제 9 장.

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제 9 장. 매개변수방정식과 극좌표

9.1 매개변수방정식으로 정의된 곡선

9.2 매개변수곡선에 대한 미적분 9.3 극좌표

9.4 극좌표에서의 넓이와 거리

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9.1 매개변수방정식으로 정의된 곡선

곡선 C를 따라 움직이는 한 입자를 생각하자.

입자의 x, y 좌표는 시간 함수이므로 x = f(t), y = g(t)

로 쓸 수 있다. 이와 같이 x , y 가 모두 제 3의 변수 t 의 함수로서 표현된

x = f(t), y = g(t)

를 매개변수방정식(parametric equation)이라 한다.

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x = f(t), y = g(t )

t 를 매개변수(parameter))라 하고,

t가 변함에 따라 점 (x, y) = (f(t), g(t))가 그리는 곡선 C의 자취를 매개변수곡선(parametric curve)이라 한다.

(x, y) = (f(t), g(t))를 시각 t 에서 입자의 위치로 해석할 수 있다

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예제

매개변수방정식 x = t²

- 2t, y = t + 1 로 정의된 곡선은 무엇인가 ?

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매개변수방정식 x = cost, y = sint (0 ≤ t ≤ 2p )로 표현되는 곡선은 무엇인가?

예제

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매개변수방정식 x = sin2t, y = cos2t, (0 ≤ t ≤ 2

p)

예제

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반지름이 r 이고 중심이 (h, k)인 매개변수방정식 예제

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매개변수방정식이 x = sin t, y = sin²

t 인 곡선을 그려라.

예제

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사이클로이드(cycloid)

직선을 따라 원이 구를 때 원주에 있는 점 P의 자취를 그린 곡선

사이클로이드의 한 아치는 원이 한 번 회전할 때 생긴다.

따라서 0 ≤ q _{≤ 2}p _{에서 그려진다.}

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사이클로이드의 매개변수방정식

원의 반지름이 r 이고 x 축을 따라 구르며, 점 P의 한 위치가 원점일 때 사이클로이드의 매개변수방정식

원의 회전각 q (P가 원점에 있을 때 q = 0)를 매개변수로 택한다.

점 A와 B를 잇는 모든 곡선 중에서 곡선이 사이클로이드의 뒤집힌 호일 때 입자는 점 A에서 B까지 최단시간에 미끄러져 간다.

최속 강하선 문제

등시곡선 문제(tautochrone problem)의 해

한 입자 P가 뒤집한 사이클로이드의 어느 곳에 있든지 상관없이 바닥까지 미끄러져 내려가는 데 똑같은 시간이 걸린다.