<학술논문> DOI:10.3795/KSME-A.2010.34.9.1305 ISSN 1226-4873
표준정규분포를 고려한 반응표면모델 기반 디스크 브레이크의 강건최적설계§
이광기* · 이용범** · 한승호***†
* 브이피 코리아, ** 한국기계연구원 시스템신뢰성연구센터, *** 동아대학교 기계공학과
Robust Optimal Design of Disc Brake Based on Response Surface Model Considering Standard Normal Distribution of Shape Tolerance
Kwang Ki Lee*, Yong Bum Lee** and Seung Ho Han***†
* VP Korea, ** System Reliability Research Center, KIMM, *** Dept. of Mechanical Engineering, Dong A Univ.
(Received June 7, 2010 ; Revised July 13, 2010 ; Accepted July 13, 2010)
1. 서 론
소형 승용차용 캘리퍼 브레이크의 비정상 제동 시 디스크 접촉면에 높은 마찰열이 발생하며, 이
는 미끄럼, 밀림, 소음, 진동 및 파손 발생의 주요 한 원인이 된다. 정상적으로 운용되는 브레이크 시스템에서의 마찰 에너지는 브레이크 디스크와 패드 사이의 미끄럼 마찰면에 고르게 발생되었다 가 발산된다. 그러나, 비정상적인 경우 국부적으로 발생된 마찰열이 불균일하게 발산되어, 열적 불안 정 현상이 생기며 제동성능이 급격히 저하된다.
이와 같은 문제로 열적 저더(judder)가 발생되어 브레이크 기능에 이상을 가져오고, 미끄럼 마찰조 Key Words : Robust Optimal Design(강건최적설계), Design of Disc Brake(디스크 브레이크 설계), Response
Surface Model (반응표면모델), Standard Normal Distribution(표준정규분포), Finite Element Analysis(유한요소해석), Design of Experiments(실험계획법), D-Optimal Array(D-최적배열), Shape Tolerance(형상공차)
초록: 복잡한 시스템 계의 설계정보를 효과적으로 추출하기 위해서 형상최적설계가 수행되는 경우, 일반적으로 유한요소해석 기법과 D-최적배열을 이용한 실험계획법이 연동된 반응표면모델을 구성하고 여기에 최적설계기법이 적용된다. 그러나, 설계변수에 형상공차와 같은 변동성이 존재하면 최적해의 강건성 확보를 위하여 설계변수의 형상공차를 확률론적인 변동성으로 고려한 추가적인 강건설계가 필요하다. 본 연구에서는 계산시간이 많이 소요되는 유한요소해석에 의한 강건설계문제에 설계변수의 표준정규분포를 고려한 반응표면모델을 구축하여 최적설계를 수행하므로서 손쉽게 강건최적값을 구하는 방법을 제안하였다. 승용차용 브레이크 디스크에 제안된 방법을 적용하여 열변형과 중량을 최소화하는 설계변수의 강건최적해를 구하고, 몬테카를로 시뮬레이션 추정결과와 비교하여 이의 적합성을 검증하였다.
Abstract: In a practical design process, the method of extracting the design space information of the complex system for verifying, improving, and optimizing the design process by taking into account the design variables and their shape tolerance is very important.
Finite element analysis has been successfully implemented and integrated with design of experiment such as D-Optimal array; thus, a response surface model and optimization tools have been obtained, and design variables can be optimized by using the model and these tools. Then, to guarantee the robustness of the design variables, a robust design should be additionally performed by taking into account the statistical variation of the shape tolerance of the optimized design variables. In this study, a new approach based on the use of the response surface model is proposed; in this approach, the standard normal distribution of the shape tolerance is considered. By adopting this approach, it is possible to simultaneously optimize variables and perform a robust design. This approach can serve as a means of efficiently modeling the trade-off among many conflicting goals in the applications of finite element analysis. A case study on the robust optimal design of disc brakes under thermal loadings was carried out to solve multiple objective functions and determine the constraints of the design variables, such as a thermal deformation and weight.
