On the Usage of the Multiplication and Parentheses signs

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한국학교수학회논문집 제 15 권, 제 4 호 Journal of the Korean School Mathematics Society Volume 15, Number 4, 627-641, December 2012

곱셈과 괄호 기호의 사용에 대한 연구

이민정¹⁾ㆍ이 양²⁾․양성필³⁾․박미숙⁴⁾

중등학교의 함수와 방정식 단원을 지도할 때 수식의 표현에서 곱셈과 괄호 기호를 생략 하는 경우 일부 학생들이 오류를 보이는 것을 늘 발견할 수 있다. 학습 부진이 없는 학생 들은 함수와 방정식에 있는 문자가 어떤 수를 대표한다는 것과 관련된 원리들을 알기 때 문에 오류를 거의 범하지 않지만 학습 부진이 있는 학생들은 이런 원리들에 대한 이해가 부족한 상태에 있기 때문에 오류를 자주 보이게 된다. 본 연구에서는 수학사 속에서 다양 한 변화와 발전을 거듭해온 곱셈과 괄호 기호에 대해 먼저 살펴보고, 이를 바탕으로 설문 지를 이용한 조사를 통해 효과적인 지도방법에 대해 연구하였다. 본 연구에서는 함수와 방 정식을 지도할 때 학습이 부진한 학생들에게 제시되는 수식표현에서는 곱셈과 괄호 기호 를 생략하지 않을 것을 제안한다.

주요용어 : 괄호 기호, 곱셈 기호, 수학사, 방정식, 함수

Ⅰ. 서론

박응서(2011)는 간단한 수식  ÷   의 정답이 과 로 두 가지가 제시되었고, 각 정답이 뜨겁게 맞서며 인터넷을 달구었다고 했다. 박응서(2011)는 이광연 한서대 수학과 교수가 이것이오류가 있는 수식이라고 했는데, 그 이유는 원칙적으로 중괄호로 묶거나 앞의 나눗셈 기호도 곱셈처럼 생략해서 분수식으로 써야 한다고 했다고 했으며, 남호영 영 신고 수학교사는 정답이 라고 했는데,   은 한 덩어리로 보기 때문에 뒤쪽을 완전히 계산한 다음에 나누기를 하는 게 중등학교 수준에 맞추어서 맞다고 했다고 했다.

학술적인 의미에서 볼 때 첫째, 정기근, 김민정과 노은환(2007)은 제7차 교육과정의 4-가 단계에서부터 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식에서 괄호가 있는 경우 괄호 안을 먼저 계산하 고 앞에서부터 차례로 계산해야 한다고 배우고 있다고 했다. 이 원리로 계산하면 정답은

이다. 둘째, 중학교 2학년 교과서에는  ÷   와 같은 표현이 나오며, 일반적으로 이 식을  ÷  ×   로 보고, 앞에서부터 차례로 계산하지는 않고,   를 한 덩어리 로 보고 계산한다. 이 원리로      으로 두고 계산하면 정답은 이다. 첫째와 둘째 중

1) 부산대학교 수학교육과 대학원, ([email protected]) 2) 부산대학교 수학교육과, ([email protected])

3) 부산대학교 수학교육과 대학원, ([email protected]) 4) 부산대학교 수학교육과 대학원, ([email protected])

어느 규칙을 우선으로 보느냐에 따라 정답이 달라진다.

박응서(2011)는 문제는 숫자식이라서 문자와 같은 방식을 그대로 적용할 수 없다며 오류 로 봐야 한다는 주장이 힘을 얻고 있다고 했다. 괄호 기호와 곱셈 기호의 생략으로 수학 전 문가들 사이에 정답이 맞선다면, 고등학생 학습부진아들에게는 올바른 표현에서도 기호 표 현의 이해에 혼란이 있을 수 있다.

이광연 한서대 수학과 교수에 의하면 올바른 표현은  ÷     이거나

 ÷  ×   또는   

 으로 되어야 할 것이다.

이와 유사하게 학습부진아 뿐만 아니라 고등학교 2학년 과학기술 집중과정 학생들이 배우 는 수학 Ⅱ 삼각함수 단원의 sin라는 배각공식 표현에서도 혼란이 나타날 수 있다. 괄호 가 없는 경우sin로 볼 수도 있기 때문이다. 하지만 유희찬(2010)은 배각의 공식에서 sin를 sin 의 의미로 사용하고 있다고 보았다. 기호를 많이 사용하면 복잡하기 때문 에 편의상 사용하지만 학생들이 실수를 하거나 혼란을 경험할 수 있다.

유선옥(2008)은 중학교 1학년 학생들을 대상으로 문자와 식 단원의 오류를 분석했는데 여 기서도 이러한 오류가 빈번하게 생겼다. 하지만 그에 대한 대책을 논의한 과정은 부족하며 면담을 통해 학습 개선을 이룬 예시가 제시되어 있다. 이러한 오류에 대한 대책으로, 도종훈 (2010)은 곱셈, 나눗셈 기호의 생략 과정을 재미있게 학습하도록 카드에 곱셈, 나눗셈 기호 를 생략해서 쓰기도 하고 생략하지 않고 쓰기도 해서 결과가 같은 것을 찾는 게임을 고안하 여 학생들이 오류를 교정할 수 있도록 하였다. 김송이(2011)는 중학교 1학년 학생들을 대상 으로   를 구하는 문제를 제시했는데 학생들 중 ^이라고 답한 학생에 대하여 면담을 통하여  × 를 구하도록 한 후 두 식   과  × 을 비교하도록 하여 오류를 수정하 는 방법을 연구하였다. 하지만 본 연구에서는 이 학생이 연구자와의 면담 속에서 와 사 이에 덧셈 기호가 있다고 했기 때문에 덧셈 기호와 곱셈 기호를 혼동한 것이 아니라, 와

  사이에 곱셈 기호가 생략되었다고 생각하고 ^으로 답을 구했다고 본다. 이 학생은

  에서도 라는 답을 구했다. 역시 본 연구에서는 이 학생이 과   사이에 곱셈 기호가 생략되었다고 생각하고 라는 답을 구했다고 본다. 현대 수학에서 곱셈 기호를 자 주 생략하기 때문에 이러한 유추에 대한 타당성이 있다.

