유체역학 및 열전달 Summary & Problem Solving

(1)

유체역학 및 열전달

Summary & Problem Solving

(2)

Balance Equation – Mass and Momentum

0 =

× Ñ

¶ +

¶ r ( V r ) t

l Continuity equation: Microscopic Mass balance

0 =

× Ñ

+ r ( V ) r

Dt D

l Equation of motion: Microscopic Momentum balance

g τ

VV

V r r

r + Ñ × = -Ñ - Ñ × +

¶

¶ p

t ( ) ( )

g V τ

r r = -Ñ p - Ñ × +

Dt

D V V V V g

r m

r ÷ = -Ñ + Ñ +

ø ç ö

è

æ + × Ñ

¶

₂

t p

0 =

× Ñ + r ( V ) r

Dt D

( )

l Navier-Stokes Equation

Continuity equation

0 =

× Ñ V

Incompressible fluid

(3)

Step for finding velocity profile

Step 1. Draw a schematics of the system

Step 2. Make a list of assumptions (ex. z-direction only) Step 3. Mathematical formulation in a proper coordinate

Step 4. Get Boundary conditions and initial condition Step 5. Get Velocity profile (O.D.E. or sometimes P.D.E)

g

x

z u y

u x

p z

w u y

v u x u u t

u m r

r ÷÷ +

ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶ - ¶

÷÷ = ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

2 2 2

2 2

2

(4)

Boundary Conditions (BCs)

• BCs are commonly encountered in momentum transfer

1. Fixed Boundary: constant value of velocity at the surface (No-slip)

2. Free Boundary: no stress at the surface

3. Max velocity : velocity gradient should be zero

4. Two fluid : same stress at the interface between two liquids H

z at V

u = = u = 0 at z = 0

( ) t

xy Fluid I

= ( ) t

xy _Fluid _II

0 ÷÷ = ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶ - ¶

=

= x

v y

u

yx

xy

t m

t

0 ¶ =

¶

y

u

(5)

Balance Equation – Internal Energy

l Internal energy balance equation

0 =

× Ñ V

T kÑ -

= q

Continuity equation – incompressible fluid

Fourier’s law

V V

q

V - Ñ × - Ñ × - Ñ

× -Ñ

¶ =

¶ ( ˆ ) ( ˆ ) [ ] ( ) :

t r r

p t U

U

r ˆ /

ˆ ˆ

ˆ H P V H P

U = - = -

Thermodynamic formula

Dt Dp T

Dt

C_p DT ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶ Ñ -

× -Ñ

= ln

: ln

ˆ r

t

r q V

Dt Dp T T

Dt k

C

_p

DT ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶ Ñ

- Ñ

= ln

: ln

ˆ r

t

r

²

V

(6)

Balance Equation

0 =

× Ñ

+ r ( V ) r

Dt D

g V

V V V

r m

r ÷ = -Ñ + Ñ +

ø ç ö

è

æ + × Ñ

¶

₂

t p

Dt Dp T T

Dt k

C

_p

DT ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

Ñ -

Ñ

= ln

: ln

ˆ r

t

r

²

V

l Microscopic Mass balance

l Navier-Stokes Equation – solving velocity profile

l Thermal Energy Equation – solving Temperature profile

(7)

Step for Modeling heat transfer process involving convection

• Step 1

• Draw a picture of the physical system

• Label important features, including convective heat transfer

• Step 2

• Make a “list of assumptions” based on the physical system

• Step 3

• Heat balance equation undergoing heat transfer

• Substitute the convective heat-transfer relationship, q=hΔT

• Specify the appropriate correlation for h, keeping in mind restrictions on Re, Nu, geometry.

• Step 4

• Recognize and specify the process boundary and initial conditions

.

• Step 5

• Solve the algebraic or differential equations (most of case)

(8)

Example 1

• 오토바이의 엔진에는 열을 빨리 제거하기 위해서 방열핀을 설치하는데, 방열핀의 경우 아래 그림처럼 z 방향으로 전도로 열전달이

일어나고(벽면에서의 온도는 T

_w

로 일정하다) 공기와 접한 표면쪽으로는

대류로 열전달이 일어난다 (열전달 계수는 h이고 공기의 온도는 T

_a

로

일정하다). 이러한 열전달은 다음과 같이 구할 수 있다.

(9)

Example 1 (1)

• 오토바이의 엔진에는 열을 빨리 제거하기 위해서 방열핀을 설치하는데, 방열핀의 경우 아래 그림처럼 z 방향으로 전도로 열전달이

일어나고(벽면에서의 온도는 T

_w

로 일정하다) 공기와 접한 표면쪽으로는 대류로 열전달이 일어난다 (열전달 계수는 h이고 공기의 온도는 T

_a

로 일정하다). 이러한 열전달은 다음과 같이 구할 수 있다.

• Solution

• Step 1 : Draw picture and label important feature

(10)

Example 1 (2)

• Step 1 : Draw picture and label important feature

• Step 2 : physical assumption

-Assumptions:

(1) 방열핀의 두께가 아주 얇아서 (B<<L이고 B<<W) 두께쪽으로는 열전달이 일어나지 않는다고 가정

(2) 온도가 z-방향으로만 전달 된다. ∴ T=T(z) (3) 방열핀의 끝부분이나 y부분의 열전달은 없다.

)

(z

T

(11)

Example 1 (3)

• Step 3 : Heat balance

Accumulation= Input – output + Generation - Consumption

Convection heat transfer q=hΔT (heat flux)

) )(

(

_a

z z

z

BWq h W z T T

BWq - - D -

= 2 2

₊_D

2

0 T

a

) (z T

) ( T T

_a

B

h dz

dq = - -

\

dz k dT q =-

) ( T T

_a

kB

h dz

T

d

₂

= -

2

• Step 3 : appropriate correlation for h

L x

av

Nu

Nu 0 664

¹ ³ ¹ ²

2

1

=

\ . (Pr)

^/

(Re )

^/

(12)

Mass transfer by in Turbulent Flow on a Flat Plate

Transition point

10

5

2 ´

x

>

5

Re 10 2 ´

x

<

Re

L L

av

Nu

Nu = 0 . 0365 (Pr)

¹^/³

(Re )

⁴^/⁵

= 1 . 25

\

3 1 5

0292

4

0 . Re

_x^/

Pr

^/

x

Nu

k x

h = =

3 1 2

332

1

0 . Re

_x^/

Pr

^/

x

Nu

k x

h = =

L x

av

Nu

Nu 0 664

¹ ³ ¹ ²

2

1

=

\ . (Pr)

^/

(Re )

^/

(13)

Example 1 (4)

kB hL

L z kB

hL T

T

T T

a w

a

2 2

1 cosh

cosh ÷

ø ç ö

è æ - - =

\ -

• Step 4 : Boundary condition

• Step 5

• Solve the algebraic or differential equations (most of case)

T

a

) (z T

0 0

=

dz L dT

z

T T

z

_w

에서 에서

-단열조건