DNS STUDY ON THE FLOW CHARACTERISTICS THROUGH SIMPLE POROUS HYDRAULIC FRACTURES

기호설명

(Nomenclature)

C : Coefficient or Factor C

: Shape Factor D : Diameter

D

: Hydraulic Diameter

D

: Mean Grain Diameter f : Friction Factor L : Length

L

: Real Pore Path Length Name : Defined State or Case Name P : Pressure

P : Pressure Gradient p : Porous or Pore Re : Reynolds Number S : Surface Area S

: Specific Surface Area

평판형 수압파쇄 균열을 통과하는 다공질유동 특성에 관한 해석 연구

신 창 훈,

¹

^*2

1한국가스공사 가스기술연구원

2부산대학교 기계공학부

DNS S TUDY ON THE F LOW C HARACTERISTICS THROUGH S IMPLE P OROUS H YDRAULIC F RACTURES

C.H. Shin

and W.G. Park

1

Research Institute, Korea Gas Corporation(KOGAS)

2

Dept. of Mechanical Engineering, Busan Nat. Univ.

The flow analyses through a porous hydraulic fractures is among the most important tasks in recently developed shale reservoirs but is rendered difficult by non-Darcy effects and geometric changes in the hydraulic fractures during production. In this study, several Computational Fluid Dynamics(CFD) models of hydraulic fractures, with a simple shape such as that of parallel plates, filled with proppants were built. Direct Numerical Simulation(DNS) analyses were then carried out to examine the flow loss characteristics of the fractures. The hydraulic diameters for the simulation models were calculated using the DNS results, and then they were compared with the results from Kozeny’s definition of hydraulic diameter which is most widely used in the flow analysis field. Also, the characteristic parameters based on both hydraulic diameters were estimated for the investigation of the flow loss variation features. Consequently, it was checked in this study that the hydraulic diameter based on Kozeny’s definition is not accordant to the results from the DNS analyses, and the case using the CFD results exhibits f·Re robustness like general pipe flows, whereas the other case using Kozeny’s definition doesn’t. Ultimately, it is expected that discoveries reported in this study would help further porous flow analyses such as hydraulic fracture flows.

Key Words : 다공질 유동(Flow through Porous Media), 수압파쇄 균열유동(Hydraulic Fracture Flow),

마찰유동손실(Friction Flow Loss), 다공질 수력직경(Hydraulic Diameter of Porous Media), 직접수치해법(Direct Numerical Simulation)

Received: September 19, 2016, Revised: October 9, 2016, Accepted: October 11, 2016.

* Corresponding author, E-mail: [email protected] DOI http://dx.doi.org/10.6112/kscfe.2016.21.4.019

KSCFE 2016

V

: Pore Volume

v : Average Fluid Velocity through an Equivalent Pore Flow Path

x : Positions in x direction μ : Viscosity

ρ : Density

τ : Shear Stress, : τ

at Wall Φ : Porosity

1. 서 론

셰일저류층 내 수압파쇄 균열의 투과도는 광구의 생산성 분석이라는 측면에서 매우 중요하다 . 수압파쇄 균열은 기하학 적 제원이 크고 , 높은 압력구배를 받는 까닭에 파쇄균열을 통 과하는 유량도 상대적으로 크다 [1]. 또한 생산기간 동안의 지 층응력의 변화에 따른 균열의 기하학적 조건 변화에 따라 투 과도는 지속적으로 변화하게 된다 . 이에, 수압파쇄 균열의 기 하학적 변화와 생산정 주변의 높은 압력구배에 따른 Non-Darcy 효과를 고려할 수 있는 새로운 투과도 산정방법의 도출이 매우 절실하다 [2]. 다시 말해, 셰일가스의 생산에 따른 내부유체 압력의 저하에 따라 균열의 높이는 물론 폭과 길이 가 지속적으로 변화한다 . 이와 더불어, 상대적으로 큰 수압파 쇄 균열의 제원과 생산정 주변의 높은 압력구배에 따라 생산 초기에는 난류유동을 특성을 보이나 유체압력 감소에 따른 균열 닫힘으로 유동은 층류로 천이된다. 따라서 수압파쇄 균 열유동의 적절한 해석을 위해서는 균열닫힘에 따른 기하학적 변화와 유동특성 변화를 모두 고려하여야 한다 .

