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잉여군의 계산과 단순군

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Academic year: 2022

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(1)

잉여군의 계산과 단순군

(Factor group computations

and simple groups)

현대대수학1 <제15절>

이상준 교수

(덕성여대 수학과)

교재 : 현대대수학(제7판)

John B. Fraleigh 지음, 강영욱, 강병련 옮김 강의 슬라이드 : 이상준, 조유진(13)

(2)

예제

„ 예제: 𝐺/{𝑒} ≃ 𝐺

„ 증명: 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺 는 준동형사상이며 전사함수이다.

𝑔 ⟼ 𝑔

„ 𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝑒

„ 준동형사상의 기본정리에 의해서

𝜇 ∶ 𝐺/{𝑒} ⟶ 𝐺 는 동형사상이다.

𝑔 𝑒 ⟼ 𝑔

2

(3)

„ 예제: G/G ≃ {0}

„ 증명:

(4)

4

„ 예제: G/G ≃ {0}

„ 증명: 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ {0} 는 준동형사상이며 전사함수이다.

𝑔 ⟼ 0

„ 𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐺

„ 준동형사상의 기본정리에 의해서

𝜇 ∶ 𝐺/𝐺 ⟶ {0}는 동형사상이다.

𝐺 ⟼ 0

(5)

„ 예제15.4: 𝑆

4

/𝐴

4

≃ ℤ

7

„ 증명:

(6)

6

„

예제15.4: 𝑆4/𝐴4 ≃ ℤ7

„

증명: 𝜙 ∶ 𝑆4 ⟶ ℤ7 는 준동형사상이며 전사함수이다.

짝치환 ⟼ 0 홀치환 ⟼ 1

„

𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐴4

„

FHT에 의해서 𝜇 ∶ 𝑆4/𝐴4 ⟶ ℤ7는 동형사상이다.

𝐴4 ⟼ 0 1 2 𝐴4 ⟼ 1

(7)

„ 예제15.7: ℤ

7

×ℤ

;

/ 0,1 ≃ ℤ

7

„ 증명:

(8)

8

„

예제15.7: ℤ7×ℤ; / 0,1 ≃ ℤ7

„

증명: 𝜙 ∶ ℤ7×ℤ; ⟶ ℤ7 는 준동형사상이며 전사함수이다.

a, b ⟼ 𝑎

„

𝑘𝑒𝑟𝜙 = (0,1)

„

FHT에 의해서 𝜇 ∶ ℤ7×ℤ; / (0,1) ⟶ ℤ7 는 동형사상이다.

(9)

„

정리15.8: 𝐺 = 𝐻×𝐾라 하자.

①

𝐻D = ℎ,𝑒 ℎ ∈ 𝐻 ⊲ 𝐺

②

(𝐻×𝐾)/𝐻D ≃ 𝐾

„

증명:

①

𝐻D ⊲ 𝐺 임을 보이기 위해

모든 𝑔 ∈ 𝐺, ℎ ∈ 𝐻D에 대하여 𝑔ℎ𝑔HI ∈ 𝐻D임을 보이면 된다.

„

ℎI ,𝑘 ℎ7 ,𝑒 ℎI ,𝑘 HI = ℎIℎ7ℎIHI ,𝑘𝑒𝑘HI = ℎIℎ7ℎIHI,𝑒

②

𝜙 ∶ 𝐻×𝐾 ⟶ 𝑒 ×𝐾 ℎ,𝑘 ⟼ 𝑒 , 𝑘

„

𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐻D = 𝐻× 𝑒

„

FHT에 의해서 𝜇 ∶ (𝐻×𝐾)/𝐻D ⟶ 𝑒 ×𝐾 ℎI ,𝑘 𝐻D ⟼ (𝑒, 𝑘)

(10)

10

„

정리: 𝐺 = 𝐻×𝐾라 하자.

①

𝐾D = 𝑒, 𝑘 𝑘 ∈ 𝐾 ⊲ 𝐺

②

(𝐻×𝐾)/𝐾D ≃ 𝐻

„

증명:

(11)

„

예제15.10: ℤJ×ℤ; / 0,2

„

풀이:

„

예제: ℤJ×ℤ; / 𝐻 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝐻 = { 0,0 , 0,3 , 2,0 , 2,3 }.

„

풀이:

(12)

12

„

예제15.10: ℤJ×ℤ; / 0,2

„

풀이: 0,2 = 0,2 , 0,4 , 0,6

„

𝜙 ∶ ℤJ×ℤ; ⟶ ℤJ×ℤ7 ( 𝑎,𝑏 ) ⟼ (𝑎,𝑏 𝑚𝑜𝑑 2)

„

𝑘𝑒𝑟𝜙 = 0,2

„

FHT에 의해 𝜇 ∶ ℤJ×ℤ; / 0,2 ⟶ ℤJ×ℤ7

𝑎, 𝑏 + 0,2 ⟼ (𝑎,𝑏 𝑚𝑜𝑑 2)

„

예제: ℤJ×ℤ; / 𝐻 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝐻 = { 0,0 , 0,3 , 2,0 , 2,3 }.

