Òí ß –@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 609-735

:

g ‰ ˜ m4 8 ý ã ì ÄT   ø p §  Œ º õ u § U  À W ¥ ƒ º Å k Ä -Y  Å k Ä 8 ý ” Ò Þ Ä Z ؃ º à U ØW ë s W Ä] K ¡

T „ ç ¡r ) ^∗ · ƒ ‘ š0 ² ?¦ 

Â

Òí ß –@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 609-735

b 9 ? ¬ £

Â

Òí ß –@ /† < Ɠ § Ò q tÓ ü t† < Æõ ,  Òí ß – 609-735 (2004¸   4 Z 4 1{ 9  ~ à Î6 £ §)

x

d ” -Ÿ íd ”  › ' a > \  e ”   H 7 á x[ þ t s  " f– Ð  © œ  ñ Œ •6   x   H Ò q tI > \  @ /ô  Ç — ¸4 S q“ É r ´ ú §“ É r Ó ü t o † < Æ [ þ t_  › ' a d ” 

`

 ¦ = å J # Q M ® o  . @ / Òì  r_  ƒ  ½ ¨  H > h^ ‰ç  H x 9 • ¸ü < ƒ  › ' a`  ¦ t “ ¦ e ”  . s \  ì ø ÍK " f, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f Ä ºo   H [

j é ß –> _  " 3 s   _ þ t ½ ¨› ¸\  ¦ t   H > h^ ‰ç  H — ¸4 S q\  e ” # Q" f r ç ß –\  @ /ô  Ç 7 á x ì  r Ÿ í ë  H€ ª œ    o\  ¦ ƒ  ½ ¨ 

%

i  . / B Nç ß –\  ì  r Ÿ í   H 7 á x[ þ t_  þ j@ /x 9 • ¸ ° ú כ_  90 % s  © œ_  x 9 • ¸\  ¦ t   H % ò % i [ þ t`  ¦ 1 – Ð
 Qt  % ò % i 

`

 ¦ 0 Ü ¼– Ð & ñ _    H | 9 " f B > h  à º S\  ¦ s 6   x # Œ, r ç ß –\  @ /ô  Ç y Œ • 7 á x[ þ t_  ì  r Ÿ íë  H€ ª œs  t à ºZ O g Ë :`  ¦   2

£

§`  ¦ ˜ Ð% i  . : £ ¤ y  x d ”  _   â Ä º crossover r ç ß – τ \  ¦ t   H X < s  Qô  Ç ‰ & ³ © œs  { 9 # Q
  H " é ¶ “  `  ¦ á ÔÏ þ ˜

»

1 Ï " é ¶`  ¦ s 6   x # Œ l  † < Æ& h  › ' a& h \ " f [ O " î % i  . Õ ªo “ ¦ ¨ 8 Š â õ  7 á x[ þ t \  p u   H % ò † ¾ Ó`  ¦
 ? /  H

Ä ºr î ß – ” ¸s Ý ¼_  ß ¼l \    " f Õ ªo “ ¦ 7 á x[ þ t_  œ íl x 9 • ¸\    " f ì  r Ÿ íë  H€ ª œ_  $ í  © œt à º ° ú כs  # Q b 

G>       H t \  ¦ ƒ  ½ ¨ % i  .

PACS numbers: 60

Keywords: % ò € ª œé ß –> , " 3 s  _ þ t, t à ºZ O g Ë :

I. " e  ] Ø

Ò q

tÓ ü t† < Æ& h  | 9 é ß –\  e ” # Q" f 7 á x[ þ t_  r / B Nç ß –& h  ì  r Ÿ íë  H€ ª œ\ 

@

/ô  Ç ë  H ] j  H ‰ & ³F  Ò q tÓ ü t† < Æõ  Ò q tI † < Æ\  e ” # Q" f ´ ú §“ É r › ' a d ” 

`

 ¦ = å J “ ¦ e ”   H ë  H ] js   [1]. ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨ [ þ t s  ¹ ¢ ¤ t ü <  



 5 Å q_  > h^ ‰ç  H s   € ª œô  Ç ì  r Ÿ í\  ¦ s À ғ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ µ 1 Ï| Ù þ ¡



. : £ ¤ y  " 3 s _  ì  r Ÿ í, ¨ 8 Š â 1 p x s  s  Qô  Ç 7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ_  + þ

A$ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ p } 9  à º e ” 6 £ §`  ¦ µ 1 ß+ À I  [2]. Ÿ íd ”  -x d ” 



_  / B Nç ß –& h  ì  r Ÿ í_  % i † < Æ`  ¦ „ à н ¨ l  0 AK " f à º† < Æ& h  — ¸ 4