§ 이 논문은 2010 년도 대한기계학회 신뢰성부문 춘계학술대회 (2010. 5. 27.-28., 전남대 컨벤션홀) 발표논문임.
† Corresponding Author, [email protected]
© 2010 The Korean Society of Mechanical Engineers
건이 불안정해지기 때문에 제동거리가 더욱 길어 진다. 따라서, 마찰열에 의한 열적 저더는 브레이 크 설계 시 고려해야 될 주요한 인자 중 하나이다.
신동철 등(1)은 벤틸레이티드 디스크 브레이크 (ventilated disc brake) 열적 저더의 원인을 디스크 코닝(disc coning)으로 고려하였는데, 이는 제동 마 찰열에 의한 반경방향 변형량에 대한 축방향 변형 량의 기하적인 관계로 정의된다. 정적상태 열변형 해석을 통하여 설계인자를 선정하고 이에 대한 영 향도를 검토한 후 최적 형상을 제안하였으며, 차 량 주행특성을 고려한 과도 열변형 해석을 통해 제안된 디스크 형상의 적합성을 검토 하였다. 또 한, 송병철 등(2)은 원주면 마찰형 디스크 브레이크 (circumferential friction disc brake)의 열탄성 불안정 성에 기인하는 열적 저더를 열·접촉 연성해석을 통하여 열응력으로 계산하였고, 고유진동수를 초 과하며 디스크 체적을 최소화하는 형상최적설계를 수행한 바 있다. 최근 김양술 등(3)은 벤틸레이티드 디스크 브레이크의 열변형을 계산하기 위하여 브 레이크 다이나모 시험규격인 FMVSS 105-75(4)의 제 2 페이드 시험조건을 고려하였다. 이 조건은 총 15 회 반복 제동을 포함하므로, 브레이크의 온도 분포 및 열변형에 의한 디스크의 열변형 계산시 총 615 회의 유한요소해석 결과를 중첩해야 한다.
한편, 브레이크 디스크의 생산공정 중에 형상공 차가 발생하므로 단순히 설계변수의 영향만을 고 려한 최적설계로는 실제 제품에 나타나는 열적 저 더 문제에 제대로 대응할 수 없다. 따라서, 형상공 차의 변동성을 고려한 강건최적설계가 요구된다.
이러한 기법 중 결정론적인 최적해를 구해서 이를 제한조건의 위배량에 대한 평균분석을 통해 모든 설계변수와 물성치의 공차 내에서 제한조건을 만 족하는 강건해를 구하는 방법(5,6)이 가장 일반적이 나, 목적함수를 각 설계변수의 품질변동의 척도로 표현되는 공정능력지수 Cpk(7)를 도입하는 방법 및 목적함수 및 제한조건의 표준편차를 몬테카를로 시뮬레이션으로 추정하는 방법(8)으로 강건최적설 계를 수행할 수 도 있다. 또 다른 방법으로 계산 시간이 많이 소요되는 유한요소해석에 의한 강건 설계 문제에 설계변수의 표준정규분포를 고려한 반응표면모델을 구축하여 최적설계를 수행하므로 서 손쉽게 강건최적값을 구하는 기법도 있다.(9)
본 연구에서는 방열효과가 우수하여 승용차 전 륜에 널리 활용되고 있는 벤틸레이티드 브레이크 디스크의 형상공차를 고려한 표준정규분포 반응
Fig. 1 Configuration of ventilated brake disc and design variables
(a) Axis symmetric FE-model (b) Load condition Fig. 2 FE-model and load condition
표면모델로 부터 열변형 및 중량을 최소화하는 설 계변수의 강건최적해를 구하였다. 이를 몬테카를 로 시뮬레이션 추정결과와 비교하여 이의 적합성 을 검증하였다.
2. 대상체 및 열변형 해석
Fig. 1 은 승용차용 벤틸레이티드 디스크 브레이 크의 유한요소 모델이며, 본 연구에서 설정한 총 4 가지의 설계변수 p1y, p2x, p3y, p4x 를 보여준다.