오류를 교정하는 다른 방법으로 우정호(2000)는 수학 학습 지도에서 개념이 발달된 역사 를 분석한 후 자연스럽게 역사 발생적 원리를 이용하여 교재를 재구성하는 방법을 제안하였 는데, 기호(Notation) 역시 그 기호가 시작되었던 시점으로 돌아가서 학생들에게 초기 대수 지도를 시작하는 것이 효과적일 것이다.

도종훈(2010)도 곱셈 × 기호와 ․ 기호의 사용 시점에 대하여 수학사를 소개하였으나, 구 체적인 기호를 사용한 수식 표현에 대한 수학사를 조사한 연구는 부족하였다. 그리고 중학 교와 특성화 고등학교, 중학교와 인문계 고등학교의 각 연속적인 학교급에 따른 학생들의 오류 유형을 조사한 연구는 부족하다. 본 연구에서는 곱셈, 괄호 기호의 생략으로 인한 혼란 이 어떻게 나타날 수 있으며, 이러한 혼란을 줄이기 위한 방법을 수학사를 통해 살펴보기로 하였다.

본 연구에서 “학습 부진”이란 <Ⅳ. 결과 분석 및 논의 1. 특성화 E 고등학교 1학년의 A, B, C 학습지 결과 분석>에서 “함수      에서   일 때 함숫값을 구하는 문제에 서       라고 답하는 것”을 의미한다.

Martin과 Herrera(2007)에서도 주장하는 바와 같이, 학생들을 평가하고 수업을 분석하는

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한국학교수학회논문집 제 15 권, 제 4 호 Journal of the Korean School Mathematics Society Volume 15, Number 4, 627-641, December 2012

곱셈과 괄호 기호의 사용에 대한 연구

이민정¹⁾ㆍ이 양²⁾․양성필³⁾․박미숙⁴⁾

중등학교의 함수와 방정식 단원을 지도할 때 수식의 표현에서 곱셈과 괄호 기호를 생략 하는 경우 일부 학생들이 오류를 보이는 것을 늘 발견할 수 있다. 학습 부진이 없는 학생 들은 함수와 방정식에 있는 문자가 어떤 수를 대표한다는 것과 관련된 원리들을 알기 때 문에 오류를 거의 범하지 않지만 학습 부진이 있는 학생들은 이런 원리들에 대한 이해가 부족한 상태에 있기 때문에 오류를 자주 보이게 된다. 본 연구에서는 수학사 속에서 다양 한 변화와 발전을 거듭해온 곱셈과 괄호 기호에 대해 먼저 살펴보고, 이를 바탕으로 설문 지를 이용한 조사를 통해 효과적인 지도방법에 대해 연구하였다. 본 연구에서는 함수와 방 정식을 지도할 때 학습이 부진한 학생들에게 제시되는 수식표현에서는 곱셈과 괄호 기호 를 생략하지 않을 것을 제안한다.

주요용어 : 괄호 기호, 곱셈 기호, 수학사, 방정식, 함수

Ⅰ. 서론

박응서(2011)는 간단한 수식  ÷   의 정답이 과 로 두 가지가 제시되었고, 각 정답이 뜨겁게 맞서며 인터넷을 달구었다고 했다. 박응서(2011)는 이광연 한서대 수학과 교수가 이것이오류가 있는 수식이라고 했는데, 그 이유는 원칙적으로 중괄호로 묶거나 앞의 나눗셈 기호도 곱셈처럼 생략해서 분수식으로 써야 한다고 했다고 했으며, 남호영 영 신고 수학교사는 정답이 라고 했는데,   은 한 덩어리로 보기 때문에 뒤쪽을 완전히 계산한 다음에 나누기를 하는 게 중등학교 수준에 맞추어서 맞다고 했다고 했다.

학술적인 의미에서 볼 때 첫째, 정기근, 김민정과 노은환(2007)은 제7차 교육과정의 4-가 단계에서부터 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식에서 괄호가 있는 경우 괄호 안을 먼저 계산하 고 앞에서부터 차례로 계산해야 한다고 배우고 있다고 했다. 이 원리로 계산하면 정답은

이다. 둘째, 중학교 2학년 교과서에는  ÷   와 같은 표현이 나오며, 일반적으로 이 식을  ÷  ×   로 보고, 앞에서부터 차례로 계산하지는 않고,   를 한 덩어리 로 보고 계산한다. 이 원리로      으로 두고 계산하면 정답은 이다. 첫째와 둘째 중

1) 부산대학교 수학교육과 대학원, ([email protected]) 2) 부산대학교 수학교육과, ([email protected])

3) 부산대학교 수학교육과 대학원, ([email protected]) 4) 부산대학교 수학교육과 대학원, ([email protected])

어느 규칙을 우선으로 보느냐에 따라 정답이 달라진다.

박응서(2011)는 문제는 숫자식이라서 문자와 같은 방식을 그대로 적용할 수 없다며 오류 로 봐야 한다는 주장이 힘을 얻고 있다고 했다. 괄호 기호와 곱셈 기호의 생략으로 수학 전 문가들 사이에 정답이 맞선다면, 고등학생 학습부진아들에게는 올바른 표현에서도 기호 표 현의 이해에 혼란이 있을 수 있다.

이광연 한서대 수학과 교수에 의하면 올바른 표현은  ÷     이거나

 ÷  ×   또는   

 으로 되어야 할 것이다.

이와 유사하게 학습부진아 뿐만 아니라 고등학교 2학년 과학기술 집중과정 학생들이 배우 는 수학 Ⅱ 삼각함수 단원의 sin라는 배각공식 표현에서도 혼란이 나타날 수 있다. 괄호 가 없는 경우sin로 볼 수도 있기 때문이다. 하지만 유희찬(2010)은 배각의 공식에서 sin를 sin 의 의미로 사용하고 있다고 보았다. 기호를 많이 사용하면 복잡하기 때문 에 편의상 사용하지만 학생들이 실수를 하거나 혼란을 경험할 수 있다.

