Chap. 2
Newton 역학과 미분방정식Ⅰ
l 미분방정식
- 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식을 미분방정식(DE : differential equation)이라 한다.
l 상미분 방정식
- 단 하나의 독립변수를 갖는한 개 또는 그이상의 함수들과 그 함수들의 도함수 (ordinary derivative)를 포함한다.
l 편미분 방정식
- 두 개 이상의 독립변수를 갖는 한 개 또는 그 이상의 함수들과 그들의 편도함수 (partial differential equation)이라 한다.
미분방정식
상미분 방정식의 예
+ 6 = ,
+
− 12 = 0
상미분 방정식의 예 + 6 = , + − 12 = 0
l 선형과 비선형 미분방정식
- 차례로 1계, 2계, 3계 선형미분방정식
- 차례로 1계, 2계, 3계 비선형미분방정식
l 상미분 방정식의 해
- 구간 I에서 정의된 함수 ∅가 I에서 연속인 적어도 개의 도함수 ∅’, ∅’, ⋯, ∅()을 갖고, n계 상미분방정식에 대입했을 때 그 방정식을 만족하면 ∅를 구간 I에서의 미분 방정식의 해라 한다.
미분방정식
− + 4 = 0 , − 2 + = 0 ,
+ 3
− 5 =
1 − ′ + 2 = ,
+ = 0 ,
+ = 0
미분방정식
예제) 2-1
- 아래 쪽에 주어진 함수가 구간 −∞, ∞ 에서 주어진 미분방정식의 해가 됨을 검증 하라.
= / = /16 − 2 + = 0 =
주어진 함수가 해가 되는지를 검증하는 방법은 구간 내에 있는 모든에 대해 방정 식의 양변에 그 함수를 대입했을 때 등식이 성립하는지를 보는 것이다
.
위의 사실로부터 모든 실수 에 대해 방정식의 양변은 같음을 알 수 있다.
/ = /4는/16의 음수가 아닌 제곱근 이다.
풀이
등식 왼쪽 ∶
= 4
16 = 4 등식 오른쪽: / =
4 =
4 = 4
미분방정식
주어진 함수의 도함수들 = + 와 = + 2로 부터 모든 실수에 대해 다음이 성립한다.
모든 , 즉 −∞ < < ∞에 대해 상수해 = 0은 각 미분방정식의 해가 된다.
0이 구간상의 모든 에 대해 미분방정식의 해가 되면 이 해를 자명해라 한다.
등식 왼쪽 ∶ − 2 + = + 2 − 2 + + = 0 등식 오른쪽 ∶ 0
풀이(계속)
미분방정식
주어진 함수의 도함수들 = + 와 = + 2로 부터 모든 실수에 대해 다음이 성립한다.
모든 , 즉 −∞ < < ∞에 대해 상수해 = 0은 각 미분방정식의 해가 된다.
0이 구간상의 모든 에 대해 미분방정식의 해가 되면 이 해를 자명해라 한다.
등식 왼쪽 ∶ − 2 + = + 2 − 2 + + = 0 등식 오른쪽 ∶ 0
풀이(계속)
미분방정식
주어진 함수의 도함수들 = + 와 = + 2로 부터 모든 실수에 대해 다음이 성립한다.
모든 , 즉 −∞ < < ∞에 대해 상수해 = 0은 각 미분방정식의 해가 된다.
0이 구간상의 모든 에 대해 미분방정식의 해가 되면 이 해를 자명해라 한다.
등식 왼쪽 ∶ − 2 + = + 2 − 2 + + = 0 등식 오른쪽 ∶ 0
풀이(계속)
미분방정식(선형방정식)
l 선형 방정식(1계 미분방정식) 1계 미분방정식
을, 종속변수 의 선형방정식이라고 한다.
