Approximation of π by financial historical data

2017, 28

4)

831–841

금융시계열자료를 이용한 원주율값 π의 추정

^†

ᄌ

ᅡᆼ대흥

¹

²

³

123부경대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 6ᄋ ᅯ ᆯ 27ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 7ᄋ ᅯ ᆯ 13ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 7ᄋ ᅯ ᆯ 17ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄋ

ᅯ

ᆫ ᄌ ᅮᄋ ᅲ ᆯ πᄂ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵ ᆷᄋ ᅴᄋ ᅴ ᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅴ ᄌ ᅵᄅ ᅳ ᆷ ᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄃ ᅮ ᆯ ᄅ ᅦᄋ ᅴ ᄇ ᅵᄅ ᅩ ᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅴᄃ ᅬᄆ ᅧ ᄉ ᅡ ᆼᄉ ᅮᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅡ ᆽᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄋ ᅵ ᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅳ ᆫ ᄆ ᅮᄅ ᅵᄉ ᅮᄋ ᅵᄆ ᅧ ᄎ

ᅩᄋ ᅯ ᆯᄉ ᅮᄅ ᅩᄉ ᅥ ᄀ ᅩᄃ ᅢᄅ ᅩᄇ ᅮᄐ ᅥ ᄌ ᅩ ᆷ ᄃ ᅥ ᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅪ ᆨ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅮᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅮᄆ ᅡ ᆭᄋ ᅳ ᆫ ᄂ ᅩᄅ ᅧ ᆨᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆻᄋ ᅥ ᄋ ᅪ ᆻ ᄃ ᅡ. ᄐ ᅳ ᆨ ᄒ ᅵ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅣᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄂ

ᅳ ᆫ 18ᄉ ᅦᄀ ᅵ Buffonᄋ ᅴ ᄇ ᅡᄂ ᅳ ᆯᄆ ᅮ ᆫ ᄌ ᅦᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅵᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ πᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄅ ᅧᄂ ᅳ ᆫ ᄆ ᅡ ᆭᄋ ᅳ ᆫ ᄂ ᅩᄅ ᅧ ᆨᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆻᄋ ᅥ ᄋ ᅪ ᆻ ᄃ

ᅡ. ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅣᄋ ᅦᄉ ᅥ Chong (2008)ᄋ ᅳ ᆫ ᄉ ᅥᄅ ᅩ ᄃ ᅩ ᆨᄅ ᅵ ᆸᄋ ᅵ ᆫ ᄋ ᅵᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄑ ᅭᄌ ᅮ ᆫᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅲ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅪ ᄃ ᅡ ᆫᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄇ ᅩᄒ ᅢ ᆼᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅴ ᄎ

ᅡᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅵ ᄃ ᅩ ᆨᄅ ᅵ ᆸᄋ ᅵ ᆫ ᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅲᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄄ ᅡᄅ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅥ ᆫᄌ ᅦᄌ ᅩᄀ ᅥ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅦᄉ ᅥ πᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅲᄃ ᅩᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ Buffonᄋ ᅴ ᄇ ᅡ ᄂ

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ᆹᄋ ᅵ ᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄒ ᅬ ᆺ ᄉ ᅮᄋ ᅪ ᄋ ᅥᄄ ᅥ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄀ ᅨᄀ ᅡ ᄋ ᅵ ᆻᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅵ ᄋ ᅡ ᆯᄋ ᅡᄇ ᅩ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄃ ᅥᄇ ᅮ ᆯ ᄋ ᅥ Chongᄋ ᅵ ᄋ ᅲᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆫ ᄃ ᅡ ᆫᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄇ ᅩᄒ ᅢ ᆼᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅴ ᄎ ᅡᄇ ᅮ ᆫ ᄋ

ᅦ ᄀ ᅳ ᆫ ᄀ ᅥᄒ ᅡ ᆫ πᄋ ᅴ ᄋ ᅵ ᆯᄎ ᅵᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅳ ᆼ ᄒ ᅢᄇ ᅩ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄂ ᅡᄋ ᅡᄀ ᅡ ᄀ ᅮ ᆨ ᄂ ᅢᄋ ᅬ ᄀ ᅳ ᆷᄋ ᅲ ᆼ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦ ᄉ

