A Study on Simulation of Dam-break Wave Using Two-dimensional Finite Volume Model

韓 國 水 資 源 學 會 論 文 集 第44卷 第3號․2011年 3月

pp. 249 ～262

2차원 유한체적모형을 이용한 댐 붕괴파 모의에 관한 연구

A Study on Simulation of Dam-break Wave Using Two-dimensional Finite Volume Model

정 우 창^* / 박 영 진^**

Jeong, Woochang / Park, Young Jin

...

Abstract

In this study, in order to reduce the numerical oscillation due to the unbalance between source and flux terms as the HLLC scheme is applied to the flow analysis on the irregular bed topography, a unstructured finite volume model based on the well-balanced HLLC scheme and the shallow water equations is developed and applied to problems of dam-break waves. The well-balanced HLLC scheme considers directly the gradient of bed topography as the flux terms is calculated. This scheme provides the good numerical balance between the source and flux terms in the case of the application to the steady-state transcritical flow. To verify the numerical model developed in this study, it is applied to three cases of hydraulic model experiments and a field case study of Mapasset dam failure (France). As a result of the verification, the predicted numerical results agree relatively well with available laboratory and field measurements. The model provides slightly more accurate results compared with the existing models.

Keywords : shallow water equation, unstructured finite volume model, well-balanced HLLC scheme, dam-break wave

...

요 지

본 연구에서는 댐 붕괴파와 같이 연속 및 불연속 흐름해석에 적용되고 있는 HLLC 기법을 불규칙한 하상지형에서의 흐름해석에 적용할 때 생성항과 흐름률항의 사이의 수치적 불균형으로 인한 수치진동을 감소시키기 위해 well-balanced HLLC 기법과 천수방정식에 근거한 비구조적 유한체적모형을 개발하였으며, 이를 댐 붕괴파 문제에 적용하였다. 적용된 well-balanced HLLC 기법은 단순히 흐름률항을 계산할 때 하상지형경사를 직접 포함시키는 것으로 정상상태의 천이류에 적용하였을 때 생성항과 흐름률항 사이에 수치적 균형이 이루어짐을 확인하였다. 수치모형의 검증을 위해 댐 붕괴파 문제와 관련된 세 가지 서로 다른 수리모형실험과 프랑스 Mapasset 댐 붕괴에 대한 현장사례에 적용하였으며, 적용결과 본 연구에 서 개발된 모형은 수리모형실험 그리고 현장에서 관측된 결과와 비교적 잘 일치하는 것으로 나타났으며, 기존의 모형으로부 터 계산된 모의결과에 비해 비교적 정확한 결과를 나타내었다.

핵심용어 : 천수방정식, 비구조적 유한체적모형, well-balanced HLLC 기법, 댐 붕괴파

...

* 경남대학교 공과대학 토목공학과 조교수 (e-mail: [email protected])

Assistant Professor, Dept. of Civil Engrg., Kyungnam University, Changwon 631-701, Korea ** 교신저자, 서일대학 토목공학과 교수 (e-mail: [email protected])

Corresponding Author, Professor, Dept. of Civil Engrg, Seoil University, Seoul 132-702, Korea

DOI: 10.3741/JKWRA.2011.44.3.249

1. 서 론

최근 지구 온난화, 엘리뇨 현상 등 범지구적 기후변화 로 인해 따른 홍수, 태풍 등 자연재해의 규모가 점차적으 로 대형화되고 있는 실정이다. 우리나라도 이에 대한 영 향으로 집중호우와 태풍으로 인한 홍수피해의 발생이 매 년 나타나고 있으며, 이에 대한 빈도와 강도는 점차적으 로 증가하고 있는 실정이다. 특히, 내륙의 하천 및 해안 주변에 위치해 있는 도시지역은 인구와 자산이 밀집되어 있어 홍수 발생 시 많은 인명과 막대한 재산피해가 발생 하고 있다. 도시지역에서 발생하는 홍수 피해를 저감하 기 위해서는 하도 정비 및 개수, 홍수 조절지 및 유수지 계획, 하천변에 구축된 제방 개선 등의 구조적 대책뿐만 아니라 장래에 발생할 수 있는 홍수를 사전에 보다 정확 하게 예측하고 홍수정보를 구축하여 분석하고 신속하게 전달할 수 있는 체계적인 홍수정보시스템을 개발하는 비 구조적 대책의 수립이 절실히 필요하다. 이러한 홍수정 보시스템을 구성하는 중요 요소 중의 하나는 홍수범람 시 도시지역 내에서 전파되는 홍수파의 예측경로, 침수 심, 유속, 침수도달시간 등과 같은 공학적 해석에 의해 모의 및 분석된 결과들이 포함되어 있는 홍수범람예측도 의 작성이다. 이러한 정보는 실제 홍수범람 시 도시지역 내에 거주하는 주민들의 대피 경로의 수립 및 정부나 지 자체에서 효과적인 방재활동을 수행하는데 활용될 수 있 으며, 이로써 방재활동을 지양하고 주민들의 대피 혼란 으로 야기될 수 있는 2차적인 재산피해를 최소화할 수 있을 것이다.

