A Case Study on the Mentorship Mathematics Education for the Gifted with Construction Based on the Aesthetic Experiences. - Focused on Waldorf Education -

Volume 16, Number 3, 621-636, September 2013

미적 체험을 강조한 수학 영재교육 프로그램 개발 연구 - 발도르프교육의 작도교육의 활용 -

조영미

․정연준

최근 수학의 정의적 영역의 중요도가 더욱 커지고 있지만, 정의적 영역과 관련되어 있는 수학의 심미적 가치는 거의 주목받지 못하고 있다. 이 논문에서는 초등교육에서 아이들의 감 성의 발달과 예술성에 바탕을 둔 발도르프교육에서 활성화된 작도 프로그램을 활용하여 심 미적 측면이 강조된 영재 사사교육을 실행하고 그 결과를 제시하였다. 특히 이 수업에서는 특별히 ‘심미적 안목’, ‘통합적 안목’, ‘실질적 기능’의 함양에 목적을 두었다. 이를 위해 작도 를 통하여 기하학적 구조가 지닌 특성을 심미적 체험이 활성화될 수 있는 방식으로 탐색할 수 있도록 하였다. 전체 프로그램 중에서 이슬람 문양과 관련하여 학생들이 협력하여 만든 공동의 주요 산출물을 제시하였다.

주요용어 : 발도르프교육, 사사교육, 수학, 작도, 통합적 안목, 심미적 안목, 실질적 기능

I. 들어가며

일반적으로 수학이 지닌 가치를 실용적 가치, 도야적 가치, 심미적 가치, 문화적 가치로 구분하고 있으며, 다음 인용문에서 보듯이, 우리나라 교육과정에서도 이러한 구분 아래 수학 의 심미적 가치를 받아들이고 있다. 그런데 특별히 심미적 가치는 인식하기 어렵다는 언급 을 하고 있다.

수학의 아름다움에는 대칭성을 갖는 도형의 배열과 같이 외형적으로 드러난 외재적인 아름다움과 수학 언어의 명확성과 간결성, 수학 증명의 엄밀한 방법을 통해 느낄 수 있 는 내재적인 아름다움이 있다. 수학의 심미적 가치를 인식하기는 어렵지만 우주와 자연 의 조화로운 질서를 밝혀내는 수학적 개념과 이론들은 그 자체로 아름다운 것으로 많은 수학자들은 수학에서 볼 수 있는 추상화된 아이디어들의 아름다움을 강조하고 있다(교 육과학기술부, 2009: 20-21).

게다가 심미적 측면에 대한 다른 언급은 이후 교육과정 내용에서 거의 발견되지 않는다.

이러한 상황은 수학의 심미적 가치에 대한 논의와 인식이 수학교육학계에서 매우 부족하다

2) 충남대학교 ([email protected]) 교신저자

는 것을 시사한다. 우리나라의 초등학생들과 초등교사를 대상으로 하여 수학이 지닌 가치와 관련한 인식을 조사한 연구 결과들에 의하면 수학에 대한 미적인 가치에 대한 인식이 가장 약한 것으로 확인되고 있다(김상화․방정숙, 2007; 방정숙 외 2011).

PISA와 같은 국제학업성취도 평가에서 학생들의 수학 영역의 학업 성취도는 매우 높지 만, 수학에 대한 흥미, 자신감, 가치 인식 등과 같은 수학의 정의적 영역에서의 점수가 매우 낮다는 점이 확인되고 있다(김경희 외, 2010). 이와 관련하여 수학교육에서 정의적 측면의 지도가 보다 강조되고 여러 연구가 진행되고 있다.

수학이 지닌 아름다움 혹은 심미적 가치를 학생들이 느낄 수 있다면, 정의적 영역의 성취 도 보다 높아질 수 있을 것으로 보인다. 수학의 심미적 측면에 대한 연구가 심화된다면, 수 학의 미적 측면이 반영된 수업이 가능할 것으로 보인다. 그러나 현재 수학의 미적 측면에 대한 연구는 매우 초보적인 수준에 머물러 있다. 수학과 심미성의 관련성에 관한 이론적 논 의도 적을 뿐만 아니라, 심미성을 구체적으로 드러내고자 한 프로그램도 전부한 편이다.

그러한 문제의식 아래, 본 논문에서는 초등 수학 수준에서 학생들이 실제로 미적 체험을 할 수 있는 영재교육 프로그램의 한 사례를 제시하고 이를 계기로 수학교육에서 심미성에 관한 논의가 앞으로 좀더 활발해지기를 의도하였다.

미적 체험을 할 수 있는 수학 영재 프로그램을 개발하기 위해 발도르프교육의 기하 교육 프로그램을 참조하였다. 자유 발도르프교육은 1919년 독일 슈트트가르트에 처음 세워졌으며, 슈타이너(1861-1925)의 사상에 기반을 두고 있다. 자유 발도르프교육은 개혁적인 학교 모델 로 여겨지고 있으며, 최근 우리나라에서는 강원도의 공현진초등학교가 공립발도르프교육을 도입한 교육과정을 운영하는 등 공교육에서도 발도르프교육에 대한 관심이 높아지고 있으 며, 공교육 밖의 대안학교에서는 상당수가 발도르프교육을 적극 수용하고 있는 상황이다.

