Chap. 5
Newton 역학과 벡터방정식Ⅰ
서론
Chap.5 Newton 역학과 벡터방정식 Ⅰ
l 스칼라(scalar) - 방향을 가지고 있지 않고 크기만 가지고 있는 물리량을 뜻한다.
- 질량이나 온도, 에너지 등이 이에 속한다.
l 벡터(vector) - 크기와 방향을 동시에 나타내는 물리량을 말한다.
- 변위, 힘, 속도, 가속도 등이 이에 속한다.
2차원 좌표공간에서의 벡터
l 벡터의 특성
- 벡터 는 시점와 종점를 갖는다.
- 동일한 벡터는 크기와 방향이 같다
- 크기와 방향이 변하지 않고 다른 위치로 움직일 수 있다(자유벡터) - 와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터를 −로 표시한다(음벡터) - > 0 일 때 는 크기의 배이고 방향은 동일하다.
- < 0 일 때 는 크기의 배이고 방향은 반대.
2차원 좌표공간에서의 벡터
l 벡터의 성질
I. a+b=b+a 교환법칙
II. a+(b+c)=(a+b)+c 결합법칙
III. (a+b)=a+ (, )는 스칼라
IV. ( + )a=a+a V. ()a=()a
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2차원 좌표공간에서의 벡터
l 벡터의 크기
- 벡터 a의 크기(magnitude), 길이(length) 또는 놈(norm)은 llall로 표시한다.
- 벡터 a의 크기는
- 벡터 a에 대하여 명백히 llall>0이고 llall=0↔a=0이다.
예를 들어 a=< 6, -8>이면 llall= 6 + −8 = 100 = 10이다
a = <
,
> 일 때
llall =
+
로 정의한다
2차원 좌표공간에서의 벡터
l 단위 벡터
- 크기가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 한다. 0이 아닌 벡터 a와 같은 방향의 단위벡터 u는 a의 크기의 역수를 a에 곱하여 얻을 수 있다.
이므로 벡터 u= a a 는 단위 벡터이다.
u = a a =1
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2차원 좌표공간에서의 벡터(예제)
예제) 6-1
주어진 벡터와 평행이고 제시한 크기를 갖는 벡터 b를 구하라
a = 7i+3j, b = 4
풀이
u= a a =
7i+3j =
7i+3j
b=4u=
7i+3j
예제) 6-2
배의 추진력이 30N이라고 할 때 각 beam에 걸리는 반력의 크기를 구하시오.
2차원 좌표공간에서의 벡터
Chap.5 Newton 역학과 벡터방정식 Ⅰ
2차원 좌표공간에서의 벡터
풀이
1) 힘을 , 축으로 분리
= 30sin80 + cos35 + cos20 = 0
= 30cos80 + sin35 − sin20 = 0
2)연립 2차 방정식
cos35 + cos20= −30sin80
sin35 − sin20= −30cos80
2차원 좌표공간에서의 벡터
풀이(계속)
(3) 벡터의 특성을 이용하여 다음과 같이 바꿔준다.
cos35 + cos20= 30sin80
sin35 − sin20= 30cos80 위의 2차방정식을 계산하면
=18.31N
=15.48N
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3차원 좌표공간에서의 벡터
l 두 점 사이의 거리
, =
− + − + −
l 중점 공식
(, , )과 (, , )가 서로 다른 점이면 이 두 점 사이의 선분의 중점 좌표는
이다.
+
2 , +
2 , + 2
3차원 좌표공간에서의 벡터
l 3-공간에서 성분에 의한 정의
a=<, , >, b=<, , >을 의 벡터라 하자.
I. 덧셈 : a+b= =< + , + , + _3>
II. 스칼라곱 : a=<, , >
III. 상등 : a=b ↔ = , = , = IV. 역벡터 : -b =<−, −, −>
V. 뺄셈 : a-b=< − , − , − >
VI. 크기 : llall= + +
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3차원 좌표공간에서의 벡터
l i, j, k 벡터
3-공간의 임의의 벡터 a=< , , > 은 단위벡터의 일차결합으로 표현할 수 있다
< , , > = < , 0, 0 >+< 0, , 0 >+< 0, 0, >
= < 1, 0, 0 > + < 0, 1, 0 > + < 0, 0, 1 >
= i+j+k
i=<1,0,0> j=<0,1,0> k=<0,0,1>
3차원 좌표공간에서의 벡터
예제) 6-3
그림과 같이 3개의 beam에 추가 달려있다.