다공질 유동의 유동학적 관계는 일반적으로 Darcy 관계식 이나 Forchheimer 관계식으로 대표되고 있다. 그러나 이들 관 계식은 유량과 투과도의 단순한 비례관계를 제시할 뿐 , 투과 도를 지배하는 특성변수나 그들의 상관관계를 제시하고 있지 는 못하다 . 이에 따라, 투과도는 실험을 통해 직접 측정되거 나 , 공극률 등과의 상관을 통해 근사적으로 추정되는 것이 일 반적이다 . 이는 대상 저류층의 다양한 종류의 암석에 대한 수 많은 실험의 수행을 요구하게 되어 , 현실적으로 상당한 비용 과 시간소비를 요구하게 된다 [3,4]. 특히, 지지체가 복합된 수 압파쇄 균열의 경우는 지지체 분포특성의 규명과 실험모델의 구현 및 투과도 실험 모두가 매우 어렵고 까다로운 작업이다 . 아울러 , 특정 공극률과 지지체 분포 및 유동조건에 대한 실험 이 수행된 경우에도 , 다른 기하학적 조건이나 유동조건에 대 한 또 다른 실험의 수행이 요구되는 것이 현실이다 . 나아가,

그 영향이 상당히 중대한 것으로 알려져 있다 . 이와 더불어, 수압파쇄 균열은 주로 생산정의 인근에 분포하여 높은 압력 구배를 받고 대량의 유체를 수송하는 역할을 하게 된다 . 이에 따라 , 생산초기 균열을 통과하는 유동은 흔히 Non-Darcy 효과 로 불리는 난류유동의 특성을 보이고 , 생산량의 감소에 따라 점차적으로 층류유동으로 천이되게 된다 .

결과적으로 , 수압파쇄 균열유동의 적절한 해석을 위해서는 다공질 유동특성을 지배하는 특성변수 (수력직경, 마찰계수, 레 이놀즈 수 등 )를 적절히 정의하고 균열의 닫힘에 따른 특성변 수의 변화 양상을 면밀히 검토할 필요가 있다 . 궁극적으로 이 는 , 수압파쇄 균열을 비롯한 다양한 다공성 매질의 투과도와 같은 유동특성을 규명하는데 주요하게 활용될 수 있다 . 이에 본 연구에서는 , 수압파쇄 균열을 가상한 단순한 평판형의 다 공성 매질 모델을 구성하고 , 이에 대한 전산유체역학(CFD, Computational Fluid Dynamics) 해석을 시도하였다. 여기서, 수 압파쇄 균열의 닫힘에 따른 기하학적 조건변화를 모사하고자 , 균열의 높이를 약간씩 변화시킨 모델을 추가로 구성하여 , 각 모델에서의 유동특성 변화를 비교 , 검토하고자 하였다. 다음 으로, 다공질 유동의 특성규명을 위해 필수적으로 요구되는 다공성 매질의 수력직경을 각 모델에 대한 CFD 해석결과를 바탕으로 산정하고, 이를 현재 다공질 유동해석 분야에서 널 리 사용되고 있는 Kozeny 수력직경[5] 정의를 통한 산출결과 와 비교, 검토하였다. 더불어, 각 수력직경 정의에 기반한 마 찰유동 특성변수를 산출하여 각 특성변수들의 변수양상에 대 한 검토를 시행하였다. 궁극적으로, 본 연구에서 제시되는 다 공질 유동특성 변화 검토 결과와 수력직경 산정, 비교 결과는 수압파쇄 균열의 해석뿐만 아니라 다양한 다공질 유동해석에 있어서 주요한 참고자료로 활용될 수 있을 것으로 기대된다 .