발도르프교육의 초등교육에서는 ‘리듬체계’, ‘감성’의 교육에 주안점을 둔 예술로서의 교육 을 강조한다. 따라서 지력을 키우는 것도 예술적인 방법으로 이루어져야 한다(정윤경, 2005).

발도르프교육의 기하교육에서 작도 지도는 단순히 선으로 이루어진 도형들을 작도하는 것에 서 머무르지 않고, 여러 도형들을 중첩하여 작도하여 나타난 복잡한 구조들을 풍성하게 탐 구하도록 한다.

이러한 지도 내용이 지닌 수학의 심미적 특성을 적극 활용하여, 수학 영재교육에서 미적 체험을 할 수 있는 프로그램을 개발하였다. 교육이론의 발달은 많은 사례들의 누적을 바탕 으로 이루어질 수 있을 것이다. 이 논문에서 제시한 사례가 수학교육에서 미적 체험에 관한 논의의 한 계기가 되길 바란다.

Ⅱ. 이론적 배경 1. 미적 체험의 의미와 특성

미학은 인간의 미적 이해에 대한 반성을 영역으로 하는 학문이라 할 수 있다. 미학의 역

사는 미적인 것은 인간에게 독립되어 있는 객관적인 성질로 간주하는 것에서, 미적인 체험

을 하는 인간의 주관적인 가치 판단이라는 관점으로, 곧 미에 대한 객관적 관점에서 주관적

관점으로의 전환의 역사라고 설명할 수 있다(Tatarkiewicz, 1993; 오병남, 2004). 서양 근대

미학은 18세기부터 독립된 분과 학문 영역을 구축하기 시작하였으며 동시에 주관화의 경향 을 보이기 시작하였다. 미가 객관적 대상이 지닌 성질이 아니라 우리 마음에 의해 구성된다 는 생각이 활성화된다. 미에 대한 논의에서 외부의 대상적 측면보다 우리의 체험적 측면이 중요시되는 것이다.

이러한 측면에서 비추어 보면, ‘수학적 개념과 이론들은 우주와 자연의 아름다운 조화를 밝혀내는 것이며 그렇기에 아름답다’는 교육과정에 제시된 수학의 아름다움에 대한 관점은 고전적인 관점에 기반하고 있다고 할 수 있다. 아름다움에 대한 체험의 과정은 드러나지 않 은 채, 수학적 개념과 이론의 아름다움을 독립적인 존재, 우주와 자연의 조화에 빌어서 설명 하고 있는 것이다. 실제로 고대 그리스 시대 이래로 18세기에 이르기까지 미적인 인식은, 부 분들 사이의 비례가 조화로운 관계를 인식하는 것으로 간주되어 왔다(Tatarkiewicz, 1993;

오병남, 2004). 곧 비례적 관계에서 아름다움이 느껴진다는 것이다. 그러나 ‘아름다움 때문에 즐거움이 생기는 것이 아니라 즐거움이 생겨나기에 아름답게 보이는 것은 아닌가’ 하는 관 점들이 강하게 부각되면서, 18세기 이후 주관적인 체험의 과정이 강조된다. 이에 따라서 미 적 대상에 대한 논의보다는 미적 체험이 보다 중요한 논의 대상이 된다.

삶의 각 순간들을 보면, 우리는 이지적 태도, 실질적 태도, 미적 태도, 종교적 태도 등 여 러 가지 태도를 가지고 행동한다(백기수, 1993). 예를 들어, 계곡의 맑은 시냇물을 본다고 할 때 과학자라면 수원지, 수량과 물의 수질 등에 대해서 이지적 태도를 가지고 탐구할 것이며, 등산가나 나무꾼은 갈증 해소라는 목적을 동반한 실제적 태도로서 시냇물을 대할 것이고, 종교적 태도를 지닐 때에는 조물주의 위대함과 신비로움에 쌓여 신의 존재를 인식하게 될 것이다.

그러한 여러 가지 태도 중에서, 다른 관심과 욕망을 떠나서 계곡과 시냇물이 가진 특성을 체험하려고 할 때, 우리는 미적 태도로서 계곡과 시냇물을 대하고 있다고 할 수 있다. 관심 과 욕망을 떠나 자유롭고 공감적인 관조적 태도를 가질 때 아름다운 것이 아름다운 것으로 향유되게 된다. 체험에는 이러한 태도가 중요하다. 곧 미적 체험에는 미적 태도가 필요하다.

‘미적’에 해당하는 영어 단어 ‘aesthetic’은 그리스어 ‘aisthesis에 그 뿌리를 두고 있다.

aisthesis라는 말은 감성적 지각 혹은 감성적 인식이라는 의미를 지닌다. 그러나 오감을 통 해서 얻게 된 체험을 모두 미적 체험이라고 볼 수는 없다. 오감을 통해서 얻게 된 체험이 미적 체험이 되기 위해서는 일정한 미적 태도가 전제되어야 한다(백기수, 1993).

