[; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý X N ËX ì Ä ×6 È S Ë A 0

(1)

$

[; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý X N ËX ì Ä ×6 È S Ë A 0

î m Ú ^∗ · T ¢ 99

© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸ 10 Z 4 7{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

l © õ l © s e H & ñ & h r / B Nç ß \ " f $ \ -t H s : r_ î r1 l x~ ½ Ó& ñ d ` ¦ " é ¶ Ã » ~ ½ Ó

&

ñ d õ Ernst ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð ³ ð & ³ % i . Õ ªo ¦ Weyl > \ P õ Tomimatsu-Sato > \ P \ K { © H » ¡ ¤ @ / g A K \ ¦ ½ ¨ % i . Tomimatsu-Sato > \ P _ K H | 9 | ¾ Ó, dilaton , l ü < l , © F G ì r í

\

¦ @ /³ ð H $ Á > h_ B > h Ã º\ ¦ ° ú H .

PACS numbers: 04.50.+h, 04.20.Jb

Keywords: \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d , H s : r, » ¡ ¤ @ /g A K

I. " e Â ] Ø

Ã » -} Û ¼R / ÷-dilaton s : r É r ½ + Ë © Ã º α_ ° ú כ\

# Qt s : r` ¦ í < Êô Ç . s כ [ þ t \ H α = 0 Ú Ô ê

ø ÍÛ ¼-n H s : r, α = √

3 ¸ " é ¶ º ú À Ò -9 þ t s : r, α = 1 $ \ -t H s : r 1 p x s e . & ñ & h r / B Nç ß \ " f

l © (¢ ¸ H l © )s e H â Ä º e _ _ α\ @ /ô Ç

© { 9 ì ø Í& h ½ ¨+ þ A@ /g A K [1], Weyl > \ P _ » ¡ ¤ @ /g A K [2] ü < Y > t » ¡ ¤ @ /g A K [3] H s p · ú 94 R e ¦, ¢ ¸ô Ç Tomimatsu-Sato > \ P _ » ¡ ¤ @ /g A K ¸ α = √

3, 1 â Ä º

· ú 94 R e [4]. ô Ç¼ # , l © õ l © s e H â Ä º H α = √

3, 1 â Ä º_ ½ ¨+ þ A@ /g A K · ú 94 R e [5]. (Ú Ô ê

ø ÍÛ ¼-n H s : r_ & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K H : r| 9 & h Ü ¼ Ð Ã »

-} Û ¼R / ÷ s : r õ 1 l x{ 9 .)

&

ñ © © I r / B Nç ß \ " f Ã » ~ ½ Ó& ñ d _ { 9 Â Òì r É r (4 ¤ è ( J $ [ > _ ) \ É r Û ¼à Ô(Ernst) ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð » ¡ ¤ è ) a [6]. þ j H & ñ & h r / B Nç ß \ " f ¸ ( J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 x

Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r_ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ " é ¶ \

"

f_ Ã » ~ ½ Ó& ñ d õ (z ´Ã º ( J $ [ > _ ) \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó

&

ñ d Ü ¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e 6 £ § s · ú 9& [7]. : r 7 Hë H \ " f

H l © õ l © s e H $ \ -t H s : r \ " f ¸

Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r õ Ä » ô Ç $ í | 9 ` ¦ ° ú H H z ´

`

¦ s 6 x # Weyl > \ P õ Tomimatsu-Sato > \ P \ K { ©

H & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3 ` ¦ כ s . s \ ¦ 0 A # II] X \

"

f H $ \ -t H s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß s ° ú ¦ e H : £ ¤$ í

\

@ / # 7 H_ ½ + É כ s ¦, III] X \ " f H ( J $ [ > / B Nç ß \ " f _

î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ & h ì r # Û ¼X O > \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ

∗

E-mail: [email protected]

d

s % 3 # Qf ` ¦ Ð{ 9 כ s . III] X \ " f H r / B Nç ß _ » ¡ ¤ @ / g A` ¦ & ñ # Weyl > \ P õ Tomimatsu-Sato > \ P \ K {

© H K \ ¦ % 3 ` ¦ כ s .

II. $ [; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý ( a Ö כ Ç « m

½ + Ë © Ã º α Ã » -} Û ¼R / ÷-dilaton s : r_ Õ

ª| ½ Ót î ß É r L = − √

−g[ 1

16πG {R 4 + 1

2 (∂ µ σ) ² } + 1

4 e ^ασ F _µν ² ] (1) s

. & ñ & h r / B Nç ß \ " f " é ¶ > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ g µν dx ^µ dx ^ν = −fdt ² + 1

f γ ij dx ⁱ dx ^j (2)

Ð ³ ð & ³ ¦, l ( J $ [ > u\ ¦ √

8πGA _t = u, l ( J $ [ >

v\ ¦ √

8πGf e ^ασ F ij = ijk ∂ ^k v Ð & ñ _ , Õ ª| ½ Ót î

ß (1)õ 1 l x{ 9 ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦ L ef f = −

√ γ

16πG [R ₃ + 1

2 (∂ _i ln f ) ² + 1 2 (∂ _i σ) ²

− 1

f {e ^ασ (∂ _i u) ² + e ^−ασ (∂ _i v) ² }] (3)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e [8]. # l " f f, γ ij , u, v H & ñ & h ½ ¨$ í

`

¦ & ñ % i Ü ¼Ù ¼ Ð / B Nç ß ý a³ ð\ ë ß _ > rô Ç . Õ ª| ½ Ót î ß (3) É r W 1 > h_ Û ¼º ú © ϕ ^A = (u, v, f, σ) × æ§ 4 õ © ñ

6 x H " é ¶ Ã » s : r` ¦ ¬ ¹ Ù ¼ Ð, ( J $ [ >

/ B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f G ^AB H G AB dϕ ^A dϕ ^B = − 1

f [e ^ασ du ² + e ^−ασ dv ² ] + 1

2f ² df ² + 1

2 dσ ² (4)

-31-

(2)

s

) a . " f " é ¶ A _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ " é ¶ Ã »

~ ½ Ó& ñ d õ ϕ ^A \ @ /ô Ç ¸ o ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e

[9–11]:

R ij = −G AB ∂ i ϕ ^A ∂ j ϕ ^B (5)

