A Study on the Roton-limited Thermal Boundary Shock Wave in Liquid Helium Films

A Study on the Roton-limited Thermal Boundary Shock Wave in Liquid Helium Films

Chul-Won Jun ^∗

School of Mechanical Engineering, Kyungnam University, Changwon 631-701, Korea (Received 20 May 2013 : revised 7 June 2013 : accepted 15 July 2013)

The thickness of the roton-limited thermal boundary shock wave in liquid helium films is obtained as a function of temperature by solving the two-fluid hydrodynamic equations including dissipation coefficients. The roton-limited temperature region in liquid helium films with a particle density of 0.0279 ˚ A

⁻²

is about 0.8 K < T < 1.2 K. In this temperature region, phonon-roton transformation processes and roton-roton scattering processes play the main roles in investigating the temperature variations of the dissipation coefficients. Based on these interactions, the thickness of the thermal boundary shock wave depends on the thermal conductivity, the first viscosity, and the second viscosity, and decreases with increasing temperature. The pressure is also shown to be high on the side of the boundary where the temperature is high while the normal fluid velocity is low on that side.

PACS numbers: 67.40.Pm

Keywords: Thermal boundary shock wave, Two-fluid hydrodynamic equations, Phonon-roton transformation processes, Roton-roton scattering processes

u

œ = k ³ ‡ A  Û ý m Ç  ¨; c" e z ºÊ ] Ø® Žz º < g” X ¢c Ü R ° ‚ Çß O Ë4  û s Þß f Ä ; c å ¾ ˔ X ¢ Ž ì ŏ Œ

b 9 Œ ‰ x 4 w H ^∗

 â

z Œ ™@ /† < Ɠ § l > / B N † < Æ Ò, ‚ ½ Ó" é ¶ 631-701

(2013¸   5 Z 4 20{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   6 Z 4 7{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   7 Z 4 15{ 9  > F  S X ‰& ñ )

Ó 

o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \ " f – З : r Ü ¼– Ð ] jô  ǝ ) a \ P  â >  Ø  æ    ¿ ºa  ™ èY > > à º[ þ t`  ¦ Ÿ í† < Ê   H 2 Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó

&

ñ d ” [ þ t`  ¦ Û  ¦ # Q" f “ : r • ¸_  † < Êà º– Ð" f % 3 # Q”   . { 9  x 9 • ¸ 0.0279 ˚ A

⁻²

“   Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \ " f_  – З : r Ü

¼– Ð ] jô  ǝ ) a “ : r • ¸% ò % i “ É r €  • 0.8 K < T < 1.2 Ks  . s  “ : r • ¸% ò % i \ " f ™ èY > > à º[ þ t _  “ : r • ¸\    É r   



o\  ¦ “ ¦¹ 1 Ï   H X < Å Ò  ) a % i ½ + É`  ¦   H  © œ  ñ Œ •6   x“ É r Ÿ í 7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ õ  – З : r- – З : r í ß –ê ø Íõ & ñ s  . s [ þ t



© œ  ñ Œ •6   x`  ¦ l œ í– Ð # Œ > í ß –ô  Ç \ P  â >  Ø  æ    ¿ ºa   H \ P „  • ¸• ¸, ] j1& h $ í > à º, ] j2& h $ í > à º[ þ t _  “ : r

•

¸\    É r    o\  _ ” > r  9 “ : r • ¸ 7 £ x † < Ê\     y Œ ™™ èô  Ç . ¢ ¸ô  Ç · ú š§ 4 “ É r “ : r • ¸ Z  }“ É r  â > # 4  A á ¤ s  ß

¼t ë ß – & ñ  © œÄ »^ ‰ 5 Å q • ¸  H “ : r • ¸ Z  }“ É r  â > # 4  A á ¤ s   Œ •“ É r  כ Ü ¼– Ð
 è ß – .

PACS numbers: 67.40.Pm

Keywords: \ P  â >  Ø  æ   , 2Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” , Ÿ í 7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ , – З : r- – З : r í ß –ê ø Íõ & ñ

∗

E-mail: [email protected]

794

I. " e  ] Ø

Ó 

o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § ? /_  ™ èY > > à º[ þ t“ É r  â > u  ë  H ] j_  K $ 3 \  B  Ä

º ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ ô  Ç .  â >  # 4 Ü ¼– РÒ'  Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § Ü ¼– Ð

\ P

â ì2 £ § s  ” > r F ½ + É M : \ P   â >  Ø  æ    µ 1 ÏÒ q t “ ¦ \ P   â

>

 Ø  æ   _  $ í | 9 “ É r ™ èY > > à º[ þ t õ  † < Êa  s [ þ t > à º[ þ t`  ¦

Ÿ

í† < Ê   H 2 Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t`  ¦ Û  ¦ # Q" f “ ¦¹ 1 Ï | ¨ c à º e ”  .