여기에서 미적 태도는 우리의 이해나 목적을 투사하지 않고 자유롭게, 대상이 지니고 있 는 그 자체의 구조나 목적에 맞추어 섬세하게 그 대상을 대하는 공감적 태도라고 할 수 있 다. 우리를 앞세우는 것이 아니라 대상 자체에 우리를 맞춘다는 것이 순응적이고 수동적 태 도를 지녀야 한다는 것을 의미하지 않는다. 무엇보다 우리의 목적과 이해를 대상에 투사하 는 것을 지양하는 자유로운 태도를 유지해야 한다. 또한 대상 자체에 맞추려면 대상 자체의 모든 부분들을 지각할 수 있도록 예민해야 하며 그리고 그러한 부분들이 어떻게 연관되어 전체로서의 한 대상을 이루어내는지를 밝힐 수 있도록 정확해야 한다(김진엽, 2001).

이러한 태도로 대상을 바라볼 때 반드시 미적 체험이 생기는 것은 아니다. 하나의 연속적

인 완결된 미적인 체험이 되려면 부분들이 모여서 하나의 전체를 이루는 통일성과, 하나의

통일성 아래에서 부분들이 고유한 정체성을 유지하는 다양성을 지니고 있어야 한다. 예컨대,

대상 자체가 분열되어 있거나 획일화되어 있거나 하는 등의 경우에는 미적 태도로 바라본다

고 해도 미적 체험이 일어나기 힘들 것이다. 통일성, 다양성을 지닌 대상일수록 통일성, 다

양성을 갖춘 미적 체험을 산출하기 쉬울 것이다(김진엽, 2001).

이상의 논의에 비추어 보면, 기하 작도에서 수학의 심미성 체험이 가능하려면 작도 대상 이 되는 기하적 구조가 통일성과 다양성을 지니고 있어야 하며, 학습자가 통일성과 다양성 을 지닌 기하적 구조를 자유롭게 어떤 대상이 지니고 있는 그 자체의 구조나 목적에 맞추어 섬세하게 그 대상을 대하는 공감적 태도를 지니고 탐색할 때 가능하다고 할 수 있다.

2. 자유 발도르프교육의 기하 작도 지도

발도르프교육에서 궁극적으로 추구하는 바는, 한 인간의 전체적인 성장을 두고 신체, 영 혼, 정신이 통합적인 존재로 성장하도록 돕는 것이다. 이를 놓고 발도르프교육은 인간의 본 성, 또는 아동의 본성에 기반을 둘 것을 역설한다. 애벌레가 형태를 완전히 바꾸면서 나비가 되는 것을 완전변태라고 한다. 그에 대해 인간은, 외양이 나비만큼 변하지 않지만, 내적인 형태가 바뀌면서, 나이에 따라 시기별 일정한 고유한 특징들을 갖게 된다. 그 고유한 특징을 제대로 알고 그에 기반하여 교육을 한다. 그러한 맥락에서 발도르프교육의 초등교육에서는

‘리듬체계’, ‘감성’의 교육에 주안점을 둔 예술로서의 교육을 강조한다. 따라서 지력을 키우고 자 하는 것도 예술적인 방법으로 이루어져야 한다(정윤경, 2005).

발도르프교육에서 수학교육의 목적은 자연과 우주의 질서와 법칙을 발견하는 과정에서 세 상과 인간과의 관계를 이해하는 지혜가 생기도록 돕는 일이다. 초등 수학교육 역시 그러한 대전제 아래에서 이루어진다(윤선영, 2007). 초등교육에서는 수학의 추상화된 문자들이 자연 속의 사물이나 인간의 삶과 어떻게 관계를 맺고 있는지를 인식하도록 하는데 중점을 두고 있다. 또한 주변 세계와의 관계 인식을 통해 통찰력과 함께 윤리적인 책임감을 지니도록 교 육하고자 한다.

발도르프교육에서는 아이들이 4, 5학년에서 자와 컴퍼스를 이용하여 아름다운 기하학적 형태들을 그릴 수 있도록 하며 6학년에서는 좀더 심도 있는 기하학 구성을 하도록 한다. 발 도르프교육에서 6학년부터 8학년까지의 기하학 내용 중 작도와 관련되어 있는 내용들이 다 음과 같다(York, 2006).

학년 기하학 중 작도와 관련된 내용

6학년 작도의 기본 배우기, 정다각형 작도, 나선 작도

7학년 합동인 삼각형 작도하기, 유클리드식 작도 배우기, 작도의 다양한 유형 배우기, 정오각형과 황금비,

8학년 자취(동적 기하학), 동적인 포물선, 동적인 타원, 동적인 쌍곡선

<표 1> 발도르프 교육과정의 기하학 중 작도와 관련된 내용

발도르프교육이 상상력을 키우는데 역점을 두고 있다며, 특히 기하학과 상상력은 관련이

깊다. 기존의 학교 교육에서 다루지 않은 중요한 기하교육 영역이 있으며, 그것을 특히 ‘순

수기하(pure geometry)'라고 명명한다. 이 순수기하는 한마디로 형태에 관한 공부라고 할

수 있다. 발도르프교육 내용 중에서 이에 속하는 것으로는, 형태 그리기(form drawing, 1-5

학년), 오이리트미(eurythmy, 유치원-12학년), 진흙 공예(clay modeling, 유치원 이상), 작도

(6, 7학년), 구적법(stereometry, 8학년), 자취(8학년), 화법기하학(descriptive geometry, 9학

[그림 1] 발도르프교육의 기하 그림 년), 사영기하학(11학년) 등을 들 수 있다. 이 기

하학의 상상력은 ’정확한 상상력‘으로, 학생 자신 의 머릿속에 있는 뭔가를 완전히 정확하게 그려 내도록 하는 것이다(York, 2006).