ᅵ ᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅢ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅴ ᄉ ᅮᄅ ᅧ ᆷᄋ ᅧᄇ ᅮᄋ ᅪ ᄉ ᅮᄅ ᅧ ᆷᄒ ᅡ ᆯ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮ ᄀ ᅳ ᆨ ᄒ ᅡ ᆫᄀ ᅡ ᆹᄀ ᅪ πᄋ ᅴ ᄋ ᅩᄎ ᅡᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡ ᆯᄑ ᅧᄇ ᅩᄀ ᅩ ᄋ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄐ

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ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄒ ᅭᄋ ᅲ ᆯᄌ ᅥ ᆨᄉ ᅵᄌ ᅡ ᆼᄀ ᅡᄉ ᅥ ᆯᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅥ ᆯᄆ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: Buffonᄋ ᅴ ᄇ ᅡᄂ ᅳ ᆯᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷ, π, ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄇ ᅩᄒ ᅢ ᆼᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.

1. 서론 무

ᆫ헌에 의하면 원의 지름에 대한 원둘레의 비인 원주율이 원의 크기와 상관없이 항상 동일한 상수 값 으

ᆯ갖는다는사실은기원전 2천년경 알려져 있었다. 이 원주율이 영어 알파벳 p에 해당되는그리스문자 π로 표기된 것은 18세기 들어서야 가능했다.

Beckmann (1971)에 의하면 기원전 2천년 쯤바벨로니아인들과 이집트인들은 π의 존재와 중요성을 ᄋ

ᅵ미 인식하여 원주율의 어림값으로 바벨로니아인들은대략 3¹₈로 이집트인들은 4(8/9)²으로 각각 계산 ᄒ

ᅡ였다. 1936년 바벨로니아로부터 200마일 떨어진 곳에서 발견된 점토판에는 원에 내접한 정육각형 둘 ᄅ

ᅦ 길이의 외접원의 둘레 (C)의 비가 57/60 + 36/(60)²이라고 적혀있다. 바빌로니아인들은 물론정육 ᄀ

ᅡ

ᆨ형의 둘레가 외접원의 반지름 (r)의 6배와 정확히 일치한다는사실을알고 있었으므로 π = C/2r이 ᄅ

ᅡ는 관계로부터 π = 3¹₈이라는 값이 유도되었다고 짐작해 볼 수 있다. 이집트인들의 경우 피라미드 르

ᆯ건설하는과정에서 지름이 9인 원의 면적이 한변이 8인 정사각형의 면적과 같다는사실을발견하였 ᄃ

ᅡ고 한다. 이 사실에 근거하면 원의 면적 (A)이 A = πr²을 이용하면 π(9/2)² = 8²으로부터 π = 4 × (8/9)²이 나옴을알 수 있다.

ᄋ

ᅡ시아지역의 경우 중국에서는기원후 130년경 π = 3.1622로 사용하였고 기원후 400년경 인도에서 ᄎ

ᅮᆯ판된 천문학관련 서적에 의하면 원주율의 값으로 π = 3(177/1250) = 3.1416의 값을사용하였다. 특

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄇ ᅮᄀ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄌ ᅡᄋ ᅲ ᆯ ᄎ ᅡ ᆼᄋ ᅴᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅮ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵ(2016ᄂ ᅧ ᆫ)ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

(48513) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼ ᄉ ᅩᄅ ᅩ 45, ᄇ ᅮᄀ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ

2

(48513) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼ ᄉ ᅩᄅ ᅩ 45, ᄇ ᅮᄀ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄇ ᅡ ᆨᄉ ᅡᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ

3

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (48513) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼ ᄉ ᅩᄅ ᅩ 45, ᄇ ᅮᄀ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ, Email: [email protected]

