Engineering Mathematics II

(1)

Bong-Kee Lee

School of Mechanical Engineering Chonnam National University

Engineering Mathematics II

15. Power Series, Taylor Series

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

 수열(sequence) 또는 무한수열(infinite sequence)

– 각각의 양의 정수 n에 대하여 한 개의 수 Z

_n

이 배정될 때

• 실수열(real sequence): 각 항들이 실수

– 수렴수열(convergent sequence)

• 극한값(limit)을 가지는 수열

– 발산수열(divergent sequence)

• 수렴하지 않는 수열

– Ex. 1



z z

  

zn

z

z₁, ₂, or ₁, ₂, or

항(term)

c z c

z_n _n

n  

lim or

 



, 1, ,1,



&

 

1 :divergent sequence 0

4, ,1 , 3 2 , 1

n n n

n

i z i i i

i i n i















  











(2)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

 수열(sequence) 또는 무한수열(infinite sequence)

– 복소수 수열의 수렴

– Ex. 2

 







 













b y y y

a x x x

ib a c n

iy x z

n n n n n



, , , ,

, 2 , 1

2 1

i z

y n x n

i n iy n

x z

n

n n

n n n

2 1

4 2 2

&

1 1 1

2 4 1 1

2 2























 

 











15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

 급수(series)

• n번째 부분합(partial sum):

• 수렴급수: 부분합의 수열이 수렴 (↔ 발산급수)

• 나머지(remainder):

– 실부와 허부







^ 

 1 2 3

1

z z z z

m m

n n

m m

n z z z z

s 



   



2 

1 1



^

 

  

1

lim

m m

n sn s z

합(sum) 또는 값(value)

n n

n n m

m

n z z z s s

R  ^  _  _   





 ¹ ² ^ 1

 













 













^







v y

y

u x

x

iv u s iy x z

m m m

m m



2 1

1 1

convergent :

(3)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

 급수에 대한 수렴/발산 판정법

– 발산

– 급수에 대한 Cauchy의 수렴원리

• 절대수렴(absolutely convergent)

– 급수의 각 항들의 절대값의 합이 수렴하는 경우

• 조건수렴(conditionally convergent)

– 급수는 수렴하나 각 항들의 절대값의 합은 발산하는 경우

→급수가 절대수렴하면, 급수는 수렴한다

 

divergent ;

0 lim

0 lim convergent ;

series ₁ ₂

















 n n

n n

z

z z

z 

급수가 수렴 ⇔

임의의 ε>0 에 대하여 부등식 |z_n+1+z_n+2+…+z_n+p|<ε (모든 n>N & p=1, 2, …에 대 하여) 을 만족하는 N이 존재

s z

z z

m

m    



^



2 

1 1

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

– 비교판정법

• 기하급수(geometric series)

– 비판정법(ratio test)

• 비교판정법의 비교급수로 기하급수를 이용

급수 z₁+z₂+… 이 주어졌을 때, |z_n|<b_n (n=1, 2, …) 을 만족하는 음이 아닌 실수항의 수렴급수 b₁+b₂+… 을 찾아낼 수 있다면, 주어진 급수는 수렴하며 절대수렴함









 

 





^ 

 divergent 1

1 1 1

1 ²

0 q

q q q

q q

m

m 

z_n≠0 (n=1, 2, …)인 어떤 급수 z₁+z₂+… 에 대하여, 어떤 수 N 보다 큰 모든 n에 대 하여 다음 조건이 성립하면, 이 급수는 절대수렴함

(q<1: 고정된 값; 그 외의 경우, 급수는 발산)



n N



z q z

n

n^¹  1 

(4)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

– 비판정법(ratio test)

• 비의 급수가 수렴할 경우

– Ex. 4

z_n≠0 (n=1, 2, …)인 어떤 급수 z₁+z₂+… 에 대하여

























 1 noconclusion

divergent 1

convergent absolutely

1 lim ¹

L L L z L

z

n n n

     

 

¹⁰⁰ ¹⁷⁵ ¹²⁵¹ ⁰^:^convergent

! 75 100

! 1 75 100

75

!100 2 75 1 100

! 1 75 100

1 1

2 0

 

 

 









 









n n

i n

i z

z

i n i

i

n n

n n n

n



15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

– 근판정법(root test)

• 급수가 수렴하는 경우

어떤 급수 z₁+z₂+… 에 대하여, 어떤 수 N 보다 큰 모든 n에 대하여 다음을 만족하 면, 이 급수는 절대수렴함



n N



q z

n n  1 

급수 z₁+z₂+… 에 대하여





















 

 1 noconclusion

divergent 1

1 lim

L L L L z

n n n

(5)

15.2 Power Series

 거듭제곱급수(power series)

– Ex. 1 (원판 안에서의 수렴)

– Ex. 2 (모든 z에 대한 수렴)







 



















^



2 0 2 0 1 0 0

0 a a z z a z z

z z a

n

n n

계수(coefficient) 중심(center)

 









^



2 2 1 0 0

0 0

z a z a a z a z

n n n







 





^ 

 1 :divergent

: 1 ² 1

0 z

z z z z

n

n 

1 0

! 3

! 1 2

!