∇ ² ϕ ^A = −Γ BC ^A ∂ i ϕ ^B ∂ ⁱ ϕ ^C . (6)

#

l " f R ij ü < ∇ i H " é ¶ / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f γ ij \ @ /ô Ç o

u J $ " fü < / B N ¸ < ÊÃ ºs ¦, Γ AB ^C H ( J $ [ > / B Nç ß _ >

|

¾ Ó J $ " f G AB \ @ /ô Ç ß ¼o Û ¼ Ð: \ l ñs .

l © ¢ ¸ H l © ë ß e H â Ä º > | ¾ Ó J $ " f (4)\ ¦ ° ú

H ( J $ [ > / B Nç ß É r ¸ H α \ @ / # ( J $ [ > / B Nç ß _ / B GÒ ¦ J $

" f R ^ABCD / B N © Ã ºs . 7 £ ¤, u = 0 ¢ ¸ H v = 0

â

Ä º_ ( J $ [ > / B Nç ß É r @ /g A(symmetric) / B Nç ß s . Õ ª Q

l © õ l © s ¸¿ º e H â Ä º / B GÒ ¦ J $ " f_ / B N

¸ < ÊÃ º H, D A \ ¦ G AB \ @ /ô Ç / B N ¸ < ÊÃ º ¦ ½ + É M :, D v R uvuσ = α

2f ² (1 − α ² ) = D u R uvvσ

`

¦ ] jü @ ¸¿ º 0s . " f Ú Ôê ø ÍÛ ¼-n H s : r õ $

\

-t H s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß ë ß @ /g A / B Nç ß s ) a [8].

&

ñ & h / B Nç ß \ " f_ Ú Ôê ø ÍÛ ¼-n H s : r É r σ e ¦ Û ¼ ~ ½ Ó

&

ñ d ` ¦ ë ß 7 á ¤ H כ ü @\ H Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r õ

_ 1 l x{ 9 Ù ¼ Ð : r 7 Hë H \ " f H $ \ -t H s : r (α = 1) \ @ /ô Ç â Ä º Ð 7 H_ \ ¦ ô Ç& ñ ½ + É כ s .

$

\ -t H s : r \ K { © H ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $

"

f H

dS ² = dS ₍₁₎ ² + dS ² ₍₂₎

dS _(n) = 2 E + ⁽ⁿ⁾ + E ₋ ⁽ⁿ⁾

²

d E + ⁽ⁿ⁾ d E ₋ ⁽ⁿ⁾ (7)

Ü

¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f E _± ⁽¹⁾ = √

f e ^−σ/2 ± us ¦ E _± ⁽²⁾ = √

f e ^σ/2 ± vs . s ³ ð & ³` ¦ Ð ( J $ [ > / B Nç ß É r

¿

º > h_ 1 l qw n ) a s " é ¶ / B Nç ß _ ½ + Ës ¦, y y _ s " é ¶ /

B

Nç ß É r Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß õ 1 l x{ 9

<

Ê` ¦ · ú Ã º e . ¢ ¸ô Ç, ¿ º > h_ 1 l qw n ) a / B Nç ß É r " f Ð s

×

æ ¨ 8 (u ↔ v, σ ↔ −σ)Ü ¼ Ð ÷ &# Q e . > | ¾ Ó J $

"

f (7)_ ~ ´a A 7 ' H

K 1 = ∂ _E

₊

− ∂ _E

−

, K 2 = E + ²

2 ∂ _E

₊

− E ₋ ² 2 ∂ _E

₋

K 3 = E + ∂ _E

₊

+ E − ∂ _E

₋

(8) ü

< s כ [ þ t_ s × æ ¨ 8 ³ ð & ³s . # l " f ³ ðl _ ç ß | Ä Ì$ í

`

¦ 0 AK E _± ⁽ⁿ⁾ _ ' “(n)”` ¦ Ò q t| Ä Ì % i . " f $ \ - t

H s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß É r SL(2, R) × SL(2, R) @ /g A` ¦

° ú

H .

III. ( a Ö כ Ç U ê sX N ËÅ k Ä8 ý X ì Ä Ä Z ØÊ Ý ; c Â \ ¥ ² U ê sX N ËÅ k Ä

s

] X \ " f H Õ ª| ½ Ót î ß (3)\ @ /ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _

ϕ ^A \ @ /ô Ç ¸ o ~ ½ Ó& ñ d (6)\ ¦ ( J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O [9–11]` ¦ s 6 x # & h ì r ¦ õ & h Ü ¼ Ð \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d

s Û ¼X O > Ä » ¸ H d` ¦ Ð{ 9 כ s . G = 1 é ß 0 A

>

\ " f & h H& h Ü ¼ Ð ¨ î ¨ î ô Ç â > ¸| É r E _± ⁽¹⁾ → e ^−σ

^∞

^/2

1 − M + D ± √

2Qe ^−σ

^∞

^/2 r

E _± ⁽²⁾ → e ^σ

^∞

^/2

1 − M − D ± √

2P e ^σ

^∞

^/2 r

(9) s

. # l " f M É r | 9 | ¾ Ó, D H dilaton , Qü < P H

l s . > | ¾ Ó J $ " f (7) É r ¿ º > h_ 1 l qw n ) a / B Nç ß _

½ +

Ës ¦, y y É r s × æ ¨ 8 \ _ K " f Ð ÷ &# Q e Ü ¼Ù ¼

Ð s ] X \ " f H ¿ º / B Nç ß × æ ë ß ì r$ 3 ½ + É כ s .

"

f ' “(n)”` ¦ Ò q t| Ä Ì .

Weyl > \ P _ K \ ¦ 0 A # ϕ ^A _ ( J $ [ > λ\ ë

ß _ > rô Ç ¦ : ϕ Â = ϕ Â (λ). Õ ª Q ~ ½ Ó& ñ d (6) H ξ Â = dϕ Â /dλ \ _ ô Ç ( J $ [ > / B Nç ß \ " f_ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d s

) a [9]. [ j > h_ ~ ´a A 7 ' (8) É r 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d \

@

/ô Ç [ j > h_ î r1 l x © Ã º G AB ξ ^A K _i ^B \ ¦ ï r . ¢ ¸ô Ç, ε = G AB ξ ^A ξ ^B ¸ î r1 l x © Ã ºs . s î r1 l x © Ã º[ þ t õ â > ¸| (9)` ¦ s 6 x # 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ & h ì r

d E +

dλ = − Q 2

E + + M + D

√ 2Q

² + ε

2Q

E − = (M + D) E + + √

2Qe ^−σ

^∞

(M + D) + √

2Q E +

(10)

`

¦ % 3 H . # l " f λ & h H& h Ü ¼ Ð λ → √

2/r ÷ & ¸2 ¤ [ O

& ñ % i ¦,

ε = (M + D) ²

2 − Q ² e ^−σ

^∞

(11) s

. " f < ÊÃ º& h ' a > E ± = E _± (λ)\ ¦ ~ 1 > % 3 ` ¦ Ã º e

.