S q[ þ t s  ] jî ß – ÷ &# Q4 R M ® o  . Õ ª Q
 s  — ¸4 S q[ þ t“ É r > h^ ‰ç  H_ 

$ í

 © œõ   © œ  ñ Œ •6   x Õ ªo “ ¦ 7 á x[ þ t_   © œ@ /& h  î  r1 l x õ  ¨ 8 Š â _ 

 

 o 1 p x`  ¦ [ O " î   H X < ] j€  •`  ¦ t “ ¦ e ”   [3].

s

 Qô  Ç / B Nç ß – ½ ¨› ¸\  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H œ íl _  — ¸4 S q“ É r È Óa A [4] õ  Õ ª_  / B N1 l xƒ  ½ ¨ [ þ t \  _ K " f s À Ò# Q& ’   [5]. s  [

þ

t_  ƒ  ½ ¨  H  © œ  ñ Œ •6   x   H כ ¹™ è[ þ t(  Ö ¸$ í  ü < % 3 ] j )_ 

œ

íl  ç  H1 p xì  r Ÿ í q ‚  + þ A$ í _  7 £ x – Ð “   # Œ Ô  ¦î ß –& ñ K t 

“

¦, Õ ª   õ  / B Nç ß –& h Ü ¼– Ð Ô  ¦ç  H{ 9 ô  Ç ë  H€ ª œs  + þ A$ í H † d`  ¦ ˜ Ð% i 



. s  Qô  Ç È Óa A ë  H€ ª œ+ þ A$ í “ É r  Ö ¸$ í  _  S X ‰í ß –s  % 3 ] j _  S X

‰í ß –˜ Ð  Ö ¼o    H › ¸|  \  e ”   H ‚  + þ A& h  S X ‰í ß –õ  ² D G ™ è

∗

E-mail: [email protected]

&

h  q ‚  + þ A$ í \  l “  ô  Ç . þ j  H \  È Óa A ë  H€ ª œ˜ Ð   8¹ ¡ ¤  

ƒ 

& h “   ë  H€ ª œ\  @ /ô  Ç ] X   H s  e ” % 3   H X < [6–8], s  ƒ  ½ ¨\  _ 

€  , " f– Ð  © œ  ñ Œ •6   x   H כ ¹™ è[ þ t_  ? / Ò& h   © œ  ñ Œ •6   x÷  rë ß –



m   ¨ 8 Š â Ü ¼– РÒ'  š ¸  H ü @ Ò& h  Ø  æ  s   H  Œ •6   x`  ¦ 



 H כ `  ¦ ˜ Ð# Œ Å Ò% 3  . Õ ªA " f Ä ºo   H ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f x d ” -Ÿ í d ”

  — ¸4 S q\  ü @Â Ò ¨ 8 Š â õ _   © œ  ñ Œ •6   x`  ¦
 ? /  H † ½ Ó`  ¦ Æ

Ò # Œ D h — ¸4 S q`  ¦ ] jr  “ ¦  ô  Ç . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð  © œ F 

g# 3 0 A >  ~ à Î [ þ t # Œt “ ¦ e ”   H Ÿ íd ”  -x d ”   ç  H| 9  [9, 10] \  @ /ô  Ç > h¥ Æ “ É r  6 £ § õ  ° ú  “ É r “reaction-diffusion” ~ ½ Ó& ñ d ”

\  _ K  l Õ ü t ÷ &# Q”   .

∂u

∂t = D ∇ ² u + f (u, v)

∂v

∂t = D ∇ ² v + g(u, v)

#

Œl " f u(r, t)ü < v(r, t)  H x d ”  ü < Ÿ íd ”  _  x 9 • ¸s “ ¦, D  H S X ‰í ß –> à ºs  . s  d ” \ " f ¿ º 7 á x_  S X ‰í ß – & ñ • ¸  H ° ú   

“

¦ & ñ “ ¦ s  כ “ É r  ƒ  > \ " f ~ 1 >  ^  ¦ à º e ”   H ‰ & ³ © œs 



 [11]. f(u, v)ü < g(u, v)  H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 7 á x[ þ tç ß –\   © œ  ñ Œ • 6

 

x   H ì ø Í6 £ x† < Êà º– Ð · ú ˜ 94 R e ”   H X <, Õ ª + þ AI   H Å Ò# Q”   ç  H

| 9

? / 7 á xç ß –_  Ò q tÓ ü t† < Æ& h   © œ  ñ Œ •6   x \  _ K    & ñ ÷ &# Q”   .