디스크 브레이크 설계 공간 상의 제약조건 때문에 p1y, p2x, p3y, p4x 의 설계 범위는 각각 -1~3mm, 67~69mm, 24~26mm, 114~116mm 범위로 한정하였 다. 유한요소 모델은 축대칭으로 가정하였으나 축 대칭 요소를 사용할 경우에는 벤트 홀(vent hole)의 특성을 고려할 수가 없다. 따라서 벤트 홀 부분에 서 발생하는 관유동 대류에 의한 특성을 Fig. 2 (a) 와 같이 하중조건으로 환산하여 정의하였다. 휠과 의 구속조건을 고려하여 Fig. 1 과 같이 허브 주위 를 고정하였으며, 하중조건은 FMVSS105-75(4)의 제 2 페이드 시험조건과 동일한 15 회 반복 제동을 고려하여 Fig. 2 (b)와 같이 디스크 상하면에 열속 (heat flux)을 적용하였다.(10) 이 조건은 97km/h 의 속도로 달리던 자동차가 0.6g 로 4.57 초 동안 감속 하고, 이후 25 초 동안 가속을 하여 97km/h 의 속 도에 이르면 5.43 초 동안 등속도 운행을 하는 것 으로, 전체 35 초를 41 구간으로 나눈 것을 1 사이 클로 하여 총 15 회를 반복한다.(4) 가속구간과 등 속구간에서 열속은 없고 대류에 의한 열전달만 일
Fig. 3 Thermal distribution of disc at initial design stage 어난다. 제동에 의한 열속이 적용되는 마찰 표면 부 이외 나머지 부분은 대류조건이 적용되었다.
열전달 해석은 상용 프로그램인 ANSYS 로 수행되 었으며, 열변형을 구하기 위하여, 15 회의 반복 제 동과 1 사이클의 41 구간을 고려한 총 615 회의 유 한요소해석 결과를 중첩하였다. 최종적으로 디스 크 끝 단에서 발생하는 최대 열변형(thermal deformation, TD)과 디스크 전체 무게(weight, W)를 구하였다. Fig. 3 은 디스크 형상변경을 위하여 좌 표를 정의한 초기 설계변수 p1y=0mm, p2x=68mm, p3y=25.5m, p4x=116mm 에서 ANSYS 해석결과의 온도분포를 보여주며 최대 온도는 535℃를 나타낸 다. 초기 설계변수에서의 최대 열변형 TD 는 0.488mm 이고 중량 W 는 5.02kg 이다.
3. D-Optimal 에 의한 설계영역 탐색
3.1 D-Optimal 계획법에 의한 반응표면모델 브레이크 디스크 모델에 Fig. 1 과 같은 4 개의 설계변수와 최대 열변형 TD 와 중량 W 를 목적함 수로 하여, D-Optimal 계획법(11)에 의하여 총 18 회 의 실험점을 생성하였다. D-Optimal 계획법은 중심 합성법을 적용하는 경우에 필요한 25 회(24+2·
4+1) 실험점을 보다 적은 18 회의 실험점을 적용 하여 반응표면모델 (response surface model)을 구성 할 수 있다.(12) 이때 설계변수는 식 (1)을 이용하여 [-1, 1]의 영역으로 정규화하여 적용하였다.
xi xi
Xi , ci constant ci
= − = (1)
여기서 xi는 설계변수 xi의 평균값을 의미한다.
4 가지 설계변수 xi에 대한 2 가지 응답함수 yi의 반응표면모델은 식 (2)와 같은 다항식의 반응표면 모델로 구성할 수 있다.
Y=X βT + ε (2)
여기서, Y=[y y1 2]T, X=[1 Xi X Xi j]T, ε 은 오 차항이며, 식 (2)의 반응표면모델의 미지계수 항인
β=[ ]βi 는 최소제곱법(least squares method)에 의하 여 오차항의 놈(norm)을 최소화하여 식 (3)과 같이 구한다.