유선옥(2008)은 중학교 1학년 학생들을 대상으로 문자와 식 단원의 오류를 분석했는데 여 기서도 이러한 오류가 빈번하게 생겼다. 하지만 그에 대한 대책을 논의한 과정은 부족하며 면담을 통해 학습 개선을 이룬 예시가 제시되어 있다. 이러한 오류에 대한 대책으로, 도종훈 (2010)은 곱셈, 나눗셈 기호의 생략 과정을 재미있게 학습하도록 카드에 곱셈, 나눗셈 기호 를 생략해서 쓰기도 하고 생략하지 않고 쓰기도 해서 결과가 같은 것을 찾는 게임을 고안하 여 학생들이 오류를 교정할 수 있도록 하였다. 김송이(2011)는 중학교 1학년 학생들을 대상 으로   를 구하는 문제를 제시했는데 학생들 중 ^이라고 답한 학생에 대하여 면담을 통하여  × 를 구하도록 한 후 두 식   과  × 을 비교하도록 하여 오류를 수정하 는 방법을 연구하였다. 하지만 본 연구에서는 이 학생이 연구자와의 면담 속에서 와 사 이에 덧셈 기호가 있다고 했기 때문에 덧셈 기호와 곱셈 기호를 혼동한 것이 아니라, 와

  사이에 곱셈 기호가 생략되었다고 생각하고 ^으로 답을 구했다고 본다. 이 학생은

  에서도 라는 답을 구했다. 역시 본 연구에서는 이 학생이 과   사이에 곱셈 기호가 생략되었다고 생각하고 라는 답을 구했다고 본다. 현대 수학에서 곱셈 기호를 자 주 생략하기 때문에 이러한 유추에 대한 타당성이 있다.

오류를 교정하는 다른 방법으로 우정호(2000)는 수학 학습 지도에서 개념이 발달된 역사 를 분석한 후 자연스럽게 역사 발생적 원리를 이용하여 교재를 재구성하는 방법을 제안하였 는데, 기호(Notation) 역시 그 기호가 시작되었던 시점으로 돌아가서 학생들에게 초기 대수 지도를 시작하는 것이 효과적일 것이다.

도종훈(2010)도 곱셈 × 기호와 ․ 기호의 사용 시점에 대하여 수학사를 소개하였으나, 구 체적인 기호를 사용한 수식 표현에 대한 수학사를 조사한 연구는 부족하였다. 그리고 중학 교와 특성화 고등학교, 중학교와 인문계 고등학교의 각 연속적인 학교급에 따른 학생들의 오류 유형을 조사한 연구는 부족하다. 본 연구에서는 곱셈, 괄호 기호의 생략으로 인한 혼란 이 어떻게 나타날 수 있으며, 이러한 혼란을 줄이기 위한 방법을 수학사를 통해 살펴보기로 하였다.

본 연구에서 “학습 부진”이란 <Ⅳ. 결과 분석 및 논의 1. 특성화 E 고등학교 1학년의 A, B, C 학습지 결과 분석>에서 “함수      에서   일 때 함숫값을 구하는 문제에 서       라고 답하는 것”을 의미한다.

Martin과 Herrera(2007)에서도 주장하는 바와 같이, 학생들을 평가하고 수업을 분석하는

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[그림 Ⅱ-1] × 기호의 초기 표현

것은 기본적으로 상호 연결되어 있다는 것이다. 즉, 학생들의 개념적, 절차적 이해의 과정에 서 학생들의 의견을 들음으로써 교사는 수업시간에서의 질문을 포함한 수업교재를 적당히 구성하여 학생들의 사고와 이해를 자극하고 확장할 수 있다. 물론 이 과정에서 학생들의 수 학에 대한 자신감, 흥미, 끈기 등의 성향은 교사들이 관찰하면서 신장해야 할 중요한 측면이 다.

Ⅱ. 이론적 배경 1. 곱셈 기호의 역사

Florian(1993)은 1551년에 Oswald는 × 기호와 관련하여 초기에는 곱셈 기호가 아니라,

와 를 곱하고 과 을 곱하는 의미로 사용되었다고 한다. [그림

Ⅱ-1]은 × 기호의 초기 표현을 나타낸 것이다.

Florian(1993)은 그의 서적에서 다음과 같이 곱셈 기호의 역사를 설명하고 있다. 1631년 Oughtred는 곱셈 기호로 ×를 사용하였는데, +, - 기호보다 크기가 훨씬 작았다고 한다.

반면에 Lgendre는 현재보다 큰 크기의 기호 ×를 사용했다고 한다. 1698년 Leibniz에 의해 점(dot)이 곱셈 기호의 상징으로 소개되었다고 한다. 하지만 그 이전에 1631년에 Thomas Harriot은    ·    · 의 표현을 사용했다고 한다. 1637년에 Decartes는 하나의

에 다른 것 를 곱하는 것을 로 나타냈다고 한다.

이런 수학사를 활용할 수 있는 방법으로는 [그림 Ⅱ-1]의 × 기호의 초기 표현에서 숫자 만 바꾸어 10개 정도의 문항을 만들어 학생들이 계산 방법을 자연스럽게 익히도록 하는 것 등이 있을 것이다.

2. 괄호 기호의 역사

Florian(1993)은 16세기 초반에 괄호에 의해 표현된 식이 드물게 발견된다고 하였다. 괄 호는 비교적 식자공(typesetter)들에게 특별한 어려움 없이 표현된다고 하였다. 그럼에도 불 구하고 괄호가 사상이나 감정 따위를 효과적으로 표현하기 위해 사용하는 언어로서 인식되 어 수학적 기호로 일반적으로 채택되는 데에는 두 세기 이상이 걸렸다고 하였다.

Florian(1993)은 독일인 저자 Blassière가 1770년에     ,   ×   , 그리고   ×    라는 세 가지 표현을 설명했다고 한다. 그리고 Florian은 18세기 초 기에 Leibniz가 프랑스의 학술지 Acta eruditorum에서 현재의 의미의 괄호 기호를 사용하였 다고 하는데, 이 학술지를 읽은 모든 수학자들은 괄호 기호의 사용에 동의했다고 볼 수 있 다고 하였다. 즉, 괄호는 수학자들이 편의상 통일하여 채택한 기호라고 할 수 있다.