Õ

ª Q
 ˜ Ð: Ÿ x“ É r  6 £ § õ  ° ú  “ É r + þ AI \  ¦ t   H  כ Ü ¼– Ð · ú ˜ 9

-522-

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  [ j é ß –> _  " 3 s  _ þ t ½ ¨› ¸\  ¦ t   H Ÿ íd ”  -x d ”  _  7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ % i † < Æ – s  © œ B 1 p x -523-

4 R e ”  .

f (u, v) = P (u) − E(u, v), g(u, v) = k ^∗ E(u, v) − µv.

#

Œl " f, P (u)  H x d ”  _  ² D G ™ è& h  $ í  © œÖ  ¦ õ   ƒ  & h   } © œ Ö

 ¦`  ¦ _ p  “ ¦ e ” “ ¦, ì ø ̀  \  E(u, v)  H x d ”   Ÿ íd ”  { © œ

  H Ö  ¦`  ¦ _ p ô  Ç . µ  H Ÿ íd ”  _   } © œÒ  ¦`  ¦ Õ ªo “ ¦ k ^∗   H

"

3 s _  s 6   x$ í & ñ • ¸\  ¦ [ O " î   H Ò q tI † < Æ& h  ´ òÖ  ¦`  ¦ _ p  ô 

Ç . ŠҖ Ð s  Qô  Ç ¿ º 7 á x_  x d ”  -Ÿ íd ”  _  % i † < Æ& h  › ' a > 



 H ŠҖ Ð 1 " é ¶ reaction-diffusion ~ ½ Ó& ñ d ” \  _ K " f l Õ ü t

÷

&# Q”    [12]. Õ ª Q
 Ò q tI > ? /_  @ / Òì  r " 3 s  Õ ªÓ ü t › ' a

>

  H 3 ¢ ¸  H 4 é ß –> _  % ò € ª œ› ' a > \  ¦ s À ғ ¦ e ”  . \ V\  ¦ [ þ t

€ 

, d ” Ó ü te  ¦| ½ Óß ¼— : r, 1 l xÓ ü te  ¦| ½ Óß ¼— : r, Õ ªo “ ¦  Œ •“ É r Ó ü t “ ¦l 

e ”

 . þ j  H \   H ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨ [ þ t s  [ j % ò € ª œé ß –> _  x d ” -Ÿ í d ”

› ' a > \  ¦ t   H ë  H ] j\  @ /K  ƒ  ½ ¨\  ¦ ô  Ç  [13, 14]. s 



Qô  Ç # Œ Q é ß –> _  % ò € ª œ› ' a >   H 7 á x[ þ t_  / B Nç ß –& h  ì  r Ÿ í\  ¦   

>    H X <, s  + þ AI   H Ò q tI > _  î ß –& ñ $ í õ  x 9 ] X ô  Ç › ' a > 

\

 ¦ t “ ¦ e ”  “ ¦ · ú ˜ 94 R e ”   [15]. Õ ªA " f s  Qô  Ç x  d ”

-Ÿ íd ”  › ' a > _  ƒ  ½ ¨\  ¦ " f– Ð  © œ  ñ Œ •6   x   H 7 á x[ þ t_  / B Nç ß –

&

h  ì  r Ÿ í   H ë  H€ ª œ+ þ AI \  ¦ t “ ¦ ƒ  ½ ¨   H  ⠆ ¾ Ós  ´ ú §  t

“ ¦ e ”   [16]. s  Qô  Ç 7 á x[ þ t_  ì  r Ÿ íë  H€ ª œ_  r ç ß –\    É r

 

 o € ª œ © œ“ É r # Qb  G>  7 á x[ þ t s   © œ  ñ Œ •6   x   H t \  @ /ô  Ç & ñ

˜

Ð\  ¦ ˜ Ð# Œ×  ¦ ÷  rë ß –  m   q ‚  + þ A& h  ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç U  ·“ É r s  K

\  ¦ Å Òl • ¸ ô  Ç .



 " f, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f Ä ºo   H [ j é ß –> _  % ò € ª œ› ' a > \  ¦  t

  H x d ”  -Ÿ íd ”   Ò q tI > \  ¨ 8 Š â õ _   © œ  ñ Œ •6   x`  ¦
 

? /  H † ½ Ó`  ¦ Æ Ò # Œ — ¸4 S qa A % i “ ¦ s  — ¸4 S q`  ¦ s 6   x 

#

Œ  € ª œô  Ç › ¸|  \ " f 7 á x[ þ t_  ì  r Ÿ íë  H€ ª œs  r ç ß –\    

"

f # Qb  G>    K    H t \  ¦ ƒ  ½ ¨ % i  .