(

J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O ` ¦ { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð & h 6 x 9 ϕ ^A

#

Q > h_ ( J $ [ > \ _ > rô Ç ¦ & ñ ô Ç : ϕ ^A = ϕ ^A (λ ₁ , λ ₂ , . . .). Õ ª Q E ± ë ß × ¼ H / B Nç ß É r s " é ¶ s Ù

¼ Ð E ± H ¿ º > h_ ( J $ [ > \ ë ß _ > r # { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð E _± = E _± (λ 1 , λ 2 ) Ð Z ~` ¦ Ã º e . 8ç H E ± ë ß × ¼ H /

B

Nç ß É r { 9 & ñ / B GÒ ¦ s . 7 £ ¤, > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ τ _± = λ 1 ± λ 2 Ð

³ ð & ³

2 E + + E ₋

2 d E + d E ₋ = ε

(1 + ^k ₄ ετ ₊ τ ₋ ) ² dτ + dτ ₋ (12)

(3)

s

) a . # l " f k = −1 H Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ s ¦ ε É r '

¸(scale) B > h © Ã ºs . " f { 9 ì ø Í$ í _ < Hz ´\ O s E _± = E _± (τ _± ) Ð Z ~` ¦ Ã º e [7].

(

J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O \ " f H τ _± \ ¦ ¸ o ( J $ [ > s ¦

&

ñ ô Ç . Õ ª Q & ³F _ â Ä º H E _± = E _± (τ _± ) { 9 ì ø Í& h Ü ¼

Ð $ í w n # ( J $ [ > / B Nç ß _ ý a³ ð ¨ 8 Ü ¼ Ð ^ ¦ Ã º e ¦,

¢

¸ô Ç E ± H ¸ o ~ ½ Ó& ñ d (6)\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . " f τ ± ¸ ¸

o ~ ½ Ó& ñ d

∇ ² τ _± = −Γ _±± ^± (∂ i τ _± ) ² , Γ _±± ^± = −

k 2 ετ _∓

1 + ^k ₄ ετ + τ ₋ (13)

`

¦ ë ß 7 á ¤ H ¸ o ( J $ [ > Ð ^ ¦ Ã º e [7]. # l " f Γ _±± ^± H τ _± \ ¦ ý a³ ð Ð H > | ¾ Ó J $ " f (12)_ ß ¼o Û ¼ Ð: \ l

ñs . Õ ª Q ~ ½ Ó& ñ d (6) H ¢ - a 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d (totally geodesic) s ) a . ¢ - a 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d É r ~ ´a A 7 ' K ⁱ Ð ½ ¨

$ í

) a C _± ⁽ⁱ⁾ = G _AB ∂ _± ϕ ^A K _i ^B \ ¦ s 6 x & h ì r½ + É Ã º e .

#

l " f ∂ ± = ∂/∂τ _± . [ j > h_ ~ ´a A 7 ' (8) ÐÂ Ò' % 3 H [

j > h_ C _± H

C _± ⁽¹⁾ = ∓ 2

( E + + E − ) ² ∂ _± E _±

C _± ⁽²⁾ = ∓ E _∓ ²

( E + + E ₋ ) ² ∂ _± E _± (14)

C _± ⁽³⁾ = 2 E _∓

( E + + E ₋ ) ² ∂ _± E _± s

. ô Ç¼ # , C _± ⁽ⁱ⁾ H > | ¾ Ó J $ " f (12)_ ~ ´a A ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ ë ß 7 á ¤ ô

Ç . " f C _± ⁽ⁱ⁾ = 1

(1 + ^k ₄ ετ ₊ τ ₋ ) ² (a ⁽ⁱ⁾ _± ± b ⁽ⁱ⁾ τ _∓ + k

4 εa ⁽ⁱ⁾ _∓ τ _∓ ² ) (15) s

. # l " f a ⁽ⁱ⁾ _± ü < b ⁽ⁱ⁾ H & h ì r © Ã ºs ¦, & h H& h Ü ¼ Ð ¨ î

¨ î

ô Ç â > ¸| \ _ K

a ⁽ⁱ⁾ _± = C _± ⁽ⁱ⁾ ( ∞), b ⁽ⁱ⁾ = ∂C ₊ ⁽ⁱ⁾

∂τ ₋ ( ∞)

`

¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . 7 £ ¤, â > ¸| (9)õ τ _± → √

2/r\ ¦ s 6 x

a ⁽¹⁾ _± = ± e ^σ

^∞

^/2 2

M + D

√ 2 ± Qe ^−σ

^∞

^/2

= e ^σ

^∞

2 a ⁽²⁾ _± = ∓e ^σ

^∞

^/2 a ⁽³⁾ _±

b ⁽¹⁾ = ε

2 e ^σ

^∞

^/2 = −2e ^σ

^∞

b ⁽²⁾ , b ⁽³⁾ = 0

s

) a . # l " f ε É r > | ¾ Ó J $ " f (12)_ & h H ³ ð & ³Ü ¼ ÐÂ Ò '

% 3 ` ¦ Ã º e ¦, ~ ½ Ó& ñ d (11)õ 1 l x{ 9 < Ê` ¦ · ú Ã º e . s

כ

[ þ t` ¦ ~ ½ Ó& ñ d (14)\ @ /{ 9

E ± = e ^−σ

^∞

^/2 2 √

2 − (M + D ± √

2Qe ^−σ

^∞

^/2 )τ _± 2 √

2 + (M + D ± √

2Qe ^−σ

^∞

^/2 )τ _± (16)

\

¦ % 3 H . s כ É r " î Ñ þ y Weyl > \ P _ K (10)ü < Ø Ô

¦, z ´] j Ð Tomimatsu-Sato > \ P _ K e ` ¦ A \ " f ^ ¦

כ s .

