지역 내에 있는 여러 지점 들에 가장 적합한 확률분포형을 선정하기 위한 적합성척도

Z

는 적용하고자 하는 분포형의 L-kurtosis, 와 표본 모멘트의 소유역 평균치 과의 차이값과 kappa 분포형을 이용하여 모의발생시켜 구한 분산(

σ4)

과의 비를 의미한다.

(4)

여기서,

β⁴

는 L-kurtosis의 편이,

σ⁴

는 의 표준편차이며, 다음 식 (5) 및 식 (6)과 같다.

(5)

(6)

여기서, N

sim

은 모의발생수이며, 적합성 척도의 임계값은

1.64

로 와 같다(Hosking 등, 1997).

2.2.2

지수홍수법

지수홍수법(index flood method)은 Dalrymple(1960)에 의 해 수문학적인 홍수해석을 위해 제안되었으며, 홍수뿐만 아 니라 다른 여러 종류의 자료들에도 적용 가능하다. 지수홍수 법은 다음과 같은 가정을 만족하여야 한다. ① 관측 표본은 동일한 분포를 따르며, ② 관측 표본은 연속적으로 독립이고,

③ 서로 다른 지점의 관측자료들 간에 독립이 성립되며, ④ 서로 다른 지점의 확률분포형의 크기 인자는 동일하고, ⑤ 지역성장곡선의 수학적 형태는 특성화되어야 한다.

예를 들어, 이러한 가정을 만족하는 대상 지점 i는 표본 크기 n

i

를 가지는 N개의 관측지점을 가정하면, 관측자료

Qi,j, j=1, ..., ni

를 가지는 지역의 경우를 생각해 보자. 여 기서, Q

i(F), ( )

은 지점 i에서 분포형의 quantile함수 를 의미한다. 여기서 중요한 가정은 지수홍수법은 동질한 지 역의 지점에 적용이 가능하다는 것이다. 동질성 있는 지역에 대하여 다음 식 (7)을 얻을 수 있다.

i=1, ..., N (7)

여기서,

μi

는 각 지점의 지수홍수이며, 는 지점 i의 지수 홍수에 대한 추정값으로 무차원화 된 표준화를 통해 산정 한다.

2.2.3

변동핵밀도 함수를 이용한 지역빈도해석

Breiman

등(1977)은 고정핵밀도함수추정법(Rosenblatt,

1956)

의 특성과 자료의 지역적인밀도를 고려하는 k nearest

neighbor(k

번째로 가까운 관측자료를 이용)방법을 결합한 변

동핵밀도함수추정법을 제안하였다. 변동핵밀도함수추정법은 고정핵밀도함수추정법과 유사한 방식으로 자료가 발생된 위 치에 놓여지는 핵함수의 폭이 자료의 밀도에 따라 변한다.

K(x)

를 핵함수라 하고 x를 양의 정수로 놓고, d

j,k

를 한 개 의 자료 x

j

에서 그 나머지 자료 (n−1)개 중에서 k번째로 가까운 지점에 있는 자료까지의 거리라 하자. 그러면, 변동 핵밀도함수추정법은 다음 식 (8)과 같이 정의된다.

(8)

여기서, h는 고정광역폭으로써 상수이며, 고정핵밀도함수 방 법에서 h는 국부적인 자료의 밀도값에 의존하여 조정되어지 는 변동광역폭 hd

j,k

로 대체되게 된다. 자료의 분포가 적은 낮은 밀도지역에서 d

^j,k

의 값은 커지고 변동핵함수의 모양은 넓게 퍼지게 되며, 자료의 분포가 많은 높은 밀도지역에서는 그 반대현상이 일어나 변동 핵함수는 좁게 밀착된 형태를 가지게 된다. Bowman(1985), Moon과 Lall(1994)은 변동 핵밀도함수 추정법이 밀도함수의 꼬리 부분과 같은 최빈값 추정이나 자료가 비대칭 분포일 때 장점이 많다는 것을 보 여 주었다. 변동핵밀도함수추정법의 일관성과 수렴성은

Devroye

과 Gyorfi(1985)에 의해 평가되었다. 본 연구에서는

변동핵밀도함수인 Modified Cauchy 핵함수(차영일 등,

2006)

를 이용하여 지점빈도해석 및 지역빈도해석을 수행하였

다. 다음 식 (9)와 식 (10)은 각각 Modified Cauchy 핵함 수의 확률밀도함수와 누가확률밀도함수이다.