괄호 기호에 관한 수학사를 활용할 수 있는 방법으로는 <1. 곱셈 기호의 역사>에서와 마 찬가지로 ×   라는 등의 10개 정도의 문제를 만들어 학생들이 연습하도록 하는 것 등이 있을 것이다.

Ⅲ. 연구방법 및 절차 1. 연구 대상

2012년 3월 특성화 E 고등학교 1학년 6개 반 학생들 중 무작위로 나눈 세 그룹을 대상으 로 곱셈과 괄호 기호와 관련된 학습지 평가를 하였다. 이 학생들은 남학생과 여학생으로 섞 여 있는데 한 반 총인원이 평균 30명이고, 이 중 여학생이 25명 정도 되었다. 1주일에 3시간 수학 수업을 배우며, 수학이 주요 과목이 아니기 때문에, 수학에 관심이 있으며 학습 성취도 가 높은 학생들과 수학에 관심이 없는 학생들로 섞여 있었다. 중학교 성적은 하위 30%이하 로 일반계 고등학교와 비교할 때 일반계 고등학교에서 하 수준의 학생들이 거의 모두였다.

전체 학습지가 회수된 후 임의의 1학년 1개 반 학생들을 대상으로 어느 학습지의 문제가 가 장 쉬운지 면담을 하였다.

2012년 5월 K 중학교 3학년 11학급 중 남녀학급 각각 3개씩 6개 반을 대상으로 특성화 E 고등학교와 같은 평가를 실시하였다. 남자 학급 1개, 여자 학급 1개씩 세 그룹으로 나누었 다. K 중학교 3학년의 구성은 남학생과 여학생이 분반되어 있으며 남학생은 한 반에 총인 원이 평균 35명이고, 여학생은 평균 36명 정도 되었다. 1주일에 4시간 수학 수업을 배우며, 특성화 고등학교와 마찬가지로 수학에 관심이 있으며 학습 성취도가 높은 학생들과 수학에 관심이 없는 학생들이 섞여 있었다.

항등원, 역원 개념은 고등학교 1학년 때 배우지만 이항과 나눗셈을 이용한 일차 방정식의 풀이를 중학교 3학년까지 배우고, 이차 방정식의 인수분해와 근의 공식도 중학교 3학년 때 배우므로 학습지의 내용은 중학교 3학년 이상을 대상으로 연구를 진행하기에 적합하다고 판 단되었다. 표본으로 선정된 반은 연구자가 직접 수학수업을 하지는 않았으며, 학습지 평가는 동료교사의 협조를 받아 수업시간 이전에 5분간 실시되었다.

특성화고등학교, 중학교 이외에 인문계 고등학교의 실정을 알기 위해 2012년 4월 말 인문 계 L 고등학교 1학년 하 수준 1개 반을 대상으로 같은 조사를 실시하였다. 인문계 L 고등 학교는 1학년 14개의 학급을 3개, 4개, 3개, 4개로 나누어 수준별로 실시하고 있으며 조사대 상은 4개의 반을 상, 중상, 중하, 하 수준반 중 하 수준 1개 반 30명의 학생들이었다. 학생들 은 1주일에 4시간씩 수학 수업을 받고 있으며 인문계 고등학교 학생이기는 하지만 실제로 수학 흥미도는 거의 없어 곱셈과 괄호에 대한 이론이 제대로 학습되기 이전의 상태에 관한 분석을 하고자 하는 본 연구에 적합하다고 판단되었다. 연구자가 직접 수학 수업을 하지 않 는 관계로 동료교사의 도움을 받아 5분간 조사를 실시하고 그 이후 30분간 결과가 저조한 학생들 8명을 대상으로 개인적으로 면담하였다.

2012년 6월 중순 일차 방정식 풀이에 대하여 특성화 E 고등학교 남학생 2명, 여학생 2명 인 총 4명의 학생들을 대상으로 면담을 하였다.

본 연구의 K 중학교와 특성화 E 고등학교, K 중학교와 인문계 L 고등학교는 각각 연속 적인 학교급을 대표하는 학교로, 접근이 용이했던 임의로 추출한 학교로 볼 수 있다.

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[그림 Ⅱ-1] × 기호의 초기 표현

것은 기본적으로 상호 연결되어 있다는 것이다. 즉, 학생들의 개념적, 절차적 이해의 과정에 서 학생들의 의견을 들음으로써 교사는 수업시간에서의 질문을 포함한 수업교재를 적당히 구성하여 학생들의 사고와 이해를 자극하고 확장할 수 있다. 물론 이 과정에서 학생들의 수 학에 대한 자신감, 흥미, 끈기 등의 성향은 교사들이 관찰하면서 신장해야 할 중요한 측면이 다.

Ⅱ. 이론적 배경 1. 곱셈 기호의 역사

Florian(1993)은 1551년에 Oswald는 × 기호와 관련하여 초기에는 곱셈 기호가 아니라,

와 를 곱하고 과 을 곱하는 의미로 사용되었다고 한다. [그림

Ⅱ-1]은 × 기호의 초기 표현을 나타낸 것이다.

Florian(1993)은 그의 서적에서 다음과 같이 곱셈 기호의 역사를 설명하고 있다. 1631년 Oughtred는 곱셈 기호로 ×를 사용하였는데, +, - 기호보다 크기가 훨씬 작았다고 한다.

반면에 Lgendre는 현재보다 큰 크기의 기호 ×를 사용했다고 한다. 1698년 Leibniz에 의해 점(dot)이 곱셈 기호의 상징으로 소개되었다고 한다. 하지만 그 이전에 1631년에 Thomas Harriot은    ·    · 의 표현을 사용했다고 한다. 1637년에 Decartes는 하나의

에 다른 것 를 곱하는 것을 로 나타냈다고 한다.

이런 수학사를 활용할 수 있는 방법으로는 [그림 Ⅱ-1]의 × 기호의 초기 표현에서 숫자 만 바꾸어 10개 정도의 문항을 만들어 학생들이 계산 방법을 자연스럽게 익히도록 하는 것 등이 있을 것이다.