2. 수압파쇄 균열모델의 DNS 해석

2.1 평판형 수압파쇄 해석모델 구성

본 장에서는 균열 닫힘에 따른 수압파쇄 균열의 다공질 유 동 특성을 CFD 해석방법을 도입하여 검토하고자 한다. 이를 위해 , 지지체(proppant)로 채워진 단순한 평판형태의 수압파쇄 균열을 가상한 CFD 해석모델을 구축하였고, 이에 대한 DNS 해석을 수행하였다 . 해석모델은 가로와 세로 및 높이가 2 mm

× 2 mm × 0.1 mm인 미소 수평평판을 단순한 균열로 가정하

고 , 수평균열 사이에 직경이 0.098 mm인 구형 구슬 390개를

수압파쇄 균열의 지지체로 가상하여 분포시켰다 . 이 때, 지지

체 분포는 각 유동방향에 따라 다른 입자 분포특성을 갖게 하고자 Fig. 1과 같이 엇갈린 형태로 배치하였다. 즉, Fig. 1 (좌측)의 균열모델은 동일한 하나의 다공성 매질이나, 유동 방향이 +X ,-X ,+Y 로 다른 경우, 각 유동방향에 대한 지지 체 배열 특성과 입 /출구 조건이 달라 다른 유동손실 특성을 보이게 될 것이다. 이 때, Fig. 1(C)와 같이 균열의 높이(간극) 가 0.1 mm로 공극률 52%인 모델을 기준(Base) 모델로 정의하 고 , 균열의 높이를 0.104 mm와 0.108 mm로 각각 0.004 mm씩 확대한 모델들을 Thick 모델(B)과 Thick2 모델(A)로 정의하였 다 . 반대로, 균열 높이를 0.096 mm과 0.092 mm로 0.004 mm씩 줄인 모델들을 Thin 모델(D)과 Thin2 모델(E)로 정의하였다.

종합하면, 균열의 높이가 약간씩 다른 총 다섯 가지 모델 들이, 세 가지 유동방향 조건을 제외한 다른 모든 해석 조건 이 동일한 상황을 가상하여, 총 15가지 경우에 대한 DNS 유 동해석을 수행하였다 . 대상 유체는 본 연구가 셰일가스 저류 층에 주안점을 두고 있는 까닭에 메탄 가스로 가정하여 , 밀도 는 0.6679 kg/s, 점성은 0.00001087 kg/ms로 설정하였다. 지지 체와 평판의 표면은 완전히 매끄럽고 등온상태인 것으로 가 정하였고 , 모든 해석에서 매질의 평균유속, u는 입구 단면에 수직방향으로 0.082 m/s의 동일한 속도로 유입되는 것으로 설 정하였다 . CFD 모델링과 해석은 Ansys Fluent 상용 CFD 시뮬레이션 소프트웨어를 기반으로 정상상태 (steady state) 해 석을 수행하였으며 , 정상상태 수렴은 연속식과 각 방향 운동 량 방정식들의 잔차 (residual)가 모두 10

오더 이하에 도달된 경우로 판단하였다 . 해석모델의 크기가 마이크로미터 스케일

로 매우 작은 까닭에 DNS 해석방법을 도입하였고, 각 해석모 델들의 사면체 비정렬격자 (tetrahedral unstructured grid) 개수는 평균 약 400만개이다. 공간차분에는 2차의 상류도식(2nd Order Upwind Scheme)을 적용하였고, 압력-속도 상관도식 (Pressure-Velocity Coupling Scheme)으로는 SIMPLE 방법을 사 용하였다.