ᄒ

ᅵ 기원후 264년 중국의 Liu Hui는아르키메데스의 원에 내접한 다각형을 응용하여 3072면을가진 다 ᄀ

ᅡ

ᆨ형의 경우로부터 π의 근사값으로 3.14159을 계산하였다 (Volkov, 1994). 특히 5세기 Tsu Chung- Chin과 그의 아들 Tsu Keng-Chih는 3.1415926 < π < 3.1415927임을 발견하였는데 유럽에서는 이 저

ᆼ도의 정확성을 16세기가 되어서야 유지할 수 있었다 (Lam과 Ang, 1986). 또한 구약성경 (열왕기상 7:23과 역대기하4:2)에 의하면 원주율의 정의에 의한근사값이 π = 30/10 = 3임을알 수 있다.

ᄋ ᅯ

ᆫ주율 π는 일반적으로 소수의 형태인 3.14로 표기하지만 1767년 Lambert에 의해 무리수 (irra- tional number)로 1882년 Linderbamm에 의해 초월수 (transcendental number)임이 각각 증명되었 ᄃ

ᅡ. 즉 π는 소숫점 자리의 숫자들이 반복되지 않는 무한의 자리수를가지며 정수다항식의 근이 될 수 어

ᆹ다. 참고로 파이값을소숫점 18째까지 표현하면 3.141592653589793238이다. 컴퓨터의 발명과 발전 ᄋ

ᅳᆫ π값 계산의 정확도를 크게 개선시켰다. 미국 육군에서는 1949년 소숫점 2035자리까지 계산하였으 ᄆ

ᅧ 2000년 현재 파이값은소숫점 2060억자리까지 정확하게 계산되어있다. 확률론에서 π값이 출현한 것 ᄋ

ᅳᆫ 18세기 Buffon의 바늘문제에서 처음으로 시도되었으며 Chong (2008)은서로 독립인 결합정규분포 ᄅ

ᅳᆯ따르는확률표본과 차분이 독립인 정규분포를따르는확률보행과정에 회귀모형을적용시켜 회귀계수 ᄋ

ᅴ 함수로 π값의 일치추정량을유도하였다.

보

ᆫ 논문에서는 확률분야에서 대표적인 Buffon의 바늘문제와 정사각형에 내접하는 원의 확률실험을 ᄐ

ᅩ

ᆼ하여 추정된 π값의 일치성을 몬테칼로실험을 통해 확인하고 Chong (2008)이 이론적으로 제시한 단 ᄇ

ᅧᆫ량시계열자료를 통한 π값의 일치추정량을 역시 모의실험을 통하여 검증하며 이를 한국과 세계금융 ᄌ

ᅡ료를이용하여 실증적 분석을시도해 본다. 이를위해 2장에서는 몬테칼로 모의실험결과를제시하며 3장에서는 실제자료에 적용한 결과를제시하고 마지막으로 4장에서는 본 연구 결과 및 향후 연구과제 ᄃ

ᅳ

ᆼ을 논한다.

2. 확률과 통계분야에서 π값의 계산

2.1. 확률실험을 이용한 π값의 계산 화

ᆨ률론에서 π값이 출현한 것은 1777년 Buffon이 제시한 바늘문제를 통해서 처음으로 시도되었다.

ᄋ

ᅵ에 대한 자세한 설명은 Beckman (1971), Ripley (1986)또는 Ramaley (1969) 등을참조하기 바란 ᄃ

ᅡ. 간격이 d만큼 떨어져 있는 평행선이 그어진 평면 위로 길이가 L(L ≤ d)인 바늘이 임의로 던져 지

ᆯ 때 바늘이 평행선 중 어느 하나에 걸쳐질 확률 (P )은 P = 2L/πd이다. 이관계로부터 Laplace는 π = 2L/dP이라는사실을확인하고 바늘을 종이 위에 반복해서 던질 때 바늘이 평행선 중어느 한 선에 거

ᆯ쳐진횟수를기록하는 실험을 통하여 π값을계산하였다. 또한 한 변의 길이가 2R인 정사각형에 내접 ᄒ

ᅡ는 원의 면적과 정사각형 면적의 비는 πR²/(2R)² = π/4이다. 이 사실에근거하여 바늘을정사각형 ᄋ

ᅱ에 떨어뜨렸을때 바늘이 원의 내부에 떨어지는확률을이용하여 π값을추정할 수 있다.

