사각형 개수로에서 비에너지와 비력관계식의 해석해
김 대 근
목포대학교, 토목공학과
Analytical Solutions for Specific Energy and Specific Force Equations in Rectangular Open Channels
Kim Dae-Geun
Department of Civil Engineering, Mokpo National University, Korea (Received : Jun. 21, 2016, Revised : Sep. 17, 2016, Accepted : Sep. 21, 2016)
Abstract : In specific energy/specific force equations for a rectangular open channel flow, characteristic equations for obtaining alternate depths/conjugate depths were derived and their analytic solutions were presented. The characteristic equations were in the form of cubic equations for dimensionless alternate depths/conjugate depths, and the solutions to these characteristic equations had three real roots. Out of the three real roots, the first was a negative solution without any physical significance, the second was a solution located in the subcritical flow zone, and the third was a solution located in the supercritical flow zone. Consequently, under critical flow conditions, the solutions for the subcritical flow zone and the supercritical flow zone had identical multiple roots. In addition, it was demonstrated that the analytic solutions presented in this study are readily applicable to the analysis of water level changes and hydraulic jumps according to the channel transition.
Keyword : open channel, specific energy, specific force, alternate depth, conjugate depth
1. 서론
1)
개수로에서 비에너지(specific energy)는 수로바닥을 기준으로 단위무게의 물이 가지는 에너지로 정의되며 흐름의 위치수두와 속도수두의 합으로 표현된다. 비력 (specific force)은 비교적 짧은 구간의 급변류 구간에 운동량방정식을 적용하는 경우로, 수로바닥의 마찰과 중력의 흐름방향 성분을 무시할 수 있기 때문에 단위 무게당 정수압과 동수압의 합으로 표현할 수 있다. 비 에너지는 수로단면의 변화에 따른 수심의 변화를 해석 하기 위하여, 비력은 도수(hydraulic jump)현상을 해석 하기 위하여 중요하게 사용되는 개념이다[1, 2]. 일정한 유량에 대해 수심으로 정리된 비에너지와 비력 관계식 은 해석적으로 3개의 해(3개의 수심)를 가지나, 물리적
†Corresponding Author 성 명 : 김 대 근
소 속 : 목포대학교 토목공학과
주 소 : 전라남도 무안군 청계면 도림리 목포대학교, 토목공학과
전 화 : 061-450-2476 E-mail : kdg05@mokpo.ac.kr
인 의미를 가지는 해는 2개이며 나머지 하나의 해는 물리적인 의미를 가지지 않는다. 물리적인 의미를 가 지는 2개의 해는 각각 흐름이 상류(subcritical flow)인 경우와 사류(supercritical flow)인 경우에 대한 수심이 다. 즉, 일정한 유량이 흐르는 조건에서 동일한 비에너 지를 가지는 수심이 상류와 사류에 각각 존재하는데, 이 2개의 수심을 대응수심(alternate depths)이라 정의 한다. 또한 일정한 유량이 흐르는 조건에서 동일한 비 력을 가지는 수심 역시 상류와 사류에 각각 존재하는 데, 이 2개의 수심을 공액수심(conjugate depths)이라 정의한다.
비선형 음함수의 형태인 비에너지나 비력관계식에서 대응수심과 공액수심을 구하기 위하여 통상 시행착오 법(trial and error method)이나 도해법(graphical method) 등이 전통적으로 주로 사용되어 왔으나, 이러 한 방법은 계산과정에 시간이 소요되거나 주관적인 요 소가 개입되는 등 사용하기에 번거로운 측면이 있다[1, 3]. 이에 비에너지나 비력관계식의 해석해를 직접 구하 고자 하는 연구가 최근에 수행되었다[4, 5].
본 연구에서는 Abdulrahman[4]과 Singh[5]의 해석적 연구를 토대로 정상류(steady flow)조건에서 사각형단 면에 대한 대응수심과 공액수심의 해석해를 구하였다.
본 연구에서 제시한 해석해는 기존 연구에서 제시하는 해석해에 비해 사용이 쉬운 형태이며, 유도과정에서 물리적인 의미를 상세히 설명하여 해석해의 적용에 도 움이 되도록 하였다.
2. 연구방법 2.1 대응수심
개수로에서 비에너지는 수로바닥을 기준으로 단위무 게의 물이 가지는 에너지 즉, 흐름의 위치수두와 속도 수두를 더한 것으로 정의되며 다음 식 (1)과 같이 쓸 수 있다. 단, 식 (1)에는 정상류조건에서 수로의 경사는 완만하고 정수압이 작용하며 에너지보정계수는 1이라 는 가정이 포함되어 있다.