(9)

(10)

비매개변수적 핵밀도함수방법에서 광역폭 h의 선택은 매 우 중요한 문제로 다루어져 왔다. 지금까지의 광역폭을 선택

H=V–

μ

v

σ

v

---

V=ⁱ⁼¹

∑

N ⁿⁱ

⁽

^ti–t

⁾

²

i 1=

∑

N ⁿⁱ

---

t

t₃^R t₄^R

τ

4 DIST

t₄^R

Z^DIST=

τ

4

DIST–t₄+

β

4

σ

4

---

t₄

β

4= 1 N_sim ---

m 1= N_sim

∑ ⁽

^{t4[ ]m–t4}

⁾

σ

4= 1 N_sim–1

( )

---

m 1= N_sim

∑ ⁽

^{t4[ ]m–t4}

⁾

²

⁻

^Nsim

^β

⁴²

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎧ ⎫

^1/2

Z^DIST

≤

1.64

0 F 1

≤ ≤

Q_i

( )=

F

μ

iq F

( ),

μ

^ˆi

f x

( )=

1

nh---

∫

d---K¹_j,k x X– _j hd_{j k,} ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞dx

f x

( )=

8 3 5

π (

^1+x2/5

)

³ ---

F x

( )=

1 2---+

5x 3x² ---5 +

3 5

π

^1+x2 ---5

⎝ ⎠

⎛ ⎞

² ---+1

π

---tan^–1 x 5 ---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

하는 방법은 Maximum Likelihood, Least Squares Cross

Validation

또는 Adamowski Criterion, Breiman Method

(Adamowski, 1985; Lall

등, 1993; Moon 등, 1994), Plug-

In

등이 있다. 본 연구에서 핵밀도함수의 광역폭을 결정하는 방법은 Plug In의 개념으로 Woodroofe(1970)에 의해 많은 연구가 진행되어 왔다. 이 이론의 가장 난해한 점은 기준이 되는 추정 광역폭을 결정하는 것이며 이러한 문제를 해결하 기 위한 방법은 Sheather(1986)가 제안하였고, Sheather와

Jones(1991)

에 의해 다음과 같은 식 (11)로 제시되었다.

(11)

여기서, 를 의미하며 즉,

를 뜻한다. 변동폭을 설정하는 문제는 핵밀도함수를 지역빈도 해석에 적용하는데 있어 가장 중요한 문제이다. 지점빈도해석 에 해당하는 차영일 등(2006)의 연구에서는 변동폭의 설정을

Adamowski(1985)

가 제시한 식을 따르고 있다. Adamowski

는 광역폭 h의 수치적 근사값을 다음과 같은 MSE의 식

(12)

를 이용하여 이 값이 최소가 되는 광역폭 선택방법을 제 시하였다.

(12)

여기서 미지의 확률 는 확률도시공식 로 추정될 수 있다. 일반적으로 확률도시공식은 Weibull 도시공식 i/

(n+1)

이 추천되어지나, Adamowski(1985)는 식 (13)과 같은

확률도시공식을 제시하였다.

여기서 j=1, 2, ..., n

(13)

Adamowski

는 Gumbel Type-I의 분포형을 사용하여 홍수

빈도해석을 할 때, 이 새로운 확률도시공식이 큰 값에서 실 제 초과확률값에 근접하는 것을 보여주고 있으며, 또한

Pearson Type-III

에 대하여 어떤 단일 확률도시공식도 적당

하지 않다는 것을 증명하였다. 그러나 만일, 모든 분포형에 사용될 수 있는 단 하나의 확률도시공식이 필요한 경우에 식 (13)의 확률도시공식이 적합하다는 것을 Adamowski가 제시하였다. 따라서 Adamowski가 제시한 변동폭 결정 기 법은 확률도시공식을 이용하여 경험적인 누가확률밀도함수 를 구성하기 때문에 단일 지점의 강우자료를 이용할 경우 에는 적합하나, 본 연구에서와 같이 지역빈도해석을 수행 할 경우에는 강우 자료의 크기가 다른 지점의 강우자료까 지 이용하므로 경험적 발생 확률을 사용할 때는 문제가 발생한다. 따라서 본 연구에서는 Sheather와 Jones(1991) 가 제시한 Plug-In 방법(SJPI)을 사용하여 확률밀도함수를 구하였다. 이 방법은 Hall과 Marron(1987)이 제시한 이론 을 보완하여 개발된 것으로 다음의 식 (14)로부터 광역폭 을 결정하게 된다.