Figure 2.1은 위의 문제를표본크기를 100씩 늘려가면서 Monte Carlo 방법을 통하여 추정한 π값의 ᄑ

ᅭ본크기에 대한 추이와 오차에 대한 상자그림이며 Table 2.1은그 중주요 표본크기에 대한 두 방법에 ᄋ

ᅴ해 추정된π값의 결과를요약한 것이다. 이확률실험결과에 의하면 두 경우 모두 바늘을던진횟수가 ᄆ

ᅡ

ᆭ아진다고해서 반드시 π값이 더 정확하게 추정되는것은아니며 Buffon방법보다는정사가격형의 내접 ᄋ

ᅯ

ᆫ을이용하여 π를추정한 경우 비록극값들이 존재하였지만 오차가 더 작은경우가 많음을알 수 있다.

ᄆ ᅮ

ᆯ론이 경우에도 던진횟수를고정시키고 반복해서 추정량을계산한 후 몬테칼로 추정량과 분산을계산 ᄒ

ᅡ면 결과가 달리나타날 수도 있을것이다.

Table 2.1 Approximation of π by Monte Carlo simulation No. throw Buffon Problem Inscribed Circle

500 3.194888 3.128000

1500 3.099174 3.136000

2500 3.126954 3.148800

3500 3.144654 3.163429

4500 3.122831 3.158222

5500 3.133903 3.156364

6500 3.080569 3.144000

7500 3.113971 3.139733

8500 3.174603 3.140235

9500 3.154050 3.164211

10500 3.142772 3.116190

11500 3.157172 3.154783

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2000 6000 10000

3.03.13.23.33.4

No of throws

π

π

π by Buffon Problem

●

−0.15−0.050.050.15

error

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2000 6000 10000

3.03.13.23.33.4

No of throws

π^

π

π by Inscribed Circle

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−0.15−0.050.050.15

error

Figure 2.1 Approximation of π by Buffon needle problem and inscribed circle

2.2. 시계열자료를 이용한 π값의 유도 겨

ᆼ제 및금융자료에는사소한 경제활동들이 누적된 총체적인 정보가 내포되어 있다. 주식가격의 움직 이

ᆷ에 수 많은매도인과 매수인들의 행동이 총제적으로관련되어 있다는것이 한 좋은예가 될수 있다.

ᄌ

ᅮ식시장에서 투자자들은 매도와 매입의 위치를 랜덤하게 취하기 때문에 이러한 총체적 행동은 중심극 ᄒ

ᅡᆫ정리로 설명이 가능하며 이러한 이유에근거하여 파이값의 이론적 도출이 가능하다.

Chong (2008)은확률보행과정의 차분인 오차항이 독립인 정규분포를따른다는 가정하에 이웃한 오 ᄎ

ᅡ항들의 최대값과 최소값을이용하여 회귀모형을구하고 회귀계수의 함수로 π값의 일치추정량을유도 ᄒ

ᅡ였다. 특히확률보행과정의 일차 차분인 오차항이 가우시안 백색잡음일 경우 효율적시장가설에 의하 ᄆ

ᅧᆫ 주식가격의 로그수익률이확률보행과정을따른다고 알려져 있기 때문에금융시계열자료를도출된이 로

ᆫ에 적용해 볼수 있다.

보조정리 (Chong, 2008) 확률보행 (random walk)을따르는시계열자료 {Xt}의 차분시계열자료 {Wt}^N_t=1가 N(0, σ²)을따른다고 가정하고 max{Wt−1, Wt}를 min{Wt−1, Wt}에 회귀시킨 다음과 같