최근 하천흐름 및 하천주변에서 발생하는 범람현상 등 을 모의하고 분석하기 위해 천수방정식 및 불연속 흐름에 정확하고 안정된 계산을 할 수 있는 다양한 기법에 근간을 둔 유한체적모형이 활발하게 적용되고 있다. 유한체적모형 은 질량 및 운동량 보존을 만족시키기에 용이한 적분형태 의 지배방정식을 이산화 하는 근사해법의 적용으로 불연속 흐름 및 마른하도의 계산에 유한차분모형 그리고 유한요소 모형 보다 효율적이다 (김병현 등, 2009). Anastasiou and Chan (1997)과 Sleigh et al. (1998)은 삼각형 요소로 구성 된 격자시스템에서 2차 정도의 정확도를 가진 유한체적법 을 이용하여 천수방정식을 수치적으로 해석하였으며, Zhao et al. (1996)은 비구조적 격자시스템에 대해 공간상 으로 1차 정도의 정확도를 가지는 유한체적모형을 개발하 였다. 또한 Yoon and Kang (2004)은 2차 정도의 upwind 유한체적법을 이용하여 삼각형 요소로 구성된 비구조적 격자시스템에서 연속과 불연속 구간에서의 흐름 모의를 위한 모형을 개발하였으며, 김형준 (2008)은 분할격자체 계를 이용한 천수흐름에 유한체적법을 적용하여 수치적

으로 해석하였다.

실제 하천에서와 같이 복잡한 하상지형에 적용할 때 나 타나는 생성항이 존재할 경우 적절한 수치기법을 적용하 지 않는다면 생성항과 흐름률항은 수치적으로 불균형을 이루게 되며 이에 따라 수치진동이 발생된다. 이러한 문 제점을 해결하기 위해 Zhou et al. (2001)은 기존의 수심 을 이용하는 수심경사법 (Depth Gradient Method, DGM) 과는 달리 수위를 이용하여 해를 선형적으로 재구성하는 표면경사법 (Surface Gradient Method, SGM)을 제시하 였으며, 다양한 정상류와 부정류 문제에 적용하여 매우 우수한 수치해석 결과를 제시하였다. 김대홍과 조용식 (2005)은 Zhou et al. (2001)에 의한 표면경사법이 계단과 같은 형태의 급변하는 하도지형에 적용할 경우 보존특성 을 만족시키기 못하는 단점을 개선하기 위해 수정 표면경 사법을 제시하였으며, 정상류 및 부정류 그리고 급변하는 하상지형에서의 흐름해석에 매우 우수한 결과를 보여주 었다. 김병현 등 (2009)은 2차원 보존형 천수방정식의 해 석을 위해 유한체적기법과 Riemann 근사해법을 이용한 수치모형을 개발하였으며, 예측단계와 수정단계에서 연 속방정식과 운동량 방정식의 보존변수 재구성을 위해 수 면경사법과 2차 정확도를 갖는 MUSCL 기법을 적용하였 다. 개발된 수치모형은 하도가 급변하는 수로에서의 댐 붕괴파 문제에 적용하여 그 적용성을 입증하였다. 그러나 위에 소개된 방법들은 매우 복잡한 수학적 및 수치적 기 법을 요구된다.

본 연구에서는 댐 붕괴파와 같이 연속 및 불연속 흐 름해석에 적용되고 있는 1차 정확도를 가진 HLLC 기법 에서 불규칙한 하상지형변화에 따른 생성항과 흐름률항 사이의 수치적 불균형으로 인한 수치진동을 감소시키기 위해 well-balanced HLLC 기법에 근거한 비구조적 유 한체적모형을 개발하였으며, 이를 댐 붕과파 문제에 적 용하였다. 본 연구에서 적용된 well-balanced HLLC 기 법은 Leveque and George (2004)에 의해 제시된 방법으 로 단순히 흐름률항을 계산할 때 하상지형경사를 직접 고려하는 것으로 기존의 fractional step 기법에 비해 매 우 정확한 해를 주는 것으로 알려져 있다. 제2장에서는 지배방정식 및 well-balanced HLLC 기법에 대해 기술 하였으며, 제3장에서는 본 연구에서 적용된 수치모형의 검증을 위해 하도지형이 변화하는 수로에서의 흐름에 대한 해석해와 댐 붕괴파 문제와 관련된 수리모형실험 에의 적용을 통한 비교‧분석 결과를 제시하였다. 제4장 에서는 프랑스 Mapasset 댐 붕괴에 대한 현장 적용성에 대한 검증결과를 제시하였으며, 제5장에는 결론을 기술 하였다.

