아이디얼의 정의
PBL 활동 III
주제:
아이디얼의 정의가 필요한 이유와 잉여환의 구조에 대해 설명하여 라.
<참고 자료>
Theorem 0.1. 함수 φ : R → R0가 환준동형사상일 때 다음 사실들이 성립한다.
(1) S가 R의 부분환이면 φ(S)는 R0의 부분환이다.
(2) S0가 R0의 부분환이면 φ−1(S0)은 R의 부분환이다.
(3) 만일 1R∈ R이고 φ(1R) 6= 0R0이면 φ(1R) = 1R0이다.
Proof. (1), (2)는 정의에 따라 당연히 성립하므로 증명을 생략하고 여기서는 (3) 을 증명해보자.
1R이면 임의의 r ∈ R에 대해
φ(r) = φ(r1R) = φ(1Rr) = φ(r)φ(1R) = φ(1R)φ(r)
이 성립한다. 따라서 φ(1R)은 φ(R)의 단위원이 된다. φ(R)은 R0의 부분환이므로 단위원이 서로 같다. 결국 φ(1R) = 1R0이다.
Definition 0.2. 함수 φ : R → R0가 환준동형사상일 때 집합 {r ∈ R | φ(r) = 0R0} 은 R의 부분환이 된다. 이것을 φ의 핵(kernel)이라고 하고 ker φ로 표기한다.
Theorem 0.3. 함수 φ : R → R0가 환준동형사상이고 H = ker φ이라고 하자.
그러면 a ∈ R에 대해
φ−1({φ(a)}) = {r ∈ R | φ(r) = φ(a)} = a + H = H + a 이 된다.
Proof. φ(r) = φ(a)에서 φ(r − a) = 0R0이므로 r − a ∈ H이다. 따라서 r ∈ H + a 이다.
Corollary 0.4. 함수 φ : R → R0가 환준동형사상일 때 φ가 단사함수일 필요충분 조건은 ker φ = {0R}이다.
Proof. 위 정리에서 φ가 단사함수가 되려면 a ∈ R에 대해 a + H = {a}이 되어야 한다. 따라서 H = {0R}이다.
Definition 0.5. 환준동형사상 φ : R → R0가 전단사함수일 때 φ를 환동형사상 (ring isomorphism)이라고 한다. 이 때 R과 R0은 서로동형(isomorphic)이라고 한다.
Theorem 0.6. 환 집합족 R 상에서 관계 '을 다음과 같이 정의하자.
R1, R2 ∈ R, R1 ' R2 ⇔ R1, R2는 서로 동형.
그러면 관계 '는 동치관계가 된다.
Proof. 대수적인 내용 보다는 집합론적 관계를 다룬 것이므로 증명 보다는 사실을 알고 있는 것이 중요하다. 따라서 증명은 생략한다.
Example 0.7. 실수집합 R과 복소수집합 C는 환으로서 동형이 될 수 없음을 설 명해 보자.
함수 φ : R → C가 환동형사상이라고 하자. 그러면 φ(1)은 C의 단위원이 된다.
따라서 φ(1) = 1이다. 나아가
φ(1) = φ((−1)(−1)) = φ(−1)φ(−1) = 1 이므로 φ(−1) = −1이다. 이제 φ(a) = i이라고 하자. 그러면
φ(a2) = φ(a)φ(a) = i2 = −1
이 되므로 a2 = −1이 되어야 한다. 그러나 이것을 만족하는 실수 a는 존재하지 않으므로 모순이 된다.
Example 0.8. R의 원소를 성부으로 하는 2 × 2 행렬들 집합 M2(R)과 복소수집합 C는 환으로서 동형이 될 수없음을 설명해 보자.
함수 φ : M2(R) → C가 환동형사상이라고 하자. 그러면
φ
1 0 0 0
!!
6= 0, φ
0 0 0 1
!!
6= 0
이다. 그런데
φ
1 0 0 0
! 0 0 0 1
!!
= φ
0 0 0 0
!!
= 0 이므로 모순이 생긴다.
Theorem 0.9. 함수 φ : R → R0는 환준동형사상이고 H = ker φ일 때 R에서 덧셈 연산에 대한 H의 잉여류집합 R/H는 다음 두 연산에 대해 환이 된다.
(a + H) + (b + H) := (a + b) + H,
(a + H)(b + H) := (ab) + H, ∀a + H, b + H ∈ R/H.
Proof. 환이 되는 다른 성질들은 정의로부터 당연히 성립함을 쉽게 알 수 있다.
