보건통계학7장

1001944 제 7장. 가설검정 과목명 : 보건통계학 담당교수 : 손애리 교수

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1001944

보건통계학 7장

가설검정

손 애 리

1. 가설검정의 개념

3. 독립표본 T 검정

가설검정

목 차

2. T 검정

4. 대응표본 T 검정

5. 모집단 비율의 검정

1. 가설검정의 개념

1. 가설검정

 연구가설(research hypothesis)

 통계적 가설(statistical hypothesis)

 가설검정(hypothesis test): 가설검정은 통계적 가설의 타 당성을 검정하는 것으로 표본의 분포나 자료로부터 그 표 본이 추출된 모집단에 관하여 사전에 설정된 통계적 가설 이 사실인지 아닌지 타당성을 판정하는 과정

2. 가설검정의 개념

가설

 대립가설(alternative hypothesis):

𝑯𝑯

혹은 𝑯𝑯

 귀무가설(null hypothesis):

𝑯𝑯

 통계적 가설(statistical hypothesis):

2. 가설검정의 개념

통계적 가설의 예

 어느 모집단의 성인 남성 키의 평균이 170cm가 아니라고 할 수 있 는가? 그 때 귀무가설 는 다음과 같이 설정한다.

𝑯𝑯_𝟎𝟎 ∶ 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏

 이때 대립가설 는 다음과 같이 표시된다.

𝑯𝑯_𝟎𝟎 ∶ 𝝁𝝁 ≠ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏

 만일 모평균이 170cm보다 크다고 할 수 있는지 알아보려고 할 경 우 귀무가설과 대립가설은 다음과 같다.

𝑯𝑯_𝑨𝑨 ∶ 𝝁𝝁 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝑯𝑯_𝑨𝑨 ∶ 𝝁𝝁 > 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏

 그 모평균이 170cm보다 작다고 할 수 있는지 알아보려고 할 경우 의 가설은 다음과 같다.

𝑯𝑯_𝟎𝟎 ∶ 𝝁𝝁 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝑯𝑯_𝑨𝑨 ∶ 𝝁𝝁 < 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏

2. 가설검정의 개념

양측검정은 표본의 산술평균이 가정 한 모집단의 산술평균과 같은가 다 른가를 판정하는 경우

 양측검정(two-tailed test)

가설설정 규칙

단측검정은 표본의 산술평균이 모평 균 값보다 큰지 또는 작은지 검정하 고자 하는 경우

 단측검정(one-tailed test)

 ① 귀무가설은 모수를 특정한 값으로 표시한다.

예: 𝑯𝑯_𝟎𝟎 ∶ 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝑯𝑯_𝟎𝟎 ∶ 𝝁𝝁 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝑯𝑯_𝟎𝟎 ∶ 𝝁𝝁 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏

 ② 대립가설은 귀무가설에서 지적한 모수의 값이 아닌 어떤 영역으로 나타내 는데, 양쪽을 고려하는 양측검정과 한쪽만 고려하는 단측검정이 있다. 예:

𝑯𝑯_𝑨𝑨 ∶ 𝝁𝝁 ≠ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏(양측검정), 𝑯𝑯_𝑨𝑨 ∶ 𝝁𝝁 > 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏(단측검정), 𝑯𝑯_𝑨𝑨 ∶ 𝝁𝝁 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏(단측검정)

2. 가설검정의 개념

검정통계량과 기각역

 검정통계량(test statistic):

검정하려는 모수 검정통계량

𝜇𝜇 𝑥𝑥

𝜇𝜇₁ − 𝜇𝜇₂ 𝑥𝑥₁ − 𝑥𝑥₂

p ̂𝑝𝑝

𝑝𝑝₁ − 𝑝𝑝₂ 𝑝𝑝�₁ − �𝑝𝑝₂

표 7.1.1 검정모수와 검정통계량

2. 가설검정의 개념

검정통계량과 기각역

 기각역(rejection

region):

설이 옳다고 판단할 수 없는 검정통계량의 영역

 기각역과 채택역의 경계: 임 계점(critical point)