일반적으로 기하학이라고 하면 간단한 선으로 이루어진 여러 도형들이 지니고 있는 추상적인 성질을 이용하여 복잡한 계산을 하고 연역적인 증명을 하는 것에 익숙해져 있다. 그러나 발도르

프교육에서는 기하학이 다른 의미를 갖는다. 기하학은 그것으로부터 뭔가를 ‘증명’할 수 있 기 훨씬 이전에 ‘체험’될 수 있는 것이다. 예컨대 정16각형을 작도해서 각 꼭짓점을 다른 모 든 꼭짓점과 연결하면 어떤 일이 일어날까? 하나의 원주 위에 반지름을 여섯 번 전사하고 그 여섯 교차점을 중심으로 같은 반지름의 원을 그린다면 무엇이 만들어질까? 아니면 같은 원칙으로 12개나 그 이상의 원을 작도한다면? ‘회전하는’ 반원 체계를 큰 원 안에 중심점을 달리해서 그려 넣으면 어떤 형태가 생겨나는가? 그런 식으로 기하학을 체험과 연관시키게 되면, 기하학은 거의 무한히 풍부한 ‘형태’의 세계로 가는 탐험여행이 될 것이다(칼그렌, 2002). 곧 예술적인 형태들의 세계를 탐험하는 여행인 것이다.

3. 영재교육 프로그램의 개발 방향

이 논문에서는 작도를 다룸에 있어, 발도르프교육의 아이디어를 적용하여 수학의 심미적 측면을 체험할 수 있도록 하고자 하였다. 아이들이 기하 작도를 통하여 기하적 구조가 지닌 통일성과 다양성 혹은 규칙성을 주의 깊게 경험하는 수업을 시도하였다.

수학영재교육을 받는 아이들이 대부분이 인지적인 측면이 강조된 교육을 줄곧 받아 오고 있다고 말해도 무방할 것이다. 기존의 인지 영역 중심의 수학영재교육 방식에서 벗어나 수 학의 심미적 가치가 좀더 강조된 수학영재교육 프로그램의 가능성을 알아보고자 하였다.

수학 교과에서 다루어지는 내용을 일별해 보았을 때, 위의 취지를 살리기에 적절하다고 여겨진 것이 이 연구의 주 소재인 ‘원’과 ‘작도’이다. 일단 원은 초등학교 1학년, 3학년, 6학 년에 걸쳐 지도된다. 한 개념이 이렇게 3개 학년에 걸쳐 지도되는 경우는 매우 드물다. 그만 큼 원와 관련하여 다룰 수 있는 내용과 그 수준의 폭이 매우 넓다. 원과 작도를 주된 소재 로 하여 개발하고자 하는 프로그램의 방향은 대략 다음과 같았다.

첫째, 원이 자연과 종교 영역에서 사용되는 여러 사례를 살펴봄으로써, 원의 단순함이 빚 어내는 기하학적 도형들이 얼마나 다양하며 심오한지를 통해 직접 체험해 보고자 한다.

둘째, 많은 저서에서 대칭이 낳는 아름다움을 다루고 있는데, 원은 대칭도형의 대표적인 예이다. 그 원을 활용한 작도를 통하여 여러 가지 규칙을 반복적으로 적용하여 여러 기하학 적 문양들을 만들어봄으로써 심미 체험을 하게 한다.

셋째, 일찍이 페스탈로치는 3H라고 하여, hands(손), head(머리), heart(마음)의 조화를 강 조하였다. 초등 시기의 아이들은 그 중에서 손의 발달을 꾀해야 한다. 이 프로그램에서는 무 엇보다도 아이들이 직접 자신의 손을 사용하여 뭔가를 만들어내도록 하였다. 수학적인 수작 업이 가져다주는 기쁨과 자신이 만든 수학 작품의 소중함을 느낄 수 있도록 한다.

‘도형을 그릴 때 컴퓨터를 사용하면 우리는 뭔가를 잃어버리게 된다. 기계를 사용하여 아

무리 매력적으로 그리더라도 거기에는 ‘마음'이 빠져 있다. 미묘한 차이이긴 하지만, 컴퓨터 를 사용하게 되면 진정한 참여자가 되기보다는 관찰자가 되어 버린다. 산출물도 중요하지만 그에 못지않게 산출물을 만들어가는 과정도 중요하다. 손으로 직접 도형을 그림으로써 일종 의 명상이 일어날 수 있고 매우 창조적인 활동들이 활성화될 수 있다’(Allen, 2007).

Ⅲ. 수학 영재교육 프로그램 운영의 개요 1. 연구 대상자

본 연구에서 수행한 사사교육은 각 지역교육청 영재교육원에 소속된 아이들 중에서 추천 과 관찰평가를 통해 선발된 아이들을 대상으로 이루어졌다. 이들은 초등학교 6학년이었으며, 남학생 3명, 여학생 1명으로 모두 4명이었다. 아이들은 사사교육에 대해서 대략 ‘교수와 함 께 공부하는 과정’ 정도로 인식하고 있었다. 이 연구에서는 개별아이들의 변화나 성취보다는 협력활동 속에서 아이들이 만들어낸 전체적인 산출물에 주목하고자 하였다.

