Internal Wave Generation with Level Set Parallel Finite Element Approach

대 한 토 목 학 회 논 문 집 제32권 제6B 호·2012년 11월 pp. 379 ~ 385

해안 및 항만공학

레블셋 병렬유한요소 기법을 이용한 파랑 내부 조파

Internal Wave Generation with Level Set Parallel Finite Element Approach

이해균*·이남주**

Lee, Haegyun

^·

Lee, Nam-Joo

···

Abstract

Recent development of computing power and theoretical advances in computational fluid dynamics have made possible numerical simulations of water waves with full Navier-Stokes equations. In this study, an internal wave maker using the mass source function approach was combined with the level set finite element method for generation of waves. The model is first applied to the two-dimensional linear wave generation and propagation. Then, it is applied to the three-dimensional simulation of the same problem. To effectively utilize computational resources and enhance the speed of execution, parallel algorithms are developed and applied for the three-dimensional problem. The results of numerical simulations are compared with theoretical values and good agreements are observed.

Keywords :

level set method, internal generation, finite element method, parallel processing

···

요 지

최근의 컴퓨터 연산 성능의 향상과 전산유체역학 분야의 이론적 발전은 완전한 Navier-Stokes 방정식을 이용한 파랑의 수 치모의를 가능하게 하였다. 본 연구에서는 질량원천함수를 이용한 내부조파 기법을 레블셋 유한요소법과 결합하였다. 수치모 형은 먼저 2차원 파랑 조파와 전파에 적용되었다. 다음에 같은 문제의 3차원 파랑 모의에 적용되었다. 컴퓨터 자원의 효율 적 활용과 연산속도 향상을 위하여 3차원 문제에는 병렬 계산 알고리즘이 고안되어 적용되었다. 수치모의에 의한 계산 결과 를 이론적인 값과 비교하였으며, 잘 일치함을 확인할 수 있었다.

핵심용어 : 레블셋 기법, 내부 조파, 유한요소법, 병렬처리

···

1. 서 론

1.1 연구의 배경

최근 향상되고 있는 컴퓨터의 연산 속도와 전산유체역학

(CFD), 병렬처리 기법 등 계산 이론의 발전으로 인하여 완

전한 Navier-Stokes 방정식을 이용한 파랑 해석 문제에 접

근이 증가하고 있으며 ( 최준우 등 , 2009; Ha 등 , 2011), 또

한 , 상용 CFD 코드의 적용성 확대와 더불어 , 그 이용도 증

가하고 있다 (Choi 등 , 2007). 이러한 모형에서는 계산 영역

내에서 산란 또는 반사되는 파와 불필요한 간섭을 일으키지 않는 효과적인 조파기법이 필수적이라고 할 수 있다 . Brorsen 과 Larsen(1987) 이 영역 내부조파기법 (internal wave

generation) 을 경계요소법 (BEM) 에 적용한 이후로 많은 연구

가 수행되어 왔다 . Navier-Stokes 방정식 기반의 모델을 이

용한 기존의 연구에서는 주로 VOF(Volume of Fluid) 기법 을 중심으로 Lin 과 Liu(1999) 의 질량원천함수 (mass source function) 를 이용한 조파기법 또는 운동량 원천함수 (momentum

source function) 를 사용한 조파기법 ( 최준우 등 , 2009) 에 의존해왔다 . 3 차원 모의를 위한 시도로는 허동수 등 (2011) 의

시도가 대표적인 사례로서 , ^역시 VOF ^{기법에 질량원천함수}

를 이용하여 다방향 불규칙파를 조파한 연구가 있다 . 본 연 구에서는 기하학적으로 경계처리 측면에서 유리한 유한요소 법 기반의 Fractional four-step, characteristic Galerkin 기 법에 , 자유수면의 처리를 위한 레블셋 기법을 결합하여 , 질 량원천함수를 사용한 Lin 과 Liu(1999) 의 선형파 조파 문제 에 적용하였다 . 또한 , 3 차원 문제의 경우 계산 시간과 메모 리 기억 용량의 제한의 극복을 위하여 병렬처리 알고리즘을 적용하였다 .