(a) Triangular (b) Quadrilateral Fig. 1. Finite Volume Elements in the Two-dimensional Unstructured Grid System

2. 수치모형

본 연구에서 적용된 지배방정식은 2차원 천수방정식 (Shallow Water Equation, SWE)으로 벡터형태로 표현하 면 Eq. (1)과 같다.

      (1)

















그리고

 __





_









_





여기서, 는 수심, 와 는 각각 와  방향으로의 유속,

는 중력가속도이며, _와 _는 각각 와  방향으로 의 하상지형경사 그리고 _와 _는 각각 와  방향으 로의 마찰항이다.

_   _ 

 ^

^^^^ _ ^

^^^^

여기서, 은 Manning의 조도계수이다.

2.2 Well-balanced HLLC 기법이 적용된 유한 체적모형

본 연구에서 적용된 수치기법은 계산영역을 구성하는 검

사체적(control volume) 또는 요소(element) 경계를 통한 흐름률(flux)을 계산하는 유한체적법이며, Fig. 1에서처럼 삼각형 또는 사각형 형태를 가진 임의의 요소 에 대해 Eq. (1)을 적분하면, 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.







여기서,    ^이며, 는 요소 의 경계 그리고

_은 outward 단위수직벡터이다.

Eq. (2)를 요소 에 대해 이산화 시키면 다음과 같이 쓸 수 있다.







^

^

여기서,





Eq. (2)의 를 구성하는 와  사이에 rotational invariance 특성 (Toro, 2001)을 적용할 때, 흐름률 계산은 요소 규모에서 1차원 문제로 축소되며, 다음과 같이 표현 될 수 있다.

⋅ _^_^{} ⁽⁴⁾

여기서, _는 변환행렬이며, 다음과 같다.

_







  

Fig. 2. Schematic Illustration of HLLC Flux Approximation

Eq. (4)를 Eq. (3)에 대입하고 정리하면 요소 에 대해 다음과 같은 식이 얻어진다.







^

^

^

^

여기서, 





_과 _은 각각 요소 과 에 대한 상태변수 (state variable)이다 (Fig. 1).

Eq. (5)의 흐름률항을 계산하기 위해서 본 연구에서는 Billett and Toro (1997)에 의해 제안된 HLLC 기법이 적 용되었다. 본 기법은 1차 정확도를 가지며, 천이류 (trans- critical flow)와 같은 불연속 흐름에 대해 Roe 기법과 Osher 기법에 비해 보다 정확하게 수치모의를 수행하는 것으로 알려져 있다 (Zoppou and Roberts, 2003).

HLLC 기법은 Fig. 2에서 나타난 바와 같이 파속 과

_ 사이의 중간파속 (intermediate wave speed)에 해당되 는 ^를 고려하는 것으로 HLL 기법 (Harten et al., 1983) 을 개선한 것이다. HLL 기법에서 Eq. (5)의 흐름률항은 다음과 같이 표현된다.

^_^{≈}^ _^











^ ^{ }≥ 

^ ^{ }≤ 

^^ _^{ }  _

여기서, ^



^





 _

_













파속 _과 _은 다음과 같은 식을 통해 계산된다.

_ _ __, _ ___

여기서, _^ 또는 _^로 표현되는 전파속

도 (wave celerity), 과 은 각각 요소 과 에서의 수심 그리고 _ 및 _은 다음과 같은 조건식을 통해 결정 된다.

_{   }







^





   ^≤ 

여기서 ^는 요소 과  사이의 경계면에서의 수심이다.

^를 결정하기 위해서는 먼저 rarefaction wave 또는 shock wave에 해당되는지를 결정할 필요가 있으며, 이에 대한 내용은 Toro (2001)에 자세히 나와 있으므로 본 논 문에서는 생략한다.

HLLC 기법에서는 중간파속인 ^의 조건을 고려하며, HLL 기법에서 단지 흐름률의 세 번째 성분에 대해 다음과 같은 형태로 변환시킨다.













__^





__^





^ 



















HLLC 기법을 하상이 급변하는 하천흐름의 해석에 적 용하였을 때 생성항과 흐름률항의 수치적 불균형으로 인 해 수치진동이 발생하여 흐름해석에 대한 정확한 결과를 얻기 어렵다 (Perthame and Simeoni, 2001). 이러한 문제 를 해결하기 위해 Eq. (6)의 ^를 계산할 때 하상지형 경사를 직접 고려하며 (Leveque and George, 2004), 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

^



























 (9)

여기서, _과 _은 각각 요소 과 에서의 하상고를 나타낸다.