2. 연구절차

사사교육의 전 과정은 다음 <표 2>와 같았다. 사사교육은, 처음부터 완벽하게 구조화된 교수학습 지도안이 마련되어 그에 따라 진행하기 보다는, 주제를 함께 탐구해가면서 소주제 들을 만들어가는 교육이라고 볼 수 있다. 일종의 학문 연구 과정의 축소판이라고 볼 수 있 다. 연구자는 선행연구고찰에 해당하는 ‘관련 문헌 강독’을 초기에 강조하였다. 작도를 주제 로 잡은 후 아이들과 함께 관련된 문헌을 강독하였다. 특히 ‘원’에 관한 책을 다수 아이들과 읽었다. 그런 과정을 거쳐 소주제들을 추출하고 각 소주제별로 탐구를 진행하였다.

사사교육 팀 결성(2010. 5) ⇨ 주제 논의 및 선정 ⇨ 관련 문헌 수집 ⇨ 관련 문헌 강독(2010. 7) ⇨ 소주제들을 추출(생활과 원, 자연과 원, 종교와 원) ⇨ 소주제 ‘생활과 원’에 대해 조사 또는 탐구활 동 수행 ⇨ 과제 부과 ⇨ 소주제 ‘자연과 원’에 대해 조사 또는 탐구활동 수행 ⇨ 과제 부과 ⇨ 소 주제 ‘종교와 원’에 대해 조사 또는 탐구활동 수행 ⇨ 과제 부과 ⇨ 종합과 논의 ⇨ 보고서 작성 (2010. 11.)

<표 2> 사사교육 운영의 전체 과정

3. 프로그램 세부 내용

72차시의 사사교육을 진행한 후에 얻은 결과 중에서 본 논문에서 주목하고 있는 ‘심미 체 험’과 관련이 깊은 활동은 ‘정다각형 작도와 꽃’, ‘작도를 활용하여 종교 문양 그리기’였다.

따라서 이하에서는 두 활동을 중심으로 주요 특징과 학생들의 산출물을 제시하였다.

제목 주요 특징 자연과 원a. 정다각형 작도와 꽃 - 정삼각형부터 정십삼각형까지 작도로 그려보기

- 작도된 정다각형별로 꽃을 만들어 그 꽃에 해당하는 실제 꽃을 찾아보기 - 정다각형과 꽃 사이의 관계 알아보기

b.

종교와 원 작도를 활용하여 종교 문양 그리기

- 이슬람에 대해 알아보기

- 이슬람 문양 그리는 방법 알아보기 - 이슬람 문양 그리기

<표 3> 사사교육 프로그램의 주요 내용

Ⅳ. 사사교육 프로그램의 활동별 주요 특징 및 산출물 1. 정다각형 작도와 꽃

고전적 작도 문제 중에서 가장 유명한 것은 정다각형의 작도 문제일 것이다. 정다각형의 작도는 주어진 원주를 일정한 길이로 n등분하는 것이고, 이는 변의 길이 n에 대해 한 변의 길이를 작도하는 것과 같다. 고대 그리스의 유클리드 원론에는 정3각형, 정4각형, 정5각형, 정6각형, 정15각형의 작도법이 다루어지고 있을 정도였다.

관련 책자나 자료를 찾고자 하면 쉽게 접근할 수 있을 정도로 정다각형의 작도법은 널리 알려져 있으며, 초등수학 영재 프로그램에서도 종종 다루어지는 소재이기도 하다. 그런데 그 프로그램들을 보면, 작도법 그 자체나, 작도 가능성과 불가능성에 초점을 두는 경우가 대부 분이며(김상훈, 2007 ; 강정수, 2011 ; 임영빈 외, 2011), 이 프로그램과 같이 심미성과 연결 시킨 경우는 거의 없다.

정다각형을 그리려면 먼저 원을 그린다. 이 원 위에서 자와 컴퍼스로 적절히 분할하고 연 결함으로써 최종적으로 정다각형이 드러난다. 원이 정다각형을 만들어낸다고 하여, 알베르티 는 ‘원은 도형의 어머니’라고 표현하기까지 하였다(노성두, 2004).

원의 중심과 정다각형의 각 꼭짓점을 연결하여 꽃잎 모양을 만들 수 있다. 그 작업을 정 삼각형에서 하면 꽃의 잎이 세 장인 꽃이 되며, 정십삼각형에서 동일한 작업을 하면 꽃의 잎이 열세 장인 꽃이 된다. 원에서 출발하여 만들어진 정다각형으로부터 아름다운 꽃이 피 어난다. 자연 속 꽃의 대칭성이 지닌 아름다움을 정다각형의 작도와 관련짓고, 이를 통하여 자연의 아름다움을 작도와 연결 짓는 활동으로 연결하고자 하였다.

1) 정삼각형에서 정십삼각형까지의 작도법 알아보기

알렌은 오랫동안 발도르프수학교육에서 작도교육을 진행해 온 경험을 모아 『Drawing

Geometry』(2007)이라는 책을 펴냈다. 그 책에서 원이 주어지고 그 원 안에 정다각형을 작

도하는 방법과, 한 변이 주어진 정다각형을 작도하는 방법을 모두 제시하고 있다. 아이들은

이 책을 교재로 삼아 직접 정삼각형부터 정십삼각형까지 작도하였다. 아이들은 변의 수가

점점 많아질수록 작도법에 더욱 흥미를 느꼈으며, 정구각형과 같이 변의 수가 많으면서 어 려운 정다각형을 작도한 후에는 스스로 만족해하는 모습을 보였다.