1.2 이상유동(two-phase flow) 모델

일반적으로 특성이 다른 두 유체 , 예를 들면 물과 공기 ,

물과 기름과 같이 섞이지 않는 (immiscible) 두 유체의 흐름

모의는 전산유체역학 (CFD) 이라는 학문의 시작 시점에서부터 항상 도전적인 어려운 문제로서 많은 연구자들의 연구 대상

*정회원·교신저자·단국대학교토목환경공학과조교수·공학박사

(E-mail : [email protected])

**정회원·경성대학교토목공학과교수·공학박사

(E-mail : [email protected])

이었다 . 특히 기체와 액체가 혼재된 경우처럼 상 (phase) 이

다른 두 유체의 흐름을 이상유동 (two-phase flow) 라고 구분

하며 , 다상 유동 (multi-phase flow) 의 특별한 예로 분류할 수 있다 . ^{해안공학분야에서 파랑의 모의와 같은 자유수면}

(free surface) 을 포함하는 문제와 같은 이상유동에 대한 전

산유체역학적인 접근 방법에서는 , 고전적인 유체역학의 연구 방법 분류와 같이 크게 오일러식 접근방법 (Eulerian approach)

과 라그란지식 접근 방법 (Lagrangian approach) ^{으로 구분할}

수 있다 . 라그란지식 접근 방법은 주로 가상적인 유체입자

(particle) 의 이동에 주목하는 것으로서 최근 많이 적용 되고

있는 방법으로 SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics) 방법

이 대표적인 예이다 ( ^{김남형과 고행식} , 2007). ^{오일러식 접근}

방법은 경계면추적방법 (interface tracking method) 과 경계면 포착방법 (interface capturing method) 방법으로 구분할 수 있다 (Floryan 과 Rasmussen, 1989). 경계일치좌표계 (body

fitted coordinate) 를 사용하여 자유수면이 해석을 위한 격자

의 경계가 되도록 하는 방법이 계면추적방법에 속하는 반면 ,

VOF(Volume of Fluid) 와 본 연구에서 적용한 레블셋 기법

(Level set method) 을 대표적인 계면포착방법으로 분류할 수

있다 . 격자 자체의 움직임이 없는 VOF 기법과 레블셋 기법

은 기본적으로 확산항이 없는 다음 이송방정식 (convection equation),

(1)

을 사용한다는 점에서 유사하지만 , VOF 기법이 이를 격자 점에서의 물의 비율을 의미하는 질량비율함수 (mass fraction

function) 의 이송이라는 관점에서 접근하는 반면에 , 레블셋

기법에서는 이를 운동학적 경계조건 (kinematic surface

condition) 의 적용으로 해석하고 있다 . 이러한 관점의 차이

로 인하여 VOF 기법에서는 관례적으로 를 , 레블셋

기법에서는 을 기준으로 φ가 자유수면으로 부터 물이 존재라는 영역은 (+) 의 , 공기가 존재하는 영역은 ( − ) 의 거 리가 되도록 정의하는 것이 일반적이다 ( 그림 1). 두 방법 모두 이송방정식 (1) 을 이용하여 경계면을 이동시킨 후에 는 φ값이 원래의 정의를 만족시키지 못하므로 , ^경계면을

다시 정의할 필요가 있다 . 일반적으로 VOF 기법에서는

SLIC(Simple Linear Interface Calculation), PLIC(Piecewise Linear Interface Calculation) ^{등의 기하학적인 방법} (Rider ^와

Kothe, 1998) 을 , 레블셋 기법에서는 기하학적인 방법 또

는 편미분방정식을 이용하여 부호가 있는 거리 함수라는 원래 정의에 부합하도록 조정하고 있다 (Sethian, 1999).