'

¸ © Ã º κ ± \ ¦ ¸{ 9 # τ ± ü < 6 £ § ' a > e H ξ _± \ ¦

&

ñ _ :

1 2 ( M + D

√ 2 ± Qe ^−σ

^∞

^/2 )τ _± = κ _±

ξ _± . (17) Õ

ª Q Tomimatsu-Sato > \ P _ K (16) É r E ± = e ^−σ

^∞

^/2 ξ _± − κ ±

ξ _± + κ _± (18) s

) a . ¢ ¸ô Ç τ _± \ @ /ô Ç ¸ o ¸| (13) H & ñ © © I r /

B

Nç ß _ (4 ¤ è ( J $ [ > \ @ /ô Ç) \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d õ Ä » ô Ç z

´Ã º ( J $ [ > \ @ /ô Ç \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d

∇ ² ξ _± = 2ξ _∓

ξ + ξ ₋ − κ + κ ₋ (∂ i ξ _± ) ² (19) s

) a . z ´ & ñ © © I r / B Nç ß \ ( J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O ` ¦

&

h 6 x 4 ¤ è \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d s Û ¼X O > % 3 # Q [12]. " f & ñ & h r / B Nç ß \ " f H ( J $ [ > ϕ ^A ë ß 7 á ¤ H

¸ o ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ ÐÂ Ò' Û ¼X O > z ´Ã º \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d s

% 3 # Qf ` ¦ · ú Ã º e .

IV. ×6 È S Ë A 0

s

] X \ " f H r / B Nç ß _ » ¡ ¤ @ /g A` ¦ & ñ # " é ¶

Ã » ~ ½ Ó& ñ d (5)_ K \ ¦ ½ ¨½ + É כ s . $ Weyl >

\ P

_ K (10)_ â Ä º E _± ⁽ⁿ⁾ É r y y _ ( J $ [ > λ ⁽ⁿ⁾ \ ë

ß _ > r Ù ¼ Ð ~ ½ Ó& ñ d (5) H

R ij = −

2 X

n=1

ε ⁽ⁿ⁾ ∂ i λ ⁽ⁿ⁾ ∂ j λ ⁽ⁿ⁾ (20)

s

) a . Õ ªo ¦ q © v ½ Ó1 p xd \ _ K y y _ λ ⁽ⁿ⁾ É r

∇ ² λ ⁽ⁿ⁾ = 0` ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . » ¡ ¤ @ /g A M :ë H \ R ^φφ = 0 s Ù ¼ Ð

" é ¶ / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f H Lewis-Papapetrou + þ AI s :

γ ij dx ⁱ dx ^j = e ^2h (dρ ² + dz ² ) + ρ ² dφ ² . (21)

(4)

" f " é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d (20) É r 1

ρ ∂ _ρ h =

2 X

n=1

ε ⁽ⁿ⁾

2 [(∂ _ρ λ ⁽ⁿ⁾ ) ² − (∂ z λ ⁽ⁿ⁾ ) ² ]

1 ρ ∂ _z h =

2 X

n=1

ε ⁽ⁿ⁾ ∂ _ρ λ ⁽ⁿ⁾ ∂ _z λ ⁽ⁿ⁾

s

) a . ô Ç¼ # , ~ ½ Ó& ñ d ∇ ² λ ⁽ⁿ⁾ = 0 É r " é ¶ Ä »9 þ t o × ¼ /

B

Nç ß \ @ /ô Ç e ¦ Û ¼ ~ ½ Ó& ñ d s ÷ &# Q Ø Ô © × ¼Ø Ô ½ Ód P m (cos θ)\ ¦ s 6 x # { 9 ì ø ÍK \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e . s כ ` ¦ 0 A _ d \ @ /{ 9 # & h ì r õ & h Ü ¼ Ð

λ ⁽ⁿ⁾ =

∞

X

m=0

a ⁽ⁿ⁾ m

r ^m+1 P _m (cos θ)

h = −

2 X

n=1

ε ⁽ⁿ⁾ 2

∞

X

l,m=0

a ⁽ⁿ⁾ _l a ⁽ⁿ⁾ _m (l + 1)(m + 1) l + m + 2

× P l P m − P l+1 P m+1

r ^l+m+2 (22)

`

¦ % 3 H [9]. # l " f ρ = r sin θ, z = r cos θs . s כ õ

~ ½ Ó& ñ d (10)_ E _± ⁽ⁿ⁾ = E _± ⁽ⁿ⁾ (λ ⁽ⁿ⁾ )` ¦ ¸½ + Ë © { 9 ì

ø Í& h l © s e H Weyl > \ P _ » ¡ ¤ @ /g A K ) a .

:

£

¤ y , ε ⁽¹⁾ = ε ⁽²⁾ = 0 â Ä º γ ij = δ _ij ÷ & ¦, e ¦ Û ¼

~

½ Ó& ñ d ~ ∇ ² λ = 0 \ _ K ^ > K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

Tomimatsu-Sato > \ P _ K (18)_ â Ä º " é ¶ Ã

» ~ ½ Ó& ñ d (5) H

R ij =

2 X

n=1

2 k ⁽ⁿ⁾

κ ⁽ⁿ⁾ ₊ κ ⁽ⁿ⁾ ₋ (ξ ₊ ⁽ⁿ⁾ ξ ₋ ⁽ⁿ⁾ − κ ⁽ⁿ⁾ + κ ⁽ⁿ⁾ ₋ ) ²

∂ i ξ ₊ ⁽ⁿ⁾ ∂ j ξ ₋ ⁽ⁿ⁾

+ (i ↔ j) (23)

s

) a . # l " f y y _ ξ _± ⁽ⁿ⁾ É r \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d (19)` ¦ ë

ß 7 á ¤ô Ç . \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d _ K \ ¦ % 3 H ³ ðï r ] X

H z ´ 2 ; 8 ý a³ ð> (ρ, z)ü < 6 £ § ' a > e H r

"

é

¶(spheroidal) ý a³ ð> (x, y)\ ¦ ¸{ 9 H כ s :

ρ = µ p x ² − ε 0

p 1 − y ² , z = µxy. (24)

#

l " f µ H ' ¸ © Ã ºs ¦ ε ⁰ = ±1s . ~ ½ Ó& ñ d (19)_

© ç ß é ß ô Ç K H ε 0 = +1 s ¦ e _ _ © Ã º δ ⁽ⁿ⁾ ` ¦ ° ú H Voorhees-Zipoy K s [13]:

ξ ⁽ⁿ⁾ _± = κ ⁽ⁿ⁾ _± (x + 1) ^δ

⁽ⁿ⁾

+ (x − 1) ^δ

⁽ⁿ⁾

(x + 1) ^δ

⁽ⁿ⁾

− (x − 1) ^δ

⁽ⁿ⁾

. (25) ë

ß { 9 δ ⁽ⁿ⁾ = 1 s ½ ¨+ þ A@ /g As . Õ ª Q Voorhees-Zipoy K

H s p 7 H_ ô Ç Weyl > \ P _ K \ í < Ê ) a .