[그림 2] 아이들이 작도한 정다각형 (정삼각형부터 정십삼각형까지)

작도 방법은 크게 네 가지로 구분할 수 있다(York, 2006). 첫째, 눈금 없는 자와 컴퍼스로 하는 유클리드식 작도로, 이는 우리가 정사각형을 작도법에 따라 작도를 하더라도 그 그림 은 완벽한 것이 아니며, 완벽한 그림은 우리 마음속에서 상상할 수 있을 뿐이라는 것을 아 는 것이다. 둘째, 측정 활동을 통한 작도로, 이는 각도기나 삼각자, 눈금 있는 자를 사용하여 작도를 하는 것이다. 셋째, 예상과 확인 방법으로 작도를 할 수 있는데, 예를 들어, 길이가 얼마나 되는지를 추측하기 위해 컴퍼스를 사용하며, 결과적으로 그린 그림에 오차가 얼마나 있는지를 살펴보고 컴퍼스로 재조정하여 다시 그리는 방식이다. 이는 이론적인 완벽함은 부 족하지만 실질적인 면에서 우리가 원하는 그림을 얻을 수 있다. 넷째, 근사적 작도 방법이 있다. 이는 앞서 언급한 유클리드식 작도로는 불가능하다고 여겨진 도형들을 근사적으로 작 도하는 것이다.

정삼각형에서 정십삼각형 중에서 완벽하게 작도가 가능한 정다각형은 변이 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13인 경우이다. 반대로, 변이 7, 9, 11인 경우에는 근사치로 작도한 것으로, 이는 앞 서 분류한 작도 방법 중에서 ‘근사적 작도방법’을 사용한 것으로 볼 수 있다.

2) 정다각형 안에 꽃 그리기

아이들은 먼저 교재를 참조하여 각각의 정다각형을 작도하였다. 모두 작도하고 나서 수채

화 색연필로 그림 안에 색칠을 하여 꽃잎 모양을 표현해 보도록 하였다. 아이들은 꽃의 잎

모양이 세 장부터 열세 장까지로 갈라진 꽃들을 그렸다.

[그림 3] 정다각형 안에 꽃 그리기

3) 각 정다각형별로 실제 꽃을 찾아보기

정삼각형부터 정십삼각형까지에 해당하는 각 정다각형별로 그 만큼의 꽃의 잎 모양을 가 지고 있는 꽃들을 식물도감

에서 찾아보았다. 그 결과, 정오각형에 해당하는, 꽃의 잎이 5갈 래로 갈라진 꽃이 가장 많았으며, 반대로 정십일각형

에 해당하는 꽃의 잎을 가진 꽃을 찾 을 수 없었다.

정다각형 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 찾은 꽃의 수 5 아이들이 9 21 12 4 5 3 4 0 1 4

<표 4> 정다각형별로 아이들이 찾은 꽃의 수의 분포

정오각형 이질풀 양지꽃 앵초 꽃마리

<그림 > 정오각형과 그에 해당하는 꽃

2. 작도를 활용하여 종교 문양 그리기

기하학은 네 가지 측면을 가지고 있다. 첫째, 기하학은 절대 존재, 즉 불변하는 신의 마음 에 근원을 두고 있다. 둘째, 기하학은 계시를 드러내는 것으로, 철학적이면서 또한 실제적인 표현이다. 셋째, 기하학은 배우는 자의 영혼이 발전할 수 있도록 돕는 교육소재가 될 수 있

4) 수비학에서는 11을 악마, 파괴의 수로 보기도 한다.

[그림 6] 기리타일

다. 넷째, 기하학은 실질적인 용도에 있어 이 세상에 쓰일 뭔가를 만드는 사람들에게 필요한 훈련이 될 수 있다. 이 중에서 첫 번째와 두 번째와 관련하여 기하학은 근본적으로 철학적 이면서 신성한 예술 또는 신성한 과학이라고 하였다(Allen, 2007).

기하학은 원래 ‘땅(geo)을 재다(measure)’라는 어원이 있는 만큼 매우 실용적인 분야이다.

건축물의 부지와 구조를 결정할 때 기하학은 분명 유용한 수단임이 분명하다. 그런데 기하 학이 신을 기쁘게 할 때 사용되면 신성한 것이 될 수 있다. 예컨대 사원이 어떤 신성한 비 율에 따라 특정한 방향을 향하도록 지어지면, 그 사원은 신성하게 여겨지며 그에 동원된 기 하학도 신성을 띄게 된다(Skinner, 2008).

이번 활동에서는 종교적인 문양을 만들어봄으로써 신성한 예술로서의 기하학을 체험하고 자 하였다. 이를 위해 이슬람 문양에 대해 집중적으로 살펴보았다. 이슬람은 전세계적으로 20% 정도의 인구가 믿는 종교이며 기독교 다음으로 차지하는 비율이 높다. 종교적인 문양 으로 인간과 동물의 형상을 표현하는 것이 금지되었던 이슬람 세계에서는 신성 기하학이 발 달하였다. 예컨대 타일 패턴과 모자이크 세공, 시간을 초월한 건축물의 특징에서 신성 기하 학이 구체적으로 표현되었다(Skinner, 2008).