(14)

여기서,

and

는 표본의 interquartile range 3. 지역 빈도해석의 적용

본 연구에서는 지역빈도해석으로 확률강우량을 산정하는데 있어 변동핵밀도함수를 적용하였다. 우리나라의 기상청에서 관할하는 76개 강우관측소 중에서 관측연수가 10년 이상인

70

개 지점의 강우자료를 이용하였다. 또한, 비매개변수적 지 역빈도해석을 통해 산정된 확률강우량과의 비교를 위해 관 측연수가 30년 이상인 61개 지점을 대상으로 지점빈도해석 을 수행하였다.

h= R K

( )

nR fˆ

(

g h( )

″ ) ⁽ ∫

^{x2K x}

^{( )dx )}

²

---

R

( )= φ ∫ ^φ

²

^{( )dx}

^x

∫

^x2K=

∫

^{x2K x}

^{( )dx}

j=1

∑

n

^[

^{Fˆ xj}

^{( ) −}

^{F˜ x}

^{( )}

^j

^]

²

Fˆ x_j

( )

F˜ x

( )

_j

F˜ x

( )=

j 0.25– n 0.5+ ---

h= R K

( )/ σ

K

4Sˆ_D

( α

ˆ h2

( ) )

{ }

[ ]

^1/5n^–1/5

Sˆ_D

( )= n n 1 α { (

–

) }

^–1

α

^–5

i 1=

∑

n j=1

∑

n

^φ

^iv

^{{ α}

^–1

⁽

^Xi–Xj

^{) }}

α

ˆ h2

( )=1.357 S {

ˆ aD

( )/T

ˆ bD

( ) }

^1/7h^5/7

Tˆ b_D

( )= − {

^{n n 1}

(

^–

) }

^–1b^–7

i=1

∑

n j 1=

∑

n

^φ

^iv

^{

^b–1

⁽

^Xi–Xj

^{) }}

a=0.920

λ

^{ˆ n–1/7 b=0.920}

λ

^{ˆ n–1/9}

λ

^ˆ

그림

1. 24

시간

100

년 빈도의 확률강우량도 그림

2. 24

시간

200

년 빈도의 확률강우량도

3.1

지점빈도해석을 통한 확률강우량 산정

본 연구에서는 지역빈도해석을 통해 산정한 확률강우량과 비교·분석을 수행하기 위해서 현재 수공 구조물의 설계 등 에서 가장 많이 쓰이고 있는 매개변수적 지점빈도해석을 통 해 확률강우량을 산정하였다. 지점빈도해석을 위해 각 확률 분포형별로 모멘트법, 최우도법 및 확률가중모멘트법으로 매 개변수를 추정하였다. 모멘트법, 최우도법, 확률가중모멘트법 의 매개변수는 큰 차이를 보이지는 않았으나, 각 적용 분포 형별 적합도 검정 결과와 최근의 추세에 맞추어 확률가중모 멘트법에 의해 추정된 매개변수를 이용하였다. 분포형별로 실제 강우 자료와의 적합성을 판단하기 위해

χ²

검정, K-S 검정, CVM 검정 및 PPCC 검정을 통해 적합도 검정을 수 행한 결과에서 GEV 분포형과 Gumbel 분포형의 적합도가 가장 뛰어난 것으로 분석되었다. 따라서 각 대상 지점별로 최적분포형으로 선정된 GEV 및 Gumbel 분포형을 이용하여 산정된 각 지속시간별 재현기간별 확률강우량을 산정하여 지 속시간 24시간의 100년 및 200년 빈도의 확률강우량도를 작성하여 아래의 그림 1 및 그림 2와 같이 도시하였다.

3.2

강우 자료의 지역 구분

군집분석을 통해 우리나라의 기상청에서 관측하는 70개 강 우관측소를 군집화 하고, 군집화 된 대상 지역에 강우자료군 을 대상으로 L-moment법의 매개변수를 이용해 강우 자료들 의 불일치성과 이질성검정을 통한 우리나라 강우관측소의 지 역구분을 수행하였다. 따라서 군집분석의 결과로부터 각각의 강우관측소가 속하는 초기군집을 선정하고, 강우량자료가 갖 는 수문학적 동질성을 파악하여 각 군집에 포함되는 강우관 측소를 확정하였다.

3.2.1

군집 분석을 지역 구분

군집분석을 수행하기 위한 기초자료로는 강우관측소의 위 도, 경도 및 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48, 72시간 연 최대시간강우량의 평균을 이용하였다. 따라서 하나의 관측소 에는 총 12개의 변량을 입력하였다. 자료의 군집화를 위하여,

Centroid neighbor

기법을 대상 자료에 적용해 군집간의 평

균 거리를 산정하여 군집화를 수행하였다. 다음 그림 3은 각 개체간의 거리를 표현한 계층적 나무 다이어그램으로, 각 지점의 위도, 경도 및 시간강우량의 평균을 이용하여 개체간 의 유사성(Norm Distance, 거리)이 산정된 결과를 도시한 것이다. 그림 3에서 나타낸 번호는 기상청에서 부여한 강우 관측소의 관리번호이다(기상청, 2006).

