확률및통계 :
#27 – #28. 확률 변수의 쌍 (4)
Inkyu Bang
Hanbat National University KOCW (Korea Open Course Ware)
교재내용
v강의시간에 다룬 교재 내용
1장. 확률모델: 1.1절, 1.2절, 1.3절
2장. 확률론의 기본: 2.1절, 2.2절, 2.4절, 2.5절, 2.6절 3장. 이산 확률 변수: 3.1절, 3.2절, 3.3절, 3.4절, 3.5절 4장. 확률 변수: 4.1절, 4.2절, 4.3절, 4.4절, 4.5절
---> 중간고사 범위
5장. 확률 변수의 쌍: 5.1절 – 5.6절, 5.9절 (TODAY) 5.7절, 5.8절
+ (*11주차) 균등 분포의 보편성, Rayleigh 분포(p.21 – p.24)
+ (*12주차) 가우스 확률 변수 쌍과 상관계수(p.10 – p.15)
학습목표
§ 복습
§ 두 확률 변수의 조건부 확률
§ 두 확률 변수의 함수
§ 요약
복습 (1/3)
§ 우리의 관심: 확률 변수 𝑋 의 특성 → 확률 변수의 쌍 (𝑋, 𝑌)의 특성
하나의 확률 변수: 𝑋 두 개의 확률 변수: 확률 변수의 쌍 (𝑋, 𝑌)
이산 확률 변수
PMF(확률 질량 함수) 𝑝! 𝑥 = 𝑃[𝑋 = 𝑥]
𝑋, 𝑌모두 이산 확률 변수
joint PMF(결합 확률 질량 함수): 𝑝!,# 𝑥, 𝑦 = 𝑃[𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦]
확률 변수
CDF(누적 분포 함수) 𝐹! 𝑥 = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥]
PDF(확률 밀도 함수) 𝑓! 𝑥 = $%$ 𝐹!(𝑥)
𝑋, 𝑌확률 변수
joint CDF(결합 누적 분포 함수): 𝐹!,# 𝑥, 𝑦 = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦]
joint PDF(결합 확률 밀도 함수): 𝑓!,# 𝑥, 𝑦 = &!
&%&'𝐹!,#(𝑥, 𝑦) 기대값: 𝐸 𝑋 , 𝑌 = 𝑔 𝑋 , 𝐸 𝑌 = 𝐸[𝑔 𝑋 ]
분산: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 , 𝑌 = 𝑔 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟[𝑔 𝑋 ]
두 확률 변수의 독립 조건
공분산: 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸[𝑌]
상관 계수: 𝝆𝑿,𝒀 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 ÷ 𝜎!𝜎#
확률 변수의 함수 𝑌 = 𝑔 𝑋 주요 확률 변수: 결합 가우스 확률 변수
복습 (2/3)
①두 확률 변수의 결합 모멘트
ü 두 확률 변수 𝑋, 𝑌을 연관성을 파악하기 위한 척도 ü공분산, 상관 계수의 정의와 의미
②결합 가우스 확률 변수
ü결정 요소: 두 확률 변수의 각 평균,분산 및 상관계수
ü 그래프의 형태
복습 (3/3)
•
T/F 확인 문제
(1) 두 확률 변수 𝑋, 𝑌에 대해, 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 이 성립하면 𝑋, 𝑌는 독립이다.
(2) 확률 변수 𝑋의 평균(𝐸 𝑋 )과 분산(𝑉𝑎𝑟 𝑋 )은 각각 3, 1이고 확률 변수 𝑌의 평균과 분산은 각 각 2, 4일 때, 항상 𝐸 𝑋𝑌 ≤ 12 이다.