II. 8 û” ¼ ò & ÿß O Ë8 ý W _ Ë] ‚ §T  w Š \c Ü R Y

 Å k Ä -ƒ º Å k Ä -€ ¾ ƒ º Å k Ä  { ¢ ¨ | 

[

j 7 á xç ß –_   â Ô q t› ' a > \  ¦ – Ð -^  ¦ _ … (Lotka-Voltera)   { 9

 [17]_  x d ”  -Ÿ íd ”   › ' a > \  ¦ s 6   x # Œ — ¸4 S qa A % i 



. % ò € ª œé ß –> _   © œ ± ú “ É r é ß –> “   x d ”    H X – Ð, X\  ¦ Ÿ í d ”

   H  – Ð  À » % ò € ª œé ß –> _  Ÿ íd ”    H Y – Ð, Õ ªo “ ¦ Y \  ¦

Ÿ

íd ”    H þ j7 á x % ò € ª œé ß –> “   œ í Ÿ íd ”    H Z – Ð
 ? /% 3 



. x d ”  -Ÿ íd ”   — ¸4 S q\ " f  H ¿ º 7 á xç ß –_   © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ ¬ ¹



K  Šҍ  H ì ø Í6 £ x† < Êà º € 9 à º& h “  X <,  © œ ´ ú §s   6   x ÷ &# Q t

  H ì ø Í6 £ x† < Êà º  H Beddington(1975) \  _ K  ] jî ß –÷ &# Q & ’ 



 [18].

c(X, Y ) = bX

k ⁰ + kY + X (1)

#

Œl " f, b  H þ j@ / ™ èq Ö  ¦, k  H Ÿ íd ”   ç ß –[ O  B > h  à º, Õ ª o

“ ¦ k ⁰   H Ÿ í o 6   x| ¾ Ó © œÃ ºs  . d ”  (1)\ " f k ⁰ = 0 s   ¿ º

€ 

, ì ø Í6 £ x† < Êà º  H  6 £ § õ  ° ú  s  ½ ¨K ”   .

c(X, Y ) = bX

kY + X (2)

Ruxton(1992) [19] \  _  €  , (2)_  d ” `  ¦  6   x½ + É Ã º e ” 



 H  כ “ É r Ÿ íd ”   é ß –0 Ar ç ß –\   H % ò % i `  ¦ „ à Ð ½ + É Ã º e ” 



  H ] jô  ǝ ) a î ß –\ " f 0 p x† < Ê`  ¦ ˜ Ð% i  . Õ ªo “ ¦ Õ ª Ê ê\  7

á

x[ þ t_  î  r1 l x$ í õ  › ' aº   ) a ¢ ¸   É r K $ 3 • ¸ ] jî ß – ÷ &# Q& ’ 



(Huisman and de Boer 1997) [18].

Ä

ºo   H 7 á xç ß –_   © œ  ñ Œ •6   x s  d ”  (2)\  ¦  Ø Ô“ ¦, x d ”  _ 

$ í

 © œs  – Ðt Û ¼h Ë : ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦   É r  “ ¦ & ñ # Œ  A ü < ° ú  

“ É

r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨$ í % i  .

∂Z

∂T = D _Z ∇ ² Z + b ₂ ZY

k 2 Z + Y − µ 2 Z

∂Y

∂T = D _Y ∇ ² Y + b ₁ Y X

k 1 Y + X − µ 1 Y − b ₂ Y Z k 2 Z + Y

∂X

∂T = D _X ∇ ² X + b ₁ Y X k 1 Y + X + R

 1 − X

K

 X (3)

#

Œl " f, T   H r ç ß –, Rõ  K  H $ í  © œÒ  ¦ õ  x d ”  _  Ÿ í o6   x

|

¾ Ó`  ¦ y Œ •y Œ •
  · p . b i   H þ j@ /Ÿ íd ” Ö  ¦, k i   H Ÿ íd ”  _  ç ß – [ O

 B > h  à º, µ 1   H  } © œÒ  ¦`  ¦
  · p . Õ ªo “ ¦ D i   H x  d ”

  Ÿ íd ”  _  S X ‰í ß – > à ºs  . 7 £ ¤, 7 á x[ þ t_  î  r1 l x“ É r S X ‰í ß –

`

 ¦ : Ÿ x K " f { 9 # Qz Œ ™`  ¦ _ p ô  Ç .

d ”

 (3)\  _ K  ] jî ß – ) a — ¸4 S q“ É r 10 > h_  B > h  à º\  ¦ t 

“

¦ e ” l  M :ë  H \  à º† < Æ& h Ü ¼– Ð  -Á º 4 Ÿ ¤¸ ú š  . Õ ªA " f Ä ºo 



 H B > h  à º_  > hà º\  ¦ ×  ¦ s l  0 AK " f  6 £ § õ  ° ú  s  B > h

 

à º[ þ t`  ¦ Á º " é ¶   à º– Ð u  ¨ 8 Š % i  .

x = X

π , y = Y

Y _m , z = Z α , t = T

τ , r ^ρ = r ^ρ

⁰

(D Z τ ) ^1/2 α = Y m

k 2

, d 1 = D Y

D Z

, d 2 = D X

D Z

(4) s

\  ¦ s 6   x # Œ d ”  (3)`  ¦ & ñ o  “ ¦,  A _  & ñ _ \  ¦ s 6   x

# Œ  r  ô  ǁ   u  ¨ 8 Š`  ¦ €  ,

λ = µ 2 τ, β = b 2 τ, δ = β k ₂ , σ = µ 1 τ, ω = b 1 ρ (5) d ”

 (3)“ É r þ j7 á x& h Ü ¼– Ð d ”  (4)  ) a  .