군집분석 결과를 바탕으로 적절한 군집개수를 산정하기 위 해 Pseudo Hotelling's T

²(Anderson, 1958)

을 산정하여 군 집개수를 결정하였다. 다음 그림 4는 군집개수를 결정하기 위해 계산한 Pseudo Hotelling's T

²

계수이다. Pseudo

Hotelling's T²

계수(권세혁, 2004)는 두 다변량 정규 분포 집단의 평균을 비교하여 개체의 군집간 평균차이가 유의하 지 않으면 두 군집을 합치고 유의하면 군집 그대로 유지하 는 방법이다. Pseudo Hotelling's T

²

계수는 t-분포를 이용하 여 다변량 변수의 평균에 대한 가설검정 및 신뢰구간을 계 산하게 된다. 즉, [x

1, x2, ... xN]

이 평균벡터 , 공분 산행렬 을 갖는 다변량 정규분포로부터 조사된 N 개의 표본이라 할 때, T

²

통계량은 다음 식과 같이 정의

μ

(p 1× ) p p×

( )

∑

그림

3.

군집분석을 통한 강우관측소의 계층적 나무 다이어그램

그림

4. Pseudo Hotelling's T²

통계량

된다.

(15)

여기서, 는 표본평균벡터, S는 표본공분산행렬,

μ⁰

는 가설 의 평균벡터이며, N은 자료의 개수이다.

T²

통계량이 크다는 것은 군집간의 거리가 멀다는 것을 의 미하게 된다. 따라서 그림 4에서 나타낸 Pseudo Hotelling's

T²

통계량이 가장 큰 값을 갖는 경우는 통계량이 4인 경우 로 나타났다. 이와 같은 경우에 최적 군집의 개수는 통계량 이 가장 큰 값보다 하나 더 많은 5개 군집으로 구분하는 것이 가장 적절한 것으로 생각되므로 본 연구에서의 초기군 집의 개수는 5개로 정하였다(권세혁, 2004).

3.2.2 L-moment

를 이용한 강우 자료군의 동질성 검정

그림 3 및 그림 4에 나타난 바와 같이, 우리나라에 분포 된 70개 강우관측소의 지역구분은 5개로 구분하는 것이 가 장 타당할 것으로 나타났다. 따라서 강우관측소를 5개 군집 으로 구분하고, L-moment법을 이용하여 불일치성 및 이질성 검정을 수행하였다. L-moment법을 적용하여 불일치성과 이 질성검정 결과에서 지역 4와 5의 군집을 형성하였던 강우자 료의 L-moment비가 동일한 군집 내의 강우자료와 이질성이 있는 것으로 분석 되었다. 따라서 이 같은 지점들을 모아 지역 6으로 설정하고, 우리나라의 지역빈도해석을 위한 강우 관측소를 총 6개의 군집으로 구분하였다.

군집분석과 강우자료의 수문학적 동질성검정을 L-moment 법으로 수행한 결과에서, ‘R1’으로 표시한 지역 1에 포함되 는 강우관측소는 17개이며, 지역 2부터 지역 6까지 순서대 로 13개, 11개, 13개, 10개, 6개의 강우관측소가 각각의 군 집에 포함되는 것으로 분석 되었다. 그러나 지역 6에 해당 하는 강우관측소가 6개 지점으로 타 지역에 비해 상대적으

로 적으며, 강우 관측 연수가 속초(90번 지점)가 38년, 강릉

(105

번 지점)이 45년, 대관령(100번 지점)이 34년, 동해(106 번 지점)가 14년, 영월(121번 지점)이 11년, 태백(216번 지 점)이 20년으로 지역빈도해석을 수행하였을 때, 전체관측연 수가 162년 밖에 되지 않기 때문에 지역빈도해석을 적용하

T²=N x

(

_N–

μ

0

)S

N

1

–

(

x_N–

μ

0

)′

x

그림

5.

군집분석 및

L-moment

기법에 의한 지역구분 결과

표

1.

