공학수학

2018년 2학기 2

class

Jihoon Jang

공학수학

미분 / 적분의 성질

미분

1. 미분의 정의

■ 미분 (differential, 微分)

: 어떤 운동이나 함수의 순간적인 움직임(변화율)을 서술하는 방법

2. 미분에 대한 그래프 접근

■ 그래디언트 (gradient)

: 현의 기울어진 정도 (= 평균 변화율)

직선 A-B에서 𝑦의 변화율 점 A에서 𝑦의 변화율

2. 극한과 연속성

■ 극한과 연속성

1. 극한(limit) : 함수의 값이 어떠한 값으로 가까워지거나, 또는 점점 멀어지는 움직임

○ 𝑦 𝑥 = ቐ1 − 𝑥 𝑥 < 0 3 𝑥 = 0 𝑥 + 1 𝑥 > 0

로 정의되는 함수에서 다음을 계산하시오.

𝑎 lim

𝑥→3𝑦 𝑏 lim

𝑥→−1𝑦 𝑐 lim

𝑥→0𝑦

𝑎 𝑥 < 0 일 때, 𝑦 𝑥 = 𝑥 + 1 이므로,

𝑥 → 3에 근접함에 따라, 𝑦 = 3 + 1 ∴ lim

𝑥→3𝑦 = 4 𝑏 𝑥 > 0 일 때, 𝑦 𝑥 = 1 − 𝑥 이므 로,

𝑥 → −1에 근접함에 따라, 𝑦 = 1 − (−1) ∴ lim

𝑥→−1𝑦 = 2 (c) 𝑥 = 0 일 때, 𝑦 0 = 3 이지만, lim 는 0은 아니다.

2. 극한과 연속성

■ 극한과 연속성

○ 극한값의 존재

○ 함수의 연속

3. 변화율

■ 특정 점에서의 변화율

: 독립변수의 증분을 고려하여 계산한다.

○ 구간 3, 3 + 𝛿𝑥 에서 𝛿가 0에 근접할 떄, 𝑥 = 3에서 𝑦 = 3𝑥² + 2의 변화율을 구하시오.

sol) 𝑥 = 3에서 𝑦 3 = 3 ∙ 3 ² + 2 = 29,

𝑥 = 3 + 𝛿𝑥에서 𝑦 3 + 𝛿𝑥 = 3 ∙ 3 + 𝛿𝑥 ² + 2 = 3 𝛿𝑥 ² + 18𝛿𝑥 + 29 이다.

따라서, 구간 3, 3 + 𝛿𝑥 에서 𝑦의 변화율= ^𝑦의 변화량

𝑥의 변화량

= ^{3 𝛿𝑥 2}+18𝛿𝑥+29 −29 3+𝛿𝑥 −3

= 3𝛿𝑥 + 18

3. 변화율

■ 임의의 점에서의 변화율

: 독립변수의 증분 및 그에 따른 종속변수의 증분을 고려하여 계산한다.

○ 함수 𝑦(𝑥) = 2𝑥² + 3𝑥의 변화율을 구하시오.

sol) 𝑦 𝑥 + 𝛿𝑥 = 2 𝑥 + 𝛿𝑥 ² + 3 𝑥 + 𝛿𝑥 = 2𝑥² + 4𝑥𝛿𝑥 + 2𝛿² + 3𝑥 + 3𝛿𝑥

𝑦의 변화율= lim

𝛿𝑥→0

𝑦의 변화량

𝑥의 변화량 = lim

𝛿𝑥→0

𝑦 𝑥+𝛿𝑥 −𝑦 𝑥 𝛿𝑥

= lim

𝛿𝑥→0

2𝑥²+4𝑥𝛿𝑥+2𝛿²+3𝑥+3𝛿𝑥 − 2𝑥²+3𝑥 𝛿𝑥

= lim

𝛿𝑥→0 2𝛿𝑥 + 4𝑥 + 3 = 4𝑥 + 3

4. 미분의 표시

■ 미분 (derivative)

○ 𝑦의 변화율은 𝑦의 미분이라 함 : lim

𝛿𝑥→0 𝛿𝑦

𝛿𝑥 = ^d𝑦

d𝑥 = 𝑦′ 으로 표기함.

5. 자주 사용되는 함수의 미분

6. 미분 기법

■ 다음을 미분하시오.

t x

t y

x y

x y

z x

t y e

x x

y

t t

t e

y

x x

t t

2 ,

1 .

7

) 8 ln(

. 6

, 1 .

5 . 1 4

sin .

3

) 1 ,

0 (

. 2

7 9

3 . 1

2 5

6 2

2

2 2

















 



















7. 미분 기법

■ 미분의 선형 연산자 특성

   

t e

dt t e d

dt d dt

dy

t e

y

t t t

2 .

2

2 2





















7. 미분 기법

■ 미분의 선형 연산자 특성

  ^{   }

     

9 6

0 7

1 9 2

3

1 7

9 3

7 9

3 .

1

2 2





























x x

dx x d

dx x d

dx d dx

dy

x x

y

7. 미분 기법

■ 곱함수 미분법

d x x x

d x dy

x x

y

) (sin sin

) ( sin .

3







7. 미분 기법

■ 분수함수 미분법

   

   





2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

1

2 2

1 1

1 1 . 1

4









 





 



 





 



 



 

t

t e e t

t

dt t e d dt t de

dt dy

t y e

t t t

t t

7. 미분 기법

■ 연쇄법칙 (치환법칙)

     

6 2

1 ,

.

