잉여군의 계산과 단순군
(Factor group computations
and simple groups)
현대대수학1 <제15절>
이상준 교수
(덕성여대 수학과)
교재 : 현대대수학(제7판)
John B. Fraleigh 지음, 강영욱, 강병련 옮김 강의 슬라이드 : 이상준, 조유진(13)
예제
예제: 𝐺/{𝑒} ≃ 𝐺
증명: 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺 는 준동형사상이며 전사함수이다.
𝑔 ⟼ 𝑔
𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝑒
준동형사상의 기본정리에 의해서
𝜇 ∶ 𝐺/{𝑒} ⟶ 𝐺 는 동형사상이다.
𝑔 𝑒 ⟼ 𝑔
2
예제: G/G ≃ {0}
증명:
4
예제: G/G ≃ {0}
증명: 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ {0} 는 준동형사상이며 전사함수이다.
𝑔 ⟼ 0
𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐺
준동형사상의 기본정리에 의해서
𝜇 ∶ 𝐺/𝐺 ⟶ {0}는 동형사상이다.
𝐺 ⟼ 0
예제15.4: 𝑆
4/𝐴
4≃ ℤ
7 증명:
6
예제15.4: 𝑆4/𝐴4 ≃ ℤ7
증명: 𝜙 ∶ 𝑆4 ⟶ ℤ7 는 준동형사상이며 전사함수이다.짝치환 ⟼ 0 홀치환 ⟼ 1
𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐴4
FHT에 의해서 𝜇 ∶ 𝑆4/𝐴4 ⟶ ℤ7는 동형사상이다.𝐴4 ⟼ 0 1 2 𝐴4 ⟼ 1
예제15.7: ℤ
7×ℤ
;/ 0,1 ≃ ℤ
7 증명:
8
예제15.7: ℤ7×ℤ; / 0,1 ≃ ℤ7
증명: 𝜙 ∶ ℤ7×ℤ; ⟶ ℤ7 는 준동형사상이며 전사함수이다.a, b ⟼ 𝑎
𝑘𝑒𝑟𝜙 = (0,1)
FHT에 의해서 𝜇 ∶ ℤ7×ℤ; / (0,1) ⟶ ℤ7 는 동형사상이다.
정리15.8: 𝐺 = 𝐻×𝐾라 하자.①
𝐻D = ℎ,𝑒 ℎ ∈ 𝐻 ⊲ 𝐺②
(𝐻×𝐾)/𝐻D ≃ 𝐾
증명:①
𝐻D ⊲ 𝐺 임을 보이기 위해모든 𝑔 ∈ 𝐺, ℎ ∈ 𝐻D에 대하여 𝑔ℎ𝑔HI ∈ 𝐻D임을 보이면 된다.
ℎI ,𝑘 ℎ7 ,𝑒 ℎI ,𝑘 HI = ℎIℎ7ℎIHI ,𝑘𝑒𝑘HI = ℎIℎ7ℎIHI,𝑒②
𝜙 ∶ 𝐻×𝐾 ⟶ 𝑒 ×𝐾 ℎ,𝑘 ⟼ 𝑒 , 𝑘
𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐻D = 𝐻× 𝑒
FHT에 의해서 𝜇 ∶ (𝐻×𝐾)/𝐻D ⟶ 𝑒 ×𝐾 ℎI ,𝑘 𝐻D ⟼ (𝑒, 𝑘)10
정리: 𝐺 = 𝐻×𝐾라 하자.①
𝐾D = 𝑒, 𝑘 𝑘 ∈ 𝐾 ⊲ 𝐺②
(𝐻×𝐾)/𝐾D ≃ 𝐻
증명:
예제15.10: ℤJ×ℤ; / 0,2
풀이:
예제: ℤJ×ℤ; / 𝐻 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝐻 = { 0,0 , 0,3 , 2,0 , 2,3 }.