Khalatnikov [1]  H Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § ? /_  ] j16 £ § õ  ] j26 £ § _  Ø  æ   

\  ¦ ƒ  ½ ¨ % i Ü ¼ 9 ] j16 £ § _  Ø  æ      H · ú š§ 4  Ô  ¦ƒ  5 Å q s  " é ¶

“

 s  ÷ &“ ¦ ] j26 £ § _  Ø  æ     H “ : r • ¸ Ô  ¦ƒ  5 Å q s  " é ¶ “  s  H † d

`

 ¦ µ 1 ß+ À I“ ¦ Iznankinõ  Mezhov-Deglin [2]“ É r & ñ S X ‰ ô  Ç Ø  æ   

_  ½ ¨› ¸\  ¦ › ' a ¹ 1 Ï % i  . ¢ ¸ô  Ç Atkinsü < Fox [3–6]  H \ P 

‚

 5 Å q, “ : r • ¸& h á Ô, Ø  æ   €  _  5 Å q • ¸, ] j26 £ § _  ”  ; Ÿ ¤ _ ” > r1 p x

`

 ¦ “ ¦¹ 1 Ï % i Ü ¼ 9 Torczynski [7,8]  H ½ ¨€   \ P l ü < " é ¶ Æ Ò + þ

A â ì2 £ §› ' a`  ¦  6   x # Œ €  • >  à º§ 4    H ] j26 £ § Ø  æ   \  ¦ µ

1 ÏÒ q tr &  y Œ ™t l \ " f_  “ : r • ¸  © œ5 p x s  Ø  æ    s  : r õ  { 9  u

† < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œ Å Ò% 3 “ ¦ Ø  æ   -™ è6   x[  t s   © œ  ñ Œ •6   x õ  q ‚   + þ

A ] j46 £ § Ø  æ   • ¸ ƒ  ½ ¨ % i  . 2Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t 5 Å q

\


 
  H ™ èY > > à º[ þ t“ É r Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t  © œ  

ñ Œ •6   x`  ¦ “ ¦¹ 1 ÏK " f % 3 # Q”   . Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t

\

  H Ÿ í 7 H õ  – З : r s  e ” Ü ¼ 9 s [ þ t l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t“ É r “ : r • ¸   



o\     # Œ Q t  " f– Ð   É r  © œ  ñ Œ •6   x _  + þ AI \  ¦
 



· p .   " f Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  # Œ Q t  ™ èY > > à º[ þ t s 
 6 £ § _

 f  ¨ à º> à º, s “ : r _  î  r1 l x, \ P % i † < Æ& h  $ í | 9 [ þ t“ É r s [ þ t  © œ  ñ



Œ

•6   x _  + þ AI \     F G $ “ : r õ  q “ §& h  Z  }“ É r “ : r • ¸\ " f  H

"

f– Ð   É r “ : r • ¸_ ” > r`  ¦
  · p . ‘ : r ƒ  ½ ¨" é ¶1 p x“ É r s  Qô  Ç l

‘ : r[ þ t> p u  © œ  ñ Œ •6   x[ þ t`  ¦  © œ[ jy  “ ¦¹ 1 Ï # Œ œ í6 £ §  _  f  ¨ à º

>

à º [9,10], \ P „  • ¸• ¸ü < & h $ í > à º [11], F G $ “ : r \ " f_  ¢ - a



or ç ß – [12], Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § ? /_  \ P â ì2 £ § \ " f · ú š§ 4 õ  “ : r • ¸   



o [13], s “ : r Ä »1 l xÒ  ¦ _  “ : r • ¸\    É r    o [14]\  ¦ ƒ  ½ ¨ 

%

i  . ± ú “ É r · ú š§ 4 , F G $ “ : r \ " f  H q & ñ  © œ l ‘ : r[ þ t> p u Û ¼& 7 ˜à Ô

!

3  (Anomalous elementary excitation spectrum)Ü ¼– ÐÂ Ò '


 
  H 3- Ÿ í 7 H õ & ñ s  à º5 Å x‰ & ³ © œ\  Å Ò  ) a % i ½ + É`  ¦ { Œ ™ {

© œ  9, F G $ “ : r \ " f_  \ P  â >  Ø  æ   \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ ‘ : r

ƒ

 ½ ¨" é ¶ 1 p x [15] \  _ K  2Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” õ  † < Êa  l ‘ : r[ þ t

>

p

u  © œ  ñ Œ •6   x _  
“   3-Ÿ í 7 H õ & ñ `  ¦  6   x K " f s À Ò# Q& ’ 



. Õ ª   õ – Ð" f \ P  â >  Ø  æ    ¿ ºa   H ™ èY > > à º[ þ t î  r X

< ] j2& h $ í > à º\   H 1 l qw n s “ ¦ \ P „  • ¸• ¸ü < ] j1& h $ í > à º

\

ë ß – _ ” > r   H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f e ” > “ : r • ¸ 1.2 K“   0.0279 ˚ A ⁻² _  { 9   x 9

• ¸\  ¦ ”   Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \  @ /K  – З : r s  ×  æ כ ¹r  ÷ &  H

“

: r • ¸ % ò % i \ " f_  \ P  â >  Ø  æ    ¿ ºa _  “ : r • ¸\    É r   



o\  ¦ ™ èY > > à º[ þ t`  ¦ Ÿ í† < Ê   H 2 Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t õ  l 