각 지역별 지속시간

24

시간 강우 자료에 대한 불일치성 척도 분석 결과

R1

지역

R2

지역

R3

지역

R4

지역

R5

지역

지점

D(i)

지점

D(i)

지점

D(i)

지점

D(i)

지점

D(i)

마산

2.72

군산

1.07

철원

1.28

춘천

0.30

을릉도

0.51

부산

0.04

전주

0.67

서울

0.35

원주

2.08

울진

0.59

통영

0.54

광주

0.95

인천

0.41

충주

0.47

추풍령

0.14

여수

0.31

목포

0.92

수원

0.17

청주

1.94

안동

1.41

완도

1.55

금산

0.52

서산

1.17

포항

1.09

대구

1.32

제주

1.13

부안

1.12

대전

0.58

울산

0.51

문경

0.43

고산(제주)

1.42

임실

0.49

강화

0.42

이천

0.50

영덕

0.82

서귀포

0.80

정읍

1.11

양평

1.41

인제

1.95

의성

2.03

진주

0.76

남원

1.46

천안

1.93

홍천

0.82

구미

1.23

순천

2.88

장수

1.62

보령

0.75

제천

0.69

영천

1.53

장흥

1.23

거창

0.08

부여

2.53

보은

0.75

해남

0.42

합천

1.33

봉화

1.33

고흥

1.09

밀양

1.66

영주

0.57

성산포

0.87

산청

0.22

거제

0.87

남해

0.16

기에 무리가 있을 것으로 판단되어 본 연구에서는 지역 6의 지역빈도해석을 통한 확률강우량은 확률강우량도의 작성을 위해 지수홍수법으로만 산정하고 다른 지역빈도해석 방법은 적용하지 아니하였으며, 후에 이에 대한 보완연구가 필요한 것으로 판단된다.

또한, 그림 5에서 나타난 결과에서 포항(138번 지점)과 울 산(152번 지점)은 R4에 포함되는 것으로 나타났다. 이 두 개의 강우관측소는 R4보다 R5에 포함된 강우관측소들이 분 포된 지역에 더 가까운 곳에 위치하고 있는 것으로 나타났 다. 이는 포항과 울산 지점에서 관측된 지속시간별 연최대시 간강수량의 통계적 특성이 지역 5보다 지역 4에 보다 유사 한 강우특성을 보이고 있기 때문이다. 이 두 지점이 R4 지 역에 보다 근사한 강우특성을 보이는 이유는 지형 및 기상 학적 요인에 의한 것으로 추측되나, 현재로서 뚜렷한 원인을 판단하기는 어려운 것으로 보인다. 또한, L-moment법에 의 한 수문학적 동질성의 분석에서도 포항과 울산은 군집4에 포함되었을 때에 보다 좋은 결과를 보여주는 것으로 나타 났다.

따라서 본 연구에서는 지역 1부터 5까지 구분된 대상 지 역의 강우 자료를 이용하여 L-moment법과 지수홍수법 및

비매개변수적 지역빈도해석을 수행하였다. 각 지점별로 계산 된 D(i)값이 과다하게 크게 되면 소유역 내의 자료군에서 일치도가 떨어질 수 있다는 것을 의미하므로 오류가 있는지 확인할 필요성이 있다. D(i)에 대한 절대적인 기준은 없으나,

Hosking

과 Wallis(1997)은 3.0을 기준으로 제시한 바 있다.

D(i)

값을 산정하여 분석한 결과에서 거의 모든 지점과 지속 시간에 Hosking과 Wallis(1997)이 제시한 3.0의 기준을 만 족하고 있는 것으로 분석 되었으며, 표 1에 24시간에 대한 결과를 각 지역별로 수록하였다.

각 지역별 강우관측소의 지역화를 위한 이질성척도의 분석 결과를 정리하였다. Hosking과 Wallis(1997)는 H<1이면 동 질성 수용 가능 지역, 1<H<2이면 이질성 가능 지역, H>2

표

2.

각 지역의 이질성 척도 분석 결과

지역

H(1) H(2) H(3)

1 -0.02 -1.16 -1.84

2 -1.01 0.54 0.66

3 -1.32 -0.76 -1.21

4 -1.51 -1.19 -1.02

5 0.42 0.06 -0.45

그림

6.

지역

1

의

24

시간 강우량의

L-CS

와

L-CK

비 그림

7.

지역

1

의

24

시간 강우량의

L-CV

와

L-CS

비

그림

8.

지역

4

의

24

시간 강우량의

L-CS

와

L-CK

비 그림

9.

지역

4

의

24

시간 강우량의

L-CV

와

L-CS

비

이면 이질성 지역으로 구분하였다. 다음의 표 2는 각 대상 지역의 이질성 척도를 제시한 결과이다. 각 유역에 대하여 이질성척도를 분석한 결과 중에서 지속시간에 24시간에 대 한 분석 결과는 다음과 같으며, 모든 대상 지역의 전지속시 간에서 H

1, H2, H3

모두 Hosking과 Wallis(1997)의 기준 을 만족하므로 동질한 지역으로 간주할 수 있다.