∂z

∂t = ∇ ² z + β yz y + z − λz

∂y

∂t = d 1 ∇ ² y + ω xy

x + y − δ yz

y + z − σy + yφ y (t)

∂x

∂t = d ₂ ∇ ² x − υ xy

x + y + ρ(1 − x)x + xφ x (t)

= x(0), y(0), z(0) > 0 (6)

Fig. 1. Spatial densities of each species when (a) super predator at t = 200, (b) predator at t = 200, (c) prey at t = 200, (d) super predator at t = 500, (e) predator at t = 500, (f) prey at t = 500.

d ”

 (4)\   H ¨ 8 Š â _  % ò † ¾ Ó`  ¦ “ ¦ 9 l  0 AK " f φ(t) † ½ Ós  Æ Ò

 ÷ &# Q4 R e ”  . φ(t)  H Ä ºr î ß – ¸ ú š6 £ § Ü ¼– Ð hφ i (t) · φ j (t + τ ) i = mδ(τ )δ ij _   © œ› ' a› ' a > \  ¦ t “ ¦ e ”  .

III. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

Ä

ºo   H d ”  (4)– Ð Å Ò# Q”   — ¸4 S q`  ¦  6 £ § õ  ° ú  “ É r  © œÃ º ° ú כ[ þ t

`

 ¦ s 6   x # Œ à ºu K $ 3  % i  . λ = 0.6, ρ = ω = σ = β

= 1.0, v = 1.5, δ = 0.5, d 1 = 0.4, d 2 = 0.3 s  ° ú כ[ þ t“ É r Kuzbetsov et al. (1995) [20]\  ¦ ‚ à Л ¸ % i  . s   7 Hë  H \ 

"

f  H d ” Ó ü te  ¦| ½ Óß ¼— : r, 1 l xÓ ü te  ¦| ½ Óß ¼— : r,  Œ •“ É r Ó ü t “ ¦l \  @ /ô  Ç z 

´+ « >& h  ° ú כ`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H r Û ¼% 7 › ß ¼ l

(L) 100×100“    â Ä º\  @ /K " f r Ð 3 x ? /l  % i  . r  Û

¼% 7 › ß ¼l  L = 200 “    â Ä º\ • ¸   õ \   H  _     o

\ O

% 3  . Fig. 1“ É r (a), (b), (c): t = 200; (c), (d), (e):

t = 500 \ " f_  œ í-Ÿ íd ”  , Ÿ íd ”  , x d ”  _  / B Nç ß –\  @ / ô 

Ç x 9 • ¸\  ¦
 ? /“ ¦ e ”  . r ç ß –s  t z Œ ™\    " f 7 á x[ þ t _  x 9 • ¸ ì  r Ÿ í/ B G€  s  7 á §  8 ¨ î ¨ î >       H  כ `  ¦ ˜ Ð# Œï  r



. s   H y Œ • 7 á x[ þ t s  S X ‰í ß –`  ¦ l  M :ë  H \  { 9 # Q
  H ‰ & ³ © œs 



. r ç ß –\    É r 7 á x ì  r Ÿ í% ò % i s  # Qb  G>    K   H t \  ¦ › ¸



 l  0 AK " f Ä ºo   H  6 £ § õ  ° ú  “ É r | 9 " f B > h  à º(order parameter) S(r ^ρ , t)\  ¦ & ñ _  % i  .