2.2 균열제원 변화에 따른 유동특성 변화 검토

Fig. 2는 Base 모델의 정상상태 압력분포와 유선을 도시한 것이다 . Fig. 2의 (A), (B), (C)는 모두 동일한 다공성 매질을 대상으로 단지 유동의 방향만을 각각 달리한 해석 결과로, +X ,-X ,+Y 각 유동방향에 대한 압력분포 자체는 일반적인 경향을 보이나, 각각의 유속과 압력강하의 정도는 상당한 차 이가 있음을 알 수 있다 . 즉, (C)에 제시된 +Y 방향 유동해석 결과는 동일한 매질에 동일한 유량이 통과함에도 불구하고, (A)와 (B)에 비하여 훨씬 작은 압력강하와 낮은 속도분포를 보이고 있다 . 유선분포에 있어서도 유동방향에 유사한 입자배 열을 가진 (A)와 (B)는 유사한 형태를 보이나, 유동방향이 +Y 로 다른 (C)에서는 유속 차이는 물론 유동경로, 즉 공극유로 의 비틀림 특성에 상당한 차이가 있음을 관찰할 수 있다 .

이는 동일한 매질에서도 유동조건에 따라 유동특성의 차이 가 발생하는 유동기하학적 (flow dependant geometric feature) 특 성을 보여 주는 대표적인 사례로 생각될 수 있다 . 기본적으 로 , 유동방향이 다른 두 유동의 유로 형상과 구조는 분명한 차이를 보이고 있음을 쉽게 확인할 수 있다 . +X 방향 유동은 (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Fig. 1 Geometry of the simple hydraulic fracture model filled with sphere beads having different array features of beads in three(+X, -X, +Y)

directions, and the fracture height(aperture) comparisons of each model; (A) Thick2 model(0.108 mm), (B) Thick model(0.104 mm),

(C) Base model(0.1 mm), (D) Thin model(0.096 mm), (E) Thin2 model(0.092 mm)

엇갈려 놓인 입자를 우회함에 따라 유로의 비틀림도는 상대 적으로 크게 나타나고 있다 . 즉, +X 방향 유동에서는 유동의 우회에 따른 관성력 손실이 유동특성을 결정하는 주요한 요 인이 될 것이다 . 반면, +Y 방향 유동에 대한 입자배열은 유동 방향에 나란하여 직선적이므로 유동의 관성력 손실은 크지

않고 벽면 전단마찰에 따른 손실이 유동손실의 주요한 인자 로 , 일반적인 배관유동과 유사한 특성을 보일 것이다. 따라서 다공질 유동의 경우는 매질의 기하학적 특성뿐만 아니라 유 동기하학적 특성이 필수적으로 고려되어야 함을 알 수 있다 .

다음으로, 수압파쇄 균열의 높이 변화에 따른 유동손실 특 (A) DNS results of +X directional flow

(B) DNS results of -X directional flow

(C) DNS results of +Y directional flow

Fig. 2 Pressure distributions(left) and streamlines(right) of the Base model

Fig. 3 Streamline distributions in +X directional flow case of Thick2, Thick, Base, Thin, and Thin2 models(from top to bottom)

Fig. 4 Streamline distributions in -X directional flow case of Thick2, Thick, Base, Thin, and Thin2 models(from top to bottom)

Fig. 5 Streamline distributions in +Y directional flow case of Thick2, Thick, Base, Thin, and Thin2 models(from top to bottom)

성을 검토하고자, Fig. 1의 (A), (B), (D), (E)와 같이 균열간극 을 조절한 네 가지 모델을 대상으로 , 기준모델과 동일한 유동 조건에 대한 DNS 해석을 수행하였다. Fig. 3는 +X 유동방향, Fig. 4는 -X 유동방향에 대한 유선분포를 도시한 것이고 Fig.

5는 +Y 유동방향의 해석 결과를 도시한 것이다. 또한, 각 그 림은 각각 다른 유동방향 조건에서 균열간극이 가장 큰 Thick2 모델에서 간극이 가장 작은 Thin2 모델까지 다섯 가지 모델의 유선분포를 도시한 것이다 . 각 유동방향 조건에 대하 여 균열간극의 변화가 발생되었으나 기본적인 유로의 구조적 인 특성은 거의 유사함을 알 수 있다. 이는 일반적인 배관유 동이 동일한 종류의 배관에 대하여 ‘마찰계수 레이놀즈 수 ’(f·Re) 관계가 유사성을 가지듯이, 다공질 유동에서도 유사 성을 유지하는 특성변수, 또는 특성변수 상관관계가 존재할 가능성을 제시하는 것으로 생각된다 . 반면에 균열간극의 차이 에 따라 , 구형 지지체 입자 위, 아래의 공극유로 공간이 약간 증가, 감소됨에 따라 유동이 입자를 미세하나마 약간씩 더 덮 거나 덜 덮는 현상이 있음도 관찰할 수 있다 .