‘

: r[ þ t> p u  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦  6   x K " f “ ¦¹ 1 Ïô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨\   6   x

| ¨

c l ‘ : r[ þ t> p u \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3  [16,17]“ É r ó ¡ šµ ¢ § " é ¶  [ þ t   s

_   © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > `  ¦ Lennard-Jones+ þ A ¡ óo \  ¦ ”  

ƒ

 ( J $ ™[ > – Ð & ñ # Œ “ ¦o - s # QÕ ªÏ þ ›   H  \  ¦ : Ÿ x K  % 3 

# Q& ’  .

ε p = cp[1 + γp ² − δp ⁴ + · · · ] (1)

E P = ∆ + (P − P 0 ) ²

2m ^∗ (2)

#

Œl " f c  H ] X @ /% ò • ¸\ " f_  6 £ §5 Å q, γ ü < δ  H Ÿ í 7 H \  -t  Û

¼& 7 ˜à Ô! 3 _  ì  r í ß –`  ¦ : £ ¤f ç t Ä º  H € ª œ_   © œÃ º[ þ t s “ ¦, Õ ªo 

“

¦ ∆, P 0 , m ^∗   H – З : r B > h  à º[ þ t s  .

II. ° ‚ Çß O Ë4  û s Þß f Ä  ‘ ¤B s

™

èY > > à º[ þ t`  ¦ Ÿ í† < Ê   H Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \ " f_  2Ä »^ ‰

%

i † < Æ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t“ É r  6 £ § õ  ° ú   .

∂ρ

∂t + ∇ · j = 0 (3)

∂v _s

∂t + ∇(µ + 1

2 v ² _s ) = ∇[ζ 3 ∇ · (j − ρv n ) + ζ 4 ∇ · v n ] (4)

∂E

∂t + ∇ · (Q + Q

⁰

) = 0 (5)

∂ρσ

∂t + ∇ · (ρσv _n − K

T ∇T ) = R

T (6)

∂j i

∂t + ∂Π ij

∂t = ∂

∂t [η( ∂v ni

∂r j

+ ∂v nj

∂r i

− δ ij ∇ · v n ) +δ _ij ζ ₁ ∇ · (j − ρv n ) + δ _ij ζ ₂ ∇ · v n ](7)

dµ = −σdT + 1

ρ dp − ρ n

ρ (v n − v s ) · d(v n − v s ) (8)

Π ij = ρ s v si v sj + ρ n v ni v nj + pδ ij (9)

τ _ij = − η( ∂v _ni

∂r j

+ ∂v _nj

∂r i

− δ ij ∇ · v n )

− δ ij [ζ 1 · ρ s (v s − v n ) + ζ 2 ∇ · v n ] (10)

Q = (µ + v _S ²

2 )j + ρσT v _n + ρ _n v _n [v _n · (v n − v s )] (11)

Q

⁰

= −K∇T + h(j − ρv n ) + τ v n (12)

h = −ζ 3 ∇ · ρ s (v s − v n ) − ζ 4 ∇ · v n (13)

R = ζ 2 (∇ · v n ) ² + 2ζ 1 (∇ · v n )[∇ · (j − ρv n )]

+ζ 3 [∇ · (j − ρv n )] ² + 1

2 η[ ∂v ni

∂r _j + ∂v nj

∂r _i − δ ij ∇ · v n ] ² + K

T (∇T ) ² (14)

j = ρ s v s + ρ n v n (15)

#

Œl " f ρ  H | 9 | ¾ Óx 9 • ¸, j  H î  r1 l x | ¾ Óx 9 • ¸, µ  H  o† < Æ( J $ ™[ > , E  H \  -t x 9 • ¸, σ  H é ß –0 A| 9 | ¾ Óx 9 • ¸{ © œ  ' pà Ԗ Ðx , Π ij   H î

 r1 l x | ¾ ӂ  5 Å qJ $ ™" f, K  H \ P „  • ¸• ¸, p  H · ú š§ 4 , η  H ] j1& h $ í

>

à º, Õ ªo “ ¦ ζ 1 , ζ ₂ , ζ ₃ , ζ ₄   H ] j2& h $ í > à º[ þ t`  ¦
 ? / 9 h, τ ij , Q

⁰

, R “ É r ™ èY > ´ òõ \  ¦
 ? /  H € ª œ[ þ t s  . & ñ  © œ  â

>

# 4 Ü ¼– РÒ'  Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ §5 Å q Ü ¼– Ð \ P â ì2 £ § s  ” > r F ½ + É M :  â

>

# 4 \  à ºf ” ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ x» ¡ ¤ Ü ¼– Ð × þ ˜ “ ¦ x = 0`  ¦  â > # 4  _

 0 Au , x > 0`  ¦ Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  0 Au   €   & ñ  © œ  â > # 4 

\

 “  ] X ô  Ç Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § õ   â > # 4 Ü ¼– РÒ'  Y O o  b  # Q”   0 A u

\ " f_  Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ §  s \   H (3) - (6)d ” [ þ t – РÒ'   6 £ § _

 d ” [ þ t`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  .