(1)위에서
는 비에너지,
는 수심,
는 단면평균유 속,
는 유량,
는 중력가속도이다.Figure 1은 주어진 유량과 단면에 대해 수심과 비에 너지의 관계를 도시한 비에너지곡선(specific energy curve)이다. Figure 1에서
축과 직선의 간격만큼은 비 에너지 중 위치수두가 차지하는 비중이며, 직선과 비 에너지곡선의 간격만큼은 비에너지 중 속도수두가 차 지하는 비중이다. 흐름이 상류인 경우에 수심이 증가 할수록 비에너지에서 위치수두가 차지하는 비중이 점 차 증가하며, 흐름이 사류인 경우에 수심이 감소할수 록 비에너지에서 속도수두가 차지하는 비중이 점차 증 가하는 형태이다. 주어진 유량에 대해 비에너지가 동 일한 수심이 상류영역과 사류영역에 각각 위치하는데, 이 들 한쌍의 수심
과
를 대응수심이라 한다. 또 한 Figure 1에서 비에너지가 점차 감소하다 최소가 되 면 이에 상응하는 수심은 오직 하나만 존재하는데, 이 러한 경우의 흐름을 한계류(critical flow)라 하며, 이때 의 수심을 한계수심(critical depth)이라 한다.Figure 1. Specific energy curve.
식 (1)을 폭이 인 사각형단면에 적용하여 단위폭 당유량,
를 이용하여 정리하면 다음 식 (2)와 같이 쓸 수 있다. 또한 한계류인 경우 즉 비에너지가 최소인 경우에는 한계수심을 다음 식 (3)과 같이 쓸 수 있다 [1].
(2)
and
(3)한계류에서의 수심
와 비에너지
를 이용하여 식 (2)의 수심과 비에너지를 무차원화( ,
≥ )하여 정리하면 식 (2)는 다음 식 (4)와 같이 정리할 수 있다.
(4)
식 (4)의 해를 구하기에 앞서, 다음과 같은 3차식의 판별식
를 이용하여 실근의 개수를 검토하였다[6].
(5a)
(5b)
(5c)
, , (5d)
식 (5)는 정리하면 다음 식 (6)과 같다. 식 (6)에서 판별식
가 0인 경우는
가 1인 경우로 한계류조건 인 경우이며, 그 이외의 조건에서는 판별식이 항상 0 보다 작게 된다. 판별식이 0인 경우에는 세 개의 실근 중 최소 2개는 동일한 근이며, 판별식이 음수인 경우 에는 서로 다른 세 개의 실근을 가지는 경우이다. 즉 한계류조건에서는 식 (4)의 해가 -1/2, 1, 1이며, 그 이 외의 조건에서는 식 (4)의 해가 하나의 음수해와 2개의 양수해를 가지게 된다. 그 중에서 음수해는 물리적으 로 의미가 없으므로 2개의 양수해가 구하고자 하는 해 가 된다.
≤ (6)판별식이 0인 경우에는 식 (4)의 해가 특정되며, 음 수인 경우 식 (4)의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다[6].
cos
cos
(7a) cos
cos
(7b)
cos
cos
(7c)
arccos
arccos
(7d) 식 (7a)와 (7b)는 상류와 사류인 경우의 무차원수심 이며, 식 (7c)는 음수로 물리적인 의미를 가지지 않는 다. 무차원비에너지를 알면 식 (7d)를 통해
를 구할 수 있으며, 여기서 구한
를 식 (7a)와 (7b)에 대입하 면, 바로 상류와 사류에서의 무차원대응수심을 구할 수 있다. Figure 2는 무차원비에너지에 따른
의 거동 을, Figure 3은 무차원비에너지에 따른 무차원대응수심 을 각각 도시한 것이다.Figure 2. Angles with dimensionless specific energy.
Figure 3. Dimensionless alternate depths with dimensionless specific energy.
2.2 공액수심
개수로에서 비력은 단위 무게당 정수압과 동수압의 합으로 정의되며 다음 식 (8)과 같이 쓸 수 있다. 비력 관계식은 도수와 같은 짧은 구간에서의 급변류 해석에 적용할 수 있다.
(8)
위에서
은 비력,
는 통수단면적에 대한 수면에 서 도심까지의 깊이이다.Figure 4는 주어진 유량과 단면에 대해 수심과 비력 의 관계를 도시한 비력곡선(specific force curve)이다.
Figure 4에서 주어진 유량에 대해 비력이 동일한 수심 이 상류영역과 사류영역에 각각 위치하는데, 이 들 한 쌍의 수심
과
를 공액수심이라 한다. 또한 비력이 점차 감소하다 최소가 되면 이에 상응하는 수심은 오 직 하나만 존재하는데, 이러한 경우의 흐름을 Figure 1 에서도 언급했듯이 한계류라 한다.Figure 4. Specific force curve.