5   

d d

dz dy

dy

z y

x

z

7. 미분 기법

■ 자연로그의 미분

 

8 5

8 8

) 8 ln(

. 6

5 4 5

5 5

 



 





x x x

dx x d dx

dy

x

y

7. 미분 기법

■ 매개변수 미분법

○ 제 3의 변수를 이용한 미분법 → 연쇄법칙을 사용

○ 𝑦 = 1 + 𝑡 ², 𝑥 = 2𝑡 일 때 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 를 구하시오.

sol) ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2 1 + 𝑡 ,^𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 2 이므로,

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 × ^𝑑𝑡

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = ^{2 1+𝑡}

2 = 1 + 𝑡 = 1 + ^𝑥

2

7. 미분 기법

■ 음함수 미분법

: y에 대한 함수를 치환하여 계산한다.

○ 𝑥³ + 𝑦 = 1 + 𝑦³ 일 때 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 를 구하시오.

sol) ^𝑑

𝑑𝑥 𝑥³ + 𝑦 = ^𝑑

𝑑𝑥 1 + 𝑦³ 좌변을 미분하면, ^𝑑

𝑑𝑥 𝑥³ + 𝑦 = ^𝑑𝑥3

𝑑𝑥 + ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2𝑥² + ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

우변을 미분하면, ^𝑑

𝑑𝑥 1 + 𝑦³ = ^𝑑

𝑑𝑥 1 + ^𝑑

𝑑𝑥 𝑦³ = ^𝑑

𝑑𝑥 𝑦³ 𝑧 = 𝑦³으로 두면, ^𝑑𝑧

𝑑𝑥 = ^𝑑𝑧

𝑑𝑦 × ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ^{𝑑 𝑦3}

𝑑𝑦 × ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑦^{2 𝑑𝑦}

𝑑𝑥

적분

1. 적분

■ 정적분과 부정적분

1. 부정적분 (indefinite integral, 不定積分)

: 𝑥로 미분하여 𝑓(𝑥)가 되는 함수 𝑦가 있을 때 이 함수 𝑦를 구하는 연산

1. 적분

■ 정적분과 부정적분

2. 정적분 (definite integral, 定積分)

: 폐구간 [a, b]를 가지는 유계인 함수 f(x)를 무한히 구분하여 극한값 S에 수렴하면, S를 계산하는 연산

׬

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)

= 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

1. 적분

■ 정적분과 부정적분

2. 정적분 (definite integral, 定積分)

: 폐구간 [a, b]를 가지는 유계인 함수 f(x)를 무한히 구분하여 극한값 S에 수렴하면, S를 계산하는 연산

׬

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)

= 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

2. 적분의 기법

■ 부분적분

○ 부분적분은 다음과 같이 계산한다.

○ ׬₀²𝑥𝑒^𝑥d𝑥 를 계산하시오.

sol) 𝑢 = 𝑥,^𝑑𝑣

𝑑𝑥 = 𝑒^𝑥라 두면, ^𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 1, 𝑣 = 𝑒^𝑥 이므로

׬₀²𝑥𝑒^𝑥d𝑥 = 𝑥𝑒^𝑥 ₀² − ׬₀²𝑒^𝑥 ∙ 1d𝑥

= 2𝑒² − 𝑥𝑒^𝑥 ₀²

2. 적분의 기법

■ 치환적분

○ 치환적분은 다음과 같이 계산한다.

○ ׬ 3𝑥 + 1 ^2.7d𝑥 를 계산하시오.

sol) 𝑧 = 3𝑥 + 1 이라 두면 ^𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 3, 즉 𝑑𝑥 = ^𝑑𝑧

3 이다.

주어진 식을 𝑧에 관해 표시한 후, 적분을 실시한다.

׬ 𝑧^{2.7 1}

3d𝑧 = ¹

3׬ 𝑧^2.7d𝑧 = ¹

3

𝑧^2.7

3.7 + 𝐶 = ¹

3 𝑧^2.7

3.7 + 𝐶

2. 적분의 기법

■ 부분분수를 이용한 적분

: 유리함수의 적분 → 부분분수로 나눈 후 적분한다.

○ ׬ ^13𝑥−4

6𝑥²−𝑥−2d𝑥 를 계산하시오.

sol) ׬ ^13𝑥−4

6𝑥²−𝑥−2 d𝑥 = ׬ ^13𝑥−4

2𝑥+1 3𝑥−2 d𝑥

= ׬ ³

2𝑥+1 + ²

3𝑥−2d𝑥

= ³

2׬ ²

2𝑥+1d𝑥 + ²

3׬ ³

3𝑥−2d𝑥

= ³ln 2𝑥 + 1 + ²ln 3𝑥 − 1 + 𝐶

3. 적분의 응용

■ 함수의 평균값

면적

𝐴 = න

𝑎 𝑏

𝑓𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝑎 × ℎ

3. 적분의 응용

■ 함수의 평균값

3. 적분의 응용

■ 함수의 제곱평균제곱근 값 (root mean square, r.m.s)

감사합니다

■ 참고 문헌

1. 주교재 : 공학수학(제 4판)

: Anthony Croft 등 4명, 한티미디어, 2016. page 385 ~ 518 page