대상 지점들의 강우 자료를 이용하여 지역빈도해석을 수행 하기에 앞서 강우자료의 지역적인 동질성을 파악하기 위해 지속시간별 강우자료군의 L-CV(Variation), L-CS(Skewness) 및 L-CK(Kurtosis)를 산정하여 도시 분석하였으며, 분석 결 과 중에서 지역 1과 4의 지속시간 24시간의 분석 결과를 그림 6~9에 나타내었다. 도시 분석 결과에서도 각 강우관측 소의 L-moment비의 편차가 크지 않으므로 지역빈도해석을 수행하기에 적절한 결과를 갖는 것으로 나타났다.

지역 1부터 지역 5까지 구분된 강우자료를 L-moment법에 의해 불일치성과 이질성을 검정한 결과에서는 모든 지역이 지역빈도해석을 적용할 수 있는 것으로 나타났다. 지역 6에 시간 강우량 자료의 경우에도 불일치성과 이질성 분석 결과 가 지역빈도해석을 적용해도 무방할 것으로 나타났으나, 지 역 6에 포함되어 있는 강우관측소 지점수가 적어 지역빈도 해석을 수행하기에는 다소 무리가 따르는 것으로 나타나 그 림 12와 그림 13에서 제시한 지수홍수법에 의한 지역빈도확 률강우량도을 제시하기 위해 지수홍수법만 적용해 확률강우 량을 산정하였다.

3.3

지역빈도해석을 이용한 확률강우량 산정

본 연구에서는 L-moment법과 지수홍수법 및 변동핵밀도 함수를 이용한 지역빈도해석을 수행하여 확률강우량을 산정 하여 비매개변수적 지역빈도해석을 통한 확률강우량의 적정 성을 비교하였다.

3.3.1 L-moment

기법

동질성을 갖는 한 지역 내에 있는 여러 지점들에 가장 적 합한 확률 분포형을 선정하기 위해 적용 분포형의 적합성

척도를 L-moment법을 이용하여 분석하였다. 적용 분포형은

General Logistic

분포형, General Extreme Value 분포형,

General Normal

분포형, Pearson Type III 분포형, General

Pareto

분포형을 이용하였다. 즉, 대상 지점들의 강우 자료를

이용하여 동질성과 이질성 및 분포형과의 적합성을 검토한 결과 강우 자료들 간의 동질성은 지역빈도해석의 장점을 살 려 확률강우량을 산정하는데 적합한 것으로 분석되었다. 다 음의 표 3는 지속시간 24시간에 대하여 각 분포형의 적합성 척도를 나타낸 결과이다. 적합성 척도의 임계값은

와 같다(Hosking과 Walllis, 1997).

따라서 Hosking이 제안한 L-moment 기법에 의해 추정된 매개변수를 이용하여 지역에 따라 최적 분포형으로 General

Logistic

분포형(지역 2)과 General Extreme Value 분포형

(

지역 1, 지역 3, 지역 4, 지역 5)을 선정하였다. 최적 분포 형은 본 논문에서 제시한 지속시간 24시간의 적합성 척도 이외에 다른 지속시간에서 산정된 적합성 척도를 고려하여 산정되었다. 즉, 지역 2에서 지속시간 6, 9, 12시간에서

General Extreme Value

분포형의 적합성 척도(Z)가 Hosking 과 Wallis(1997)가 제안하는 1.64보다 크게 산정되었다. 지 역 2의 General Logistic 분포형의 경우에 지속시간 1시간 에서 적합성 척도를 상회하는 것으로 나타났으며 나머지 분 포형은 거의 모든 지속시간에서 적합성 척도를 만족하지 못 하였다. 따라서 지역 2의 경우에는 General Logistic 분포형 을 최적분포형으로 선정하였다.

Z^DIST

≤

1.64

표

3.

각 지역의 선정된 최적 분포형의 지속시간

2

시간의 검정 결과

분포형 적용 지역

General Logistic

General Extreme Value

General Normal

Pearson Type III

General Pareto

1 1.97 0.20 -0.56 -1.93 -4.13

2 1.16 -0.72 -1.05 -1.83 -4.93

3 0.71 -0.31 -1.01 -2.24 -3.00

4 0.70 -0.46 -1.22 -2.53 -3.49

5 0.88 -0.62 -0.99 -1.77 -4.06

그림

10. L-moment

법을 통한 지역

1

의 확률강우량 그림

11. L-moment

법을 통한 지역

4

의 확률강우량

그러므로 선정된 최적 분포형을 통해 확률강우량을 산정하 여 아래 그림과 같이 지속시간과 재현기간별로 도시하였으 며, 본 논문에서는 지역 1과 4의 결과를 그림 10과 그림

11

에 나타내었다.