식 (8)을 폭이
인 사각형단면에 적용하여 단위폭 당유량,
를 이용하여 정리하면 다음 식 (9)와 같이 쓸 수 있다. 식 (9)의
은 단위폭당 비력으로 식 (8)의
과는 차원이 다르나, 여기에서는 따로 구분하지 않았 다. 그리고 한계류 조건에서의 비력은 식 (3)을 이용하 면 식 (10)과 같이 쓸 수 있다. 즉, 한계류 조건에서는 비력에서 정수압과 동수압의 비가 1:2의 관계가 있음 을 알 수 있다.
(9)
(10)
한계류에서의 수심
와 비력
를 이용하여 식 (9)의 수심과 비력을 무차원화( ,
≥ )하여 정리하면 식 (9)는 다음 식(11)과 같이 정리할 수 있다.
(11) 식 (11)의 해를 구하기에 앞서, 다음과 같은 3차식의 판별식
를 이용하여 실근의 개수를 검토하였다[6].
(12a)
(12b)
(12c)
,
, (12d) 식 (12)는 정리하면 다음 식 (13)과 같다. 식 (13)에 서 판별식
가 0인 경우는
가 1인 경우로 한계류 조건인 경우이며, 그 이외의 조건에서는 판별식이 항 상 0보다 작게 된다. 판별식이 0인 경우에는 세 개의 실근 중 최소 2개는 동일한 근이며, 판별식이 음수인 경우에는 서로 다른 세 개의 실근을 가지는 경우이다.즉 한계류 조건에서는 식 (11)의 해가 -2, 1, 1이며, 그 이외의 조건에서는 식 (11)의 해가 하나의 음수해와 2 개의 양수해를 가지게 된다. 그 중에서 음수해는 물리 적으로 의미가 없으므로 2개의 양수해가 구하고자 하 는 해가 된다.
≤ (13) 판별식이 0인 경우에는 식 (11)의 해가 특정되며, 음 수인 경우 식 (11)의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다[6]. cos
cos
(14a) cos
cos
(14b)
cos
cos
(14c)
arccos
arccos
(14d)식 (14a)와 (14b)는 상류와 사류인 경우의 무차원수 심이며, 식 (14c)는 음수로 물리적인 의미를 가지지 않 는다. 무차원비력을 알면 식 (14d)를 통해
를 구할 수 있으며, 여기서 구한
를 식 (14a)와 (14b)에 대입하면, 바로 상류와 사류에서의 무차원공액수심을 구할 수 있 다. Figure 5는 무차원비력에 따른
의 거동을, Figure6은 무차원비력에 따른 무차원공액수심을 각각 도시한 것이다.
Figure 5. Angles with dimensionless specific force.
Figure 6. Dimensionless conjugate depths with dimensionless specific force.
3. 연구결과 (적용 예) 3.1 대응수심
Figure 7과 같이 바닥이 점차 높아지는 개수로에서 단위폭당유량
는 5.0m3/s/m,
는 0.2m인 경우에 대해
이 2.0m인 경우와 1.0m이 경우 각각에 대해
를 구하시오.Figure 7. Channel transition with change in bed.
(1) 먼저 수심이 2.0m인 경우, 한계류에서의 한계수 심과 비에너지를 식 (3)을 이용하여 구하면,
는 1.3659m,
는 2.0489m이므로 단면 1에서는 상류가 발 생하게 된다. 식 (2)를 이용하면 단면 1에서의 비에너 지는 2.3186m이므로, 단면 2에서의 비에너지는 2.1186m가 된다. 따라서 단면 2에서의 무차원비에너지
는 1.0340이며, 식 (7)에 의하면
는 2.5135rad, 무차 원대응수심은 각각 상류영역에서 1.2088, 사류영역에서 0.8366이 된다. 단, 단면 1에서 상류흐름이므로 단면 2 에서도 상류흐름이어야 하므로
는 1.651m가 된다.따라서 단면 1에서 단면 2로 물이 흐르며 수위가 2.0m 에서 1.851m로 하강하게 된다.
(2) 수심이 1.0m인 경우, 한계류에서의 한계수심과 비에너지는 앞과 동일하므로
는 1.3659m,
는 2.0489m이므로 단면 1에서는 사류가 발생하게 된다.식 (2)를 이용하면 단면 1에서의 비에너지는 2.2742m이 므로, 단면 2에서의 비에너지는 2.0742m가 된다. 따라 서 단면 2에서의 무차원비에너지
는 1.0123이며, 식 (7)에 의하면
는 2.7597rad, 무차원대응수심은 각각 상류영역에서 1.1195, 사류영역에서 0.8969가 된다. 단, 단면 1에서 사류흐름이므로 단면 2에서도 사류흐름이 어야 하므로
는 1.084m가 된다. 따라서 단면 1에서 단면 2로 물이 흐르며 수위가 1.0m에서 1.284m로 상승 하게 된다.Figure 8과 같이 수로폭이 점차 좁아지는 개수로에 서 80m3/s,
은 10m,
는 8m,
은 5m인 경우, 단 면 2에서의 수심
를 구하시오.Figure 8. Channel transition with change in width.