최근에는 두 기법의 장단점을 보완 / ^{결합한 접근 방법} ( ^예를

들면 , Sussman, 2003) 이 시도되고 있으나 , 두 기법의 원

래 차이점은 표 1 과 같이 그 장점과 단점을 비교할 수 있다 .

서론에서는 연구의 배경과 이상유동 모델에 대하여 간단히 소개하였다 . 본론에서는 조파항을 포함한 비압축성 Navier-

Stokes 방정식의 공간 및 시간 차분방법 , 파랑에너지 흡수를

위한 경계조건 , 병렬처리 알고리즘 등 수치기법에 대하여 설 명하였다 . ^{본 연구의 모델 적용사례로서} 2 ^{차원 수로와} 3 ^차원

수로에 대한 조파 및 전파 모의를 수행하여 그 결과를 보였 다 . 또한 병렬 처리를 통하여 개발된 코드의 속도향상 결과 를 보였다 . 마지막으로 결론에서는 결과와 향후 연구 방향에 대하여 기술하였다 .

2. 본론

2.1 지배방정식과 내부 조파, 경계 조건

흐름모의를 위한 지배 방정식으로는 다음과 같은 Navier-

Stokes 방정식과 , 선형파의 조파를 위하여 Lin 과 Liu

(1999) 의 질량원천함수 항을 포함한 비압축성 유동에 대한

연속방정식을 적용하였다 .

∂φ ∂

t

---+u_i

_∂

---

^∂φ

x_i=0

φ

=0.5

φ

=0

Fig. 1 Level set method with a signed distance function, φ

Table 1. Comparison of level set method and VOF method

주요 특성

Level Set Method VOF Method

지배방정식

(Governing Equation)

물리적인 해석

(Physical Interpretation) Application of (kinematic) free surface boundary condition

( ) Transport equationof mass fraction

(or concentration)

경계면의 위치

경계면의 재구성

(Re-Processing) Reinitialization (Redistancing) - PDE

or Geometric approach Reconstruction of

free surface (SLIC, PLIC etc.)

표면장력 등 외력의 적용

(Surface tension etc.) Easy to incorporate Not straightforward

3

^{차원 확장}

(3D Extension) Straightforward Not easy

개발자

Osher

와

Sethian (1988) Hirt

와

Nichols (1981)

적용

CFD

^{분야의 연구와영화}

,

광고 등의 특수효과

FLOW-3D, FLUENT, ANSYS,

CADMAS-SURF

^등

∂φ ∂

t

---+u_i

_∂

---

^∂φ

x_i=0 D

φ ⁄

Dt

( )

=0

φ

=0

φ

=0.5

(2) (3)

여기서 는 질량원천함수항 , c

s

는 에너지 감쇠를 위한 파랑 흡수층의 감쇠계수 (damping coefficient) 이며 , 다른 변 수들은 일반적인 표현에 준한다 .

식 (2) ^와 (3) ^{으로 구성된 흐름 모델을 이용하여 속도 분포}

를 구한 후 , 물과 공기의 경계면의 포착 (capturing) 을 위하여 레블셋 함수 φ에 대한 이송방정식 식 (1) 을 적용한다 . 이후

경계면의 재구성을 위하여 다음의 재거리화 (redistancing) 방

정식을 이용하였다 .

(4)

여기서 τ는 유사 시간 (Psudo time) 이다 .

로서 , ^{편미분방정식인 식} (4) ^{의 초기조건이 된다} . ^재거리화

방정식은 가 되어 ψ가 거리 함수가 되도록 하는 것으로서 , 전 계산영역의 재거리화를 위해서는 식 (4) 를 에서 정상상태인 에 도달할 때가지 적용해야 한다 . 그러나 , 실제로 재거리화가 필요한 영역은 경계면 부근 이기 때문에 까지의 계산으로 충분한 경우가 많다 .

계산 후에는 와 같이 φ로 환원되

어야 한다 .