이는 공극유로 단면 형상에 미세한 차이가 발생할 수 있음

을 의미하는 것으로, 이에 따른 특성변수 유사성의 영향과 수

력직경의 변화를 가늠할 수 있다 . 이러한 유동단면적 변화에

대한 추가적인 검토를 위해 , Fig. 6와 7에 각 유동의 출구단면

에서의 속도분포를 도시하였다 . 여기서, 각 단면의 색상은 유

속에 따라 다르게 도시되었다 . 두 그림에서 우선, 각 유동방 향에 대한 유속분포 단면은 균열간극의 변화가 크지 않은 경 우에 거의 유사하게 유지되고 있음을 확인할 수 있다 . 그러나 Thick2 모델과 Thin2 모델과 같이 균열간극 차이가 확대되는

경우에 , 유속과 유로 단면적 변화가 증가되는 것이 관찰되며, 특히 유로 (유속)단면의 종횡비가 다소 변화되는 경향을 관찰 할 수 있다 . 유속과 유로 단면적 변화는 공극률 변화에 따라 당연한 결과로 수력직경의 계산에서 적절히 반영될 수 있을 (A) Thick2 model (B) Thick model (C) Base model (D) Thin model (E) Thin2 model

Fig. 6 Flow velocity distributions at outlet section(Y-Z section) in +X directional flow conditions

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Fig. 7 Flow velocity distributions at outlet section (X-Z section) in +Y directional flow conditions;

(A) Thick2 model, (B) Thick model, (C) Base model, (D) Thin model, (E) Thin2 model

것으로 생각된다 . 그러나 종횡비와 같은 단면의 형상적 변화 는 각 모델들 간의 유동손실 특성 , 즉 f·Re 값 또는 유동손실 특성변수에 다소의 영향을 줄 수 있을 것으로 생각된다 .

이러한 현상을 직접적으로 확인할 수 있는 방법은 현재 존 재하지 않아 , 일반적인 배관유동에서의 특성변화를 참고하여 간접적인 검토를 시도하였다 . 일반적인 배관유동의 f·Re 변화 특성을 참고하여 보면 , 사각형 단면은 종횡비 1(f·Re : 56.9) 에서 0.75(f·Re : 57.9)까지의 f·Re 변화는 약 1.5% 수준을 보 이고, 정삼각형(f·Re : 51.1)과 직각삼각형(f·Re : 48) 간의 f·Re 차이는 약 6% 수준을 보인다[6]. 따라서 본 해석대상 모델들 과 같이 비교적 작은 균열간극 차이와 이에 따른 미소한 종 횡비 변화가 발생되는 경우에 , 각 모델들간의 f·Re 차이는 충 분히 작을 것으로 판단된다 . 여기서, 상대적으로 유로구조가 복잡한 +X 방향 유동조건에서 유속은 물론 단면의 형상적 변 화도 상대적으로 크게 나타나는 것도 특징적이다 .

종합하면, 균열간극과 같은 기하학적 제원의 변화에 대하 여 다공질 유동의 속도와 단면적은 다소의 변화를 보이는 반 면 , 유로의 형태나 구조는 단면 형상의 미소한 차이를 제외하 고는 거의 유사하게 유지됨을 관찰할 수 있다 . 아울러, 각 매 질의 공극유로 형태나 구조에 따라 특성변수 변화 정도에도 상대적 차이가 있음을 관찰하였고 , 이들은 각 다공질 유동 특 성변수의 변화량과 상관될 수 있을 것으로 추정되었다 .