Eq. (9)는 Eqs. (6) and (7)에 있는 ^를 대신하여 적용된다. 따라서 Eq. (9)와 같은 하상지형경사를 고려한 well-balanced HLLC 기법이 적용될 때 Eq. (5)는 요소

_에 대해 다음과 같은 식으로 표현된다.







^

^

^

^

^

^

여기서, 는 Eq. (1)의 생성항에서 well-balanced HLLC 기법 적용에 따라 하상지형경사에 대한 항은 존재 하지 않고 Eq. (11)과 같은 단지 마찰항만 존재한다.

(6)

(a) Case 1 (b) Case 2 (c) Case 3 Fig. 3. Comparison between Numerical and Analytical Solutions for Case 1, 2 and 3

_^





^

^^_^ 









_ (11)

시간에 따라 변화하는 수심 및 유속을 계산하기 위해 본 연구에서는 simple explicit Euler 기법을 적용하였으 며, 적용결과는 Eq. (12)와 같다.

^{ } ^ _{  }



여기서, ^과 ^{ }은 각각 시간 ^과 ^{ }에서 계산된

의 근사값이며, ^은 시간 ^에서 ^를 계산한 값이 된다. Simple explicit Euler 기법은 비선형 방정식계 에서 수반되는 반복적인 계산에 매우 효율적인 것으로 알 려져 있으나 수치적 안정성을 확보하기 위해서는 CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) 조건을 만족시킬 필요가 있 다 (Loukili and Soulaimani, 2007).

  ^^ 





여기서, 은 요소 의 중심과 요소 과 을 분리하 는 경계면의 중심 사이의 거리이다.

본 연구에서 젖은/마른 하상 조건을 처리하기 위해 다 음과 같은 해석적 기법을 적용하였다.

_ _ ^ _ _^ ^ _

  _  (14)

 _^ _ _^ ^ _

  _  (15)

위의 식은 하상지형경사인 ∇_의 항이 존재하지 않을 때 매우 유용하나 만약 존재할 경우 수치적으로 매우 불 안정해진다 (Honnorat, 2007). 이러한 문제를 해결하기 위

해 본 연구에서는 0보다 큰 최소 수심인 을 적용하였다.

만약 어떤 요소의 수심이 _보다 작을 경우 마른 하상 조 건과 유속이 0인 조건이 부여된다. 일반적으로 _을 적용 범위는 1.0 × 10^-3～1.0 × 10^-6m이며, 본 연구에서는 평탄 하지 않은 불규칙한 하상에 대해 1.0 × 10^-3m를 적용하 였다.

3. 댐 붕괴파 문제에의 적용

3.1 하상지형 변화 구간에서 천이류가 발생하 는 경우 (정상상태)

본 연구에서 적용된 수치모형의 보존특성을 검토하기 위해 김대홍과 조용식 (2005)에 의해 수행된 것과 동일한 하상지형에 대해 세 가지 case에 대한 정상상태 모의를 수행하였다. 수로의 길이 25 m이며, 하상지형은 다음과 같은 식에 의해 변화된다.

_



    (16)

Case 1은 상류 (subcritical flow)해석으로 상류단에 = 4.41 m²/sec의 단위폭당 유량과 하류단에 =2.0 m의 수심 을 부여하였으며, case 2는 천이류 (transcritical flow) 해 석으로 상류단에 =1.53 m²/sec와 하류단에 =0.66 m 그 리고 case 3은 충격파가 있는 흐름 해석으로 상류단에 

=0.18 m²/sec과 하류단에 =0.33 m을 각각 부여하였다.

세 가지 경우 모두에 적용된 계산요소의 수는 200개이다.

Fig. 3은 수심과 단위폭당 유량에 대한 수치해와 해석해 를 각각의 경우에 대해 비교한 것으로 비교적 잘 일치하 고 있는 것으로 나타났으며, 본 연구에서 적용된 수치모 형은 흐름률항과 생성항간에 수치적 균형이 잘 유지되고 있음을 알 수 있다.

Fig. 4. Schematic Illustration of Straight Channel with Triangular Hump in the Bed

측정지점

_ 오차 _ 오차 _∞ 오차

본 연구 김 등 (2009)

Guo et al.

(2007) 본 연구 김 등 (2009)

Guo et al.

(2007) 본 연구 김 등 (2009)

Guo et al.