단면 1에서 한계류의 한계수심과 비에너지를 식 (3) 을 이용하여 구하면,
는 1.8685m,
는 2.8028m이므 로 단면 1에서는 상류가 발생하게 된다. 단면 2에서의 한계류의 한계수심과 비에너지를 식 (3)을 이용하여 구 하면,
는 2.1683m,
는 3.2524m이다. 식 (2)를 이용 하면 단면 1에서의 비에너지는 5.1305m이며, 단면 2에 서의 비에너지 역시 단면 1과 같은 5.1305m가 된다.따라서 단면 2에서의 무차원비에너지
는 1.5775이며, 식 (7)에 의하면
는 1.0581rad, 무차원대응수심은 각 각 상류영역에서 2.2691, 사류영역에서 0.5205가 된다.단, 단면 1에서 상류흐름이므로 단면 2에서도 상류흐 름이어야 하므로
는 4.920m가 된다. 따라서 단면 1 에서 단면 2로 물이 흐르며 수위가 5.0m에서 4.920m로 하강하게 된다.3.2 공액수심
수문을 부분 개방하여 수문 직하류의 수심
은 2.0m, 단위폭당유량은 30m3/s/m인 경우의 수심
에 대한 공액수심을 구하면 다음과 같다.식 (3)을 이용하여 단면 1에서의 한계수심을 구하면
는 4.5102m이므로 단면 1에서는 사류가 발생한다.단면 1에서의 비력과 최소의 비력을 각각 식 (9)와 식 (10)을 이용하여 구하면
은 47.8716m2이며
는 30.5129m2이므로 무차원비력
는 1.5689이다. 주어진 무차원비력에 대해 식 (14)를 이용하면
는 2.1047rad, 무차원공액수심은 각각 상류영역에서 1.9135, 사류영역 에서 0.4435가 된다. 따라서
에 대한 공액수심
는 상류영역에서 8.630m가 된다. 즉, 도수전 수심이 2.0m 라면 도수후에는 수심이 8.630m가 된다.4. 결론
비선형 음함수의 형태인 비에너지나 비력관계식에서 대응수심과 공액수심을 구하기 위하여 통상 시행착오 법이나 도해법 등이 전통적으로 사용되어 왔으나, 이 러한 방법은 계산과정에 시간이 소요되거나 주관적인 요소가 개입되는 등 사용하기에 번거로운 측면이 있다.
이에 본 연구에서는 사각형 개수로 흐름에 대한 대응 수심과 공액수심을 손쉽게 구할 수 있는 특성방정식을 유도하고 이의 해석해를 제시하였다. 무차원화된 대응 수심과 공액수심을 구하기 위한 특성방정식은 3차방정 식의 형태로 정리할 수 있으며, 이 들 방정식의 해는 3 개의 실근을 가진다. 3개의 실근 중 하나는 물리적인 의미가 없는 음수해이며, 하나는 상류영역 또 다른 하 나는 사류영역에 위치하는 해이다. 그러므로 한계류 조건에서는 상류영역과 사류영역의 해가 동일한 중근 을 가지게 된다. 주어진 해석해를 수로의 변이에 따른 수위변동 해석 및 도수 현상의 해석에 손쉽게 적용할 수 있음을 보였다. 본 연구는 개수로 흐름 해석을 위 해 비에너지 및 비력관계식을 이용하는 경우에 손쉽게 해석해를 구할 수 있어, 관련된 해석 및 설계에 본 연 구를 유용하게 활용할 수 있을 것으로 판단된다.
참고문헌
1. Chow, V.T., “Open channel hydraulics”, McGraw- Hill, New York (1959).
2. Lee, J.S., “Hydraulics”, Goomibook, Seoul, Korea (2007).
3. Henderson, F.M., “Open channel flow”, Macmillan Series in Civil Engineering, New York (1966).
4. Abdulrahman, A.,
J. of Irrigation and Drainage Engineering
, 134(4), 533-537 (2008).5. Sing, S.K.,
J. of Irrigation and Drainage Engineering
, 0401406-1-7 (2015).6. Spiegel, M.R., “Mathematical handbook of formulas and tables”, McGraw-Hill, Singapore (1968).