각 beam에 걸리는 하중을 구하라 (예제 6-3 참조)
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3차원 좌표공간에서의 벡터
풀이
1) 각 beam의 단위벡터를 구한다.
2) 각 beam의 하중 표시 u = 2
7< −1.5, 1, 3 >
u = 2
9< 3, −1.5, 3 >
u = 2
3< 0, −1.5,0 >
= u=
< −1.5, 1, 3 >
= u=
< 3, −1.5, 3 >
= u = < 0, −1.5,0 >
3차원 좌표공간에서의 벡터
풀이(계속)
3) 각 축에 대한 힘의 합력
위 3차 연립방정식을 풀면 다음과 같다.
축 : −
+
= 0 y축 :
−
− = 0
축 :
+
− 20 = 0
= 15.56lb
= 10lb
= 1.11b
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Newton역학
l Newton의 3가지 법칙
I. 제1법칙(관성의 법칙)
물체에 힘이 작용하지 않으면 정지한 물체는 계속 정지해 있고,
운동하고 있는 물체는 현재의 속도를 유지한 채 일정한 속도로 운동을 한다.
II. 제2법칙(힘과 가속도의 법칙)
물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 힘의 크기에 비례하고, 물체의 질량에는 반비례 한다.
III. 제3법칙(작용 반작용의 법칙)
한 물체가 다른 물체에 힘을 작용하면 다른 물체도 힘을 작용한 물체에 크 기가 같고 방향이 반대인 힘을 작용한다.
Newton역학(제2법칙)
l 질량의 역할 - 운동에 저항하는 역할의 매개변수
l 정의 - “만약 한 질점에 작용하는 힘의 합력이 0 이 아니면, 그 질점은 작용하는 합력의 크기에 비례하는 가속도를 받으며, 또한
가속도의 방향은 힘의 합력의 방향과 동일하다.”
l 운동역학의 가장 기본적인 원리
3
1 2
1 2 3
m m
m
= = = =
=
å
=F F F
F F
a a a L
a
a 비례상수(질량)
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Newton역학(제2법칙)
l 운동방정식을 구하는 절차 1. 자유물체도를 작성
2. Newton의 제2법칙을 좌표별로 적용 운동 방정식 도출
• 계에서 대상 물체를 분리
• 자유물체도 기준으로 좌표계 설정
• 자유물체도에 작용하는 힘을 표시
may
å
Fxå
Fymax
=
x 외력, 반력(미지력포함)
유효력 (Effective Forces)
y
Newton역학(제2법칙)
예제) 6-4
그림과 같이 경사면 위의 블록 A (W=805 lb)의 운동이 마찰 (μ=0.10)과 선형스프링 (k=25 lb/ft)에
의해 저항을 받는다.
블록이 스프링의 초기길이의 위치에서 그리고 정지상태에서 놓아진다면 경사면의 아래로 내려가는 운동 동안에 대해 정 지위치로부터 블록의 최대변위를 구하라
Chap.5 Newton 역학과 벡터방정식 Ⅰ
Newton역학(제2법칙)
블록이 경사면을 내려가는 운동 동안의 자유물체도
블록에 대해 운동방정식
: 805sin 30 0.1N 25 805
x x 32.2
F = ma - - x= a
å å
o
o
풀이
Newton역학(제2법칙)
두번째 식에서 N = 697.2 lb 을 구하여 첫번째 식에 대입하면
= 13.31 − 가속도가 위치의 함수이므로
=
=
=
= 13.31 − 적분하면
= 13.31 −
1
2 = 13.31 −1
2 +
초기조건 = 0일 때 = 0을 대 입하면
이 되고 이 식을 정리하면
= 26.62 − 풀이(계속)
= 0일 때 최대 거리이므로 0 = 26.62 −
= = 26.62