3. 다공질 유동 특성변수 검토

앞 장의 검토 결과를 종합하면, 동일한 종류(암상)의 다공 성 매질이 기하학적 제원 변화를 동반하는 경우, 유로 구조와 형태의 유사성과 상관되는 어떤 특성변수가 존재할 수 있다 는 추정을 가능하게 한다 . 본 장에서는 이와 같은 추정의 성 립여부를 검토하고 다공질 유동손실 특성에 대한 정량적 검 토를 시행하였다 . 각 균열모델의 주요 기하학적 변수와 유동 변수를 종합하고 , 수력직경과 마찰계수 및 레이놀즈 수 등의 특성변수를 산출하여 Table 1에 제시하였다. Table 1의 (a)는 +X 방향 유동, (b)는 -X 방향 유동 및 (c)는 +Y 방향 유동해 석의 결과를 종합한 도표이다 . 여기서, 각 표의 벽면전단응력 (  _ )과 유속 및 압력강하는 앞 장에서 수행된 DNS 해석결과 를 바탕으로 산출된 것이다 .

다공성 매질의 수력직경 정의는 매질의 기하학적 조건 (공 극률과 비표면적 )을 바탕으로 식 (1)과 같이 정의될 수 있다 [5]. Kozeny는 식 (1)을 바탕으로 매질입자의 평균직경과 형상 계수를 도입하여 식 (2)의 정의를 제시하였고, 이는 현재까지 가장 일반적인 수력직경 정의로 사용되고 있다 [5,7]. 따라서 다공질 유동의 레이놀즈 수는 Kozeny의 수력직경 정의(식 (1)

또는 (2))를 도입하여 식 (3)을 통해 산정될 수 있다.



_{ }



∅  ∵∅   



   



    

 and 

   

(1)



_{ }



∅   

  

 



(2)

 

  

 

(3)

다음으로 , 다공성 매질의 마찰계수를 정의하고자 일반적인 내부 마찰유동 해석에 사용되는 식 (4)의 Darcy 마찰계수[6]

정의를 도입하였다 . 식 (4)를 다공질 유동에 대하여 적용하면, 식 (5)의 다공질 유동의 마찰계수 관계식을 얻을 수 있다. 여 기서, 공극유로의 압력구배항은 Kozeny가 비틀림도의 개념을 부가한 형태를 역시 준용하였고 , 다공성 매질의 평균유속(u) 과 다공질 유로의 평균유속 (v)의 상관관계는 Carman의 평균유 속 관계식 , 식 (6)을 도입하였다[7]. 식 (6)에서, 비틀림도(T)는 공극유로의 우회정도를 정량화한 개념으로 Kozeny가 최초로 제안한 정의를 도입하였다[7].

 

 

 

   ^ 

 

 

 

 ⁽⁴⁾



   ^ 

 

 

∆ 

 ^{ } 



 ^ 





⁽⁵⁾

   

  ^ 



 ^{ } _{ } ^

^{  }  ^{ }

 

⁽⁶⁾

이상에서 제시된 관계식을 통하여 , 다공성 매질의 수력직

경과 이를 기반으로 다공질 마찰계수와 레이놀즈 수를 산정

할 수 있다 . 그러나 본 연구는 CFD 해석을 통해 산출된 해석

결과를 바탕으로 , 실제 다공질 유동의 수력직경을 산정하여

보고 , 이를 기반으로 한 마찰계수와 레이놀즈 수 관계를 검토

하고자 시작하였다 . 아울러 이를 통해, Kozeny 등에 의해 제

시된 수력직경 정의의 신뢰도를 검증하고 , 다공질 유동의 마

찰손실 특성변수들을 검토하고자 하였다 . 이에, 본 연구에서

는 앞 장에서 검토된 총 15개 CFD 해석모델들의 수력직경을

각각 산정하고 , 이를 Kozeny 정의와 비교하고자 앞에서 검토

된 관계식들을 다시 도입하였다 . 식 (4)에 제시된 Darcy 마찰

계수 기본 정의 (좌)와 압력구배항으로 표현된 Darcy-Weisbach

각 해석모델의 수력직경 , D

를 식 (8)을 통해서 산정할 수 있다 .