2. 괄호 기호의 역사

Florian(1993)은 16세기 초반에 괄호에 의해 표현된 식이 드물게 발견된다고 하였다. 괄 호는 비교적 식자공(typesetter)들에게 특별한 어려움 없이 표현된다고 하였다. 그럼에도 불 구하고 괄호가 사상이나 감정 따위를 효과적으로 표현하기 위해 사용하는 언어로서 인식되 어 수학적 기호로 일반적으로 채택되는 데에는 두 세기 이상이 걸렸다고 하였다.

Florian(1993)은 독일인 저자 Blassière가 1770년에     ,   ×   , 그리고   ×    라는 세 가지 표현을 설명했다고 한다. 그리고 Florian은 18세기 초 기에 Leibniz가 프랑스의 학술지 Acta eruditorum에서 현재의 의미의 괄호 기호를 사용하였 다고 하는데, 이 학술지를 읽은 모든 수학자들은 괄호 기호의 사용에 동의했다고 볼 수 있 다고 하였다. 즉, 괄호는 수학자들이 편의상 통일하여 채택한 기호라고 할 수 있다.

괄호 기호에 관한 수학사를 활용할 수 있는 방법으로는 <1. 곱셈 기호의 역사>에서와 마 찬가지로 ×   라는 등의 10개 정도의 문제를 만들어 학생들이 연습하도록 하는 것 등이 있을 것이다.

Ⅲ. 연구방법 및 절차 1. 연구 대상

2012년 3월 특성화 E 고등학교 1학년 6개 반 학생들 중 무작위로 나눈 세 그룹을 대상으 로 곱셈과 괄호 기호와 관련된 학습지 평가를 하였다. 이 학생들은 남학생과 여학생으로 섞 여 있는데 한 반 총인원이 평균 30명이고, 이 중 여학생이 25명 정도 되었다. 1주일에 3시간 수학 수업을 배우며, 수학이 주요 과목이 아니기 때문에, 수학에 관심이 있으며 학습 성취도 가 높은 학생들과 수학에 관심이 없는 학생들로 섞여 있었다. 중학교 성적은 하위 30%이하 로 일반계 고등학교와 비교할 때 일반계 고등학교에서 하 수준의 학생들이 거의 모두였다.

전체 학습지가 회수된 후 임의의 1학년 1개 반 학생들을 대상으로 어느 학습지의 문제가 가 장 쉬운지 면담을 하였다.

2012년 5월 K 중학교 3학년 11학급 중 남녀학급 각각 3개씩 6개 반을 대상으로 특성화 E 고등학교와 같은 평가를 실시하였다. 남자 학급 1개, 여자 학급 1개씩 세 그룹으로 나누었 다. K 중학교 3학년의 구성은 남학생과 여학생이 분반되어 있으며 남학생은 한 반에 총인 원이 평균 35명이고, 여학생은 평균 36명 정도 되었다. 1주일에 4시간 수학 수업을 배우며, 특성화 고등학교와 마찬가지로 수학에 관심이 있으며 학습 성취도가 높은 학생들과 수학에 관심이 없는 학생들이 섞여 있었다.

항등원, 역원 개념은 고등학교 1학년 때 배우지만 이항과 나눗셈을 이용한 일차 방정식의 풀이를 중학교 3학년까지 배우고, 이차 방정식의 인수분해와 근의 공식도 중학교 3학년 때 배우므로 학습지의 내용은 중학교 3학년 이상을 대상으로 연구를 진행하기에 적합하다고 판 단되었다. 표본으로 선정된 반은 연구자가 직접 수학수업을 하지는 않았으며, 학습지 평가는 동료교사의 협조를 받아 수업시간 이전에 5분간 실시되었다.

특성화고등학교, 중학교 이외에 인문계 고등학교의 실정을 알기 위해 2012년 4월 말 인문 계 L 고등학교 1학년 하 수준 1개 반을 대상으로 같은 조사를 실시하였다. 인문계 L 고등 학교는 1학년 14개의 학급을 3개, 4개, 3개, 4개로 나누어 수준별로 실시하고 있으며 조사대 상은 4개의 반을 상, 중상, 중하, 하 수준반 중 하 수준 1개 반 30명의 학생들이었다. 학생들 은 1주일에 4시간씩 수학 수업을 받고 있으며 인문계 고등학교 학생이기는 하지만 실제로 수학 흥미도는 거의 없어 곱셈과 괄호에 대한 이론이 제대로 학습되기 이전의 상태에 관한 분석을 하고자 하는 본 연구에 적합하다고 판단되었다. 연구자가 직접 수학 수업을 하지 않 는 관계로 동료교사의 도움을 받아 5분간 조사를 실시하고 그 이후 30분간 결과가 저조한 학생들 8명을 대상으로 개인적으로 면담하였다.

2012년 6월 중순 일차 방정식 풀이에 대하여 특성화 E 고등학교 남학생 2명, 여학생 2명 인 총 4명의 학생들을 대상으로 면담을 하였다.

본 연구의 K 중학교와 특성화 E 고등학교, K 중학교와 인문계 L 고등학교는 각각 연속 적인 학교급을 대표하는 학교로, 접근이 용이했던 임의로 추출한 학교로 볼 수 있다.

(5)

A 학습지

학년: 반: 번호: 이름:

1. 간단한 문제를 풀어보려고 합니다. 논문 연구를 위한 것이며, 반 번호 이름은 안 써도 좋고 제출하지 않으셔도 됩니다.

성의껏 풀어 주시면 연구에 많은 도움이 되겠습니다. 감사합니다.

(1)함수    ×    에서 의 값이  일 때 의 값을 구하면?

(2)다음 일차 방정식과 이차 방정식을 풀면?

1)  ×      2) ^  ×     

B 학습지

(1)함수      에서 의 값이  일 때 의 값을 구하면?

1)      2) ^      2. 학습지 구성

보편적으로 문자에 괄호를 하는    ×  이라는 표현은 잘 사용하지 않지만 Fraleigh(1991)는 그의 서적에서 강조하기 위해 문자 하나에 대해서도 괄호 기호를 붙인 예 가 있었다. 보편적으로 괄호가 없어도 의미가 분명하거나, 불필요할 때에는 괄호를 생략한다 고 널리 알려져 있다. 본 연구에서는 괄호를 불필요하게 사용할 필요는 없지만 생략하지 않 는 편이 수학사에서 볼 때 이해가 잘 될 것으로 보여서 실제로 실험을 시행해 보았다.