비압축성 Navier-Stokes 방정식의 경우 , 타원형 연속방정식 과 쌍곡선형 / 포물선형 운동량방정식을 연결하는 변수가 없기 때문에 대체로 SIMPLE 계열 기법이나 , fractional step 기 법을 사용하게 된다 . 본 연구에서는 Navier-Stokes 방정식의 시간 적분에는 fractional four-step 기법을 , 공간차분에는

characteristic Galerkin 기법 (Lin 등 , 2005) 을 사용하였다 .

따라서 , 다음과 같이 단계적으로 4 개의 식을 통하여 , 시간간 격 ∆t만큼 전진하게 된다 .

(5)

(6)

(7)

(8)

식 (5) 는 운동량 방정식으로서 , 는 fractional four-Step

기법의 적용 단계에서 연속방정식을 만족시키지 못하는 중 간 단계의 속도이다 . 식 (6) 을 통한 첫 번째 속도수정 (1

^st

corrector) 을 통하여 다시 중간 단계 속도 를 얻게 된다 .

식 (7) 의 압력 -Poisson 방정식은 식 (8) 의 2 차 속도 수정방 정식 (2

^nd

corrector) 에 divergence ( ) 를 취한 것으로서 , 식

(2) 의 질량원천함수 항 를 우변에 포함하게 된다 . 따 라서 , 계산은 식 (5), (6), (7), (8), (1), (4) 의 순서대로 진

행하게 된다 . 시간 적분을 위한 Fractional four-step 기법 , 공 간 차분을 위한 characteristic Galerkin ^{기법 등 상세한 수치기}

법에 대해서는 Lin 등 (2005) 의 논문을 참고하기 바란다 .

본 논문에서는 선형파의 조파를 위하여 다음과 같이 Lin

과 Liu(1999) 의 질량 원천함수 (mass source function) 를 사 용하였다 .

(9)

여기서 H는 파고 , C는 분산관계식 (dispersion relationship)

으로 구한 파의 위상속도 (phase velocity), ^{σ는 파의 주파수} (frequency) 이며 , A는 조파영역의 면적 또는 체적이다 . 경계 면으로부터의 불필요한 반사를 피하기 위하여 그림 2 와 같

이 조파 수조의 양 끝에 흡수층 (sponge layer) 을 설치하여

파랑의 에너지를 흡수하도록 하였으며 , 흡수층 내의 감쇠계수 ,

c

s

를 다음과 같이 정의하였다 .

(10)

여기서 α와 n은 경험 상수이며 , 는 흡수층의 두께 이다 . 흡수층 이외의 영역에서는 이 된다 .

2.2 병렬 계산

2.2.1 MPI 를 이용한 병렬 계산

Navier-Stokes 방정식 기반의 3 차원 흐름 모델은 그 자체로 서 복잡성에 더하여 , 처리해야 할 데이터의 증가와 긴 계산 시 간이라는 현실적 어려움에 당면하게 된다 . ^{이러한 많은 문제들}

에 있어서 , 다중프로세서 (multi-processor) 를 이용한 병렬처리

(parallel processing) 가 유력한 대안이 될 수 있다 . 본 연구에서 는 분산형 메모리 시스템 (Distributed Memory System) 에서 널 리 사용되고 있는 MPI(MPI Forum, 2012) ^{를 사용하였다} .

2.2.2 영역분할법 (Domain Decomposition Method)

병렬계산을 위해서는 먼저 전체 격자영역을 가용한 프로세 서의 수에 맞게 분할하여 , ^{각 프로세서에 할당하여야 한다} .