ρ s v s + ρ n v n = 0 (16)

[µ + v _s ²

2 + (ρζ 3 − ζ 4 ) ∂v n

∂x + ζ 3 v n

∂ρ

∂x ] = 0 (17)

[p + ρ _n ρ _s

ρ (v n − v s ) ² − (η + ζ 2 − ρζ 1 ) ∂v _n

∂x + ζ 1 v n

∂ρ

∂x ] = 0 (18) [ρσ(T + v _n ρ n

ρσ (v _n − v _s )v _n

−K ∂T

∂x − β ∂v n

∂x v n + (ζ 1 − ρζ 3 )v ² _n ∂ρ

∂x ] = 0 (19)

#

Œl " f @ / F ‹ c   ñ  H y Œ • 0 Au \ " f @ /6 £ x   H € ª œ[ þ t _  ° ú כ\ " f _

 \  ¦
 ? /“ ¦ (19)d ” \ 
 
  H ⍠ H β = η + ζ 2 − ρ(ζ 1 + ζ 4 ) + ρ ² ζ 3 s  . y Œ • 0 Au \ " f_    à º[ þ t _  ° ú כ_  

\

 ¦ ∆ – Ð
 ? /“ ¦ ç ß –é ß –y  l 0 AK  { 9  † ½ Óë ß – “ ¦ 9 €   0

A_  d ” [ þ t – РÒ' 

−σ∆T + 1

ρ ∆p + (ρζ ₃ − ζ 4 ) ∂∆v _n

∂x = 0 (20)

∆p − (η + ζ 2 − ρζ 1 ) ∂∆v n

∂x = 0 (21)

ρσT ∆v _n − K ∂∆T

∂x = 0 (22)

`

 ¦ % 3 “ ¦ (20), (21)d ” Ü ¼– РÒ'  ∆p\  ¦ ™ è ô  Ç Ê ê (22)d ” `  ¦



6   x €  

(ρ ² σ ² T )∆T = βK ∂ ² ∆T

∂x ² (23)

`

 ¦ % 3   H  .   " f (23)d ” `  ¦ Û  ¦€  

∆T = ∆T 0 exp(−x/δ) (24)

 ÷ &“ ¦, # Œl " f ∆T ⁰ = T x=0 − T \  ¦
  · p . δ  H Ø  æ   

_  : £ ¤$ í  o \  ¦ : £ ¤f ç t Ä º  H ¿ ºa “  X < β_  ° ú כ`  ¦ @ /{ 9  

€

 

δ = [ (η + ζ 2 − ρ(ζ 1 + ζ 4 ) + ρ ² ζ 3 )K

ρ ² σ ² T ] ^1/2 (25) s

 .

III. z ºÊ ] Ø® Žz º < g” X ¢c Ü R Æ X Øy ¢ W _ ËW Ä; c" e8 ý }

º/ ‚ Ç4 • ¤ô p §

(25)d ” “ É r ] j1& h $ í > à º, ] j2& h $ í > à º, \ P „  • ¸• ¸ü < ° ú  “ É r

–

З : r Ü ¼– Ð ] jô  ǝ ) a “ : r • ¸ % ò % i \ " f_  ™ èY > > à º[ þ t`  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç



.   " f s [ þ t > à º[ þ t _  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦ “ ¦¹ 1 Ͻ + É € 9  כ

¹ e ”  . €  $  ] j2& h $ í > à º[ þ t“ É r 2 Ä »^ ‰% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t

˙j + ∇p + v s (∇ · j) + (j − ρv s )(∇ · v n ) +(j · ∇)v s + (v n · ∇)(j − ρv s )

= ∇[ζ 1 ∇ · (j − ρv n ) + ζ 2 ∇ · v n ], (26)

˙

v _s + ∇[µ + v _s ²

2 ] = ∇[ζ ₃ ∇ · (j − ρv _n ) + ζ ₄ ∇ · v _n ], (27)

\

 ¦ “ ¦¹ 1 Ï # Œ % 3 # Q”   . é ß –0 Ar ç ß –{ © œ – З : r _  à º\  ¦ N r ,  o

†

< Æ( J $ ™[ > _  – З : r  Òì  r`  ¦ µ r s   €   >  ¨ î + þ A © œI – Ð Â

Ò'   ™ è “ §ê ø Í | ¨ c M : N ^r “ É r ¨ î + þ A° ú כÜ ¼– Ð 4 Ÿ ¤" é ¶ ÷ & 9“ ¦ ô  Ç .



 " f ¨ î + þ AÜ ¼– Ð_  ] X   H`  ¦
 ? /  H ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r – З : r à º _

    oÖ  ¦`  ¦  o† < Æ( J $ ™[ > _  " 4 Ü ¼– Ð „  > h # Œ % 3 # Q”   .