그래서 A 학습지에는함수    ×   에서 x의 값이  일 때 의 값을 구하면?

이라고 제시하였고, B 학습지에는함수     에서 x의 값이  일 때 의 값을 구하 면?이라고 제시하였으며, C 학습지에는함수    ×   에서 x의 값이  일 때 y의 값을 구하면?이라고 제시하였다.곱셈과 괄호 기호 표기, 곱셈과 괄호 기호 모두 생략, 괄호 기호만 생략에서 각각의 경우에 학생의 반응을 살펴보기 위해 <표 Ⅲ-1>과 같은 학습지를 구성하였다.

본 연구의 학습지의 문제의 수준이 지나치게 낮아서 학생들의 연구에 대한 흥미도가 낮아 질 것을 염려하여 일차 방정식     와 이차 방정식 ^     을 푸는 것과

 ×      와 ^  ×      을 푸는 것을 함께 학습지에 포함시켰다. <표 Ⅲ-1>

은 특성화 E 고등학교와 K 중학교, 인문계 L 고등학교에서 시행한 A, B, C 학습지 내용이 다.

<표 Ⅲ-1> 특성화 E 고등학교와 K 중학교, 인문계 L 고등학교에서 시행한 A, B, C 학습지 내용

C 학습지

(1)함수    ×    에서 의 값이  일 때 의 값을 구하면?

1)      2) ^     

3. 연구 방법 및 연구의 제한점

3개의 종류의 A, B, C 학습지로 간단한 문제를 푸는 평가를 실시하였다. 이종규(2006)는 사회 과학 연구에서 고지된 동의가 지나치게 상세할 때, 연구의 결과에 부정적인 영향을 줄 수 있다고 하였다. 그래서 본 연구에서는 곱셈과 괄호 기호에 대해 연구하기 위함이라는 목 적은 숨긴 채 반별로 무작위로 세 개의 학습지 중 하나만 주고 문제를 풀도록 유도하였다.

논문 연구를 위한 것이며 반 번호 이름은 안 써도 좋고 제출하지 않아도 된다고 했으며, 성 의껏 풀어 주시면 연구에 많은 도움이 된다고 협조를 구했다.

전체 학습지가 회수된 후 특성화 E 고등학교 1개의 반에서 어느 학습지의 문제가 가장 쉬운지 면담을 하였다. 면담 후 특성화 E 고등학교의 학생들은 중학교에서 성적순으로 동일 한 인원으로 상, 중, 하 3개 반으로 나누어서 하는 수준별 수업에서 보통 수준, 하 수준에 주로 있었던 학생들로 중학교에서 이 학생들이 가졌던 오류가 연속적으로 나타나는 것인지 확인하기 위하여 K 중학교 학생들을 대상으로 추가로 같은 학습지로 평가를 실시하였다.

그리고 K 중학교와 연속적으로 인문계 고등학교에서는 어떠한 오류가 생기는지 알기 위해 서 인문계 L 고등학교 학생들을 대상으로 추가로 같은 학습지로 평가를 실시하였다.

세 학교 모두 학생들이 자유로운 분위기 속에서 평가를 실시할 수 있도록 평소 수업 시간 의 좌석대로 앉은 상태에서 문제를 풀 수 있도록 하였다.

본 연구에서는 특성화 1개의 고등학교의 1학년 학생들과 1개의 중학교의 3학년 학생들과 인문계 1개의 고등학교 1학년 학생들만 대상으로 하였고, 제출한 학생들만으로 해서 일반화 하는 데에는 한계가 있다. 표본 학교는 편의상 접근이 용이했던 3개의 학교였다.

본 연구에서는 중학교 3학년과 특성화 고등학교 1학년, 중학교 3학년과 인문계 고등학교 1학년이라는 연속적인 학년을 대상으로 학생들이 문제 풀이 과정에서 보인 오류를 분석한 것이어서 본 연구의 결과는 큰 의의가 있다. 특히 곱셈과 괄호 기호가 모두 생략되었던 B 학습지의 1. (1)문제에서       이라고 한 오류가 생기는지 중점적으로 살펴 본 후 결 과를 분석하고, 그 해결 방안을 기호에 관한 수학사 속에서 찾아보았다. 각 학교마다 연구 방법에 차이가 있으므로 학교별 자세한 연구 방법에 대해서는 <Ⅳ. 결과 분석 및 논의>에 서 다루기로 한다.

(6)

A 학습지

(1)함수    ×    에서 의 값이  일 때 의 값을 구하면?

1)  ×      2) ^  ×     

B 학습지

(1)함수      에서 의 값이  일 때 의 값을 구하면?

1)      2) ^      2. 학습지 구성

보편적으로 문자에 괄호를 하는    ×  이라는 표현은 잘 사용하지 않지만 Fraleigh(1991)는 그의 서적에서 강조하기 위해 문자 하나에 대해서도 괄호 기호를 붙인 예 가 있었다. 보편적으로 괄호가 없어도 의미가 분명하거나, 불필요할 때에는 괄호를 생략한다 고 널리 알려져 있다. 본 연구에서는 괄호를 불필요하게 사용할 필요는 없지만 생략하지 않 는 편이 수학사에서 볼 때 이해가 잘 될 것으로 보여서 실제로 실험을 시행해 보았다.

그래서 A 학습지에는함수    ×   에서 x의 값이  일 때 의 값을 구하면?

이라고 제시하였고, B 학습지에는함수     에서 x의 값이  일 때 의 값을 구하 면?이라고 제시하였으며, C 학습지에는함수    ×   에서 x의 값이  일 때 y의 값을 구하면?이라고 제시하였다.곱셈과 괄호 기호 표기, 곱셈과 괄호 기호 모두 생략, 괄호 기호만 생략에서 각각의 경우에 학생의 반응을 살펴보기 위해 <표 Ⅲ-1>과 같은 학습지를 구성하였다.