β=(X X)T −1X YT (3)
따라서, 식 (2)는 다음과 같이 표현되며 Yo 는 최 대 열변형 TD 와 중량 W 의 두 가지 응답함수 (목 적함수)를 의미한다.
Y X β εT XT (X X)T 1X YT
− o
= + = (4)
3.2 표준정규분포 기반 반응표면모델
실제 산업체에서 디스크 브레이크 형상 공차에 의하여 발생하는 불량률을 표현하는 일반적인 방 법은 식 (5)와 같은 표준정규분포 Z 를 이용하는 것이다. 이는 주어진 설계규격(design specification) x 가 평균 µ 로부터 얼마나 떨어져 있는지를 표준 편차 σ 의 곱으로 보여준다. 만약 Z 가 3 이라면
x 가 µ 로부터 3 σ 만큼 떨어져 있다는 것을 의미 하며 이것을 불량률로 환산하면 0.13%를 의미한 다.(13)
x µ
Z σ
= − (5)
만약 설계규격과 표준편차를 알고 있다면 디스 크 브레이크 형상 공차에 의하여 발생하는 불량률 을 시그마 수준으로 표현 할 수 있다. 표준편차를 구하는 기본적인 아이디어는 테일러 전개를 적용 하여 표준편차를 근사화하는 방법(9)이며, 본 연구 에서는 3 수준 설계변수에 대한 2 차 다항식을 가 진 2 차 반응표면모델을 적용하므로 3 차 미분값이 필요 없는 2 차 테일러 전개를 사용하여 표준편차 를 다음과 같이 예측하였다.
2
2 2 1 2
2 2 4 2 2
2
1 1 1
1 2
i i i j
n n n n
y x x x x
i i i i i j i i j
y y y
σ σ σ σ σ
x x x x
−
= = = >
∂ ∂ ∂
=∑∂ + ∑∂ +∑∑∂ ∂ (6) 디스크 브레이크 형상공차에 대한 설계스펙은 모두
±1.5mm 이며 일반적으로 형상공차는 99.74% 양품을 의미하는 ±3 σ 를 적용하기 때문에 본 연구에서도 표 준편차 σ 는 0.5mm 로 적용하였다. 최대 열변형 TD 설계스펙의 상한값 TD _USL은 0.5mm, 중량 W 설계
스펙의 상한값 W _USL은 5.1kg 로 하였다.
3.3 초기 설계치에서 목적함수의 결함률 현재 수준에서, 목적함수 TD 와 W 의 결함률 (defect ratio)을 몬테카를로 시뮬레이션으로 구하여 보았다. 여기서, 결함률은 각 응답의 변동이 상한 값 USL을 벗어나는 경향으로서, 공차에 의한 불 량률을 의미한다. Fig. 4 는 설계변수의 초기값 p1y=0mm, p2x=68mm, p3y=25.5mm, p4x=116mm 에 표준편차 0.5mm 와 응답 TD 와 W 의 상한값인 0.5mm 와 5.1kg 을 적용하여, 10,000 회 몬테카를로 시뮬레이션으로 얻어진 결과로서, TD와 W 의 결 함률은 각각 31.7% 및 28.8%이다. 이를 표준정규 분포 Z 로 전환하면 0.48σ와 0.56σ로서, 99.74%
양품을 의미하는 일반적인 목표치 3σ에 비해 현 저히 낮은 수준이다.
3.4 반응표면모델에 의한 설계영역 탐색
설계변수 p1y, p2x, p3y, p4x 의 형상 공차변동에 대한 최대 열변형의 표준정규분포 Z _ TD와 중량 의 표준정규분포 Z _W의 특성을 나타내면 Fig. 5 와 같다. 설계변수는 p3y 가 Z _ TD 및 Z _W 에 대하여 가장 큰 민감도를 나타내내고 있으며, Z _ TD 및 Z _W는 설계변수 p2x 와 p3y 에 대해 서로 반대로 변화하는 특성을 보인다. 따라서, Z _ TD와 Z _W에 대하여 최적해를 찾으려면 p2x 와 p3y 의 타협점을 잘 찾아야 한다는 것을 알 수 있다. 그리고, p1y 와 p4x 은 2 가지 응답함수인
Z _ TD와 Z _W에 대하여 모두 같은 방향성을 가 지고 있기 때문에 p1y 는 최대값인 3mm, p4x 는 최소값인 114mm 로 선정하여 값을 상수로 고정할 수 있다.