2. 가설검정의 개념

검정오차

 제1종 오류 ： type Ⅰ error

“귀무가설이 참인데 그 가설을 기각하는 경우”, 즉 대립가설을 채택하는 판단의 오류로

𝜶𝜶로 표기

 𝜶𝜶값 𝜶𝜶는 유의수준(level of significance)이라고 불리며, 이는 가설검정 이 유의성검정이라고 불리워지는 점을 반영

 𝜶𝜶는 확률로서 “옳은 귀무가설을 기각할 확률” 즉 1종 오류를 범할 수 있 는 확률

 제2종 오류：type Ⅱ error

𝜷𝜷로 표기

2. 가설검정의 개념

검정오차

 p값 어떤 검정의 “p값( value)은 귀무가설이 기각될 수 있는 𝜶𝜶의 최소치”

라 정의, 검정통계량이 기각치라고 가정하고 계산된 유의수준을 의미

 일반적으로 정확한 값을 제시하거나 , p<. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏, p<. 𝟎𝟎𝟏𝟏또는 p<. 𝟎𝟎𝟎𝟎 등 의 용어를 사용하며 이는, 0.001, 0.01, 0.05의 유의수준에서 귀무가설 을 기각할 수 있음을 말함.

귀무가설(영가설)의 상태

옳음(True) 거짓임(False)

귀무가설을 기각하지 못함 옳은 결정

(신뢰수준 1-𝜶𝜶) 제2종오류(𝜷𝜷)

귀무가설을 기각함 제1종오류(𝜶𝜶) 옳은 결정

(검정력：1-𝜷𝜷)

2. 가설검정의 개념

가설검정 방법

 ① 귀무가설 를 설정한다.

 ② 유의수준 ( 또는 )를 설정하고 기각역을 정한다.

 ③ 검정통계량을 계산한다.

 ④ 통계적 결정을 한다.

 ⑤ 결론을 내린다.

P값 < 𝜶𝜶 => 𝑯𝑯_𝟎𝟎을 기각 P값 > 𝜶𝜶 => 𝑯𝑯_𝟎𝟎을 채택

2. 가설검정의 개념

2. T 검정

1. T 검정의 개념

 표본이 한 개인 경우와 검정값의 평균을 비교하는 경우 (일표본 t검정)

 두 집단 간의 평균의 차이를 비교하는 분석 (독립표본 t 검정)

- 안전띠 착용 유무에 따른 사망자수는 차이가 있는가?

- 성별에 따라서 스트레스의 정도는 차이가 있는가?

 동일한 집단을 처지 전과 처지 후에 측정하여 평균을 비

교하는 경우, 혹은 짝으로 이루어진 자료의 평균을 비교

하는 경우 (대응표본 t 검정, 짝비교)

2. T검정을 위한 조건: 정규성, 등분산성

모집단 A 모집단 B

표본 X 표본 Y

정규성 :

등분산 이분산

기본 가정 : 두 모집단의 분포는 정규분포이고 분산은 으로 동일해야 한다.

즉, 위의 등분산 Graph의 형태이다

3. 단일 모평균에 대한 가설검정

 모평균 는 알고 있으나 모분산 을 모르며, 그 모집단에서 추출 한 표본의 평균 과표본분산 을 아는 경우 표본의 평균과 모집 단의 평균을 비교하고자 검정하 는 경우

t =

𝒏𝒏

정규분포하는 모집단에서

표본을 추출: 모분산 𝝈𝝈^𝟐𝟐을 알고 있을 때

 모평균 와 모분산 를 알고 그 모 집단에서 추출한 표본의 평균 를 알 때 표본의 평균과 모집단 의 평균을 비교 검정하는 경우

Z =

𝒏𝒏

정규분포하는 모집단에서 표본을 추출：모분산 𝝈𝝈^𝟐𝟐을 모를 때 (일표본 T검정)

 모평균 는 알고 있으나 모분산 을 모르며, 그 모집단에서 추출 한 표본의 평균 과표본분산 을 아는 경우 표본의 평균과 모집 단의 평균을 비교하고자 검정하 는 경우

t =

𝒏𝒏

정규분포하는 모집단에서

표본을 추출: 모분산 𝝈𝝈^𝟐𝟐을 알고 있을 때

 모평균 와 모분산 를 알고 그 모 집단에서 추출한 표본의 평균 를 알 때 표본의 평균과 모집단 의 평균을 비교 검정하는 경우

Z =

𝒏𝒏

정규분포하는 모집단에서 표본을 추출：모분산 𝝈𝝈^𝟐𝟐을 모를 때 (일표본 T검정)

3. 단일 모평균에 대한 가설검정

t =

𝒏𝒏

정규분포하지 않는 모집단에서 표본을 추출：모분산 을 모르는 경우

Z =

𝒏𝒏

3. 단일 모평균에 대한 가설검정

3. 단일 모평균 가설 검정 (일표본 T검정]

보기 6.4.4자료를 이용해 미국 여학생의 평균 몸무게가 우리나라 여학생 평균 몸무게 55kg보다 많이 나가는지를 검정해 보자.