„

풀이: 𝜙 ∶ ℤJ×ℤ; ⟶ ℤ7×ℤV

( 𝑎, 𝑏 ) ⟼ (𝑎 𝑚𝑜𝑑 2 ,𝑏 𝑚𝑜𝑑 3)

„

𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐻

„

FHT에 의해 𝜇 ∶ ℤJ×ℤ; / 𝐻 ⟶ ℤ7×ℤV

𝑎, 𝑏 + 𝐻 ⟼ (𝑎 𝑚𝑜𝑑 2 ,𝑏 𝑚𝑜𝑑 3)

(13)

„

예제15.11: ℤJ×ℤ; / 2,3

(14)

14

„

예제15.12: ℤ×ℤ / 1,1

(15)

„

정리 15.9: 순환군의 잉여군은 순환군이다.

„

증명:

(16)

단순군 (Simple group)

„

정의15.14: 군이 비자명 진정규부분군들을 가지지 않는다고 하면 그 군을 단순군(simple group)이라고 한다.

„

정리15.15: 𝐴4은 𝑛 ≥ 5에 대하여 단순군이다.

„

증명: 생략!

„

정리15.16: 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺Z이 군 준동형사상이라고 하자.

„

𝑁 ⊲ 𝐺이면 𝜙[𝑁] ⊲

𝝓[𝑮]

이다.

„

𝑁Z ⊲ 𝐺Z이면 𝜙HI[𝑁Z] ⊲ 𝐺이다.

16

(17)

„

정리 15.16 증명:

„

𝑁 ⊲ 𝐺이면 𝜙[𝑁] ⊲ 𝜙[𝐺]이다.

„

𝑁Z ⊲ 𝐺Z이면 𝜙HI[𝑁Z] ⊲ 𝐺이다.

(18)

극대정규부분군(maximal normal subgroup)

„

정의15.17: M이 G의 정규부분군으로서 𝑀 ≠ 𝐺이고

M을 포함하는 G가 아닌 진정규부분군 N이 존재하지 않는다면,

M을 G의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라고 한다.

„

정리15.18: M이 G의 극대정규부분군이 될 필요충분조건은 𝐺/𝑀이 단순군이다.

„

증명:

18

(19)
(20)

중심 (center)

„

정의: G가 군이라고 하자.

„

중심 (center) 𝒁 𝑮 = 𝒛 ∈ 𝑮 ∀𝒈에 대하여 𝒛𝒈 = 𝒈𝒛 이다.

„

사실: ① 𝑍(𝐺) < 𝐺

„

② 𝑍(𝐺) ⊲ 𝐺

„

③ 𝑍(𝐺)는 가환군이다.

„

증명: (다음페이지)

20

(21)

„ 사실: ① 𝑍(𝐺) < 𝐺

„ ② 𝑍(𝐺) ⊲ 𝐺

„ ③ 𝑍(𝐺)는 가환군이다.

„ 증명:

„ ① 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍(𝐺)이면 𝑎𝑏

HI

∈ 𝑍(𝐺)인가?

„ 𝑎 𝑏

HI

𝑔 = 𝑎 𝑔𝑏

HI

= 𝑎𝑔 𝑏

HI

= 𝑔𝑎 𝑏

HI

= 𝑔(𝑎𝑏

HI

)

„ ② 𝑔𝑧𝑔

HI

∈ 𝑍(𝐺)인가?

„ 𝑔𝑧𝑔

HI

= 𝑔𝑔

HI

𝑧 = 𝑧 ∈ 𝑍(𝐺)

„ ③ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 𝐺 ⟶ 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

(22)

22

„

예제:

„

① Z 𝑆V = 𝜌k

„

② Z 𝑆V×ℤl = {𝜌k}×ℤl

(23)

교환자부분군 (commutator subroup)

„

정의: G가 군이라고 하자.

„

교환자부분군 (commutator subgroup)

𝑪 𝑮 = 𝒂𝒃𝒂

H𝟏

𝒃

H𝟏

𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮

이다.

„

사실: ① 𝐶(𝐺) < 𝐺

„

② 𝐶(𝐺) ⊲ 𝐺

„

증명:

(24)

24

„

정리: G/C(G) 는 가환군이다.

„

증명:

(25)

„

정리: N이 G의 정규부분군이라 하자.

„

G/N이 가환군이 될 필요충분조건은 𝐶(𝐺) ≤ 𝑁이다.

„

의미: G/N이 가환군인 G의 가장 작은 정규부분군 N이 C(G)라는 것이다.

„

증명:

참조

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