\

É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d (19)_ _ p e H K H ¿ º > h_ © Ã º p (n) õ q _(n) ` ¦ ° ú H \ É r Û ¼à Ô K s [6]:

ξ ⁽ⁿ⁾ _± = p (n) x ± q (n) y, ε 0 p ² _(n) − q ² (n) = κ ⁽ⁿ⁾ ₊ κ ⁽ⁿ⁾ ₋ . (26) s

כ ` ¦ " é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d (23)\ @ /{ 9 ¦ & h ì r

e ^h = c ² (x ² − ε 0 y ² ) ²

2 Y

n=1

h

p ² _(n) x ² − q (n) ² y ² − κ ⁽ⁿ⁾ + κ ⁽ⁿ⁾ ₋ i

`

¦ % 3 H . # l " f c H & h ì r © Ã ºs ¦, & ñ ½ © ¸|

ρ lim →0 h = 0

`

¦ ë ß 7 á ¤ ¸2 ¤ × þ ½ + É Ã º e . s כ õ ~ ½ Ó& ñ d (18)` ¦ ¸

½ +

Ë î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (5)ü < (6)_ & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K ) a .

â

> ¸| (9)õ x → r/µ, y → cos θ\ ¦ s 6 x µ κ ⁽¹⁾

p (1)

= M + D 2 ± Q

√ 2 e ^−σ

^∞

^/2

µ κ ⁽²⁾

p ₍₂₎ = M − D 2 ± P

√ 2 e ^σ

^∞

^/2

\

s \

ε 0 µ ² = ( M + D

2 ) ² − Q ²

2 e ^−σ

^∞

^/2 + a ² ₍₁₎

= ( M − D

2 ) ² − P ²

2 e ^σ

^∞

^/2 + a ² ₍₂₎ (27)

'

| 9

| ¾ Ó M , dilaton D, l ü < l Qü < P , Õ ª o

¦ a (1) ¢ ¸ H a (2) e ` ¦ · ú Ã º e . % 3 # Q K \ ¦ Boyer- Lindquist ý a³ ð> (r = µx + M, θ = cos ⁻¹ y) Ð ³ ð & ³

ds ² = − ∆ (1) ∆ (2)

Σ ₍₁₎ Σ ₍₂₎ dt ² + Σ (1) Σ (2) ∆ (1) ∆ (2)

(∆ + ε 0 µ ² sin ² θ) ³ ( dr ²

∆ + dθ ² ) + Σ ₍₁₎ Σ ₍₂₎

∆ ₍₁₎ ∆ ₍₂₎ ∆ sin ² θ dφ ²

e ^σ = e ^σ

^∞

Σ ₍₁₎ ∆ ₍₂₎

Σ ₍₂₎ ∆ ₍₁₎ (28)

u = −

√ 2Q

Σ ₍₁₎ [e ^−σ

^∞

(r − M) − M + D

√ 2Q e ^−σ

^∞

^/2 a ₍₁₎ cos θ]

v = −

√ 2P

Σ ₍₂₎ [e ^σ

^∞

(r − M) − M − D

√ 2P e ^σ

^∞

^/2 a ₍₂₎ cos θ]

(5)

s

) a . # l " f

∆ = (r − M) ² − ε 0 µ ² , ∆ (n) = ∆ + a ² _(n) sin ² θ

Σ ₍₁₎ = (r − M − D

2 ) ² − (a (1) cos θ + Q

√ 2 e ^−σ

^∞

^/2 ) ²

Σ ₍₂₎ = (r − M + D

2 ) ² − (a (2) cos θ + P

√ 2 e ^σ

^∞

^/2 ) ² .

s

( J $ [ > É r

u → −

√ 2Q

r + D e ^−σ

^∞

+ e ^−σ

^∞

^/2 (M + D)a ₍₁₎ r ² cos θ

v → −

√ 2P

r − D e ^σ

^∞

+ e ^σ

^∞

^/2 (M − D)a (2)

r ² cos θ s

· ú Ã º e . : £ ¤ y , a (1) = a ₍₂₎ = 0 s ¦ ε ⁰ = 0 â Ä º H r

/ B Nç ß s ½ ¨+ þ A@ /g As ÷ & ¦, 0 A_ K H F G @ /_ (extremal) dyon ^ ¦Ï þ f . Ë s ) a .

\

H

ξ _± = p ² (x ⁴ − 1) + q ² (1 − y ⁴ ) ∓ 2pqxy(x ² − y ² ) 2px(x ² − 1) ∓ 2qy(1 − y ² ) (29) s

. # l " f p ² − q ² = κ + κ ₋ s ¦ ³ ðl _ ç ß | Ä Ì$ í ` ¦ 0 AK '

“(n)”` ¦ Ò q t| Ä Ì % i . s כ ` ¦ ~ ½ Ó& ñ d (23)\ @ /{ 9

¦ & h ì r

e ^h = c ² (x ² − y ² ) ⁴

2 Y

n=1

h {p ² (n) (x ² − 1) ² − q ² (n) (1 − y ² ) ² } ²

+ 4p ² _(n) q _(n) ² (x ² − 1)(1 − y ² )(x ² − y ² ) ² i

(30)

`

¦ ] jü @ ~ ½ Ó& ñ d (27)õ 1 l x{ 9 . ¢ ¸ô Ç, q _(n) = 0 s

δ ⁽ⁿ⁾ = 2 Voorhees-Zipoy K (25)Ü ¼ Ð » ¡ ¤ è ) a . δ = 3, 4, . . . â Ä º\ ¸ Ä » ô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð Tomimatsu-Sato >

\ P

_ » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

V. + s Ç Â ] Ø õ m Í º Â ] Ø

&

ñ & h r / B Nç ß \ " f $ \ -t H s : r_ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r

" é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d õ ( J $ [ > _ ¸ o ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð ³ ð

&

³ ) a H z ´` ¦ s 6 x # Weyl > \ P _ { 9 ì ø Í& h » ¡ ¤ @ / g A K \ ¦ ½ ¨ % i . ¢ ¸ô Ç, ( J $ [ > _ ¸ o ~ ½ Ó& ñ d s z ´Ã º (

J $ [ > \ @ /ô Ç \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d e ` ¦ Ð% i ¦, Õ ª z ´` ¦ s

6 x # Tomimatsu-Sato > \ P _ » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ δ = 1 õ δ = 2 â Ä º\ ½ ¨ % i .