1 3

2 0

 







 ^





 ^z_n ^z ^z ^z ^z_z _n^z n n n

n



: e^z의 Maclaurin 급수

15.2 Power Series

– 거듭제곱급수의 수렴

• 모든 거듭제곱급수는 중심 z₀에서 수렴

• 거듭제곱급수가 점 z = z₁ ≠ z₀ 에서 수렴 ⇒ z₁ 보다 z₀에 더 근접 한 모든 z, 즉 |z – z₀|<|z₁ – z₀| 인 모든 z에 대하여 절대수렴

• 거듭제곱급수가 z = z₂에서 발산하면, z₂ 보다 z₀로부터 더 떨어진 모든 z에 대하여 발산

(6)

15.2 Power Series

– 거듭제곱급수의 수렴 반지름

• 수렴원(circle of convergence)

– 수렴하는 모든 점을 포함하는 가장 작은 원

• 수렴 반지름(radius of convergence) – 수렴원의 반지름: |z – z₀| = R

– 원의 내부 |z – z₀| < R 을 만족하는 모든 z에 대하여 수렴 & 원의 외 부 |z – z₀| > R 을 만족하는 모든 z에 대하여 발산

– R = ∞: 급수가 모든 z에 대하여 수렴할 경우 – R = 0: 급수가 단지 중심 z = z₀에서만 수렴할 경우

15.2 Power Series

– 거듭제곱급수의 수렴 반지름

– Ex. 5

0 lim

1 lim 0

0 lim

1

*

* 1







































 









a R a

a a R L

L

R L

a L a

n n n

n n n n

n

n Cauchy-Hadamard formula

       

 

     

      

 

convergent 4 :

3 1

4 1 4 1

1 1 2 2 lim 2

! /

! 2

! 1 /

! 1 lim 2 lim

3

! ,

! 3 2

!

! 2

0

* 2

2 2

* 1

2 0

0 2





















 







 



 



























i z R z z

R L n

n n n

n n n a

L a

i n z

a n i n z

n

n n n

n n

n

(7)

15.3 Functions Given by Power Series

 거듭제곱급수의 연속성

– 함수 f(z)가 R>0인 수렴 반지름을 가지는 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다면, 함수 f(z)는 z=0에서 연속

 거듭제곱급수에 대한 항등정리. 유일성

– |z|<R 에서 수렴하는 두 거듭제곱급수 a

₀

+a

₁

z+a

₂

z

²

+…과 b

₀

+b

₁

z+b

₂

z

²

+…이 모든 z에 대해서 동일한 합을 가진다면, 이들 급수는 항등적으로 같음(a

₀

=b

₀

, a

₁

=b

₁

, a

₂

=b

₂

, …)

⇒ 함수 f(z)가 임의의 중심 z

₀

를 가지는 거듭제곱급수로 표 현이 가능하다면, 이 표현은 유일함

15.3 Functions Given by Power Series

 거듭제곱급수의 연산

– 항별 덧셈 또는 항별 뺄셈

• 수렴 반지름이 R₁과 R₂인 두 개의 거듭제곱급수를 항별 덧셈 또는 항별 뺄셈하면 R₁과 R₂ 중 작은 값과 같은 수렴 반지름을 가지는 거듭제곱급수를 얻음

– 항별 곱셈: Cauchy 곱(Cauchy product)

• 두 개의 급수가 갖는 수렴원에 모두 속하는 z에 대하여 절대수렴



 



 





 

  









 







 









 









2 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0

z b a b a b a z b a b a b a z b a b

a b a

z b z a

n

n n n

n m

m m k

k k

(8)

15.3 Functions Given by Power Series

 거듭제곱급수의 연산

– 거듭제곱급수의 항별 미분

• 거듭제곱급수의 미분급수는 원래 급수와 동일한 수렴 반지름을 가짐

– 거듭제곱급수의 항별 적분

• 원래의 거듭제곱급수와 동일한 수렴 반지름을 가짐











^



 



2 3 2 1 1

1 0

3 2az az a

z na z

a

n n n n

n

n 미분급수(derived series)





 





^



 