여기서는 가장 중요한 부분으로 연산이 잘 정의되어 있는지만 확인한다. 덧셈 연 산이 잘 정의되어 있음은 군 이론에서 이미 학습한 내용이므로 생략하고 곱셈 연산이 잘 정의되어 있는지 확인해 보자.
a + H = a1+ H, b + H = b1+ H이라고 하자. 그러면 (ab) + H = (a1b1) + H 임을 보이면 된다. a1 = a + h1, b1 = b + h2, h1, h2 ∈ H이므로
a1b1 = (a + h1)(b + h2) = ab + ah2+ h1b + h1h2 이다. 그런데
φ(ah2) = φ(a)φ(h2) = φ(a)0R0 = 0R0, φ(h1b) = φ(h1)φ(b) = 0R0φ(b) = 0R0
이다. 따라서 a1b1 = ab + h3, h3 ∈ H이고 결국 a1b1 ∈ ab + H이다.
Theorem 0.10. (동형사상정리) 함수 φ : R → R0는 환준동형사상이고 H = ker φ 일 때 함수 µ : R/H → φ(R)을 µ(a + H) = φ(a)으로 정의하면 µ는 환동형사상이 된다.
Proof. µ가 잘 정의되어 있다는 것만 증명하면 나머지 부분은 정의로부터 당연히 성립함을 보일 수 있다.
이제 a + H = a1+ H이라고 하자. 그러면 a1 = a + h1, h1 ∈ H이고 따라서 µ(a1+ H) = φ(a1) = φ(a + h1) = φ(a) + φ(h1) = φ(a) + oR0 = φ(a) = µ(a + H) 이 성립함을 알 수 있다. 즉, µ는 잘 정의되어 있다.
Example 0.11. 함수 φ : Z → Zn을 φ(m) := m (mod n)으로 정의하면 φ는 환동 형사상이 된다. 그리고 φ는 전사함수임을 알 수 있다. 이 때 ker φ = nZ임은 쉽게 알 수 있다. 따라서 Z/nZ ' Zn이다.
Theorem 0.12. R은 환이고 H는 R의 부분환이다. 잉여류집합 R/H에서 곱셈을 (a + H)(b + H) := (ab) + H, a + H, b + H ∈ R/H
으로 정의하자. 이 때 이 곱셈 연산이 잘 정의된다는 것과 필요충분조건은 ah ∈ H, hb ∈ H, ∀a, b ∈ R and ∀h ∈ H
이 성립하는 것이다.
Proof. a, b ∈ R, h1, h2 ∈ H에 대해
(a + h1)(b + h2) = ab + ah2+ h1b + h1h2
이고 가정에서 ah2, bh1, h1h2 ∈ H이므로 (a + h1)(b + h2) ∈ ab + H임을 알 수 있다.
역으로 곱셈이 잘 정의되어 있다고 하자. 그러면
(a + H)(0R+ H) = (a + H)(h + H), h ∈ H, (0R+ H)(b + H) = (h + H)(b + H), h ∈ H, 에서 ah, hb ∈ H이다.
의미: 위 정리를 통해 H가 환 R의 부분환일 때 잉여류집합 R/H이 환이되는 조건 을 찾을 수 있다.
Definition 0.13. R은 환이고 N 은 R의 부분환일 때 aN ⊆ N and N b ⊆ N, ∀a, b ∈ R 이면 N 을 R의 아이디얼(ideal)이라고 한다.
Example 0.14. nZ는 Z의 아이디얼이다. 왜냐하면 임의의 정수 k에 대해 k(nZ) ⊆ nZ이고 Z는 가환환이기 때문이다.
Example 0.15. R이 차수가 n 보다 작거나 같은 정수 계수를 가지는 다항식환일 때 N := {f (x) ∈ R | f (m) = 0}은 R의 아이디얼이 된다.
Theorem 0.16. R은 환이고 N 은 R의 아이디얼일 때 덧셈에 대한 잉여류집합 R/N 은 다음 두 연산에 대해 환이 된다.
(a + N ) + (b + N ) := (a + b) + N,
(a + N )(b + N ) := ab + N, ∀a + N, b + N ∈ R/N.
Proof. 앞에서 아이디얼의 정의 이유를 설명하는 과정에서 이미 R/N 은 환이 될 수 있음을 언급하였음을 참조하면 된다.
Definition 0.17. R은 환이고 N 은 R의 아이디얼일 때 덧셈에 대한 잉여류집합 R/N 은 위 정리에 의해 환이 된다. 이 때 R/N 을 법 N 에 대한 R의 잉여환(factor ring or quotient ring of R modulo N )이라고 한다.