+ = g() (1)
- g = 0일 때 제차방정식(homogeneous equation), g ≠ 0이면 비제차방정식(nonhomogeneous equation)이라고 한다.
l 표준형
계수 로 식 (1)의 양변을 나누면 보다 유용한 형태가 되며, 이것을 선형미분방정시의 표준형 이라한다.
+ = ()
(2)미분방정식
l 선형 1계 미분방정식의 풀이 지침
I. 식(1) 형태의 선형방정식을 식(2)의 표준형으로 바꾸고 ()와 적분인 자 ∫ 를 결정하라.
II. 적분인자를 식(2)에 곱하라. 그러면 방정식의 좌변은 자동적으로 적분 인자와 의 곱을 미분한 함수가 된다. 그리고 아래와 같이 식을 쓴다.
이 방정식의 양변을 적분한 후 적분인자로 나누면 해를 구할 수 있다.
∫ =
∫ ()
미분방정식
예제) 2-2
− 4 = 을 풀어라 풀이
1) 표준화
양변을 로 나누면, 다음의 표준형을 얻는다.
이로 부터 = −4/ = 이 되고, 함수 와 가 구간 (0, ∞)에서 연속이라는 사실을 알 수 있다. 따라서 적분인자는
이다.
∫=
=
=
미분방정식
풀이(계속)
2. 적분 인자를 이용한 계산
양변에 적분인자 을 곱하면 다음과 같다.
양변을 적분하면 = − + 또는
=
−
+
− 4 =
=
미분방정식(완전 방정식)
l 완전방정식
, + (, )가 어떤 함수 (, )의 미분과 같다면, 이를 평면 내 의 영역 에서의 완전 미분이라고 한다., 또한 1계 미분방정식
의 좌변이 완전 미분이라면 이를 완전 미분방정식이라 부른다.
, + , = 0
미분방정식(완전 방정식)
l 완전 미분의 판정기준
, 및 , 가 연속이고 < < , < < 로 정의되는 사각 영역
내에서 연속인 1계 편도함수를 가진다고 하자. 그러면 , +
(, )가 완전 미분이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
=
미분방정식(완전 방정식)
예제) 2-3
2 +
− 1 = 0을 풀어라
풀이
1. 완전방정식 판정
, = 2 , , = − 1로 두면
을 얻는다 따라서 이 방정식은 완전 미분이다.
= 2 =
미분방정식(완전 방정식)
풀이(계속)
2. , 도출
= 2 ,
= − 1 위 식의 첫 번째 식을 적분하면 다음의 식을 얻는다.
이 식을 에 대해 편미분하고, 그 결과를 (, )와 같게 두면 다음과 같이 된다.
, = + g()
= + g = − 1
(, )
g = −1이므로 = −이고, 따라서 ㄹ , = − 이므로 음함수 형태의 해는
− =
이다. 양함수 형태의 해는 = /(1 − ^2)로 쉽게 구해지고 = 1Newton 역학
l Newton의 운동법칙 - 제 1 법칙
- 제 2법칙
- 제 3법칙
정지해 있거나 등속직선운동하는 질접은 외력이 작용하지 않으면 정지해 있거나 등 속직선운동을 계속한다.
질점에 외력이 작용하면, 질점은 힘이 작용하는 방향으로 가속되며 가속도의 크기는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다.
작용하는 힘과 반대방향으로 같은 크기의 반작용이 있다. 접촉하는 물체 사이의 작 용과 반작용은 크기는 같고 방향은 반대이며 동일직선상에 있다.