설계변수 p2x 와 p3y 에 대한 Z _ TD와 Z _W의 등고선도는 Fig. 6 과 같다. 표준정규분포 반응표면 모델은 서로 상반되는 경향을 등고선도를 통하여 시각적으로 나타낼 수 있어 최적설계를 수행하지 않고도 경험이 있는 설계자들에 의한 설계 의사결 정도 가능하다. 만약 설계자가 설계하한을 3 σ 로 설정한다면, 3 σ 를 만족하는 영역이 응답 Z _ TD 와 Z _W가 중첩되지 않는 영역임을 설계자는 알 수가 있다. 설계자는 3 σ 를 만족하는 영역 안에서 자신이 원하는 응답을 갖는 설계변수 p2x 와 p3y 를 선정할 수 있으며, Fig. 6 과 같이 68.5mm 및 24.9mm 로 하였으며 이때, Z _ TD 와 Z _W 는 3.11σ 와 3.05 σ 를 나타낸다.
(a) Mean and standard deviation of design variables (unit : m)
(b) Defect ratio of TD and W
Fig. 4 Design variables and defect ratio of TD and W at initial design stage
Fig. 5 Standard normal distribution of thermal deformation and weight due to variation of design variables
Fig. 6 Contour plot of Z_TD and Z_W due to design variables of p2x and p3y
4. 디스크 열변형 강건최적설계
4.1 만족도 함수에 의한 강건최적설계 정식화 Z _ TD와 Z _W 의 성능을 목적함수로 하고, 4 개
-2 0 2 4 Z_TD 1.238195
-2 0 2 4
Z_W 2.049241 -0.001 0 0.001 0.002 0.003
0.001 p1y
0.067 0.0675 0.068 0.0685 0.069 0.068
p2x
0.024 0.0245 0.025 0.0255 0.026 0.025
p3y
0.114 0.1145 0.115 0.1155 0.116 0.115
p4x
unit : m
unit : m
의 설계변수 p1y, p2x, p3y, p4x 과 3.2 절의 TD _USL 과 W _USL 을 고려하여 정식화하면 식 (7)과 같다. 아래 첨자 MAX 는 단일 목적함수의 강건최적설계 결과로부터 구한 최대값을 의미하며, 아래첨자 MIN 은 최소값을 의미한다. 목적함수는 반응표면모델과 표준편차 근사화를 통하여 얻어진 각각의 최대값과 최소값을 사용하여 식 (7)과 같 이 [0 ~ 1]의 만족도 영역으로 정규화한 후에 강건 최적설계를 수행하였다.(9,14)
Maximize
2 1
_ _
_ _
_ _
_ _
) ( ) (
) ( ) ( ) (
) (
−
× −
−
−
MIN W Z MAX W Z
W Z MAX W Z MIN TD Z MAX TD Z
TD Z MAX TD Z
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
Subject to (7)
U W W L W U TD TD L
TD µ µ µ µ µ
µ ≤ ≤ , ≤ ≤
여기서, µ는 각 응답의 평균값, L은 설계변수 의 최소값 그리고 U 는 설계변수의 최대값을 의 미한다.