τ

  ^{ }

^{ } 

∆ 

 ^{   }

^{ } 

∆ 

 

  ⁽⁷⁾

∴ 

 τ

 ^ ∆ 



 

∅  ⁽⁸⁾

결과적으로 , Kozeny의 수력직경 정의(D

)와 DNS 해석결과 를 기반으로 도출된 실제 수력직경(D

) 및 이들에 기반한 각 유동의 마찰계수와 레이놀즈 수 등이 Table 1에 정리되어 있다. Table 1에서 우선, 두 수력직경 산정결과가 모든 유동에 있어서 상당한 차이가 있음을 알 수 있다 . 기본적으로, 매질 의 기하학적 인자만을 기준으로 산정하는 Kozeny 수력직경 정의의 경우 , 실제 유로의 형태나 유동손실 특성이 유동방향

과가 달라질 수 있음을 간과한 결과로 생각된다 . 이에 반하 여 , DNS 해석을 기반으로 산출된 D

의 경우는 유동방향의 차이에 따른 차이가 뚜렷하게 나타남을 알 수 있다 . 이때, +X, -X 로 유로의 비틀림도와 같은 구조적 특성이 거의 유사 한 경우는 유사하게 , +X와 +Y로 유로의 형태와 구조적 차이 가 분명한 경우에는 분명한 차이를 보이고 있다 . 또한, 모든 유동에서 매질의 공극률 감소에 따른 수력직경 감소도 적절 히 반영되고 있음을 확인할 수 있다 .

다음으로 , 두 가지 수력직경을 기반으로 도출된 유동 마찰 손실 특성변수에 대한 정량적 검토를 시행하였다 . Table 1에 는 각 수력직경에 대한 마찰계수와 레이놀즈 수 및 f·Re 값이 각 유동방향에 대하여 제시되어 있다 . 두 수력직경에 기반한 마찰계수와 레이놀즈 수의 변화는 각 균열간극 (공극률) 변화 에 대한 일반적인 경향을 보이고 있고 , 특이점은 발견되지 않 는다 . 그러나 f·Re 값의 경우는 각 수력직경 정의에 따라 상 당히 다른 결과를 보이고 있다 . 특징적으로, D

를 바탕으로

-X dir

  _    



 



 





 



 

(A)

55.51% 0.406 0.18341 96.025

114.865

53.80% 0.433 0.19388 112.950

51.95% 0.463 0.20680 133.460

49.98% 0.505 0.21345 159.192

48.06% 0.558 0.22914 188.916

(b) Summary of the main friction flow characteristic parameters in the -X directional flow condition

+Y dir

  _    



 



 





 



 

(A)

55.51% 0.334 0.16891 70.941

89.184

53.80% 0.349 0.17733 80.371 4.44E-05 430.816 0.250 107.516 4.03E-05 391.272 0.227 88.684

51.95% 0.365 0.18754 90.974 4.12E-05 453.149 0.232 105.088 3.81E-05 418.581 0.214 89.667

49.98% 0.397 0.18775 104.556

48.06% 0.417 0.20094 116.936

(c) Summary of the main friction flow characteristic parameters in the +Y directional flow condition

Units :  [m/s] ,   [Pa] , 

[Pa] , 

[m].



is the wall shear stress determined from the DNS simulation result.

 is the average flow velocity of the streamlines passing throughout each fracture model which is used for the tortuosity calculation (The average medium flow velocity (u) was set to 0.082 m/s at inlet for all the fracture models).

  is the pressure difference between inlet and outlet surfaces of each fracture model.