S(r ^ρ , t) =  if (d(r ^ρ , t) ≥ 0.9d max ) = 1 otherwise = 0

#

Œl " f d  H / B Nç ß –_  e ” _ _  t & h \ " f_  7 á x x 9 • ¸\  ¦
  · p



. Õ ªo “ ¦ d  H „   / B Nç ß –\ " f 7 á x_  þ j@ / x 9 • ¸\  ¦
  · p .

y

Œ

• 7 á x \  e ” # Q" f y Œ • þ j@ /x 9 • ¸_  90 % s  © œs  ÷ &  H x 9 • ¸\  ¦

˜

Ðs   H t % i `  ¦ 1 – Ð Õ ª ˜ Ð  ± ú “ É r x 9 • ¸_  t % i `  ¦ 0 Ü ¼– Ð ô  Ç



. Fig. 2  H r ç ß –\    É r [ j 7 á x_  % ò % i ë  H€ ª œ_     o\  ¦ ˜ Ð

#

Œï  r  .: (a), (e), (i): t = 0, (b), (f), (j) t = 100, (c), (g), (k) t = 200, Õ ªo “ ¦ (d), (h), (l) t = 500 ( © œ 0 A_  Õ ªa Ë >

“ É

r œ í-Ÿ íd ”  \  ¦, ×  æç ß –\  e ”   H Õ ªa Ë >“ É r Ÿ íd ”  \  ¦,  © œ   A

\  e ”   H Õ ªa Ë >“ É r x d ”  \  ¦
 ? /“ ¦ e ”  . µ 1 ߓ É r  Òì  r“ É r S = 0“    â Ä º\  K { © œ “ ¦  Ž “ É r  Òì  r“ É r S = 1“   % ò % i \  K

{ © œô  Ç . r ç ß –\          H 7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ`  ¦ : £ ¤f ç f ± l  0 AK " f €  $   6 £ § õ  ° ú  “ É r / B Nç ß – © œ› ' a † < Êà º\  ¦ > í ß – % i  .

C(r ^ρ , t) = h 1 N ²

N

²

X

i=1

S i (t)S i+r (t) i

#

Œl " f <>  H  € ª œô  Ç œ íl  ì  r Ÿ í\  @ /ô  Ç / B Nç ß –& h  ¨ î ç  H`  ¦ _ p ô  Ç .  © œ› ' a† < Êà º_  Û ¼H { 9 a A“ É r  6 £ §_  › ' a > d ” Ü ¼– Ð Å Ò

# Q”   .

C(r ^ρ , t) = g

 r L(t)



= g  r t ^φ

 ,

#

Œl " f L(t) ∼ t ^φ   H 7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ_  : £ ¤$ í U  ´s \  ¦
 

?

/“ ¦ e ”   [21]. Fig. 3“ É r r ç ß –_  â ì2 £ § \  @ /ô  Ç y Œ • 7 á x[ þ t _

 L(t)\  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . # Œl " f r ç ß – t  H n(n = (t/5

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  [ j é ß –> _  " 3 s  _ þ t ½ ¨› ¸\  ¦ t   H Ÿ íd ”  -x d ”  _  7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ % i † < Æ – s  © œ B 1 p x -525-

Fig. 2. Spatial distribution of each species at different times: (a), (e), (i) t = 0; (b), (f), (j) t = 100; (c), (g), (k) t = 200; (d), (h), (l) t = 500 where d 1 = 0.4, d 2 = 0.3, and initial x, y and z is 0.7, 0.5, and 0.1, respectively. Irregular domain pattern arises as a result of effects between the diffusion and the nonlinear interaction for each species. Here, dark sites refer to S = 1 sites, bright sites to S = 0 sites.

+ 9)/10) Ü ¼– Ð F  Û ¼H { 9 ÷ &# Q e ”  . s   â Ä º, œ í-Ÿ íd ”   ü

< Ÿ íd ”    H φ = 1.37 Õ ªo “ ¦ 1.94 _  t à º ° ú כ`  ¦ t   H ì

ø ̀   x d ”    H ¿ º > h_  $ í  © œ t à º\  ¦ ”   . 7 £ ¤, x d ”   _

  â Ä º ¿ º Ÿ íd ”  _   â Ô q tÜ ¼– Ð “  K  $ í  © œs  % 3 ] j ÷ &# Qt 



 H r ç ß –s  e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . s   â Ä º_  7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ _  l  † < Æ& h  — ¸€ ª œ`  ¦ á ÔÏ þ ˜» 1 Ï " é ¶`  ¦ s 6   x # Œ ì  r$ 3 K  ˜ Ð

€ 

, crossover { 9 # Q
  H r ç ß –\ " f 7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ s   © œ

Fig. 3. Characteristic length scales of the domain pat- terns of each species at different time 500, where d 1 = 0.4, d 2 = 0.3, and initial x, y and z is 0.7, 0.5 and 0.1, respectively.