µ r \  ‚  + þ A“   † ½ Óë ß –`  ¦ × þ ˜ # Œ

N ˙ r + N r ∇ · v n = −Γ rph µ r (28)

`

 ¦ % 3 “ ¦ # Œl " f Γ ^rph   H Ÿ í 7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ _  î  r1 l x > à º s

 . x 9 • ¸ ρü <  ' pà Ԗ Ðx _  – З : r  Òì  r S r \  @ /ô  Ç ƒ  5 Å q ~ ½ Ó

&

ñ d ” “ É r  6 £ § õ  ° ú   .

˙

ρ + ∇ · j = 0 (29)

S ˙ r + ∇ · S r v n = 0 (30)

(29)d ” õ  (30)d ” `  ¦ (28)d ” \  @ /{ 9  €   N ˙ r = − ∂N r

∂ρ ∇ · j − ∂N r

∂S _r S r ∇ · v n

+ ∂N r

∂ρ ∇ · ρv n − ∂N r

∂ρ ρ∇ · v n . (31) s

 ÷ &“ ¦ (28)d ” õ  (31)d ” `  ¦  6   x # Œ µ r \  @ /K  Û  ¦€     6

£

§ _  d ” `  ¦ % 3   H  .

µ _r = 1 Γ rph

"

∂N _r

∂ρ ∇ · (j − ρv n ) + ∂N _r

∂ρ ρı · v _n

#

. (32)

(26)d ” õ  (27)d ” \ 
 
  H · ú š§ 4  pü <  o† < Æ( J $ ™[ >  µ  H – Ð

—

: r _   o† < Æ( J $ ™[ > \  _ ” > r Ù ¼– Ð

∇p = −∇( ∂p

∂µ _r µ _r ), ∇µ = −∇( ∂µ

∂µ _r µ _r ). (33) s

 ÷ &“ ¦ (32)d ” , (33)d ” õ  † < Êa  (26)d ” , (27)d ” “ É r ∇ · v n õ 

∇ · (j − ρv n ) _  e ” _ _  ° ú כ\  @ /K  $ í w n K   Ù ¼– Ð  6 £ § _

 ] j2& h $ í > à º[ þ t s  Å Ò# Q”   .

ζ ₁ (T ) = − 1 Γ rph

∂N _r

∂ρ

"

N _r − ∂N _r

∂S r

S _r − ∂N _r

∂ρ ρ

#

, (34)

ζ 2 (T ) = 1 Γ _rph

"

N r − ∂N r

∂S _r S r − ∂N r

∂ρ ρ

# 2

, (35)

ζ 3 (T ) = 1 Γ rph

"

∂N r

∂ρ

# 2

, (36)

ζ 4 (T ) = − 1 Γ rph

∂N _r

∂ρ

"

N r − ∂N _r

∂S r

S r − ∂N _r

∂ρ ρ

#

(37)

#

Œl " f \ P % i † < Æ › ' a > 

dE = T dS r + µ r dρ − N r dµ r (38)

p = −E + S r T + µ r ρ (39)

  6   x ÷ &% 3 Ü ¼ 9 ζ ⁴ = ζ 1 Ü ¼– Ð" f î  r1 l x > à º[ þ t _  @ /g A" é ¶ o 

\

 ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç . (34)d ”  - (37)d ” \ 
 
  H Ÿ í 7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ

& ñ _  î  r1 l x > à º Γ rph   H – З : r à º_     o\  @ /ô  Ç ¢ - a  oõ 

&

ñ `  ¦ “ ¦¹ 1 Ï # Œ % 3 # Q”   . ¢ - a  oõ & ñ `  ¦ “ ¦¹ 1 Ï l  0 A # Œ



 ¨ 8 Š õ & ñ _   © œ  ñ Œ •6   x \  -t \  ¦ δ † < Êà º ( J $ ™[ > – Ð Ò q ty Œ • 

“

¦  © œ  ñ Œ •6   x _  [ jl \  ¦ V 0 , Ÿ í 7 H õ  – З : r _  0 Au  7 ˜' \  ¦ y Œ • y

Œ

• r 1 , r 2   ½ + É M :  © œ  ñ Œ •6   x \  -t   H V = V 0 δ(r 1 −r 2 ) – Ð

³

ð‰ & ³ ) a  . î  r1 l x | ¾ Ó p 1 _  Ÿ í 7 H õ  î  r1 l x | ¾ Ó P 2 _  – З : r s  î  r 1

l

x | ¾ Ó P 3 , P ₄ _  – З : r Ü ¼– Ð „  s  | ¨ c S X ‰Ò  ¦`  ¦ dW   €   dW = 2π

~

| V AF | ² δ( 1 + E 2 − E 3 − E 4 ) P 3 P 4

(2π~) ² (40)

 ÷ &“ ¦ V ^AF   H „  s ' Ÿ § > =כ ¹™ è\  ¦
  · p . { 9   l ‘ : r[ þ t

>

p

u[ þ t _  Š © œõ  í ß –ê ø Í l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t _  Š © œ\    É r › ¸ o  ) a ¨ î €   

\  ¦  1 l x † < Êà º– Ð × þ ˜ # Œ 0 A_  d ” _  & h ì  r`  ¦ > í ß – €     6

£

§ õ  ° ú   .