2 3 1 2 0 0

1

0 1z az a2z a3 z

n z a a

n n n n

n n

15.3 Functions Given by Power Series

 해석함수와 그것의 도함수

– 0이 아닌 수렴 반지름 R을 가지는 거듭제곱급수는 그것의 수렴원 안에 있는 모든 점에서 해석함수를 표현함

– 이 함수의 도함수는 원래의 급수를 항별로 미분하여 얻어 지며, 원래의 급수와 동일한 수렴 반지름을 가짐

→ 도함수도 해석함수를 표현함

(9)

15.4 Taylor and Maclaurin Series

 테일러 급수와 Maclaurin 급수

– 테일러 급수

– Maclaurin 급수

• 중심 z₀=0을 가지는 테일러 급수

   

^{ }

 

  ^^_









 







 





 C

n n

n

n dz

z z

z f z i

n f a z z a z

f ₁ ^*

0

*

* 0

1 0 2

1

! 1



C: z0를 포함하는 단순 닫힌 경로 적분방향: 반시계방향

           

 

   

 

   



_ _

 

 



 









 C

n n

n

n n n

z dz z z z

z f i

z z z R

z R z n f

z z z

z f z z

z f z z f z f

* 0 1 * 0

* 1 * 0

0 0 0

2 0 0

0 0

2 '

'' !

! ' 2

! 1





나머지(remainder)

15.4 Taylor and Maclaurin Series

– 테일러의 정리

– 특이성과 수렴 반지름

• 테일러 급수의 수렴원에서 적어도 하나의 특이점(미분 가능하지 않은 점)이 존재함

• 테일러 급수의 수렴 반지름은 중심(z₀)에서 가장 가까운 f(z)의 특 이점까지의 거리와 일치함 (수렴 반지름이 이 거리보다 더 커질 수도 있음)

f(z): 정의역 D에서 해석적 & z = z₀: D에서의 임의의 점

→ 중심이 z₀이고 f(z)를 표현하는 거듭제곱급수는 정확히 한 개가 존재하며, 그 표 현은 f(z)가 해석적이 되는 중심이 z₀인 최대의 열린 원판에서 유효함 (계수 a_n은 다 음 부등식을 만족함)

   



M f z z z r



r

a_n M_n max on acircleof  ₀ 

(10)

15.4 Taylor and Maclaurin Series

– 테일러 급수로서의 거듭제곱급수

• 테일러 급수는 거듭제곱급수 → 0이 아닌 수렴 반지름을 가지는 거듭제곱급수는 그 합의 테일러 급수

 주요한 특수 테일러 급수

– Ex. 1 기하급수

– Ex. 2 지수함수

 

^{ }

   

^{ }

 



1



1 1

1

!&

1 0

! 1

1

2 0

0

1 ⁰







 







 

 



 





^





z z

z z z

a n z f

z n z f

z f

n n

z n n



 

^{ }

 

^{ }

 













 











^



! 1 2

!

! / 1

&

1 0

2 0

0 0

z z n e z

n a f

e z f e z f

n n z

n n

z z n z

15.4 Taylor and Maclaurin Series

 주요한 특수 테일러 급수

– Ex. 3 삼각함수와 쌍곡선함수

– Ex. 4 로그함수

         

   

 











 























 



















 











































 







 





! 5

! 3

! 1 sinh 2

! 4

! 1 2

! cosh 2

! 5

! 3

! 1 1 2 sin

! 4

! 1 2

! 1 2 cos

! 1 1 2

! 1 2

!

! 1 2

!

5 3 0

1 2

4 2 0

2

5 3 0

1 2

4 2 0

2

0

1 2 0

2 0

z z z n z z

z z n z z

z z z n z z

z z n z z

k i y

k y n

e iy z z

n e z

n n n

n n

n n n

n n

k k k k

k k n

n iy

iy z n

z n







    3 1 2

Ln z z z² z³

(11)

15.4 Taylor and Maclaurin Series

 실제적인 계산 방법

– Ex. 5 대입법

– Ex. 6 적분

– Ex. 7 기하급수를 이용한 전개

 

   

 

¹ ¹



¹



1 1 1

? 1 1

1 2 4 6

0 2 0

2 2

2

2          



 

 

 



 

^







z z z z z z z

z z z

f

n n n n

n 

     



¹



5 3 1

2 tan 1

1 ' 1

?

tan ³ ⁵

0

1 2 1

2

1     



 

 











^







 z z z z z

z n z z

f z

z f

n

n n



     











  

 







 



 

 



 







 



 

 



 







 



 



 

 

 









^





2

0 0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 0

0

1 1 1

of 1 powers with , 1

0

z c

z z z c

z z z c z c

z z z

c

z c

z z z

z c z z c z z c z z

z c f z c

n

15.4 Taylor and Maclaurin Series

 이항급수(binomial series)

– Ex. 8

        





 

 



 



 



 



 



^



 2 3

0 3!