(2007)

G4 5.95 5.34 5.35 10.68 8.78 8.21 42.96 30.28 27.45

G10 5.96 6.46 7.36 10.54 10.75 14.21 43.41 37.36 41.90

G13 6.21 6.43 9.31 10.27 8.73 13.02 36.09 19.94 29.93

G20 21.45 25.53 23.71 30.88 35.45 33.55 59.97 70.02 70.02

평균 9.89 10.94 11.43 15.59 15.93 17.25 45.61 39.40 42.32

Table 1. Comparison of _, _ and _∞ Errors (Unit: ×10^-2) 3.2 삼각형 융기가 존재하는 하도에서의 댐 붕괴파

문제

급변하는 하도에서 시간에 따른 흐름변화에 대한 적용 성을 검증하기 위해 CADAM (Concerted Action on Dam Break Modeling) 유럽연합프로젝트에서 수행된 삼각형 융기가 존재하는 하도에서의 댐 붕괴파 수리모형실험 결 과를 적용하였다. 본 실험은 댐 붕괴 이후에 융기 전·후에 발생 가능한 충격파, 반사파, 도수 등 다양한 파의 복합적 인 상호작용을 포함하는 매우 복잡한 흐름 분석에 대한 것으로 많은 연구자들이 수치모형을 검증하기 위해 적용 되고 있다 (Brufau et al. 2002; Zhou et al., 2004; Guo et al., 2007; 김병현 등, 2009). 하도의 길이는 Fig. 4에 나와 있듯이 38 m이며, 폭은 0.75 m이다. 댐은 상류로부터 15.5 m 지점에 위치하고 있으며, 삼각형 융기의 높이와 길이 는 각각 0.4 m와 6 m이며, 정부는 댐으로부터 하류방향으 로 13 m에 위치하고 있다.

본 모의에서는 김병현 등 (2009)에 의해 모의된 조건과 동일하게 와  방향으로의 격자간격을 각각 0.25 m와 0.75 m로 하였으며, 이로부터 총 계산요소의 수는 151개 이다. 하도에 대한 Manning 조도계수는 0.015이며, 총모 의시간은 40초로 하였다. CFL 조건으로 0.9가 적용되었 다. 김병현 등 (2009)은 삼각융기 하류부의 수위조건 및 하류단의 열림과 닫힘과 같이 다양한 모의조건을 적용하 였으나 본 연구에서는 삼각융기 하류부의 수위를 0 m 즉 마른하도 조건에 대한 모의결과만을 지점별 측정결과와 김 병현 등 (2009)과 Guo et al. (2007)에 의한 수치결과를 비

교하였다. 모의된 결과의 정확도에 대한 정량적인 분석을 위해 Eq. (17)과 같은 세 가지 종류의 오차를 계산하였다.

∥∥_ 



^

^

^ 

∥∥_







^

^

^



^

∥∥_∞ 

 





여기서, 은 모의된 수심 와 측정된 수심 _과의 차이이며, 은 자료의 수 그리고 는 모의된 수심의 최대값을 나타낸다.

산정된 지점별 오차에 대한 결과는 Table 1에 나타나 있으며, 네 지점에서의 각 오차에 대한 평균은 전반적으 로 거의 비슷한 정확도를 가지는 것으로 나타났다. 따라 서 본 연구에서 적용된 수치모형은 하상지형이 급변하는 경우에 적용 가능한 것을 알 수 있다.

Fig. 5는 G4, G10, G13 그리고 G20 지점에 대한 비교를 나타낸 것이다. 비교결과 네 지점에서 모의된 수심변화의 양상은 대체적으로 측정된 수심변화를 잘 따르는 것으로 나타났다. 그러나 삼각융기의 정점으로부터 7 m 하류부 에 위치한 지점인 G20에서는 수치모의 결과가 다소 과대 산정된 것으로 나타났으며, 이러한 결과는 다른 두 가지 수치모형에 의해서 뿐만 아니라 다른 연구자 (Brufau et al., 2002; Zhou et al., 2004)의 결과에서도 같은 양상을 나 타내었다.

G4 G10

G13 G20

Fig. 5. Comparison between Measured and Simulated Water Depths with Time at 4 Gauges

Fig. 6. Geometry of Reservoir and Channel with 45ﾟ Bend 3.3 45ﾟ로 굴곡진 구간을 가진 수로에서의 댐

붕괴파 문제

Soares-Frazao and Zech (1999)은 45ﾟ로 굴곡진 구간 을 포함하는 수로에서의 댐 붕괴파의 전파특성을 분석하 기 위해 수리모형실험을 수행하였다. Fig. 6에서와 같이 상류부의 저수조의 크기는 2.44 × 2.39 m이다. 저수조의 바닥으로부터 0.33 m 위에 위치한 수로의 총길이와 폭은 각각 8.07 m 그리고 0.495 m이다. 본 모의에서 적용된 격 자시스템은 29,621개의 절점과 57,811개의 요소로 이루어

진 비구조적 삼각형 격자망이며, 수로바닥의 Manning 조 도계수로 0.0095를 부여하였다. 초기조건으로 저수조의 수심은 0.58 m이며, 댐 하류부의 수로는 마른바닥조건으 로 0 m의 수심을 부여하였다. 또한 경계조건으로는 댐 하 류부 끝단에는 개경계 조건을 부여하였으며, 저수지와 수 로측벽에 대해서는 폐경계 조건을 부여하였다. CFL 조건 으로 0.9가 적용되었다.