Z

| V AF | ² dP 2

(2π~) ² = 4 | V 0 | ² (41)

Ÿ

í 7 H õ  – З : r _  ì  r Ÿ í† < Êà º\  ¦ y Œ •y Œ • n, NÜ ¼– Ð
 ? /€   Ÿ í



7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ \    É r – З : r à º_     oÖ  ¦ ˙ N r   H N ˙ r = −

Z

[n 1 N 2 (N 3 + 1)(N 4 + 1)

−(n ₁ + 1)(N ₂ + 1)N ₃ N ₄ ]dW dp 1 dP 4

(2π~) ⁴ (42) s

“ ¦ – З : r ì  r Ÿ í† < Êà º\  @ /ô  Ç / å L à º„  > h\  ¦ : Ÿ x K  0 A_  d ” `  ¦

>

í ß – €  

N ˙ r = µ r − µ ph

KT

16π ² ∆

~c ²

|V 0 | ² (2π~) ⁶

Z

N 3 N 4 dP 3 dP 4 (43)

  ) a  . # Œl " f µ ^r , µ ph   H y Œ •y Œ • – З : r õ  Ÿ í 7 H _   o† < Æ(  J $

™[ > `  ¦
 ? / 9 – З : r _  \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 Ü ¼– РÒ'  P ' P 0 \  ¦  6   x % i  . é ß –0 A€  & h { © œ – З : r _  à º N ^r “ É r

N r = 1 (2π~) ²

Z

N dP (44) s

Ù ¼– Ð (43)d ” _  & h ì  r`  ¦ ½ ¨ €  

N ˙ _r = µ _r − µ _ph KT

4|V ₀ | ² N _r ² ∆ c ² ~ ³

(45)

 ÷ &“ ¦ # Œl " f N r “ É r  6 £ § _  “ : r • ¸_ ” > r`  ¦ ”   .

N _r = ( m ^∗ KT 2π ) ^1/2 P ₀

~ ²

e ⁻

^KT∆

(46)

–

З : r à º_     oÖ  ¦ ˙ N r \  ¦ Ÿ í 7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ _  î  r1 l x > à º Γ rph – Ð
 ? /€  

N ˙ _r = Γ _rph (µ _r − µ ph ) (47) s

“ ¦ (45)d ” õ  q “ § €   Γ _rph   H

Γ _rph = 4|V ₀ | ² N _r ² ∆

c ² ~ ³ KT (48)

 ÷ & 9 (46)d ” `  ¦  6   x † < ÊÜ ¼– Ð" f  6 £ § _  “ : r • ¸_ ” > r`  ¦ % 3   H



.

Γ _rph = ae ⁻

^KT2∆

(49)

#

Œl " f  © œÃ º† ½ Ó`  ¦ a – Ð
 ? /% 3  .

\ P

„  • ¸• ¸_  – З : r  Òì  r“ É r  6 £ § _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  n

⁰

kT ² ∇T · (p ST

ρ _n − E ∂E

∂P ) = J (n) (50)

`

 ¦ Û  ¦ # Q   9 # Œl " f n

⁰

  H ¼ # y Œ •\  @ /ô  Ç • ¸† < Êà ºs “ ¦ J (n)“ É r Ø  æ[  t& h ì  r`  ¦
  · p . 0 A_  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ç ß –é ß – y

 l  0 A # Œ Ø  æ[  t& h ì  r`  ¦ – З : r- – З : r Ø  æ[  t _  ¨ î ç  H r ç ß – t _r _  † ½ ÓÜ ¼– Ð æ ¼€   J(n) = −(n − n ₀ )/t _r – Ð @ /u ½ + É Ã º e ” 

“

¦ \ P „  • ¸• ¸_  – З : r  Òì  r`  ¦ ½ ¨ €    6 £ § õ  ° ú    [11].

K r = t r ∆ ² N r

2m ^∗ T

"

1 + 3KT

∆ + 15K ² T ² 4∆ ²

− 2m ^∗ S ρ n K

KT

∆ + 3K ² T ² 2∆ ²

!#

(51)

(51)d ” \ 
 
  H – З : r- – З : r Ø  æ[  t _  ¨ î ç  H r ç ß – t ^r “ É r Ÿ í



7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ _  î  r1 l x > à º_  “ ¦¹ 1 Ï õ & ñ õ  Ä »   .

–

З : r- – З : r í ß –ê ø Íõ & ñ _   © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > `  ¦ δ+ þ A ( J $ ™[ > – Ð

 ? /“ ¦ Ä » ô  Ç > í ß –õ & ñ `  ¦ : Ÿ x K  t <sup>r</sup> `  ¦ ½ ¨ €    6 £ § õ 

° ú    [11].