+X dir

  _    



 



 





 



 

(A)

55.51% 0.406 0.18423 96.200 4.75E-05 552.088 0.267 147.514 4.21E-05 488.912 0.237 115.685

53.80% 0.434 0.19544 113.164

51.95% 0.464 0.20683 133.713

49.98% 0.505 0.21345 159.653

48.06% 0.558 0.23313 189.448

Table 1(a) Summary of the main friction flow characteristic parameters in the +X directional flow condition

산정된 f·Re 값의 경우는 앞 장에서 검토된 것과 같이 동종매 질에 대한 유사성이 나타나는 것을 확인할 수 있다 . 다시 말 해 , DNS 해석결과의 검토에서와 같이 균열간극만이 다소 다 르고 다공성 매질 공극유로의 형태와 구조적 특징이 유사한 경우에 , D

에 기반한 f·Re 값은 각 종류의 매질에 대하여 매우 유사한 값을 유지하는 특성을 보이고 있다 . 이에 반해, Kozeny 수력직경에 기반하는 경우, 이러한 경향은 상대적으 로 작게 나타나는 차이점이 있다 .

다만 , +X와 X 방향유동의 공극률 48%인 (E) 경우에 있 어서 , f·Re 값은 다른 경우와 다소 차이를 보이고 있다. 그러 나 이는 균열간극의 변화가 일정수준 이상 진행됨에 따라 , 내 부 공극유로의 형상적 특성이 일정수준 이상 변화 (구슬 간극 효과 감쇄 등 )됨에 따른 것에 기인된 것으로 보인다. (본 해 석이 지지체가 단일 층으로 구성되어 , 간극변화의 영향이 매 우 직접적이고 크게 나타나나 , 실제 매질의 경우 지지체 분포 는 다층으로 , 이러한 영향은 상대적으로 크게 감소될 것으로 생각된다 .) +Y 방향유동의 공극률 50%인 (D) 경우에서도 다 소의 차이가 발생되고 있음을 볼 수 있다. 이는 비틀림도 계 산에 요구되는 공극유로 평균유속이 각 모델의 유선 (streamline)을 기반으로 산정되며, 유선의 해석이 각 모델의 미소 격자계의 분포특성 등에 상대적이고 , 민감한 영향을 받 는 것에서 기인된 오차인 것으로 추정된다. 이러한 부분적인 특성변화와 오차를 감안하더라고 , Table 1에 제시된 각 유동 의 f·Re 값들이 유사성을 유지하는 특성을 보이는 것은 충분 히 확인된다고 판단된다 .

4. 결 론

본 연구에서는 단순한 평판형태의 수압파쇄 균열모델을 구 성하고 균열 닫힘에 따라 기하학적 조건이 변화할 때 어떠한 유동특성의 변화를 보이는 지를 DNS 해석방법을 도입하여 검토하였다 . 다음으로, 다공성 매질의 수력직경을 각 모델에 대한 CFD 해석결과를 바탕으로 산정하고, 이를 현재 다공질 유동해석 분야에서 널리 사용되고 있는 Kozeny 수력직경 정 의를 통한 산출결과와 비교 , 검토하였다. 더불어, 각 수력직경 정의를 기반으로 각각의 마찰유동 특성변수를 산출하여 각 특성변수들의 변화양상에 대한 검토를 시행하였다 .

결과적으로 , 기존 Kozeny 정의를 기반으로 산출된 다공질 수력직경은 본 연구의 CFD 해석을 통해 산출된 수력직경과

상당한 차이를 보이고 있음을 확인하였다 . 또한, CFD 해석결 과를 바탕으로 산출된 수력직경에 기반하는 경우 , 유사한 종 류의 매질에 대한 f·Re 값은 일반적인 내부마찰유동의 경우와 동일하게 유사성을 유지하는 특성을 보임을 확인하였다 . 반 면 , Kozeny 수력직경을 기반으로 산출된 f·Re 값은 이러한 경 향을 크게 나타나지 않았다 . 결론적으로, 다공질 유동특성 규 명에 있어서 엄밀한 수력직경의 정의는 필수적이고 매우 중 요하며 , 마찰계수와 같은 핵심적인 마찰유동 특성변수 결정에 도 상당한 영향을 미치므로 , 각 매질의 마찰손실 특성을 적절 히 반영할 수 있는 개정의의 도출이 필요함을 확인하였다 .

후 기

본 연구는 2013년도 산업통상자원부의 재원으로 한국에너 지기술평가원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 연구과제입니다 (No. 20132510100060).

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