직선운동
l 위치, 속도, 및 가속도 정의 (1) -
- -
평균속도: = ∆
∆ = − − 순간 속도 = 속도 = = lim
∆→
속도의 부호
① +기호 위치의 증가 (∆의 양의 값)
② −기호 위치의 감소 (∆의 음의 값)
∆
′
직선운동
l 위치, 속도, 및 가속도 정의 (2)
- - -
′
+ ∆
() ( + ∆) 평균가속도: = ∆
∆ = − −
순간가속도 = 가속도 = = lim
∆→
=
=
가속도의 부호
① +기호 위치의 증가 (∆의 양의 값)
② −기호 위치의 감소 (∆의 음의 값)
직선운동
l 위치, 속도, 및 가속도 정의 (3)
- 원칙적으로 위치, 속도, 가속도는 벡터량(직선운동일 경우만 스칼라)
-
- 저어크( jerk)는 충격력과 연관되며 진동소음의 원인
=
, =
=
미분
미분 미분
적분 적분 적분
직선운동
l 위치,속도 및 가속도 계산 (1) - = : 시간의 함수
=
= → = →
=
∴ = +
=
= +
→ = +
∴ = + + +
직선운동
l 위치,속도 및 가속도 계산 (2) - = () : 위치의 함수
=
= ()
=
= → = → → =
= = →
() = →
() =
= ±[2 + ]
= ()
직선운동
l 위치, 속도 및 가속도 계산 (3) - = : 속도의 함수
=
= → = ()
=
= → = ()
= ()
상대운동
l 독립 상대운동
- 모든 질점이 다른 질점에 대해 독립적으로 움직일 수 있는 운동이다.
A B
① = + / /= −
② = + / /= −
③ = + / /= −
상대운동
l 종속 상대운동
- 한 개 이상의 질점의 운동이 다른 질점의 운동에 의해 결정되는 운동이다.
1 자유도 종속 운동
① + 2 = (일정)
② + 2 = 0
③ + 2 = 0
2 자유도 종속 운동
① 2 + 2 + = (일정)
② 2 + 2 + =
③ 2 + 2 + =
+ 2
= 0
+ 2
= 0
곡선운동
l 곡선운동의 위치, 속도, 가속도의 정의 - 벡터 개념의 도입
- -
-
- 단위벡터(Basis) = , , 평균속도: = ∆
∆
순간 속도 = 속도 = = lim
∆→
∆ =
=
, =
, =
∆
′
궤적
′ ∆
곡선운동
l 곡선운동의 위치, 속도, 가속도의 정의 -
- 가속도의 방향 : 호도그라프의 접선 방향 ○
궤적의 접선 방향 × (접선성분, 법선성분 모두 존재) 순간가속도 = 가속도 = = lim
→
∆
∆ =
=
′
′
극좌표계
l 극좌표계 (평면운동)
단위벡터 , 는 가변벡터 (크기는 =1, 방향≠일정) r= (단위벡터의 방향이 바뀜)
V= + ′
=
()
/()
()
극좌표계
l 극좌표계 (평면운동)
① V= + e
② = ′′ + + + + ′
③ V= + ′
① =
= θ
② =
= −
()
∆
()
( + ∆)
( + ∆) ∆
()
()
극좌표계
예제) 2-3
레이다가 비행기의 위치를
r(t)
와θ(t)
의 좌표로 탐지하고 있다. 어떤 순간에,θ =40
° 그리고r =6400 ft
이며, 계속적인 측정에서 이 순간의r
과θ
의 미분 값은이 순간에서 비행기의 속도와 가속도를 구하여라.
= 312 /, = −0.039 / , = 9.751 /
= 0.003807 /
레이다에 중심을 둔 극좌표계를 잡으면 반경방향의 속도 성분은
θ
성분의 속도는속도의 방향은
(반경방향에서 시계방향으로 측정한 값)
극좌표계
= = 6400 −0.039 = −250 /
= = 312 /
∅ = tan250
312 = 38.7°
풀이
극좌표계
반경방향의 가속도 성분은
성분의 가속도는
합성된 가속도의 크기는
가속도의 방향은
= − = 9.751 − 6400 0.039 = 0.017 /
= + 2 = 6400 0.003807 + 2 312 −0.039 = 0.029 /
= 0.017 + 0.029 = 0.034 /
0.029 풀이(계속)