Fig. 7은 9개 지점 대해 수리모형실험을 통해 측정된 수심결과와 Soares-Frazao and Zech (1999)에 의해 적용 된 2D Boltzmann 모형에 의한 수심결과 그리고 본 연구

G1 G2 G3

G4 G5 G6

G7 G8 G9

Fig. 7. Comparison between Simulated and Measured Water Depths at 9 Gages

(a) (b)

Fig. 8. 3D Free Surface Plots at Time (a) 4 and (b) 20 Seconds

에서 적용된 모형에 의한 수심결과를 비교한 것이다. G2 지점의 경우 댐 붕괴파가 저수지로로부터 하류방향으로 전파될 때 0.2초에서 첫 번째 수심의 급상승 현상이 발생 하며, 수로 굴곡구간의 영향으로 인한 흐름의 지체현상으 로 인해 약 16초에서 두 번째 수심의 급상승 현상이 발생 된다. 이러한 하나 이상의 수심의 급상승 현상은 G3과 G4 에서도 발생하는 것을 알 수 있다. 수로 굴곡부 바로 근처 에 위치한 G5, G6 그리고 G7 지점의 경우 거의 동일하게 2.1초에서부터 수심이 급상승되는 현상이 발생되며, 첨두

수심은 각각 0.177 m(3.6초), 0.173 m(3.7초) 그리고 0.130 m (4.0초)로 G5 지점에서 G7 지점으로 갈수록 첨두수심 은 감소하는 경향을 나타내었다. 비교결과 본 연구에서 적 용된 모형에 의한 지점별 수심의 시간에 따른 변화는 측정 결과와 비교적 잘 일치하는 경향을 나타냈으며, Soares- Frazao and Zech (1999)의 모의결과와 거의 비슷한 정도 의 정확도를 나타내었다.

Fig. 8은 모의시간 4초와 20초에서의 수심에 대한 공간 적 변화를 3차원으로 나타낸 것이며, 직선수로에서 굴곡

Fig. 9. Channel with Abrupt Contraction and Enlargement Sections and Location of Measurement Points

S1 S2

S3 S4

Fig. 10. Comparison between Experimental Data and Numerical Results on the Time Evolution During 10 Seconds

부로 댐 붕괴파가 전파될 때 수심의 변화가 매우 심함을 알 수 있으며, 굴곡부 외측에서 수심이 높으며, 내측으로 갈수록 수심이 감소하는 것을 볼 수 있다. 또한 굴곡부를 통과한 댐 붕괴파는 수로측벽에 의한 반사효과 등으로 복 잡한 형태의 파를 형성하며 전파되는 것을 볼 수 있다.

3.4 급축소 및 급확대 구간이 있는 수로에서의 댐 붕괴파 문제

본 모의에서는 포르투갈 리스본에 위치한 LNEC (Laboratorio Nacional de Engenharia Civil)에서 수행된 급축소 및 급확대 구간을 가진 평탄한 수로에서의 댐 붕 괴파에 대한 수리모형실험 (Brufau and Garcia-Navarro, 2003) 자료를 이용하여 적용된 수치모형의 검증을 수행하 였다. Fig. 9에서 볼 수 있듯이 수로의 길이와 폭은 각각

19.3 m와 0.5 m이며, 댐은 좌측경계로부터 6.1 m에 위치해 있다. 수축부는 댐으로부터 7.7 m 하류방향에 위치해 있으 며, 길이와 폭은 각각 1.0 m와 0.1 m이다. 수심은 4개의 지 점에서 측정되었으며, S1은 댐으로부터 상류방향으로 1 m 떨어진 지점에 위치해 있으며, 댐으로부터 하류방향으로 S2는 6.1 m, S3는 8.8 m 그리고 S4는 10.5 m에 위치해 있다.

적용된 격자망은 Brufau and Garcia-Navarro (2003)에 의해 적용된 수 (14,207개)와 비슷한 14,838개의 삼각형 요 소로 이루어져 있으며, 수로바닥에 대한 Manning 조도계 수로 0.01이 적용되었다. 초기조건으로 댐 상류부의 저수지 수심은 0.3 m 그리고 댐 하류부의 수로에는 0.003 m가 각각 부여되었으며, 수로의 하류경계에는 개경계 조건이 부여되 었다. 그 이외의 경계에 대해서는 폐경계 조건이 부여되었 다. 총 모의시간은 10초이며, 시간간격은 0.001초이다.