이를 영역분할 (domain decomposition) 이라 한다 . 계산 효율 의 향상과 가용 컴퓨터 자원을 효과적으로 활용하기 위하여 ,

모든 프로세서는 동일한 성능을 갖는다는 전제하에 전체 영 역은 같거나 비슷한 크기로 분할하여야 한다 . 그리고 , 각각 의 프로세서 사이의 데이터 교환에 필요한 시간을 최소화하 기 위하여 분할영역간의 경계 (interface) 의 크기를 최소화하 여야 한다는 것이 일반적인 원칙이다 . 본 연구에서는 그래프 분할 (graph partitioning) 프로그램으로서 많이 사용되고 있는 프로그램 중 하나인 METIS(Karypis, 2011) 를 사용하였다 .

2.2.3 행렬의 계산

유한요소법의 적용은 강성 행렬 (stiffness matrix, K) 과 하

∂

u_i

∂

t --- u_j

^∂

u_i

∂

x_j ---

+ 1

ρ

---

_∂ ^∂

_x^p ---i

– g_i v

^∂

²u_i

∂

x_j

∂

x_j ---–c_su_i + +

=

∂

u_i

∂

x_i ---=s x

(

_i

,

t

)

s x

(

_i

,

t

)

∂ψ ∂τ

---+s

( ) ∇ψ ψ

₀

(

–1

)

=0

ψ

₀

(

x_i

, τ

=0

) φ

=

(

x_i

,

t

)

∇ψ

=1

τ

=0

^{τ τ}

= _steady

τ

=5

∆ τ

φ (

x_i

,

t

) ψ

= ₀

(

x_i

, τ τ

= _steady

)

uˆ_i–_uiⁿ

∂

t

--- u_j

^∂

u_iⁿ

∂

x_j ---

+ 1

ρ

---

^∂ _∂

^p_xⁿ ---i

– g_i 1

2---

∂

---

^∂

x_j v

^∂

u_iⁿ

∂

x_j ---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ∂

∂

x_j --- v

^∂

uˆ_i

∂

x_j ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+ + +

=

^∆

2---^tukn

^∂

---

^∂

x_k ^u2---^jn

^∂

^ui

n

∂

x_j ---

^∂

^uˆ_i

∂

x_j ---

⎝

+

⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

1

ρ

---

^∂ _∂

^p_xⁿ ---i

+ –c_su_iⁿ +

u_i^*–uˆ_i t

--- 1

∆ _ρ

---

^∂ _∂

^p_xⁿ ---i

=

∂ ∂

x_i --- 1

_ρ

---

^∂

^p

_∂

^{n 1}_x⁺

---i

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

1 t

∆

---

^∂ _∂

^u_x^i* ---i–s x

(

_i

,

t

)

= u_i^{n 1+} –u_i^*

t

--- 1

∆ _ρ

---

^∂

^p

_∂

^{n 1}_x⁺ ---i

–

=

uˆ_i

u_i^*

∇

s x

(

_i

,

t

)

s x

(

_i

,

t

)

CH ---sinA

( ) σ

t

=

c_s

α

exp

[ { ⁽

x x– _o

⁾ ⁄

x_s

}

ⁿ

]

–1 exp 1

^{( )}

–1 ---

=

x_s

( ≥

0

)

c_s=0

Fig. 2 Layout of a sponge layer with thickness

x_s

^{( ≥}

0

⁾

중 벡터 (load vector, f) 로 표현되는 선형연립방정식 ,

로 귀착된다 . 분산형 메모리 시스템에서의 해를 구하기 위하 여 본 연구에서는 Papadrakakis 와 Bitzarakis(1996) 의 방법 을 적용하였다 .

다음과 같이 적용 대상 전체영역 ( Ω ) 을 서로 겹치지 않도 록 , 연산에 가용한 프로세서의 수 n개로 영역분할 (domain decomposition) 한 경우를 생각할 수 있다 .

(11)

각각의 분할영역 ( ) 에서 프로세서 사이의 경계 에 위치하지 않은 절점에 먼저 번호를 부여하고 , 2 개 이상 의 프로세서 사이의 경계에서 공유되는 절점들만을 모두 모 아 아래 첨자 ‘ s ’ 를 부여한다면 다음과 같은 화살표 형태의 블록 행렬 시스템으로 표현할 수 있게 된다 .