½

ø Í& h ½ ¨+ þ A@ /g A_ ^ ¦Ï þ f . Ë K H Weyl > \ P » ¡ ¤ @ /g A K _ :

£

¤Z > ô Ç â Ä º Ð Ò q ty ½ + É Ã º e . ô Ç¼ # , Tomimatsu-Sato

>

\ P _ ½ ¨+ þ A@ /g A F Gô Ç É r F G @ /_ (extremal) ^ ¦Ï þ f . Ë s ) a

. 7 £ ¤, ~ Õ ª Q (distorted) ^ ¦Ï þ f . Ë [16]_ ' a& h Ü ¼ Ð

ª ô Ç r / B Nç ß ½ ¨ ¸ > r F < Ê` ¦ · ú Ã º e .

Kerr ^ ¦Ï þ f . Ë_ Ä »{ 9 $ í _ 7 £ x" î \ \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d _ : £ ¤

$ í

-} Û ¼R / ÷-dilaton s : r \ " f_ & ñ & h ^ ¦Ï þ f . Ë_ Ä »{ 9 $ í 7 £ x

"

î \ ¸ \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d s s 6 x ) a [17]. " f l

» ô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð Õ ª Ä »{ 9 $ í ` ¦ 7 £ x" î ½ + É Ã º e ` ¦ כ s .

P c

p 8 ý ò k >

s

ô Ç כ e .

Y c

p w Ã U Ø ô

[1] P. Dobiasch and D. Maison, Gen. Rel. Grav. 14, 231 (1982); G. W. Gibbons and D. L. Wiltshire, Ann.

Phys. 167, 201 (1986); Y. M. Cho and D. H. Park, J. Math. Phys. 31, 695 (1990).

[2] D. V. Gal’tsov and A. A. Garc´ia, Phys. Rev. D52, 3432 (1995).

[3] T. Matos, Phys. Rev. D51, R310 (1995).

[4] Y. H. Wei. Class. Quan. Grav. 18, 2163 (2001). Y.

H. Wei, Y. Z. Zhang, and F. He, Class. Quan. Grav.

19, 6469 (2002).

[5] G. W. Gibbons and K. Maeda, Nucl. Phys. 298B, 741 (1988).

[6] F. J. Ernst, Phys. Rev. 167, 1175 (1968); F. J.

Ernst, Phys. Rev. 168, 1415 (1968).

(6)

[7] D. H. Park, SAEMULLI 47, 218 (2003).

[8] D. H. Park, J. Korean. Phys. 31, 894 (1997).

[9] D. Kramer, H. Stephani, E. Herlt, and M. Mac- Callum, Exact Solutions of Einstein Field Equations (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1980).

[10] G. Neugebauer and D. Kramer, Ann. Phys. (Leipzig) 24, 62 (1969); P. Breitenlohner, D. Maison, and G.

Gibbons, Commun. Math. Phys. 120, 295 (1988);

D. V. Gal’tsov and O. V. Kechkin, Phys. Rev. D50, 7394 (1994).

[11] D. H. Park, J. Korean Phys. Soc. 37, 177 (2000); D.

H. Park, J. Korean Phys. Soc. 41, 18 (2002).

[12] D. H. Park, to be published.

[13] D. M. Zipoy, J. Math. Phys. 7, 1137 (1966); B. H.

Voorhees, Phys. Rev. D2, 2119 (1970).

[14] W. B. Bonnor, J. Phys. A12, 853 (1979).

[15] A. Tomimatsu and H. Sato, Phys. Rev. Lett. 29, 1344 (1972).

[16] R. Geroch and J. Hartle, J. Math. Phys. 23, 680 (1981); S. Yazadjiev, Class. Quant. Grav. 18, 2105 (2001).

[17] M. G¨ urses and E. Sermutlu, Class. Quant. Grav. 12, 2799 (1995).

Static Axially Symmetric Dyons in Low-Energy String Theory

D. H. Park ^∗ and K. B. Lee

Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702 (Received 7 October 2003)

We show that the equation of motion for static dyons in string-inspired low-energy effective theory can be reduced to an Ernst-type equation. Using this fact, we find axially symmetric solutions of the Weyl class and the Tomimatsu-Sato class. The solutions of the Tomimatsu-Sato class have five parameters: the mass, the dilatonic charge, the electromagnetic charges, and a parameter for the dipole moments.

PACS numbers: 04.50.+h, 04.20.Jb

Keywords: Ernst equation, String theory, Axially symmetric solutions

∗

E-mail: [email protected]

[; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý X N ËX ì Ä  ×6 È S Ë A 0

$

[; c .U  Í R <T  Â ] Ø8 ý X N ËX ì Ä   ×6  È S Ë A 0





î m  Ú ∗ · T  ¢ 99 



© t @ / < Æ § (  É Ó'    Ó ü t o  < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸  10 Z 4 7{ 9  ~ Ã Î6 £ §)

 

l  © õ   l  © s  e    H & ñ & h r / B Nç ß \ " f $ \  -t   H s  : r_  î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d  `  ¦    " é ¶    Ã »   ~ ½ Ó

&

\

 ¦ @ /³ ð   H $ Á > h_  B > h   Ã º\  ¦ ° ú   H .