6 sec

10 sec

Fig. 11. Iso-contour Water Depth (left) and 3D Free Surface Plots (right) at Time 6 and 10 Seconds

Fig. 10은 S1부터 S4까지 각 지점에서 시간에 따라 변 화되는 수심에 대해 수리모형실험 결과와 Brufau and Garcia-Navarro (2003)에 의한 수치결과 그리고 본 연구 에서 적용된 모형에 의한 수치결과를 비교한 것이다. S1 지점에서의 경우 6초까지는 수리모형실험 결과와 매우 일 치하는 경향을 나타내나 이후부터 편차가 발생하기 시작 한다. 이러한 현상은 Brufau and Garcia-Navarro (2003) 에 의한 수치결과에서도 동일하게 나타나는 것을 알 수 있다. S2 지점에서는 약 3초에서 수로의 급축소로 인한 흐름의 지체현상으로 인해 0.003 m에서 0.046 m로의 첫 번째 수심의 급상승 현상이 발생되며, 이 후 꾸준히 느린 속도로 수심이 증가하다가 약 7.7초에서 약 0.23 m로 두 번째 급상승된 수심을 나타내었다. 수로 폭이 급격히 축 소된 구간 내에 위치하고 있는 S3 지점에서는 약 4.5초가 경과된 후 수심이 0.003 m에서 0.053 m로 급상승되며, 이 후 꾸준히 느린 속도로 수심이 증가되는 현상을 나타내었 다. 축소된 수로 구간 하류부에 위치하고 있는 S4 지점의 경우 약 5.6초에서 수심이 0.027 m로 급격히 증가되는 현 상이 발생되나 S3 지점의 경우에 비해 약 50% 정도 작은 값에 해당된다.

본 연구에서 적용한 모형에 의한 수치결과는 실험결과 와 비교적 잘 일치하는 것으로 나타났으며, Brufau and

Garcia-Navarro (2003)에 의한 수치결과에 비해 수심변화 의 양상을 대체적으로 보다 잘 부합하는 것으로 나타났다.

Fig. 11은 모의시간 6초와 10초에서의 급축소 및 급확 대 구간에서의 수심에 대한 공간적 변화를 2차원과 3차원 으로 나타낸 것이며, 댐 붕괴파가 수로의 수축구간을 통 과하기 전 지체현상에 의한 수심의 급상승 현상과 수축구 간을 통과한 후 댐 붕괴파는 수로측벽에 의한 반사효과 등으로 다소 복잡한 형태로 전파되는 것을 볼 수 있다.

4. 댐 붕괴파에 대한 현장 적용성 검증:

프랑스 Mapasset 댐 붕괴 사례

본 연구에서 적용된 수치모형의 현장 적용성을 검증하 기 위해 프랑스 남부 Reyran 하천 계곡에 위치해 있으며, 1959년 12월에 붕괴된 Malpasset 댐으로부터의 홍수흐름 에 대해 모의하였다 (Hervouet and Petitjean, 1991). Fig.

12는 본 검증에서 적용된 격자시스템, 댐의 위치, 현장에 서의 수위관측지점 (P1～P17) 및 수리모형실험에서의 수 위관측지점 (S6～S14)을 나타낸 것이다. 본 연구에서 적 용된 격자시스템은 13,015개의 요소로 이루어진 비구조적 삼각형 격자망이며, 이는 Valiani et al. (2002)이 적용한 10,696개의 사각형 요소의 수와 비슷하다. 초기조건으로

Fig. 12. Illustration of Unstructured Grid System, Field Survey and Experiment Measurement Points

=0.0 sec =1000.0 sec

=1500.0 sec =2000.0 sec

Fig. 13. Spatial Variation of Water Level with Time

댐 상류부의 저수지의 초기수심은 EL. 100 m 그리고 댐 하류부는 마른 하상조건을 부여하였다. 경계조건으로 해 안과 접하고 있는 지역에 대해서만 개경계조건을 부여하 였으며, 나머지 경계에 대해서는 폐경계조건을 부여하였 다. 대상영역의 Manning 조도계수로 Valiani et al. (2002) 에 의해 사용된 값과 동일한 0.033을 적용하였다. 모의시 간간격은 1초이며, 총모의시간은 4,000초 그리고 CFL 조 건으로 0.9가 적용되었다.

Fig. 13은 시간에 따른 수위의 공간적 분포를 나타낸 것이며, 본 연구에서 적용된 모형은 댐 붕괴에 따른 흐름 양상을 비교적 잘 모의하는 것으로 나타났다.