(12)

여기서 A

1

, A

2

, ..., A

n

는 각 영역 내부의 미지 변수에만 관 련된 정방행렬 (square matrix) 이며 , B

1

, B

2

, ..., B

n

은 각 영 역에서 내부 절점과 다른 프로세서와 공유하고 있는 절점을 연결하는 행렬이다 . ^{아래 첨자} ‘ ^s ’ ^{를 갖는 행렬과 벡터들은}

다음과 같이 정의할 수 있다 .

(13)

여기서 Σ는 단순한 합이 아니라 행렬조합 (assembly) 로 해석

되어야 한다 . 분산형 병렬처리 계산 모델에서는 위의 전체 행렬을 각각 영역별로 , 프로세서에 따라 분산 저장하게 된다 .

예를 들면 , 첫 번째 프로세서가 처리하는 영역 1 은 다음의 행렬 시스템만을 저장하게 된다 .

(14)

이와 같이 각 프로세서는 전체 행렬과 벡터의 일부만 저

장하고 , 연산도 그 프로세서 내부에서 수행하지만 , 다른 프 로세서에서 수행되고 있는 연산의 결과를 MPI 루틴을 통하 여 데이터로 주고받음으로써 궁극적으로는 식 (11) 에 대한 해를 얻게 된다 . ^{본 연구에서는 행렬의 계산을 위하여 반복}

법 (iterative method) 으로서 널리 사용되고 있는 공액경사법

(conjugate gradient method) 을 사용하였다 . 자세한 알고리즘

에 대해서는 이해균과 이남주 (2012) 에 설명되어 있다 .

2.3 모형의 적용

2.3.1 선형파 조파 - 2 차원

길이 10 m , 높이 0.24 m 의 수치 조파수조를 2

차원 규칙파의 조파를 위하여 준비하였다 . ^{좌우 끝단에 각각}

1.5 m 의 흡수층을 설치하여 , 조파수조의 길이는 모두 13.0 m

가 되며 , 흡수층을 포함한 전체영역에 절점수 65,050, 사각

형 요소 63,700 의 유한요소 격자를 생성하였다 . 수심 0.2

m ^{의 저면에서는 다소 큰 사각형 격자를} , ^{자유 수면 부근에}

서는 최소 높이 2.221 mm 의 작은 격자를 사용하였으며 , 길이

방향으로는 일정한 0.01 m 의 일정한 격자 간격를 사용하였 다 . 따라서 , 비구조적격자 (unstructured mesh) 를 사용하는 유 한요소법을 사용하였지만 , 격자는 유한차분법의 격자와 동일 한 형상을 보이게 되었다 . 질량원천함수 가 적용되는

사각형 요소는 , 구간에

위치한 것들이다 ( 그림 2 의 정의에 따르면 ,

, ). 영역의 좌우에 각각 1.5 m 의 흡

수층을 설치하여 , 흡수층에 사용되는 식 (9) 의 경험상수는

Lin 과 Liu(2004) 의 연구에서와 같이 α =200.0, n =10 의 값 을 사용하였다 . 흡수층의 두께는 m 의 값을 갖도록 하였다 . 생성되는 선형파는 주기 T=1.0 sec, 파고 H=0.01 m, 파장 L=1.21 m 의 특성을 갖게 된다 . 그림 3 에 보인 바 와 같이 의도하였던 sine 파와 잘 일치하는 결과를 얻을 수 있었다 .