본 연구의 학습지의 문제의 수준이 지나치게 낮아서 학생들의 연구에 대한 흥미도가 낮아 질 것을 염려하여 일차 방정식     와 이차 방정식 ^     을 푸는 것과

 ×      와 ^  ×      을 푸는 것을 함께 학습지에 포함시켰다. <표 Ⅲ-1>

은 특성화 E 고등학교와 K 중학교, 인문계 L 고등학교에서 시행한 A, B, C 학습지 내용이 다.

<표 Ⅲ-1> 특성화 E 고등학교와 K 중학교, 인문계 L 고등학교에서 시행한 A, B, C 학습지 내용

C 학습지

(1)함수    ×    에서 의 값이  일 때 의 값을 구하면?

1)      2) ^     

3. 연구 방법 및 연구의 제한점

3개의 종류의 A, B, C 학습지로 간단한 문제를 푸는 평가를 실시하였다. 이종규(2006)는 사회 과학 연구에서 고지된 동의가 지나치게 상세할 때, 연구의 결과에 부정적인 영향을 줄 수 있다고 하였다. 그래서 본 연구에서는 곱셈과 괄호 기호에 대해 연구하기 위함이라는 목 적은 숨긴 채 반별로 무작위로 세 개의 학습지 중 하나만 주고 문제를 풀도록 유도하였다.

논문 연구를 위한 것이며 반 번호 이름은 안 써도 좋고 제출하지 않아도 된다고 했으며, 성 의껏 풀어 주시면 연구에 많은 도움이 된다고 협조를 구했다.

전체 학습지가 회수된 후 특성화 E 고등학교 1개의 반에서 어느 학습지의 문제가 가장 쉬운지 면담을 하였다. 면담 후 특성화 E 고등학교의 학생들은 중학교에서 성적순으로 동일 한 인원으로 상, 중, 하 3개 반으로 나누어서 하는 수준별 수업에서 보통 수준, 하 수준에 주로 있었던 학생들로 중학교에서 이 학생들이 가졌던 오류가 연속적으로 나타나는 것인지 확인하기 위하여 K 중학교 학생들을 대상으로 추가로 같은 학습지로 평가를 실시하였다.

그리고 K 중학교와 연속적으로 인문계 고등학교에서는 어떠한 오류가 생기는지 알기 위해 서 인문계 L 고등학교 학생들을 대상으로 추가로 같은 학습지로 평가를 실시하였다.

세 학교 모두 학생들이 자유로운 분위기 속에서 평가를 실시할 수 있도록 평소 수업 시간 의 좌석대로 앉은 상태에서 문제를 풀 수 있도록 하였다.

본 연구에서는 특성화 1개의 고등학교의 1학년 학생들과 1개의 중학교의 3학년 학생들과 인문계 1개의 고등학교 1학년 학생들만 대상으로 하였고, 제출한 학생들만으로 해서 일반화 하는 데에는 한계가 있다. 표본 학교는 편의상 접근이 용이했던 3개의 학교였다.

본 연구에서는 중학교 3학년과 특성화 고등학교 1학년, 중학교 3학년과 인문계 고등학교 1학년이라는 연속적인 학년을 대상으로 학생들이 문제 풀이 과정에서 보인 오류를 분석한 것이어서 본 연구의 결과는 큰 의의가 있다. 특히 곱셈과 괄호 기호가 모두 생략되었던 B 학습지의 1. (1)문제에서       이라고 한 오류가 생기는지 중점적으로 살펴 본 후 결 과를 분석하고, 그 해결 방안을 기호에 관한 수학사 속에서 찾아보았다. 각 학교마다 연구 방법에 차이가 있으므로 학교별 자세한 연구 방법에 대해서는 <Ⅳ. 결과 분석 및 논의>에 서 다루기로 한다.

(7)

Ⅳ. 결과 분석 및 논의

1. 특성화 E 고등학교 1학년의 A, B, C 학습지 결과 분석

특성화 E 고등학교에서 학습지를 제출한 학생 수는 전체 표본 대상 179명 중 49명이었다.

제출을 강요하지 않았기 때문에 회수율이 적었다. 학생들과 면담한 결과 문제를 풀지 못해 서 제출 안한 학생들도 있었다. 문항의 답을 맞춘 학생들이 거의 제출을 하였고, 몇 명 오답 을 제출한 학생의 답안지는 풀이 과정을 상세히 살펴보았다. A 학습지를 제출한 학생은 22 명이었고, B 학습지를 제출한 학생은 20명이었다. C 학습지는 7명이었다. 학습지 회수가 전 체적으로 끝난 후 세 가지 경우를 제시하고 어느 것이 가장 쉬운지 면담을 해 보았더니, 세 가지 모두 비슷하다는 답이 있었다. 하지만 B 학습지에서 오류가 발생한 학생들이 있었다.

B 학습지에서 수식에 곱셈과 괄호 기호가 없는 경우에       이라고 해서 답을 이 라고 구한 학생이 2명 있었다. 학생들에게 이름을 쓰지 않고 제출해도 좋다고 했으나 2명 모두 이름을 쓰고 제출하였다. 2명 중 1명은 특성화 E 고등학교 입학 성적이 상위권으로 우 수한 여학생이었다. 물론 전체 고등학교 학생들과 비교하면 보통 수준일 것이다. 이 여학생 은 일차 방정식     를 푸는 문제에서도 답을   이라고 하였다. 앞의 문제를 보았 을 때   을 대입하여,       로 해서 답을 구했을 것이다. 문자 대신 + 또는 - 부호와 함께 숫자만 대입하여 푼 것으로 보인다. 하지만 이차 방정식 ^     을 풀 어라는 문제는 옳은 해를 구했다. 나머지 1명의 학생도 여학생으로 수업 태도가 좋은 학생 이었으나 일차 방정식 문제를 풀지 못했다. 다른 A, C 학습지에서는 이러한 오류가 나타나 지 않았다.