 1) [분석] - [평균비교] –

[일표본T검정]을 선택한다.

 2) 분석할 변수를 선택하고 을 눌러 검정변수란으로 옮긴다.

 3) 검정값에 ‘55’을 입력하고 확인을 누른다.

3. 단일 모평균 가설 검정 (일표본 T검정]

 4) 단일 모평균 가설검정(일표본T검정) 결과를 확인한다.

검정값은 55이다(. 즉 표본의 자료가 한국 여학생 몸무게 55kg보다 몸무게가 많이 나가는지 검정하는 것이다.

낮은 유의확률 값(일반적으로 0.05보다 작을 때)은 미국여학생과

한국여학생의 몸무게가 차이가 있는 것으로 볼 수 있지만, 이 검정에서는 유의확률이 0.146이므로 유의한 차이가 없는 것으로 나타났다.

차이의 95% 신뢰구간은 0을 포함하지 않아야 유의한 차이가 있다.

본 결과에서는 0을 포함하는 것으로 나타나 유의한 차이가 없는 것으로 나타났다.

3. 단일 모평균 가설 검정 (일표본 T검정]

́𝒕𝒕 = ^{𝒙𝒙𝟏𝟏− 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝝁𝝁𝟏𝟏− 𝝁𝝁𝟐𝟐}

𝒔𝒔𝟐𝟐𝟏𝟏

𝒏𝒏𝟏𝟏 +^{𝒔𝒔𝟐𝟐𝟐𝟐}_{𝒏𝒏𝟐𝟐}

́𝒕𝒕

𝝈𝝈𝟐𝟐 = 𝒘𝒘_𝟏𝟏𝒕𝒕_𝟏𝟏 + 𝒘𝒘_𝟐𝟐𝒕𝒕_𝟐𝟐 𝒘𝒘_𝟏𝟏 + 𝒘𝒘_𝟐𝟐 𝒘𝒘_𝟏𝟏 = 𝒔𝒔^𝟐𝟐_𝟏𝟏

𝒏𝒏_𝟏𝟏 𝒘𝒘_𝟐𝟐 = 𝒔𝒔^𝟐𝟐_𝟐𝟐 𝒏𝒏_𝟏𝟏 𝒕𝒕_𝟏𝟏 = 𝒕𝒕 _{𝟏𝟏−𝝈𝝈𝟐𝟐} 𝒏𝒏_𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒕𝒕_𝟐𝟐 = 𝒕𝒕 _{𝟏𝟏−𝝈𝝈𝟐𝟐} (𝒏𝒏_𝟐𝟐 − 𝟏𝟏)

(1) 두 모분산이 동일한 경우

𝒔𝒔^𝟐𝟐_𝒑𝒑 = 𝒏𝒏_𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒔𝒔^𝟐𝟐_𝟏𝟏 + (𝒏𝒏_𝟐𝟐 − 𝟏𝟏)𝒔𝒔^𝟐𝟐_𝟐𝟐 𝒏𝒏_𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 + (𝒏𝒏_𝟐𝟐 − 𝟏𝟏)

T =

𝒔𝒔𝟐𝟐𝒑𝒑

𝒏𝒏𝟏𝟏 + ^{𝒔𝒔𝟐𝟐𝒑𝒑}_{𝒏𝒏𝟐𝟐} (𝐝𝐝𝐝𝐝 = 𝒏𝒏_𝟏𝟏 + 𝒏𝒏_𝟐𝟐 − 𝟐𝟐)

(2) 정규분포하는 모집단에서 표본을 추출하였을 경우：모분산 을 모르며 동일하지 않을 때

정규분포하는 모집단에서 표본을 추출: 모분산 을 모르는 경우(독립표본 t-검정)

4. 두 모평균 차이에 대한 가설검정