2.3.2 선형파 조파 - 3 차원

3 차원 문제의 경우 2 차원 문제와 같은 제원의 수치 조파수조

를 사용하였다 . ^{다만 y} - ^{방향으로 폭} 0.2 m ^의

폭을 , 격자간격으로 를 사용는 육면체요소

(hexahedral element) 를 사용하였다 . 계산 시간의 단축을 위

Kp f=

Ω Ω

_i

i 1=

∪n

=

Ω

₁

, , , Ω

₂

… Ω

_n

A₁ B₁ A₂ B₂ A_nB_n B₁^TB₂^T

…

B_n^TA_s

p₁ p₂ p_n p_s

⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎧ ⎫

f₁ f₂ f_n f_s

⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎧ ⎫

… … …

=

…

A_s A_si

,

p_s

i 1=

∑n ^psi i 1=

∑n

^,

^{fs fsi} i 1=

∑n

= = =

A₁ C₁ C₁^TA_s1

p₁ p_s1

⎩ ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

f₁ f_s1

⎩ ⎭ ⎨ ⎬

=

⎧ ⎫

5

≤ ≤

x 5 –

( )

s x

(

_i

,

t

)

0.03

≤ ≤

x 0.03

– –0.0713

≤ ≤

y –0.0048

S_w=0.06 S_h=0.0665 S_d=0.0048

x_s=1.5

0.1

^{≤ ≤}

y 0.1

( )

– y

∆

=0.01 m

( )

Fig. 3 Comparison of water surface profile in two-dimensional simulation; numerical solution ( ) and theoretical (expected)

values (---) (Constant water depth, d =0.2 m, period T =1.0 sec, sponge layer of 1.5 m at both ends)

한 병렬처리의 방편으로서 METIS(Karypis, 2011) 를 사용하 여 전체 격자를 8 개 영역으로 분할하고 ( 그림 4), MPI 라이 브러리 루틴을 사용하여 병렬처리를 하였다 . ^그림 5 ^{는 t} = 2 T

일 때 수면의 형상이며 , 그림 6 은 중심면 ( ) 에서 시간 변화에 따른 수면의 형상을 선형파의 이론해와 비교한 것이 다 . 대체로 의도한 바대로 파랑의 전파를 모의하고 있다고 볼 수 있으나 , ^{이론치와 다른 것은 흡수층을 진행방향 양}

끝단에만 설치하고 , 측면에는 설치하지 않았으며 , 조파수조 의 길이에 비하여 좁은 수로를 사용하였기 때문으로 보인다 .

그림 7(a) 는 에서 이론적인 선형파와 2 차원 , 3 차원

수치해의 파형을 비교한 것이다 . ^{대체로 이론적인 해와 잘}

일치하는 것으로 보인다 . 그림 7(b)~(d) 에서는 , 그림 7(a) 와

같이 에서 연직방향의 수평방향 속도 u와 연직방향 속도w를 선형파 이론에 의한 속도와 비교하였다 . 선형이론 에 의한 속도분포가 포텐셜 이론에 기반하기 때문에 바닥 저면에서 활동 (free-slip) 조건을 만족시키는 것과 달리 , 수치 모형에서는 점착 (no-slip) 조건에 의하여 두 방향 속도 성분 u , w가 모두 0 인 것이 차이라고 할 수 있으나 , 전반적으로 잘 일치하는 것으로 보인다 .

그림 8 은 조파를 위한 질량원천함수의 적용 영역 부근에

서 , t/T =4.0~5.0 사이의 수면형상과 속도 분포를 보인 것이

다 . 시간 t / T =4.0~4.5 에서는 원천함수의 값 가 증가하

고 , ^t / ^T =4.5~5.0 ^{동안에는 가 감소함을 보이게 됨을}

속도분포에서 확인할 수 있다 .

y=0

t=8T

t=8T

s x

(

_i

,

t

)

s x

(

_i

,

t

)

Fig. 4 Mesh used for three-dimensional simulation with 1,144,000 elements, 1,229,445 nodes (domain decom- position for 8 processors)

Fig. 5 Snapshot of wave propagation in the three-dimensional wave flume of lateral width 0.2 m at t =2 T . (For visualization x-direction scale is reduced to 1/10 and shades are shown to distinguish domain partitions.)