é

ß –í  H K  f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  (Fig. 4). Fig. 5  H crossover r  ç

ß –(τ ) 7 á x[ þ t_  œ íl  x 9 • ¸\  # Qb  G>  _ ” > r   H t \  ¦ ˜ Ð# Œ ï

 r  . œ í-Ÿ íd ”  _  œ íl  x 9 • ¸ & t €  , τ   H ×  ¦ # Q× ¼  H  â

†

¾ Ó`  ¦(a), x d ”  _  x 9 • ¸ 7 £ x  €   τ   H 7 £ x    H  ⠆ ¾ Ó

`

 ¦(b), Õ ªo “ ¦ Ÿ íd ”  _  x 9 • ¸ 7 £ x \  @ /K " f  H כ ¹1 l x   H

 כ

`  ¦ ˜ Ð# Œ ï  r  (c). Õ ªo “ ¦ S X ‰í ß –> à º_  q  d 2 /d ₁ s  & | 9  Ã

º2 Ÿ ¤ τ   H y Œ ™™ è   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . Fig. 6“ É r x d ”  _ 



€ ª œô  Ç œ íl  x 9 • ¸\  @ /ô  Ç $ í  © œt à º φ\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . x d ” 



_   â Ä º crossover r ç ß – s Ê ê\  ¿ º > h_  ° ú כÜ ¼– Ð
¾ º# Q t

  H  כ `  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . s M : œ í-Ÿ íd ”  ü < Ÿ íd ”  _  $ í  © œt 

Fig. 4. Fractal dimensions of spatio-temporal domain

patterns of each species at different time.

Fig. 5. (a-d) The plot of the crossover time against each species and the relative diffusion coefficient where d 1 = 0.4, d 2 = 0.3.

Ã

º φ  H ß ¼>     t  · ú §  H  . Fig. 7“ É r ü @Â Ò ¨ 8 Š â _  % ò † ¾ Ó

`

 ¦ ¬ ¹ ô  Ç ¨ 8 Š â _  % ò † ¾ Ó`  ¦
 ? /  H ” ¸s Ý ¼ † ½ Ó_  ß ¼l \ 

@

/ô  Ç 7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ_  $ í  © œt à º\  ¦ ˜ Ð# Œ Šғ ¦ e ”  . x d ”   _

  â Ä º crossover r ç ß –_  „  Ê ê– Ð
¾ º# Q t   H ¿ º $ í  © œt  Ã

º ° ú כs  ” ¸s Ý ¼ ß ¼l  7 £ x † < Ê\    " f " f– Ð ] X   H K  



 H  כ `  ¦ ˜ Ð# Œ ï  r  . ì ø ̀  \ , œ í-Ÿ íd ”  ü < Ÿ íd ”  _   â Ä º

Fig. 6. The plot of the growth exponent against prey’s density where d 1 = 0.4, d 2 = 0.3, and initial x and y is 0.7, 0.5, respectively.



 H  _  ¨ 8 Š â \  @ /K  % ò † ¾ Ó`  ¦ ~ à Ît  · ú §  H    H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”

 .

IV. + s Ç Â ] Ø

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f Ä ºo   H ¨ 8 Š â ´ òõ \  ¦ Ÿ í† < Ê   H [ j % ò € ª œé ß –>  _  x d ” -Ÿ íd ”   — ¸4 S q`  ¦ ë ß –[ þ t # Q  € ª œô  Ç › ¸| \ " f_  7 á x ì  r

Ÿ

íë  H€ ª œ\  @ /K  · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ . 7 á x[ þ t_  œ íl  x 9 • ¸ì  r Ÿ í\   

Fig. 7. The plot of the growth exponent against ampli-

tude of noise where d 1 = 0.4, d 2 = 0.3, and initial x and

y is 0.7, 0.5, respectively.

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  [ j é ß –> _  " 3 s  _ þ t ½ ¨› ¸\  ¦ t   H Ÿ íd ”  -x d ”  _  7 á x ì  r Ÿ íë  H€ ª œ % i † < Æ – s  © œ B 1 p x -527-



" f ì  r Ÿ íë  H€ ª œs       H X < s M : t à ºZ O g Ë :`  ¦  Ø Ô 9 $ í  © œ

  H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i “ ¦, ¢ ¸ô  Ç x d ”  _   â Ä º  H crossover r

ç ß – τ \  ¦ t  9 ¿ º t  $ í  © œt à º\  ¦ f ” `  ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ . s 



 H Ÿ íd ”  ü < œ í-Ÿ íd ”  _   © œ  ñ Œ •6   x Ü ¼– Ð x d ”  _  $ í  © œ s

 œ íl \  % 3 ] j ÷ &# Qt   H õ & ñ s  e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð# Œ Šҍ  H  כ s 



. Õ ªo “ ¦ ü @Â Ò ¨ 8 Š â _  % ò † ¾ Ó`  ¦
 ? /  H ” ¸s Ý ¼_     o

\

 @ /K  œ í-Ÿ íd ”  ü < Ÿ íd ”    H  _  % ò † ¾ Ó`  ¦ ~ à Ît  · ú §  H ì ø Í

€ 

, x d ”  _   â Ä º  H ì  r Ÿ íë  H€ ª œ\  % ò † ¾ Ó`  ¦ p g Ë >`  ¦ µ 1 Ï|  

%

i  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ] jî ß – ) a — ¸4 S q“ É r & h › ¸‰ & ³ © œ ° ú  “ É r ë  H ] j\ 

•

¸ & h 6   x ÷ &# Q  6   x ÷ &# Q| 9  à º e ” `  ¦  כ s  .