1

t _r = 4m ^∗ |V 0 | ² N r

~ ³

(52)

]

j 1& h $ í > à º_  – З : r  Òì  r`  ¦ % 3 l  0 A # Œ r ç ß –\    



  t  · ú §  H Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _   r & h “   î  r1 l x`  ¦ Ò q ty Œ • “ ¦ Ó  o

^

‰_  5 Å q • ¸ u_  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ y» ¡ ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð, 5 Å q • ¸ l Ö  ¦ l _  ~ ½ Ó

†

¾ Ó`  ¦ x» ¡ ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð × þ ˜ €   ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § _  – З : r Ü ¼– Ð ] jô  ǝ ) a ]

j1& h $ í > à º  H  6 £ § _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” 

n ₀ P ₀ (P − P ₀ ) m ^∗ KT

∂u

∂x cos θ sin θ = J (n) (53)

`

 ¦ Û  ¦ # Q" f % 3 # Q”   . # Œl " f θ  H P ü < x» ¡ ¤ s  s À ҍ  H y Œ •

`

 ¦
  · p . î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ç ß –é ß –y  l  0 A # Œ \ P „  • ¸

•

¸_   â Ä º% ƒ! 3  J(n) = −(n − n 0 )/t r – Ð ¿ º“ ¦ ] j1& h $ í >  Ã

º_  – З : r  Òì  r η r `  ¦ ½ ¨ €    6 £ § õ  ° ú    [11].

η _r = t _r P ₀ ² N _r

8m ^∗ (54)

Fig. 1. Temperature variation of the roton-limited thick- ness of the thermal boundary shock wave.

IV. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

· ú

¡ ] X \ " f  H Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \  @ /K  – З : r _  l # Œ

×

 æ כ ¹r  ÷ &  H – З : r ] jô  ǝ ) a “ : r • ¸% ò % i \ " f_  \ P  â >  Ø  æ   

 ¿ ºa  ƒ  ½ ¨÷ &% 3 Ü ¼ 9 ¿ ºa   H \ P „  • ¸• ¸, ] j1& h $ í > à º, ]

j2& h $ í > à ºü < ° ú  “ É r ™ èY > > à º[ þ t \  _ ” > r “ ¦ s [ þ t > à º [

þ

t s   7 H _ ÷ &# Q& ’  . ™ èY > > à º[ þ t _  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦

%

3 l  0 A # Œ { 9  x 9 • ¸ 0.0279 ˚ A ⁻² “   Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ §

\

" f_  B > h  à º[ þ t _  ° ú כ[ þ t – Ð" f a = 4 × 10 ⁴⁹ , ∆/K B = 4.12 K, P ₀ = 1.02~ ˚ A ⁻¹ , m ^∗ = 0.75m _He , c = 164.4 m/s [11]\  ¦  6   x # Œ – З : r- – З : r í ß –ê ø Í_  : £ ¤$ í r ç ß –`  ¦ ½ ¨ €  

1

t _r = 4.99 × 10 ⁻³ T ^1/2 e ^−4.12/T (55)

 ÷ &“ ¦ (54)d ” \  @ /{ 9  €   η _r “ É r €  • 59.13Ü ¼– Ð" f “ : r • ¸\  1

l qw n e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . \ P „  • ¸• ¸\  @ /ô  Ç (51)d ” õ  ] j2& h 

$ í

> à º\  @ /ô  Ç (34)d ”  - (37)d ” “ É r (49)d ” , (55)d ” õ  † < Êa 

\ P

% i † < Æ   à º[ þ t _  “ : r • ¸_ ” > r`  ¦  6   x # Œ ½ ¨ €  

K r = 6.61 × 10 ⁹

"

1

T + 0.22T + 0.73 − 4.74( 1

T + 0.36)

×

( 1 + 28.02(1.5 + ^4.12 _T )T ^−1.5 e ^−4.12/T 1 + 4632.89T ^−3.5 e ^−4.12/T

)#

(56)

ζ 1 (T ) = 13.82 × 10 ⁻¹² T (10.92 − 11.33T ⁻¹ ) ²

×



1 + 4.12

(0.75 + 4.12T ⁻¹ + 16.97 × T ⁻² )(10.92T − 11.33)



(57)

ζ 2 (T ) = 25.64 × 10 ⁻²¹ T (10.92 − 11.33T ⁻¹ ) ²

×



1 + 4.12

(0.75 + 4.12T ⁻¹ + 16.97 × T ⁻² )(10.92T − 11.33)

 ² (58)

ζ 3 (T ) = 7.45 × 10 ⁻³ T (10.92 − 11.33T ⁻¹ ) ² (59)

ζ 4 (T ) = ζ 1 (T ) (60) s

  ) a  .   " f Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \ " f_  \ P % i † < Æ   à º[ þ t õ

 † < Êa  0 A_  ™ èY > > à º[ þ t`  ¦ \ P  â >  Ø  æ    ¿ ºa \  @ /ô  Ç (25)d ” \  @ /{ 9  # Œ • ¸r  €   Fig. 1õ  ° ú   . { 9  x 9 • ¸

0.0279 ˚ A ⁻² “   Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \ " f_  e ” > “ : r • ¸  H 1.2 K s