3.3.2

지수 홍수법

본 연구에서는 지수홍수법(Rao, 2000)을 이용하여 지역빈 도해석을 수행하였다. 적용 확률 분포형은 L-moment 기법과 동일하게 General Extreme Value 분포형 또는 General

Logistic

분포형을 적용하였으며, 지수홍수법에 의한 지역빈

도 확률강우량을 산정하였다. 다음 그림을 지수홍수법을 적 용하여 산정한 지속시간 24시간의 100년 및 200년 빈도의 확률강우량을 도시한 결과를 그림 12와 그림 13에 나타내 었다.

3.3.3

변동핵밀도 함수를 이용한 지역빈도해석

본 연구에서는 L-moment법에 의해 동질성이 확보된 지역

1

부터 지역 5까지의 강우 자료를 모아서 변동핵밀도함수인

Modified Cauchy

핵함수를 이용하여 다음 그림과 같이 확

률강우량을 산정하였다. 또한, 광역폭의 결정은 SJPI 기법을 적용하였다. 각 지역별로 비매개변수적 지역빈도해석을 통해 산정된 확률강우량은 다음의 그림 14부터 그림 18에 나타내 었다. 산정된 확률강우량은 변동핵밀도함수의 특성에 따라 지속시간과 재현기간에 따라 약간의 변동이 있는 것으로 나 타났다. 그러나 빈도해석에서 가장 큰 문제점인 역전현상은 발생하지 아니하였으며, 비매개변수적 지역빈도해석도 하나 의 지역빈도해석 기법으로 이용할 수 있을 것으로 사료 된다.

4. 각 기법별로 산정된 확률강우량의 비교

본 연구에서는 지역빈도해석을 수행함에 있어 Quntile값의 추정을 위해 변동핵밀도함수를 이용하였다. 변동핵밀도함수 를 이용한 지역빈도해석의 적용성과 산정된 확률강우량의 적 정성을 평가하기 위해 여러 빈도해석기법으로 산정된 확률 강우량과의 비교하였다. 따라서 지점빈도해석으로는 매개변 수적 기법을 적용하였으며, 지역빈도해석을 지수홍수법과 L-

moment

법 및 비매개변수적 방법을 적용해 확률강우량을 산

그림

12. 24

시간

100

년 빈도의 확률강우량도 그림

13. 24

시간

200

년 빈도의 확률강우량도

그림

14.

지역

1

의 확률강우량 그림

15.

지역

2

의 확률강우량

정하였다. 그림 19~그림 23은 구분된 지역 1부터 5까지의 확률강우량 중에서 지속시간 24시간에 대한 확률강우량을 도 시한 결과로써 각 기법별로 산정된 확률강우량을 도시하고 비교의 용이를 위해 각 지점별로 구분하여 그림을 작성하지

는 아니하였다. 또한, 매개변수적 지점빈도해석은 각 군집에 포함된 강우관측소의 관측연수가 30년 이상인 지점에서의 확 률강우량을 산정하였다.

각 기법별로 산정한 확률강우량의 비교한 결과에서 매개변 수적 지점빈도해석 결과는 수문학적으로 동질한 것으로 나 타난 지역 내에 속하였더라도 각 지점별로 산정된 확률강우 량의 차이는 매우 큰 것으로 나타났다. 지수홍수법에 따른 확률강우량은 지점빈도해석의 결과에 비해 편차가 줄어드는 것으로 나타났으며, L-moment법에 의한 확률강우량은 10년 이내의 재현기간에서는 매개변수적 지점빈도해석 및 지수홍 수법으로 산정된 확률강우량의 중앙값에 가까운 Quntile값을 갖으나, 재현기간이 증가할수록 확률강우량이 증가하는 기울 기가 보다 급한 것으로 나타났다.

변동핵밀도함수를 이용한 비매개변수적 지역빈도해석에 의 해 산정된 확률강우량은 L-moment법에 의한 확률강우량과 비슷한 값을 갖는 것으로 나타났다. 이는 지역빈도해석을 적 용하는데 있어 변동핵밀도함수를 이용하는 것이 충분한 적 용성을 갖는 것으로, 지역빈도해석을 수행하는데 있어 최적 분포형의 선정이 어렵거나, 확률 분포형의 적합성 척도가 떨

그림

16.

지역

3

의 확률강우량 그림

17.

지역

4

의 확률강우량

그림

18.

지역

5

의 확률강우량

그림

19.

지역

1

에 지속시간

24

시간의 확률강우량 비교 그림

20.

지역

2

에 지속시간

24

시간의 확률강우량 비교

어질 때, 비매개변수적 지역빈도해석은 이에 대한 대안으로 활용할 수 있다.