2 1

! 2 1 1

1 1

1 z mz mm z mm m z

n z m

z n

m n m

 

         

     





























 



 



   

 



 



  



 



 



 



 

 





 



 

 



 

 

 





 



 





 



^

 









3 2

0 2

0 0

2 2

3 2 2 0 3

2

1944 1 1 275 108 1 23 54 31 9 8

2 1 1 3

1 1 2

1 3

2 1 9 1

2 1 1

1

3 1 1 9

1 1

2 2 1

3 1 3 2 2 1 12 8

5 9 2

1

&

12 8

5 9 2

z z

z

n z z

z n

z z z z

z z z z z

z z z

f

z z z z

z z z

f

n

n n n

n n

n

(12)

15.5 Uniform Convergence

 균등수렴(uniform convergence)

– 거듭제곱급수의 균등수렴

– 합의 연속성

합 s(z)를 가지는 급수 가 영역 G에서 균등수렴함

⇒ 임의의 ε>0에 대하여, 부등식 |s(z) – s_n(z)|<ε (모든 n>N & G에 있는 모든 z에 대하여) 을 만족하는 z에 의존하지 않는 정수 N=N(ε)이 존재함

 



 



 



 





^



z f z f z f z f

m

m 0 1 2

0

0이 아닌 수렴 반지름 R을 가지는 거듭제곱급수 는 반지름 r<R인 모든 원판 |z – z₀|<r 에서 균등수렴함

 



^





0 0 m

m

m z z

a

급수 가 영역 G에서 균등수렴한다면, 각 항 f_m(z) 가 G에 있는 점 z₁에서 연속이면, 함수 F(z)도 z₁에서 연속임

 





^

 



 



 





z f z f z f z F

m m 0 1

0

15.5 Uniform Convergence

– Ex. 2

   

^ ^

   

       

   

 









 





 

















 

 















 













 



 

















 









 









0 0

0 lim 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

2

2 2 2 1

2 2 2

2 1 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 23

2 2 2

2 2 2 2

x x s x

s

x x x s

x x s x

x x x

x x x x

x x s s

x x x

x s R x x

x x

x x x x

n n

n n n n

n n

n n n

n n



모든 항들이 연속이고 그 급수가 절대수렴 하지만, 그 합은 불연속인 점이 존재할 수 있음

⇒ x=0을 포함하는 구간에서는 균등수렴하지 않음

(13)

15.5 Uniform Convergence

– Ex. 3 항별 적분이 불가능한 급수

           

       

       

 

         

 

2 1 1

2 lim1 lim

lim lim

lim 2

0

1 0 0 lim lim

1

1 0

&

1 0

1 0 1

1 0 1 1 0

1 0 1 0

0 1

1 2 0 1 2

1

1 1

2 2

































































 























 



 







n n

nx n

n n n n

n

m m

m m n

n n n n

n n n n n

n

m m m

m m mx m

e dx

nxe

dx x u dx

x s dx x f dx

x f

dx x F

x x

u x s x F

u u u u u u

u u u f f f s

x x f x u x u x f mxe x u



⇒ 적분구간에서 균등수렴하지 않음

15.5 Uniform Convergence

 항별 적분

 항별 미분

급수 가 영역 G에서 균등수렴함

⇒ G에서의 임의의 경로 C에 대하여

 





^

 



 



 





z f z f z f z F

m

m 0 1

0

          



^ ^ ^ ^ ^

 C C C

m C

m zdz f zdz f zdz F zdz

f ₀ ₁ 

0

급수 가 영역 G에서 균등수렴함

& 급수 가 G에서 균등수렴하고, 각 항들이 G에서 연속임

⇒

 





^

 



 



 





z f z f z f z F

m

m 0 1

 

z 0f

 

z  f

 

z  f₀^' ₁^' ₂^'

 

z  f

 

z f

 

z f

 

z  F' ₀^' ₁^' ₂^'

(14)

15.5 Uniform Convergence

 균등수렴의 판정

– Weierstrass M 판정법

– Ex. 4

z-평면의 영역 G에 있는 모든 z와 모든 m=0, 1, 2, … 에 대하여 인 상수 항의 수렴급수 이 존재함

⇒ 은 영역 G에서 균등수렴함



^

 



 



 





z f z f z f

m m 0 1

0

 

m

m z M

f 





 ₁ ₂

0 M M

M

 

convergent uniform

convergent ;

1 2 cosh

1

1 of circle a on cosh

1

2 1 0

2 2 2

0 2









 

 



 



^ 



M  M M

m M m z z m m

z z f

z z m m

z

m m m

m m

m