[그림 5] 이슬람 문양인 타일 패턴의 예

1) 이슬람 문양의 기본과 확장

이슬람 문화에서는 엄격한 일신교 체제인 종교로 인해 우상숭배가 철저히 배척되며 불가 시적인 신을 가시적으로 표현하는 것은 완전히 억제되어 왔다. 따라서 불교의 불상이나 기 독교의 십자가와 같은, 종교적인 상을 기본으로 하는 종교미술의 성격을 찾아보기 어렵다.

그러한 이유로 회화보다는 장식 문양이 발달하였으며, 구상적이고 사실적인 표현보다는 추 상적, 관념적, 이차원적 장식 표현을 선호하는 경향이 있다(유혜윤, 2003).

이슬람 문양에는 비주기적이면서 일정한 규칙이 있다. 이 문양을 만들어내는 방법 자체가 일반 연구자들의 관심의 대상이기도 하다. 2007년 ‘사이언스’ 2월

23일자에는 이슬람인들이 펜로즈보다 500년이나 앞선 15세기에 펜 로즈 타일링을 발견했다는 연구결과가 실렸다. 미국 하버드대 피 터 루 박사와 프린스턴대 슈타인하르트 박사는 별과 다각형과 여 러 선이 중첩된 이슬람 문양을 분석한 결과 그 바탕에 ‘기리 (Girih)’라 부르는 5가지 기본 타일이 있음을 밝혀낸 것이다.

한편 이슬람 문양을 만드는 방법으로 자와 컴퍼스를 이용한 방

법이 널리 알려져 있다. [그림 7]과 같이 칠원문양을 그린 후, 그

에 적절한 규칙을 적용하여 선을 분할함으로써 오른쪽과 같이 다양한 이슬람 문양을 만들 수 있다(최소영, 2009)

. 이는 자와 컴퍼스를 이용하여 이슬람 문양을 만드는 기본 방법이라 고 할 수 있다.

[그림 7] 칠원문양과 그에 근거한 이슬람 문양

다음으로, 이슬람 문양의 기본 방법을 확장한 것으로, 정사각형 기반 문양, 정육각형 기반 문양, 정팔각형 기반 문양을 들 수 있다. 예를 들어, 정팔각형 기반 문양의 한 예를 들면 다 음과 같다(최소영, 2009). 먼저 ① 원과 보조선을 그린 후 내접 사각형 안에 별모양을 그린 다. ② 별의 꼭짓점을 연장하여 사각형과 맞닿게 선을 그린다. ③ 굵은 선으로 경계를 그려 준다. ④ 보조선을 지운다.

① ② ③ ④

2) 이슬람 문양 그리기

이슬람 종교의 특징과 이슬람 문양에 대해 간략히 공부를 한 후 직접 칠원문양 6가지를 각각 그려 보았다. 다음으로 칠원문양 중에 하나를 정하여 나름대로 규칙을 정해 선을 분할 하여 문양을 만들도록 하였다. 다음은 아이들이 이슬람 문양을 직접 만든 과정과 그 산출물 이다.

5) 최소영(2009)의 석사학위논문 ‘이슬람문양기반 체험수학 소재 개발연구’에 칠원문양 6가지를 그리는 방법이 상세히 제시되어 있다.

① 칠원문양으로 격자를 그린다.

②규칙을 정해 선을 분할한 후

색칠을 한다. ③ 완성

[그림 8] 칠원문양 기반 이슬람 문양 그리기

또한 정사각형, 정육각형, 정팔각형에 기반한 이슬람 문양도 그렸다. 다음은 각각 정육각 형, 정팔각형 기반 모형을 활용하여 이슬람 문양을 그린 산출물이다.

[그림 9] 정육각형 기반 이슬람 문양 그리기

① 정팔각형문양 격자를 그린다. ② 선을 규칙적으로 그린다. ③ 완성

[그림 10] 정팔각형 기반 이슬람 문양 그리기

한편 [그림 11]은 이슬람 문양에 대하여 ‘하나의 원과 그것을 둘러싼 여섯 개의 원에서 출

발하여 정삼각형, 정사각형, 정육각형으로 중첩된 십이각형의 격자로 발전한 것이다. 여기서

핵심이 되는 것은 각 다각형의 변의 중간점이다. 이 점들이 그림 위쪽에 나타난 것처럼 특

별한 방법으로 연결되고 확장된다. 아주 단순한 하부 격자들에도 수많은 아름다운 패턴들이

[그림 11] 이슬람 전통문양

숨겨져 발견되기를 기다리고 있다’라고 하였다(Lundy, 2010). 다음은 아이들이 실제로 그린 산출물이다.

[그림 12] 학생이 직접 그린 이슬람 문양의 기초 도안(왼쪽)과 아름답게 채색한 최종 그림

Ⅴ. 나오며

초등학교 단계에서 아이들의 감성의 발달에 포커스를 두고 예술성을 모든 교육의 바탕에 두고 있는 발도르프교육은 우리 공교육이나 영재교육의 부족한 부분을 채울 수 있는 아이디 어를 많이 가지고 있다고 여겨진다. 이 논문에서는 발도르프교육에서 매우 활성화되어 있는 작도 프로그램의 아이디어를 차용하여 영재 사사교육에 적용해 보았다.