본 연구에서는 A, B, C 학습지 3 종류에서 그 이유를 분석한 결과 문자와 숫자 사이에 곱셈과 괄호 기호가 생략되어 있기 때문에 생긴 것으로 원인을 분석하였다. 통계 숫자가 적 어 일반화하는 데에는 오류가 있지만 결과의 신뢰도는 높았다. 학생들이 신중하게 답을 적 어서 제출하는 분위기였기 때문이다. 곱셈과 괄호 기호의 생략으로 인해 중학교 때 학습 부 진이 있었던 학생들이 그 후속학습에서도 영향을 받았거나, 중학교 때는 이해했으나 시간이 흘러 잊어버린 것으로 보인다.

박효진(2008)은 에서       을 대입하여 계산할 때 학생들이    라고 해서

 로 답을 찾는 처리기술의 오류를 보이는 것을 관찰했다.

박효진(2008)은 오류의 유형을 4가지로 분류하였는데, 이해의 오류, 처리 기술의 오류, 실 수나 부주의로 인한 오류, 애매모호한 오류이다. 처리기술의 오류란 기초적인 대수 기호를 다루는데 있어서의 오류, 초등학교 또는 중학교 수학에서 습득된 알고리즘을 시행하는 데 있어서 오는 오류 등이 경우를 말한다고 하였다. 본 연구에서는 C 학습지의 경우 학생들이 풀이 과정에서 수식 표현 오류를 보인 경우가 있었다.    ×   과 같은 표현을 사용하 였다. 수학에서 연산이 두 개가 연속해서 나올 때에는 혼란스럽지 않도록 반드시 괄호를 사 용하고 있다. 괄호와 곱셈 기호를 모두 사용한 A 학습지의 경우 이런 오류가 발견되지 않 았고, 풀이과정에서    ×    이라는 표현을 정확하게 쓴 학생이 2명이 있었다. 나머 지 학생들은 그냥 대입해서 풀이과정을 간단히 하여 바로 답을 구하고 있었다.

유선옥(2008)은 오류의 유형을 크게 5가지로 분류하였는데, 구조적 오류, 실행의 오류, 이 해의 오류, 요구되지 않은 해답, 애매모호한 오류이다. 박효진(2008)과 오류를 분류한 점에서

접근법은 비슷하지만 오류의 유형을 다르게 분류하였다. 함수에서 독립변수에 값을 대입하 여 종속변수의 값을 구하는 것이 함숫값을 계산할 때 용이하다. 하지만 대입을 하는 과정에 서 문자가 수를 대표하는 것이라기보다는 문자 대신 수 자체만 대입하는 것이라고 간주하고 문제를 푸는 학생들이 있는데, 박효진(2008)은 이러한 오류를 처리기술의 오류로 분류하였 다.

유선옥(2008)은 이러한 오류를 실행의 오류로 좀 더 구체적으로 수와 연산의 오류 중 

를 a(+x)로 인수들의 곱을 항의 덧셈으로 다루는 오류라고 하였다. 유선옥은 실행의 오류 는 방정식의 풀이에서 주어진 형식이나 항과 연산의 배열, 연산 순서의 제약으로 인하여 학 생들이 저지르는 오류로서 학생들에게 오류를 지적했을 때 학생 스스로 쉽게 교정할 수 있 고, 교수 후 오류의 교정율이 높다고 하였다.

2. K 중학교 3학년의 A, B, C학습지 결과 분석

K 중학교에서 학습지를 제출한 학생 수는 전체 표본 대상 210명 중 192명이었다. 이 중 남학생은 전체 104명 중 88명, 여학생은 전체 106명 중 104명이었다. 학습지를 제출할 수 있 도록 유도하여 회수율은 높았다. 하지만 연구 의도의 설명 후에 학생들이 학번과 이름을 적 는 것을 부담스러워 하여 비워 놓는 경우가 있었다. 학습지 풀이 결과를 의식해서 학생들 중 모르는 부분을 주위에 친구들에게 물어보고 해결하는 경우가 있어 정확한 통계 결과를 얻는 데에는 한계가 있었지만 본 연구에서는 괄호와 곱셈 기호의 생략으로 인한 오류를 살 펴보고자 한 것이었기 때문에 연구 방법에 문제는 없었다. 연구 분석 결과 주위 친구들끼리 같은 오류를 보인 경우는 발견되지 않았다.

A, B, C 학습지 문제를 완벽하게 풀지 않고, 부분 문제 하나라도 풀지 않거나 오류가 발 생한 경우는 총 46명이었다. 이 중 남학생은 20명, 여학생은 26명이었다. 학습지 유형별로 살펴보면 A 학습지의 경우 16명으로 남학생은 7명, 여학생은 9명이었다. B 학습지의 경우 16명으로 남학생은 10명, 여학생은 6명이었다. 괄호 기호만 생략된 C 학습지의 경우 14명으 로 남학생 3명, 여학생 11명이었다.

오류를 보인 학생들을 살펴보면 괄호와 곱셈 기호가 모두 생략되지 않은 A 학습지의 경 우 남학생 1명이 1.(1)의 함숫값 구하는 문제뿐만 아니라 1.(2)의 1)의 방정식의 풀이에서도

   를 대입하여         라고 일차 방정식 풀이를 하였으며, 1.(2)의 2)의 이 차 방정식도    ×             와 같이 풀이의 오류를 보였다. 하지만 대입 하여 계산하는 과정에서        또는    ×     의 표현을 사용하는 오류 는 발견되지 않았으며,    ×     의 좌변의 계산도 정확하게 하였다. A 학습지의 경우 괄호와 곱셈 기호가 모두 생략되지 않은 형태로 곱셈, 괄호 기호에 관련된 오류는 나 타나지 않았다.

B 학습지에서 남학생 10명 중 2명은 1. (1)의 함숫값을 구하는 문제에서 계산상의 오류를 범하여 답을 과 로 각각 나타내었다. 나머지 학생들은 본 연구에서 중점적으로 보는 기호 에 관련된 오류가 발견되지 않았다. 답을 로 구한 학생의 경우 C 학습지에서 오류를 범했 던 학생과 오답이 같았다. 1명은 1. (2)의 1)의 일차식의 계산에서 부호를 잘못 계산하여 방 정식의 근을    로 구했다. 오답을 통틀어 유일하게 일차 방정식의 근을 구하는데 이차

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