풀이:12
예제15.10: ℤJ×ℤ; / 0,2
풀이: 0,2 = 0,2 , 0,4 , 0,6
𝜙 ∶ ℤJ×ℤ; ⟶ ℤJ×ℤ7 ( 𝑎,𝑏 ) ⟼ (𝑎,𝑏 𝑚𝑜𝑑 2)
𝑘𝑒𝑟𝜙 = 0,2
FHT에 의해 𝜇 ∶ ℤJ×ℤ; / 0,2 ⟶ ℤJ×ℤ7𝑎, 𝑏 + 0,2 ⟼ (𝑎,𝑏 𝑚𝑜𝑑 2)
예제: ℤJ×ℤ; / 𝐻 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝐻 = { 0,0 , 0,3 , 2,0 , 2,3 }.
풀이: 𝜙 ∶ ℤJ×ℤ; ⟶ ℤ7×ℤV( 𝑎, 𝑏 ) ⟼ (𝑎 𝑚𝑜𝑑 2 ,𝑏 𝑚𝑜𝑑 3)
𝑘𝑒𝑟𝜙 = 𝐻
FHT에 의해 𝜇 ∶ ℤJ×ℤ; / 𝐻 ⟶ ℤ7×ℤV𝑎, 𝑏 + 𝐻 ⟼ (𝑎 𝑚𝑜𝑑 2 ,𝑏 𝑚𝑜𝑑 3)
예제15.11: ℤJ×ℤ; / 2,314
예제15.12: ℤ×ℤ / 1,1
정리 15.9: 순환군의 잉여군은 순환군이다.
증명:단순군 (Simple group)
정의15.14: 군이 비자명 진정규부분군들을 가지지 않는다고 하면 그 군을 단순군(simple group)이라고 한다.
정리15.15: 𝐴4은 𝑛 ≥ 5에 대하여 단순군이다.
증명: 생략!
정리15.16: 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺Z이 군 준동형사상이라고 하자.
𝑁 ⊲ 𝐺이면 𝜙[𝑁] ⊲𝝓[𝑮]
이다.
𝑁Z ⊲ 𝐺Z이면 𝜙HI[𝑁Z] ⊲ 𝐺이다.16
정리 15.16 증명:
𝑁 ⊲ 𝐺이면 𝜙[𝑁] ⊲ 𝜙[𝐺]이다.
𝑁Z ⊲ 𝐺Z이면 𝜙HI[𝑁Z] ⊲ 𝐺이다.극대정규부분군(maximal normal subgroup)
정의15.17: M이 G의 정규부분군으로서 𝑀 ≠ 𝐺이고M을 포함하는 G가 아닌 진정규부분군 N이 존재하지 않는다면,
M을 G의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라고 한다.
정리15.18: M이 G의 극대정규부분군이 될 필요충분조건은 𝐺/𝑀이 단순군이다.
증명:18
중심 (center)
정의: G가 군이라고 하자.
중심 (center) 𝒁 𝑮 = 𝒛 ∈ 𝑮 ∀𝒈에 대하여 𝒛𝒈 = 𝒈𝒛 이다.
사실: ① 𝑍(𝐺) < 𝐺
② 𝑍(𝐺) ⊲ 𝐺
③ 𝑍(𝐺)는 가환군이다.
증명: (다음페이지)20
사실: ① 𝑍(𝐺) < 𝐺
② 𝑍(𝐺) ⊲ 𝐺
③ 𝑍(𝐺)는 가환군이다.
증명:
① 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍(𝐺)이면 𝑎𝑏
HI∈ 𝑍(𝐺)인가?
𝑎 𝑏
HI𝑔 = 𝑎 𝑔𝑏
HI= 𝑎𝑔 𝑏
HI= 𝑔𝑎 𝑏
HI= 𝑔(𝑎𝑏
HI)
② 𝑔𝑧𝑔
HI∈ 𝑍(𝐺)인가?
𝑔𝑧𝑔
HI= 𝑔𝑔
HI𝑧 = 𝑧 ∈ 𝑍(𝐺)
③ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 𝐺 ⟶ 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
22
예제:
① Z 𝑆V = 𝜌k
② Z 𝑆V×ℤl = {𝜌k}×ℤl교환자부분군 (commutator subroup)
정의: G가 군이라고 하자.
교환자부분군 (commutator subgroup)𝑪 𝑮 = 𝒂𝒃𝒂
H𝟏𝒃
H𝟏𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮
이다.
사실: ① 𝐶(𝐺) < 𝐺
② 𝐶(𝐺) ⊲ 𝐺
증명:24