앞선 논의에 의하면 미적 체험은 통일성과 다양성을 지닌 대상을 특정한 이해 관계를 지 니지 않고 자유롭게 대상의 특성을 세밀하게 파악하고 공감하는 과정에서 가능하다. 기하적 구조를 풍성하게 탐구하고 자연 현상에서 관련된 패턴을 세밀하게 조사하는 발도르프교육의 작도 지도 방식은 수학의 심미적 측면을 강조한 지도의 모범적인 사례가 될 수 있으리라 판 단된다.

이를 위해 미적 체험의 의미와 작도의 교육적 의미를 고찰하고, 작도를 활용하여 미적 체

험을 할 수 있는 수업 아이디어를 고안하였다. 먼저 자연과 원이라는 제목 아래 정다각형

작도와 아름다운 꽃들의 꽃잎들을 연관 지어 보았다. 둘째, 종교와 원이라는 제목 아래 이슬

람의 여러 문양들을 작도를 통하여 그려보고 그 아름다움의 바탕이 되는 규칙들을 구성해

보았다. 사사교육을 마치면서 4명의 아이들은 전체적으로 다음과 같은 종합적인 소감을 말

하였다.

- 원이 모두 이어져 있는 듯한 느낌이 들었다. 그렇게 수학은 여러 가지와 연결되어 있다는 것을 알게 되었다.

- 원이 갖는 완벽함과 아름다움에 더욱 놀라웠다.

- 우리가 직접 손으로 작도하면서 몸은 아팠지만 이해에 도움이 더 되는 것 같았다.

- 직접 작도하고 만들어내면서 ‘내가 만들었다’는 성취감이 있었다.

- 내가 작도해낸 그림들이 마치 하나의 작품처럼 귀하게 느껴졌다.

- 원에 대해 체계적으로 알게 되었다.

- 수학에 관한 지식이 5배 정도는 늘어난 것 같다.

- 사소하게 지나가던 내 주변 속에 숨겨진 원에 대해 여러 사실을 발견하였던 점이 기억에 남는다.

심미적 가치를 수학교육의 목표로 삼고 있으면서도 정작 그동안 그에 관한 이론적 논의가 활발하지 않고 또한 그에 상응하는 프로그램이 많지 않다는 문제의식 아래, 본 논문에서는 수학영재교육 중에서도 사사교육이라는 매우 특수한 교육 상황에서 미적 체험을 할 수 있는 프로그램을 시도해 보았다. 프로그램의 개발에 초점을 두다보니, 학생들이 프로그램을 받는 과정에서 주관적으로 어떤 체험을 하였고, 그것이 수학에 대한 인식에서 어떤 변화를 가져 왔는지 등에 관한 연구까지 나아가지 못하였다. 앞으로 본 프로그램이나 유사한 프로그램을 좀더 발전시키고 학생들의 정의적 영역에서의 변화와 연관한 좀더 심층적인 연구가 이루어 질 필요가 크다.

융합인재교육이 교육계의 화두가 되면서 여러 교과목의 통합 또는 융합에 대한 여러 가지 방안들이 제시되고 있는 상황이다. 수학영재교육을 할 때, 그 목적은 아이의 영재성을 키우 면서 동시에 전인적인 성장을 도와주는 것이라고 할 수 있다.

양은주(2004)에 의하면, 미적 체험은 인간 삶에서 진정한 자유와 세계 안의 일치를 깨닫게 하는 것으로 요약된다. 여기에서 자유와 일치는 습성화된 반응에서 벗어나 새로운 변화를 시도하고, 동시에 여러 부분들을 모아 새로운 의미로 재구성하는 힘을 뜻한다. 이러한 관점 에서 보면 미적 체험의 가치는 창조적으로 자아와 세계를 변화시키는 힘에 있으며, 그 결과 전인적인 성장으로 나타난다고 할 수 있다.

이렇게 놓고 볼 때, 미적 체험은 융합교육의 중요한 지향점 중 하나가 될 수 있을 것 같 다. 수학교육을 받는 아이들에게 수학을 좀더 다양한 것들과 연결하여 볼 수 있고 미적 체 험을 할 수 있는 기회가 자주 주어져야 할 것이다. 이 논문에서 제시한 발도르프교육을 적 용한 사례가 그러한 출발이 되길 기대해 본다.

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A Case Study on the Mentorship Mathematics Education for the Gifted with Construction

Based on the Aesthetic Experiences.

- Focused on Waldorf Education -

Cho, Youngmi

․Joung Youn Joon

Abstract

In this paper we intended to present the case of mentorship program for the gifted in elementary mathematics education, which is related with Waldorf education. We installed the program to four six-grade students during six months. We focused on cultivating integrated perspective, aesthetic perspective and substantial skills. For the aim we dealt with the item, construction based on the aesthetic experiences. Finally we presented three main ideas, construction of regular polygons and flowers, construction of islamic design, and farmland cleanup with construction. We also contained the students' project in this paper.

Key Words : Waldorf Education, Mentorship Program, Construction, Integrated Perspective, Aesthetic Perspective, Substantial Skills

Received September 2, 2013 Revised September 23, 2013 Accepted September 26, 2013

6) Gongju National University of Education ([email protected]) 7) Chungnam National University ([email protected])