Fig. 14와 Table 2는 지점별 최대수위의 변화를 현장 조사 및 수리모형실험을 통한 측정결과 (Hervouet and

Petitjean, 1991)와 Valiani et al. (2002) 그리고 김형준 (2008)에 의한 모의결과를 비교한 것이다. 비교결과 현장 조사의 경우 본 연구에서 적용된 모형을 통한 모의결과가 Valiani et al. (2002)에 의한 모의결과에 비해 평균적으로 약 2.79% 그리고 김형준 (2008)에 의한 모의결과에 비해 약 0.91% 정도 개선된 정확도를 나타내었다.

5. 결 론

본 연구에서는 2차원 천수방정식과 well-balanced HLLC 기법에 근거한 유한체적모형을 이용하여 정상류 상태에서의 천이류 해석 그리고 댐 붕괴파와 관련된 수리 모형실험 및 현장사례에의 적용을 통해 적용된 수치모형

(a) (b)

Fig. 14. Comparison of Maximum Water Level at (a) P1～P17 and (b) S6～S14

Gauge points

Observed data

Valiani et al. (2002) (Absolute relative error, %)

Kim (2008)

(Absolute relative error, %)

Present model (Absolute relative error, %) Field survey data

P1 79.15 75.96 (4.03) 73.35 (7.64) 81.21 (2.82)

P2 87.20 89.34 (2.45) 87.62 (0.47) 88.03 (0.95)

P3 54.90 53.77 (2.06) 53.23 (0.61) 53.61 (2.32)

P4 64.70 59.64 (7.82) 66.68 (3.32) 62.17 (3.78)

P5 51.10 45.56 (10.84) 54.15 (6.69) 48.43 (4.93)

P6 43.75 44.85 (2.51) 42.76 (2.21) 43.47 (0.65)

P7 44.35 42.86 (3.36) 41.93 (5.65) 43.00 (3.22)

P8 38.60 34.61 (10.34) 36.58 (5.84) 36.82 (4.86)

P9 31.90 32.44 (1.69) 30.54 (4.19) 32.80 (2.97)

P10 40.75 38.12 (6.45) 37.43 (8.71) 38.58 (5.79)

P11 24.15 25.37 (5.05) 23.02 (4.45) 25.03 (3.86)

P12 24.90 27.35 (9.84) 26.69 (6.54) 26.63 (6.50)

P13 17.25 23.58 (36.70) 15.67 (6.70) 18.85 (10.22)

P14 20.70 23.19 (12.03) 19.97 (3.15) 21.47 (3.90)

P15 18.60 19.37 (4.14) 19.86 (6.50) 19.23 (3.21)

P16 17.25 20.39 (18.20) 19.73 (12.16) 20.84 (18.22)

P17 14.00 14.23 (1.64) 10.81 (22.42) 15.46 (13.58)

Mean (8.19) (6.31) (5.40)

Physical model data

S6 84.20 81.98 (2.64) 83.29 (1.11) 85.07 (1.05)

S7 49.10 53.86 (9.69) 45.78 (6.16) 52.07 (6.49)

S8 54.00 53.80 (0.37) 50.57 (6.38) 54.23 (0.46)

S9 40.20 48.39 (20.37) 45.76 (11.49) 46.67 (14.15)

S10 34.90 36.88 (5.67) 36.62 (4.66) 37.38 (6.79)

S11 27.40 25.54 (6.79) 26.93 (1.84) 25.82 (5.86)

S12 21.50 18.48 (14.05) 19.20 (12.45) 19.20 (11.97)

S13 16.10 17.43 (8.26) 17.43 (8.26) 18.24 (14.64)

S14 12.90 12.60 (2.33) 12.60 (14.21) 13.09 (1.72)

Mean (7.80) (7.40) (7.01)

Table 2. Comparison between Observed Data and Numerical Results (unit: EL. m)

의 정확도 및 적용성을 검증하였다. 본 연구에 대한 주요 결론은 다음과 같다.

1. 본 연구에서는 HLLC 기법 적용 시 하상지형의 변화 에 따른 생성항과 흐름률항 사이의 수치적 불균형으 로 인한 수치진동을 감소시키기 위해 흐름률항에 하 상지형경사를 직접 고려하는 기법을 적용하였다. 적

용된 기법에 대한 보존특성을 검증하기 위해 정상상 태에서의 천이류 흐름해석에 적용하였으며, 적용결 과 생성항과 흐름률항 사이에 수치적 균형이 잘 이 루어지는 것을 알 수 있었다.

2. 댐 붕괴파 문제와 관련된 세 가지 수리모형실험에의 적용을 통해 검증을 수행하였으며, 검증 결과 측정