4.2 디스크 브레이크의 강건최적설계
표준정규분포 Z _ TD 와 Z _W 의 반응표면모델 의 등고선도를 통하여 설계자의 경험에 의한 최적 해 의사결정을 수행할 수도 있지만, 본 절에서는 만족도 함수를 적용하여 강건 최적설계를 수행하 였다. Fig. 7 은 강건최적설계의 결과로서 만족도함 수의 최대값은 0.723 으로 얻어졌으며, 이때 설계 변수 p1y, p2x, p3y 및 p4x 는 각각 3mm, 69mm, 24.8mm, 114mm 이고 목적함수 Z _ TD와 Z _W는 3.23 σ 및 3.05 σ 로 예측된다. Fig. 8 은 상기한 최적 설계변수에 대한 ANSYS 해석으로 얻어진 온도분 포를 나타내며, 최고 온도는 494℃로서 Fig. 3 과 같이 초기 설계조건에서의 온도 535℃ 보다 41℃
약 8% 정도 낮은 결과를 나타낸다. 또한 최적해 의 최대 열변형 TD는 0.425mm, 중량 W 는 4.65kg 으로 초기설계에서 얻어진 TD=0.488mm, W=5.02kg 과 비교하여 0.063mm 및 0.37kg, 즉 13% 및 7%
감소하는 효과를 얻을 수 있다.
표준정규분포 반응표면모델로부터 구한 강건최 적해를 확인하기 위하여 10,000 회 몬테카를로 시 뮬레이션을 수행하였고, 결과는 Fig. 9 와 같다.
TD와 W 의 결함률은 0.18% 및 0.1%로 Fig. 4 와 같은 초기 설계치 대비 현저히 개선되었다. 이를
Z_TD 3.232885
Z_W 3.050598 00.250.751
Desirability 0.722611 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.067 0.0675 0.068 0.0685 0.069 0.024 0.0245 0.025 0.0255 0.026 0.114 0.1145 0.115 0.1155 0.116 0 0.25 0.5 0.75 1
Fig. 7 Optimal results from desirability function
Fig. 8 Thermal distribution of disc at optimum design stage
(a) Mean and standard deviation of design variables (unit : m)
(b) Defect ratio of TD and W
Fig. 9 Design variables and defect ratio of TD and W via robust optimization
표준정규분포 Z 로 환산하면 2.91σ와 3.09σ로, 초 기 설계 대비 506% 및 452% 향상되었다. 표준정 규분포 반응표면모델을 적용하여 수행한 강건최적
unit : m
Table 1 Comparison between initial and optimal values Initial Optimal Improvement W (Weight) 5.02kg 4.65kg 7%
TD (Thermal
deflection) 0.488mm 0.425mm 13%
Temperature 535℃ 494℃ 8%
Z_TD
(Defect ratio) 0.48σ 2.91σ 506%
Z_W
(Defect ratio) 0.56σ 3.09σ 452%
설계의 결과를 정리하면 Table 1 과 같다.
5. 결 론
실제 현업에서 발생하는 형상 공차를 고려한 강 건 최적설계를 범용 유한요소해석 프로그램에 적 용하여 표준정규분포 반응표면 모델을 구축하여 수행하였다. 이를 통하여 얻어진 결과는 다음과 같다.
(1) 표준정규분포 반응표면모델 등고선도를 통 해 경험이 있는 설계자는 결함률을 시각적으로 확 인하면서 최적설계를 수행하지 않고도 설계 의사 결정이 가능하다는 것을 확인하였다.
(2) 표준정규분포 Z 와 만족도함수를 이용한 강 건최적설계로 목적함수 TD 와 W 의 감소효과가 초기치 대비 7% 및 13% 개선되었으며, TD 에 직 접적인 영향을 주는 최고 온도도 8% 정도 개선되 었다.
(3) 각 설계변수의 공차에 의한 표준편차를 고 려한 목적함수의 표준정규분포 Z _ TD와 Z _W는 품질척도인 결함율을 의미하는데, 이는 초기 설계 치 대비 최적해의 경우 506% 및 452%로 크게 개 선되었다.
(4) 디스크 브레이크의 설계 공간에 대한 제약 조건으로 인하여 설계변수의 범위가 적은 경우에 도 표준정규분포 기반 강건최적설계를 통하여 형 상공차에 둔감한 강건최적해를 얻을 수 있다.
후 기
본 논문은 동아대학교 학술연구비 지원에 의하 여 연구되었으며, 연구수행에 지원을 주신 관계자 여러분께 감사드립니다.
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