P c

p 8 ý ò k >

—

¸4 S q_  Ò q tÓ ü t† < Æ& h  › ' a > \  @ /K  ž Ð_  K  ŠҒ   ^ ” ‚  Å Ò_ ”  a

 y Œ ™  × ¼w n m  . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H ô  Dz D G õ † < ÆF é ß – : £ ¤& ñ l œ íƒ  

½

¨(R01-2002-000-00038-0) t " é ¶ Ü ¼– Ð Ã º' Ÿ ÷ &% 3 6 £ §.

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] S. A. Levin and L. A. Segan., Nature 259: 659 (1976).

[2] S. A. Levin and L. A. Segan., Ecology 73: 1943 (1992).

[3] S. R. Hansen, S. P. Hubbell, Science 207, 1491 (1980).

[4] A. M. Turing, Philos. Trans. R. Soc. London Ser. B 237, 37 (1952).

[5] A. B. Medvinsky et al., From Individual to Collec- tive Dynamics, edited by F Schweitzer (Gordon and Breach Sci. Publ,. Amsterdam, 1997), p. 269.

[6] G. Cocho, R. Perez-Pascual, J. L. Rius, and F. Soto.

J. Theor. Biol. 125, 437 (1987).

[7] G. B. Ermentrout and L. Edelstei-Keshet, J. Theor.

Biol. 160, 97 (1993).

[8] B. Chopard and M. Droz, Cellular automata model- ing of physical systems (Cambridge University Press, Cambridge. 1998).

[9] J. D. Murray, Mathematical Biology (Springer- Verlag, Berlin, 1989).

[10] S. A. Levin, T. M. Powell and J. H. Streele, Lecture Notes in Biomathematics, edited by Patch Dynam- ics (Springer-Verlag, Berlin, 1993). Vol. 96.

[11] D. L. Benson, J. A. Sherratt and P. K. Maine., Bul- letin of Math. Bio. 55, 365 (1993).

[12] Segel, L. A. and J. L. Jackson, J. Theor. Biol. 37, 545 (1972).

[13] A. Klebanoff and A. J. Hastings, Math. Biol. 32, 427 (1994).

[14] S. Rinaldi, S. Dal Bo and E. J. De Nittis, Math.

Biol. 35, 158 (1996).

[15] T. M Powell, Ecological Time Series, edited by T.

M. Powell and J. H. Steele (Chapman 6 Hall, New York. 1995) p. 119.

[16] M. Pascual, Proc. R. Soc. London B 251, 1 (1993).

[17] V. Voltera, Memoria Academia Lincei 2: 31 (1926).

[18] J. R. Beddington, Journal of Animal Ecology 44, 331 (1975).

[19] G. D. Ruxton, W. S. Gurney and A.M. de Roos.

Theoretical Population Biology 42, 235 (1992).

[20] YU. A. Kuznetsov and S. Rinaldi. Mathematical Biosciences 134, 1 (1995).

[21] N. Goldenfeld, Lectures on Phase Transitions and

the Renormalization Group (Addisson-Wesley, New

York, 1992).

Domain Pattern Dynamics of Three-Trophic Food Chain Model with Environmental Interaction

S.-H. Lee ^∗ and H. K. Pak

Department of Physics, Pusan National University, Busan 609-735

T.-S. Chon

Division of Biological Sciences, Pusan National University, Busan 609-735 (Received 1 April 2004)

Modeling the dynamics of interacting species (or populations) is a long-standing problem in sci- ence which, in the recent years, has attracted the attention of many physicists working in statistical physics. Most of the studies have been connected with the population density. On the other hand, we investigated the pattern dynamics of a three-trophic population model in a two dimensional space. By measuring the spatial correlation function of the domain patterns, whose density was higher than 90 % of the maximum density in the whole area, we found that the characteristic length scale of the ordered domain increased in time according to a power law of the form L(t) ∼ t

^φ

for the super-predator and the predator. In the case of prey, the growth exponent changed at the crossover time t = τ . In order to investigate the geometrical features of the domain patterns, we also studied the time evolution of the “fractal dimension” of the domain patterns. In addition, the effects of Gaussian noise, representing an environmental interaction, on each species were investigated.

PACS numbers: 60

Keywords: Three-trophic, Food chain, Power law

∗

E-mail: [email protected]