Fig. 6 Comparison of water surface profile in three-dimensional simulation at the middle cross-section ( y =0); numerical solution ( ) and theoretical (expected) values (---). (Constant water depth, d =0.2 m, period T =1.0 sec, sponge layer of 1.8 m at both ends)

Fig. 7 Comparisons of: (a) Linear wave train on constant

water depth at t / T =8 between numerical results and the

exact profile; (b)~(d) Corresponding vertical distribution of

velocity components between numerical results (solid

line for u , dash-dot line for w) and linear wave theory

( ○ for u , ◇ for w at x =2.6, 3.0 and 3.6 m, respectively)

2.3.3 병렬처리에 의한 속도 향상

병렬 알고리즘에 의한 프로그램의 효율 향상을 계량화하기 위하여 다른 수의 프로세서를 사용한 경우에 대하여 속도향 상 (speedup) 을 측정하였다 . 프로세서의 수를 1 개에서 64 개까

지 늘려가며 t/T =0.5~1.0 구간에서의 처리시간을 측정하였다 .

속도향상은 1 개 프로세서에 의한 처리소요시간을 i개 프로 세서를 이용한 병렬처리 시간으로 나눈 , ^를

사용하였다 . 그림 9 는 3 차원 파랑 전파 문제에 대한 속도향 상을 도시한 것이다 . 프로세서의 수가 증가함에 따라 프로세

서 사이의 통신 (communication) 에 소비되는 시간이 증가하

여 효율이 다소 하락하는 경향을 보이나 , ^{대체로 좋은 결과}

로 보인다 .

3. 결론 및 향후 연구

2 차원과 3 차원 수치 조파 수조 (numerical wave tank) 에 대하여 , 질량원천함수항을 이용한 내부조파기법을 , 레블셋 유 한요소법과 결합하였다 . Navier-Stokes 방정식의 공간차분에 는 Characteristic Galerkin 기법을 , 시간차분에는 Fractional

four-step 기법을 적용하였다 . 3 차원 문제에는 병렬알고리즘

을 적용하여 연산 속도의 향상을 시도하였다 .

2 차원 조파와 파랑전파 문제에서는 이론적인 파형과 매우 잘 일치하는 결과를 얻을 수 있었으나 , 3 ^{차원 조파의 경우}

양 끝단에만 흡수층을 설치하고 , 수조의 길이 방향에 비하여 좁은 측면을 벽면으로 처리하는 등 경계 조건의 문제점으로 인하여 2 차원 모의보다는 다소 미흡한 결과를 얻었다 . 향후 후속 연구에서는 폭이 넓은 영역에 조파하고 , 흡수층을 추가

한다면 , ^{현재보다 개선된 결과를 얻을 수 있을 것으로 생각}

한다 . 이외에 병렬처리에 의한 속도 향상 측면에서도 효율적 임을 확인하였다 .

향후 연구로서 LES 등 난류 모형 , 다방향 조파 , 비선형파

조파 , ^{불규칙파 조파} , ^{다공성 물질 등을 포함한 모델 개발}

등을 고려하고 있으며 , 현재 여러 시도가 진행중이다 . 또한 기하학적으로 복잡한 , 유한요소법의 강점을 잘 표현할 수 있 는 문제에 적용할 계획이다 .

감사의 글

본 연구는 국토해양부 지역기술혁신사업의 연구비지원 ( 과

제번호 # ‘08 ^{지역기술혁신} B-01) ^{에 의해 수행되었습니다} .

S i

( )

=T

^{( )}

1

⁄

T i

( )

Fig. 8 Free surface displacement and velocity field near wave generation source at the middle vertical section ( y =0) (a) t / T =4.0;

(b) t / T =4.2; c) t / T =4.4; (d) t / T =4.6; (e) t / T = 4.8; (f) t / T =5.0 (Rectangles represent source regions)

Fig. 9 Speedup test for wave generation and propagation

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접수일

: 2012.5.10/

심사일

: 2012.7.2/

심사완료일

: 2012.11.12)