PACS numbers: 04.50.+h, 04.20.Jb

Keywords: \  É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d  ,  H s  : r, » ¡ ¤ @ /g A K 

I. " e Â ] Ø



  Ã »   -}  Û ¼R / ÷-dilaton s  : r É r   ½ + Ë © Ã º α_  ° ú כ\ 



  #  Qt  s  : r`  ¦  í < Êô  Ç . s  כ [ þ t \   H α = 0  Ú Ô ê

ø ÍÛ ¼-n H  s  : r, α = √

3   ¸ " é ¶ º ú À Ò -9 þ t   s  : r, α = 1  $ \  -t   H s  : r 1 p x s  e   . & ñ & h r / B Nç ß \ " f

 

l  ©  (¢ ¸  H  l  © )s  e    H  â Ä º e  _ _  α\  @ /ô  Ç 



©  { 9 ì ø Í& h   ½ ¨+ þ A@ /g A K  [1], Weyl > \ P _  » ¡ ¤ @ /g A K  [2] ü < Y > t  » ¡ ¤ @ /g A K  [3]  H s p  · ú  94 R e   ¦, ¢ ¸ô  Ç Tomimatsu-Sato > \ P _  » ¡ ¤ @ /g A K  ¸ α = √

3, 1   â Ä º

·

ú  94 R e    [4]. ô  Ç¼ # ,   l  © õ   l  © s  e    H  â Ä º  H α = √

3, 1   â Ä º_  ½ ¨+ þ A@ /g A K  · ú  94 R e    [5]. (Ú Ô ê

ø ÍÛ ¼-n H  s  : r_  & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K   H  : r| 9 & h Ü ¼ Ð    Ã »

  -}  Û ¼R / ÷ s  : r õ  1 l x{ 9   .)

&

 

   Ã »   -}  Û ¼R / ÷ s  : r_  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d  `  ¦    " é ¶ \ 

"

f_     Ã »   ~ ½ Ó& ñ d  õ  (z ´Ã º ( J $ [ > _ ) \  É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó

&

ñ d  Ü ¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e  6 £ § s  · ú  9&    [7].  : r  7 Hë  H \ " f



 H   l  © õ   l  © s  e    H $ \  -t   H s  : r \ " f ¸  



 Ã »   -}  Û ¼R / ÷ s  : r õ  Ä » ô  Ç $ í | 9 `  ¦ ° ú   H   H  z ´

`

 ¦ s 6 x #  Weyl > \ P õ  Tomimatsu-Sato > \ P \  K { © 

  H & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K \  ¦ % 3 `  ¦  כ s  . s \  ¦ 0 A #  II] X \ 

"

f  H $ \  -t   H s  : r_  ( J $ [ >  / B Nç ß s  ° ú  ¦ e    H : £ ¤$ í

\

 @ / #   7 H_ ½ + É  כ s  ¦, III] X \ " f  H ( J $ [ >  / B Nç ß \ " f _

 î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d  `  ¦ & h ì  r #     Û ¼X O >  \  É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ

E-mail: [email protected]

d 

s  % 3 # Qf  `  ¦  Ð{ 9   כ s  . III] X \ " f  H r / B Nç ß _  » ¡ ¤ @ / g A`  ¦ & ñ #  Weyl > \ P õ  Tomimatsu-Sato > \ P \  K  {

©    H K \  ¦ % 3 `  ¦  כ s  .

II. $ [; c .U  Í R <T  Â ] Ø8 ý ( a  Ö כ  Ç   «  m

 

½ + Ë © Ã º α     Ã »   -}  Û ¼R / ÷-dilaton s  : r_   Õ

ª| ½ Ót î ß  É r L = − √

−g[ 1

16πG {R 4 + 1

2 (∂ µ σ) 2 } + 1

4 e ασ F µν 2 ] (1) s

 . & ñ & h r / B Nç ß \ " f   " é ¶ > | ¾ Ó J $ " f\  ¦ g µν dx µ dx ν = −fdt 2 + 1

f γ ij dx i dx j (2)



Ð ³ ð & ³  ¦,   l  ( J $ [ >  u\  ¦ √

8πGA t = u,  l  ( J $  [ >

 v\  ¦ √

8πGf e ασ F ij =  ijk ∂ k v  Ð & ñ _    , Õ ª| ½ Ót  î

ß  (1)õ  1 l x{ 9 ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d  `  ¦ Å Ò  H Õ ª| ½ Ót î ß `  ¦ L ef f = −

√ γ

16πG [R 3 + 1

2 (∂ i ln f ) 2 + 1 2 (∂ i σ) 2

− 1

f {e ασ (∂ i u) 2 + e −ασ (∂ i v) 2 }] (3)



Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e    [8]. # l " f f, γ ij , u, v  H & ñ & h ½ ¨$ í

`

 ¦ & ñ % i Ü ¼Ù ¼ Ð / B Nç ß ý a³ ð\ ë ß  _  > rô  Ç . Õ ª| ½ Ót î ß  (3) É r W 1 > h_  Û ¼º ú   ©  ϕ A = (u, v, f, σ)  ×  æ§ 4 õ   ©  ñ

[; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý X N ËX ì Ä ×6 È S Ë A 0

[; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý X N ËX ì Ä ×6 È S Ë A 0

î m Ú ^∗ · T ¢ 99

© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸ 10 Z 4 7{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

l © õ l © s e H & ñ & h r / B Nç ß \ " f $ \ -t H s : r_ î r1 l x~ ½ Ó& ñ d ` ¦ " é ¶ Ã » ~ ½ Ó

¦ @ /³ ð H $ Á > h_ B > h Ã º\ ¦ ° ú H .

Keywords: \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d , H s : r, » ¡ ¤ @ /g A K

Ã » -} Û ¼R / ÷-dilaton s : r É r ½ + Ë © Ã º α_ ° ú כ\

# Qt s : r` ¦ í < Êô Ç . s כ [ þ t \ H α = 0 Ú Ô ê

ø ÍÛ ¼-n H s : r, α = √

3 ¸ " é ¶ º ú À Ò -9 þ t s : r, α = 1 $ \ -t H s : r 1 p x s e . & ñ & h r / B Nç ß \ " f

l © (¢ ¸ H l © )s e H â Ä º e _ _ α\ @ /ô Ç

© { 9 ì ø Í& h ½ ¨+ þ A@ /g A K [1], Weyl > \ P _ » ¡ ¤ @ /g A K [2] ü < Y > t » ¡ ¤ @ /g A K [3] H s p · ú 94 R e ¦, ¢ ¸ô Ç Tomimatsu-Sato > \ P _ » ¡ ¤ @ /g A K ¸ α = √

3, 1 â Ä º

ú 94 R e [4]. ô Ç¼ # , l © õ l © s e H â Ä º H α = √

3, 1 â Ä º_ ½ ¨+ þ A@ /g A K · ú 94 R e [5]. (Ú Ô ê

ø ÍÛ ¼-n H s : r_ & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K H : r| 9 & h Ü ¼ Ð Ã »

-} Û ¼R / ÷ s : r õ 1 l x{ 9 .)

Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r_ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ " é ¶ \

f_ Ã » ~ ½ Ó& ñ d õ (z ´Ã º ( J $ [ > _ ) \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó

ñ d Ü ¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e 6 £ § s · ú 9& [7]. : r 7 Hë H \ " f

H l © õ l © s e H $ \ -t H s : r \ " f ¸

Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r õ Ä » ô Ç $ í | 9 ` ¦ ° ú H H z ´

¦ s 6 x # Weyl > \ P õ Tomimatsu-Sato > \ P \ K { ©

H & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3 ` ¦ כ s . s \ ¦ 0 A # II] X \

f H $ \ -t H s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß s ° ú ¦ e H : £ ¤$ í

@ / # 7 H_ ½ + É כ s ¦, III] X \ " f H ( J $ [ > / B Nç ß \ " f _

î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ & h ì r # Û ¼X O > \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ

d

s % 3 # Qf ` ¦ Ð{ 9 כ s . III] X \ " f H r / B Nç ß _ » ¡ ¤ @ / g A` ¦ & ñ # Weyl > \ P õ Tomimatsu-Sato > \ P \ K {

© H K \ ¦ % 3 ` ¦ כ s .

II. $ [; c .U Í R <T Â ] Ø8 ý ( a Ö כ Ç « m

½ + Ë © Ã º α Ã » -} Û ¼R / ÷-dilaton s : r_ Õ

ª| ½ Ót î ß É r L = − √

2 (∂ µ σ) ² } + 1

4 e ^ασ F _µν ² ] (1) s

. & ñ & h r / B Nç ß \ " f " é ¶ > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ g µν dx ^µ dx ^ν = −fdt ² + 1

f γ ij dx ⁱ dx ^j (2)

Ð ³ ð & ³ ¦, l ( J $ [ > u\ ¦ √

8πGA _t = u, l ( J $ [ >

v\ ¦ √

8πGf e ^ασ F ij = ijk ∂ ^k v Ð & ñ _ , Õ ª| ½ Ót î

ß (1)õ 1 l x{ 9 ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦ L ef f = −

16πG [R ₃ + 1

2 (∂ _i ln f ) ² + 1 2 (∂ _i σ) ²

f {e ^ασ (∂ _i u) ² + e ^−ασ (∂ _i v) ² }] (3)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e [8]. # l " f f, γ ij , u, v H & ñ & h ½ ¨$ í

¦ & ñ % i Ü ¼Ù ¼ Ð / B Nç ß ý a³ ð\ ë ß _ > rô Ç . Õ ª| ½ Ót î ß (3) É r W 1 > h_ Û ¼º ú © ϕ ^A = (u, v, f, σ) × æ§ 4 õ © ñ

6 x H " é ¶ Ã » s : r` ¦ ¬ ¹ Ù ¼ Ð, ( J $ [ >

/ B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f G ^AB H G AB dϕ ^A dϕ ^B = − 1

f [e ^ασ du ² + e ^−ασ dv ² ] + 1

2f ² df ² + 1

2 dσ ² (4)

) a . " f " é ¶ A _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ " é ¶ Ã »

~ ½ Ó& ñ d õ ϕ ^A \ @ /ô Ç ¸ o ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e

[9–11]:

R ij = −G AB ∂ i ϕ ^A ∂ j ϕ ^B (5)

∇ ² ϕ ^A = −Γ BC ^A ∂ i ϕ ^B ∂ ⁱ ϕ ^C . (6)

l " f R ij ü < ∇ i H " é ¶ / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f γ ij \ @ /ô Ç o

u J $ " fü < / B N ¸ < ÊÃ ºs ¦, Γ AB ^C H ( J $ [ > / B Nç ß _ >

¾ Ó J $ " f G AB \ @ /ô Ç ß ¼o Û ¼ Ð: \ l ñs .

l © ¢ ¸ H l © ë ß e H â Ä º > | ¾ Ó J $ " f (4)\ ¦ ° ú

H ( J $ [ > / B Nç ß É r ¸ H α \ @ / # ( J $ [ > / B Nç ß _ / B GÒ ¦ J $

" f R ^ABCD / B N © Ã ºs . 7 £ ¤, u = 0 ¢ ¸ H v = 0

â

Ä º_ ( J $ [ > / B Nç ß É r @ /g A(symmetric) / B Nç ß s . Õ ª Q

l © õ l © s ¸¿ º e H â Ä º / B GÒ ¦ J $ " f_ / B N

¸ < ÊÃ º H, D A \ ¦ G AB \ @ /ô Ç / B N ¸ < ÊÃ º ¦ ½ + É M :, D v R uvuσ = α

2f ² (1 − α ² ) = D u R uvvσ

¦ ] jü @ ¸¿ º 0s . " f Ú Ôê ø ÍÛ ¼-n H s : r õ $

-t H s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß ë ß @ /g A / B Nç ß s ) a [8].

ñ & h / B Nç ß \ " f_ Ú Ôê ø ÍÛ ¼-n H s : r É r σ e ¦ Û ¼ ~ ½ Ó

ñ d ` ¦ ë ß 7 á ¤ H כ ü @\ H Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r õ

_ 1 l x{ 9 Ù ¼ Ð : r 7 Hë H \ " f H $ \ -t H s : r (α = 1) \ @ /ô Ç â Ä º Ð 7 H_ \ ¦ ô Ç& ñ ½ + É כ s .

\ -t H s : r \ K { © H ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $

f H

dS ² = dS ₍₁₎ ² + dS ² ₍₂₎

dS _(n) = 2 E + ⁽ⁿ⁾ + E ₋ ⁽ⁿ⁾

²

d E + ⁽ⁿ⁾ d E ₋ ⁽ⁿ⁾ (7)