“ ¦ ™ èY > > à º[ þ t \  @ /ô  Ç – З : r _  l # Œ ×  æ כ ¹r ÷ &  H “ : r

•

¸% ò % i \ " f \ P  â >  Ø  æ    ¿ ºa δ  H “ : r • ¸ 7 £ x † < Ê\   



 y Œ ™™ èô  Ç . & ñ  © œ  â >  # 4 Ü ¼– РÒ'  Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § Ü ¼– Ð \ P â ì 2

£

§ s  { 9 # Q± ú ˜ M : \ P â ì2 £ §“ É r  â > \ " f Ô  ¦ƒ  5 Å q Ü ¼– Ð
 


“

¦ (24)d ” õ  ° ú  s  t à º& h Ü ¼– Ð y Œ ™û Z   H q „     1 l x+ þ A I

_  Ø  æ   – Ð" f ³ ð‰ & ³ ) a  . ¢ ¸ô  Ç (24)d ” `  ¦  6   x † < ÊÜ ¼– Ð" f (20)d ” -(22)d ” Ü ¼– РÒ'  “ : r • ¸    o\    É r & ñ  © œÄ »^ ‰ 5 Å q • ¸



  o x 9  · ú š§ 4     o\  @ /ô  Ç d ” `  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” Ü ¼ 9  6 £ § õ 

° ú   .

∆v n = − K r

ρσT δ ∆T (61)

∆p = (η r + ζ 2 − ρζ 1 )K r

ρσT δ ² ∆T (62) (62)d ” _  F ‹ c   ñ5 Å q _  ° ú כs  — ¸Ž  H “ : r • ¸% ò % i \    5 g € ª œ_  ° ú כ

`

 ¦ t l  M :ë  H \  · ú š§ 4 “ É r “ : r • ¸ Z  }“ É r  â > # 4  A á ¤ s  ß ¼ t

ë ß – & ñ  © œÄ »^ ‰ 5 Å q • ¸  H Õ ª ì ø Í@ / ‰ & ³ © œ`  ¦
  · p . s  Q ô

 Ç \ P  â >  Ø  æ   _  : £ ¤$ í  o \  ¦
 ? /  H ¿ ºa   H “ : r • ¸ _

 † < Êà º– Ð" f Å Ò# Qt  9 \ P „  • ¸• ¸, ] j1& h $ í > à º, ] j2& h $ í

>

à º\  _ ” > r ô  Ç .    : r& h Ü ¼– Ð ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ §

€ 9

2 £ § \  @ /K  – З : r s  ×  æ כ ¹r  ÷ &  H “ : r • ¸ % ò % i \ " f \ P  â >  Ø

 æ   _  $ í | 9 `  ¦ “ ¦¹ 1 Ïô  Ç   õ  Ÿ í 7 H- – З : r   ¨ 8 Š õ & ñ x 9  – Ð

—

: r- – З : r  © œ  ñ Œ •6   x \  _ ô  Ç ™ èY > > à º[ þ t _  % ò † ¾ ÓÜ ¼– Ð \ P  â

>

 Ø  æ    ¿ ºa  “ : r • ¸ 7 £ x † < Ê\     y Œ ™™ è† < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”

% 3  .

REFERENCES

[1] I. M. Khalatnikov, An Introduction to the Theory of Superfluidity (Benjamin, New York, 1965), Chap.

13.

[2] A. Yu. Iznankin and L. P. Mezhov-Deglin, Sov.

Phys. JETP 57, 801 (1983).

[3] R. J. Atkins and N. Fox, J. Phys. C: Solid State Phys. 15, 947 (1982).

[4] R. J. Atkins and N. Fox, J. Phys. C: Solid State Phys. 16, 1615 (1983).

[5] R. J. Atkins and N. Fox, J. Phys. C: Solid State Phys. 17, 1191 (1984).

[6] R. J. Atkins and N. Fox, J. Phys. C: Solid State Phys. 20, 1937 (1987).

[7] J. R. Torczynski, Wave Motion 7, 487 (1985).

[8] J. R. Torczynski, Phys. Rev. B 39, 2165 (1989).

[9] C. W. Jun, J. Korean Phys. Soc. 41, 820 (2002).

[10] A. Isihara, C. I. Um, C. W. Jun, W. H. Kahng and S. T. Choh, Phys. Rev. B 37, 7348 (1988).

[11] C. I. Um, C. W. Jun, W. H. Kahng and T. F.

George, Phys. Rev. B 38, 8838 (1988).

[12] C. W. Jun, Sae Mulli 58, 569 (2009).

[13] C. W. Jun, New Phys.: Sae Mulli 61, 779 (2011).

[14] C. I. Um, J. R. Kahng and C. W. Jun, J. Korean Phys. Soc. 32, 747 (1998).

[15] C. I. Um and C. W. Jun, J. Korean Phys. Soc. 29, 814 (1996).

[16] A. Isihara and C. I. Um, Phys. Rev. B 19, 5725 (1979).

[17] M. Bretz, J. G. Dash, D. C. Hickernell, E. D. Mclean

and D. E. Vilches, Phys. Rev. A 8, 1589 (1973).