5. 결 론

우리나라의 기상청에서 관할하는 76개 강우관측소 중에서 시간강우량의 관측연수가 10년 이상인 70개 지점의 강우관 측소의 위도 및 경도와 각 지속시간별 연최대치 강우자료의 평균을 이용하여 군집분석을 수행하였다. 군집 분석 결과에 서 우리나라의 강우관측소는 5개 군집으로 구분되는 것으로 나타났으며, 각 군집별로 구분된 지역의 시간강우량 자료에

L-moment

법을 통해 매개변수를 추정하였다. 추정된 매개변

수를 바탕으로 각 지역별 강우 자료의 불일치성 및 이질성 검정을 수행하였으며 분석 결과에서 군집분석의 결과로 구 성된 강우관측소의 구분을 그대로 적용하기에는 강우 자료 의 수문학적 동질성이 다소 미흡한 것으로 나타났다. 따라서 군집 분석에 의해 구분된 지역 4와 5의 몇몇 지점의 강우 자료를 지역 6으로 설정하였다. 설정된 지역 6은 L-moment

법으로 불일치성과 이질성을 검정한 결과에서는 지역빈도해 석을 수행하기에 충분한 수문학적 동질성을 갖는 것으로 나 타났으나, 강우관측연수가 지역빈도해석을 적용하기에 다소 부족하므로 지수홍수법만을 적용하여 지역빈도 확률강우량을 산정하였다.

따라서 지역 1부터 지역 5까지의 수문학적 동질성을 갖는 강우 자료를 이용하여 L-moment법과 지수홍수법 및 변동핵 밀도함수를 이용한 지역빈도해석을 수행하였으며, 산정된 확 률강우량의 비교를 위해 관측 연수가 30년 이상인 61개 지 점의 시간 강우량 자료를 활용하여 매개변수적 지점빈도해 석을 수행해 비교하였다.

1. Centroid neighbor

기법을 이용한 군집분석과 L-moment

법에 의한 강우 자료군의 불일치성 및 이질성검정을 통해 우리나라의 기상청에서 관측하는 70개 강우관측소를 6개 지역으로 구분하였다.

2.

각 지역에 L-moment법과 지수홍수법 및 변동핵밀도함수 를 적용하여 지역빈도해석을 수행한 결과와 관측 연수가

30

년 이상인 지점의 매개변수적 빈도해석 결과와의 비교 에서 지역 1, 2, 3에 포함된 몇몇 지점의 확률 강우량이 재현기간이 커질수록 비약적으로 증가하고 있으나, 지역빈 도해석에 의한 확률강우량은 보다 안정적인 결과를 보여 주고 있는 것으로 나타났다.

3.

지역빈도해석의 각 기법별로 산정한 확률강우량의 비교한 결과에서 지역 1, 2, 3, 4, 5는 L-moment 기법과 비매 개변수적 지역빈도해석 기법에 의해 산정된 확률강우량은 비슷한 값을 갖는 것으로 나타났다. 즉, 지역빈도해석을 수행하는데 있어 최적분포형의 선정이 어렵거나, 확률 분 포형의 적합성 척도가 떨어질 때, 비매개변수적 지역빈도 해석은 이에 대한 대안으로 활용할 수 있다.

따라서 지역빈도해석을 수행하는데 있어 변동핵밀도함수를 적용하는 것은 충분한 적용성을 갖는 것으로 나타났으며, 산 정된 확률강우량의 비교분석결과에서도 다른 빈도해석기법과 비슷한 결과를 보여주는 것으로 산정되었다. 그러나 지역 6 과 같이 지역빈도해석을 수행하기에 관측 연수가 부족한 경 우에 합리적인 Quntile 값을 산정할 수 있는 방안에 대한 그림

21.

지역

3

에 지속시간

24

시간의 확률강우량 비교 그림

22.

지역

4

에 지속시간

24

시간의 확률강우량 비교

그림

23.

지역

5

에 지속시간

24

시간의 확률강우량 비교

추가 연구가 필요할 것으로 나타났다. 또한 지역빈도해석을 위한 강우 자료의 수문학적 동질성 검정 방안을 L-moment 법 이외의 방안을 마련하는 연구가 진행되어야 할 것이다.

감사의 글

본 연구의 일부는 건설교통부 한국건설교통기술평가원의 이상기후대비시설기준강화 연구단에 의해 수행되는 2005 건 설기술기반구축사업(05-기반구축-D03-01)에 의해 지원되었습 니다.

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접수일: 2007.10.15/심사일: 2007.11.22/심사완료일: 2008.1.28)