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(1)

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PACS numbers: 87.10.+e, 87.23.Ge, 87.90.+y, 02.60.Cb, 02.70.Lq

Keywords: 7H_\¦Ð ~½ÓZO, > D¥½+Ë, > 7', [j@/ BjàÔaË:Û¼, Ä»&h <Ê

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2

= (0.4010, 0.3577, 0.2412), F

3

= (0.4011, 0.3578, 0.2412), 30[ j@ /_ ½ © o ) a Ã º§ 4 & h \ & ñ S X ¸ 0.003s ? / Ð B

Ä º H] X < Ê` ¦ · ú Ã º e .

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¹ e . s r Ó ý tY Us É r 1000 _ r Ó ý tY Us × æ\

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f © + þ A& h ¸_ þ v` ¦ Ðs H כ Ü ¼ Ð × þ % i . # l

" f H 1000 _ r Ó ý tY Us × æ 403 P : r Ó ý tY Us ` ¦

(4)

Table 1. Family Vectors in Generation in the Three-Family Model.

Gen

F1 F2 F3

1 (168.5,109,59.5) (109.5,150,40.5) (59,41,100)

2 (137, 121.25, 70.75) (121.75, 115.5, 62.75) (74.25, 60.25, 65.5)

3 (126.25, 111.75, 70) (121.25, 109, 69.75) (76.63, 68.5, 54.88)

5 (123.34, 109.91, 72.75) (119.31, 106.28, 71.41) (79.47, 71.03, 49.5) 10 (112.67, 100.56, 67.77) (118.68, 105.96, 71.37) (80.25, 71.5, 48.25) 19 (105.07, 93.73, 63.20) (107.48, 95.87, 64.65) (80.21, 71.55, 48.24)

0 0.25 0.5 0.75 1

0-Family 0

0.25 0.5

0.75 1 1-Family 0

0.25 0.5 0.75 1

2-Family

Fig. 1. The behavior of the averaged-family vectors.

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É r @ /Â Òì r_ r Ó ý tY Us \ " f è ß õ s : £ ¤& ñ r

Ó ý tY Us _ õ ü < _ Ä » H כ s . Ã º§ 4 & h (0.3978, 0.3600, 0.2422) H% _ > h 7 ' [ þ t É r ì ø Í â s 0.0012 ì ø Í â _ ½ ¨ ? /\ ì r í÷ &# Q e . Õ ªo ¦ @ /Â Òì r _

> h 7 ' [ þ t É r ß ¼l (0.001, 0.0001, 0.0001) É r

©

? /\ > rF ô Ç . [ j@ / [ þ vH d\ > h 7 ' [ þ t _

Ã º§ 4 & h Å Ò0 A_ ² ú ° û ¸ ª _ & ñ ½ ©ì r í H & h f

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0.359 0.36

0.361 1-Family 0.241

0.242 0.243

2-Family

Fig. 2. The distribution of the personal-family vectors in the 19th generation.

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Table 2. Family Vectors in Generation in the Six-Family Model.

Gen

F1 F2 F3

0 (50,0,0,0,0,0) (0,42,0,0,0,0) (0,0,36,0,0,0)

1 (25,6,7,4,5,3) (10,20,2,6,1,1) (4,6,18,2,3,3)

2 (17,7.5,8,8,6.5,3) (11,11,5,5.5,3.5,2) (7,8.5,12.5,3.5,2.5,2) 3 (15,9.5,8,8.5,5.75,3.25) (9.25,9.25,5.5,4.5,3.75,3.75) (7.25,7.25,9.25,5.5,4,2.75) 5 (13.25,9.25,8.13,7.88,5.13,4.38) (9.5,7.31,6.88,5.56,3.63,3.13) (8.06,7.19,7.19,6.13,4.25,3.19) 10 (10.60,8.20,7.84,6.93,4.59,3.83) (8.62,6.70,6.25,5.55,3.78,3.11) (7.89,6.35,5.86,5.24,3.69,2.97) 19 (7.54,5.89,5.54,4.93,3.33,2.76) (7.54,5.89,5.55,4.93,3.33,2.76) (7.54,5.89,5.55,4.93,3.32,2.76)

Gen

F4 F5 F6

0 (0,0,0,32,0,0) (0,0,0,0,22,0) (0,0,0,0,0,18)

1 (5, 4, 4, 16, 1, 2) (4, 2, 2, 3, 11, 0) (2, 2, 3, 1, 1, 9)

2 (5.5,7,4, 10, 2, 3.5) (5.5, 3.5, 2.5, 2.5, 7, 1) (3.5, 1.5, 4, 2, 0.5, 6.5) 3 (8.5,6, 4.75, 7.25, 3, 2.5) (2.5, 3.75, 3.75, 4, 3.75, 2.25) (4.25, 2.5, 4.5, 1.75, 1.5, 3.5) 5 (7.44,5.88,5.19,5.25,3.44,2.81) (5.31,4.31,3.63,3.88,2.75,2.13) (4.13,3.50,3.94,2.56,2.00,1.88) 10 (7.66,5.83,5.56,4.89,3.30,2.75) (5.44,4.38,4.02,3.66,2.45,2.06) (4.53,3.49,3.37,2.92,1.97,1.66) 19 (7.55,5.89,5.55,4.93,3.33,2.76) (5.53,4.32,4.07,3.62,2.44,2.02) (4.52,3.54,3.33,2.96,2.00,1.66)

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[1] S. M. Kim, Sae Mulli 49, 451 (2004).

[2] S. M. Kim and H. S. Kim, submitted to Sae Mulli.

[3] L. L. Cavalli-Sforza and W. F. Bodmer, The Genetics of Human Populations, (W. H. Freeman and Com- pany, San Francisco, 1971).

[4] R. C. Elandt-Johnson, Probability Models and Statis-

tical Methods in Genetics (John Wiley & Sons, New

York, 1971).

(7)

[5] C. C. Li, First Course in Population Genetics, (Box- wood Press, Pacific Grove, 1976).

[6] R. Halliburton, Introduction to Population Genetics, (Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, 2004).

[7] Work in progress.

[8] S. P. Lee, M-H Chung, C. K. Kim, and K. Nahm, Physica A 291, 533 (2001).

[9] M-H Chung, S. P. Lee, C. K. Kim, and K. Nahm, Phys. Rev. E 56, 865 (1997).

The Mechanism of Family Mixing - Simulation

Sun Myong Kim

^∗

and Eun Bok

Department of Physics, Yonsei University, Wonju, 220-710

Hyoung Soon Kim

Department of Mathematics, Yonsei University, Wonju, 220-710

Tae Seung Choi

Department of Physics, Sookmyung Women’s University, Seoul 140-742 (Received 9 October 2009, in final form 27 October 2009)

We used the Monte Carlo method to investigate the mechanism of family mixing, which we had previously studied analytically. Some postulates imposed in the previous study were modified in this Monte Carlo study to reflect more realistic situations. In this study, we kept the personal vectors in the program and then calculated the averaged-family vectors from them. Under the given postulate the asymptotic vector of the averaged family-vectors was no longer parallel to the sum of the initial (zeroth generational) family vectors, in contrast to the previous study, due to the unmarried people in families. According to the simulation, in the three-family model the asymptotic family-vector is positioned at the center of the oval-shaped normal distribution of the personal family-vectors.

PACS numbers: 02.60.Cb, 02.70.Lq, 87.10.+e, 87.23.Kg, 87.90.+y

Keywords: Monte Carlo method, Family mixing, Family vector, Generation matrix, Genetic defects

∗E-mail: [email protected]

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