두 확률 변수의 조건부 확률 (1/6)
§ (복습) 조건부 확률
ü사건 𝐵가 이미 발생했을 때 𝐴의 발생 확률: 𝑃 𝐴 𝐵 =
# $∩&# &§ 두 확률 변수 (𝑋, 𝑌)의 조건부 확률
ü 확률 변수 𝑌가 사건 𝐴에 대응, 𝑋가 사건 𝐵에 대응되는 경우 𝑃 𝑌 in 𝐴 𝑋 in 𝐵 = 𝑃 𝑌 in 𝐴 ∩ 𝑋 in 𝐵
𝑃 𝑋 in 𝐵 , for 𝑃 𝑋 in 𝐵 > 0
*확률 변수 𝑿, 𝒀의 형태(이산/연속)에 따라 여러 계산 방법이 존재
두 확률 변수의 조건부 확률 (2/6)
§ [Case 1-1] 𝑋: 이산 확률 변수, 𝑌: 이산 확률 변수 ( ✓ ) ü조건부 확률 질량 함수 (conditional PMF)
𝑝
!𝑦 𝑥 = 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑌 = 𝑦 ∩ 𝑋 = 𝑥 𝑃 𝑋 = 𝑥
§ [Case 1-2] 𝑋: 이산 확률 변수, 𝑌: 연속 확률 변수 ( ✓ ) ü조건부 누적 분포 함수 (conditional CDF)
𝐹
!𝑦 𝑥 = 𝑃 𝑌 ≤ 𝑦 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑌 ≤ 𝑦 ∩ 𝑋 = 𝑥
𝑃 𝑋 = 𝑥 = D
' (
𝑓
!𝑡 𝑥 𝑑𝑡
두 확률 변수의 조건부 확률 (3/6)
•
예제 5-21(교재 예제 5-31):
𝑋는 1/3과 2/3 확률로 +1 또는 -1의 값을 가지는 확률 변수이고 𝑊 은 평균이 0이고 분산이 1인 가우스 확률 변수이다. 어떤 통신 시스템의 수신 출력이 𝑌 = 𝑋 + 𝑊일 때, 𝑃[𝑋 = +1|𝑌 > 0]의 값을 구하여라. *Hint: 𝑓< 𝑦 𝑥 이용, 𝛷 𝑧 = ∫=>? @AB𝑒=!"" 𝑑𝑡두 확률 변수의 조건부 확률 (4/6)
§
[Case 2] 𝑋: 연속 확률 변수, 𝑌: 이산/연속 확률 변수
(✓)ü 조건부 확률 밀도 함수
(conditional PDF)𝐹
<𝑦 𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + ℎ = 𝑃 𝑌 ≤ 𝑦 ∩ 𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + ℎ 𝑃 𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + ℎ
C→E
lim 𝐹
<𝑦 𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + ℎ = ∫
=>F∫
GGHC𝑓
I,<𝑡, 𝑢 𝑑𝑡𝑑𝑢
∫
GGHC𝑓
I𝑡 𝑑𝑡 = ∫
=>F𝑓
I,<𝑡, 𝑢 𝑑𝑢 𝑓
I𝑡
𝑓
<𝑦 𝑥 = 𝑓
I,<𝑥, 𝑦
두 확률 변수의 조건부 확률 (5/6)
•
예제 5-22(교재 예제 5-32):
아래의 𝑓I,< 𝑥, 𝑦 가 결합 확률 밀도 함수일 때, 𝑓I 𝑥|𝑦 와 𝑓< 𝑦|𝑥 을 구하여라. *Hint: 구간 유의!𝑓I,< 𝑥, 𝑦 = =2𝑒=G𝑒=F 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 < ∞ 0 otherwise
두 확률 변수의 조건부 확률 (6/6)
•
예제 5-23(교재 예제 5-35):
예제 5-20에서 𝑌 = 𝑦일 때, 𝑋 = +1일 확률, 즉, 𝑃 𝑋 = +1 𝑌 = 𝑦 의 값을 구하여라.두 확률 변수의 함수 (1/5)
§ 우리의 관심: 확률 실험의 특성 파악
ü어떻게? 확률 변수를 이용 à 하나의 확률 변수 vs. 여러 개의 확률 변수
확률 변수의 함수: 𝑍 = 𝑔(𝑋)
학습(
✓)
확률 변수 함수 (일반화) (𝑍@, … , 𝑍J) = 𝑔(𝑋@, … , 𝑋K)
어려움: 학습(
✗)
확률 변수 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌)
학습 예정(
✓)
두 확률 변수: (𝑋, 𝑌)
학습(
✓)
(잘 알려진) 이산/연속 확률 변수: 𝑋
학습(
✓)
두 확률 변수의 함수 (2/5)
§ (복습) 𝑌 = 𝑔(𝑋) 일 때, 𝑋 의 CDF 𝐹
"(𝑥)를 이용하여 𝑌 의 CDF 𝐹
!𝑦 를 표현 𝐹
!𝑦 = 𝑃 𝑌 ≤ 𝑦 = 𝑃 𝑔(𝑋) ≤ 𝑦
§ 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌) 의 경우
𝐹
)𝑧 = 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 𝑃 𝑔(𝑋, 𝑌) ≤ 𝑧
ü조건을 만족하는 범위를 구하고 𝐹
"𝑥 , 𝐹
!𝑦 , 𝐹
",!(𝑥, 𝑦) 또는
𝑓
"𝑥 , 𝑓
!𝑦 , 𝑓
",!(𝑥, 𝑦) 등을 이용해 표현
두 확률 변수의 함수 (3/5)
•
예제 5-24(교재 예제 5-43 변형):
두 확률 변수 𝑋, 𝑌에 대하여, 𝑍 = max 𝑋, 𝑌 , 𝑊 = min(𝑋, 𝑌) 일 때, 𝑍, 𝑊의 CDF을 구하여라.두 확률 변수의 함수 (4/5)
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예제 5-25(교재 예제 5-39):
두 확률 변수 𝑋, 𝑌에 대하여, 𝑍 = 𝑋 + 𝑌일 때, 𝑍의 CDF을 구하여라.두 확률 변수의 함수 (5/5)
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