패널법과 전산유동해석법의 결합을 이용한 날개단면 주위 점성유동 해석
오진안
1
․ 이진태1,†
울산대학교 조선해양공학부
1
Viscous Flow Analysis around a Blade Section by a Hybrid Scheme Combining a Panel Method and a CFD Method
Jin-An Oh
1․ Jin-Tae Lee
1,†School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Ulsan University
1This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Panel methods are essential tools for analyzing a fluid-flow problem around complex three dimensional bodies, but they lack ability to solve viscous effects. On the other hand, CFD methods are considered as powerful tools for analyzing fluid-flow characteristics including viscosity. However, they also have short falls, requiring more computing time and showing different results depending on the selection of turbulence models and grid systems. In this paper a hybrid scheme combining a panel method and a CFD method is suggested. The scheme adopts a panel method for far-field solution where viscous effects are negligible and a CFD method for the solution of RANS equations in near-field where viscous effects are relatively strong. The intermediate region between the far-field and near-field is introduced where the calculated field point velocities by the panel method are given as boundary velocities for the CFD method. To verify the scheme, calculated results, by a panel method, a CFD method and the hybrid scheme, for a two dimensional foil section are compared. The suggested hybrid scheme gives reasonable results, while computation time and memory can be dramatically reduced. By using the hybrid scheme efforts can be concentrated for the local flow near the leading and trailing edges, by providing more dense grid system, where detailed flow characteristics are required.
Keywords : 2-D Foil Section(2차원 날개 단면), Panel method(패널법), CFD(Computational Fluid dynamics, 전산유동해석), NACA0012
1. 서 론
최근 프로펠러 주위의 유동 해석을 위하여 전산유동해석 기법 이 많이 활용되고 있다. 또한, 프로펠러 설계 시 점성영향이 중요 해 짐에 따라, 3차원 형상 주변의 유동 해석을 위해 사용되는 패 널법의 단점인 점성의 영향을 고려하지 못하는 점의 보완이 요구 되고 있다. 그에 따라 점성의 영향을 해석하기 위한 전산유동해 석의 중요성이 점점 커지게 되었다. 그러나 점성유동해석은 계산 대상의 형상과 주변의 해석영역에 격자를 생성하여 해석을 수행 함에 따라 전산유동해석을 통한 해석 시, 격자의 중요성이 커져 격자의 질과 종류에 따라 해석에 많은 영향을 미치게 되는 단점 을 가지고 있다. 또한, 일정한 계산영역을 확보해야 함으로 격자 의 수가 많아져 해석 시간이 오래 걸리게 되는 단점이 있다.
본 연구에서는 이러한 단점을 보완하고자 기존의 패널법 (Lee, 1987; Kim, et al., 1993; Cho & Lee, 2000)과 전산유동해석법
(ANSYS FLUENT, 2009; POINTWISE, 2009; Kim & Kim, 2011;
Kim, 2013)을 결합한 하이브리드 기법을 활용하여 계산영역을 축 소시켜, 격자의 수를 줄이고 계산시간을 단축해 보고자 시도 하였 다. 또한 상기 방법을 검증하고자 2차원 날개단면(NACA0012) 유 동에 대한 해석을 수행하였다 (Abbott & von Doenhoff, 1959).
2. 지배방정식과 격자의 구성
2.1 패널법의 지배방정식 2.1.1 가정과 경계조건
패널법은 유동장을 V, 경계면을 S, 경계면에서 유동장 방향의 법선 벡터를 으로 둔다. 경계면 S는 물체 표면
, 후류 면
, 그리고 물체와 후류 표면 주변의 외부면(outer controlFig. 2 Distribution of panel and control points (N = 100)
surface)
∞
로 구성되어 있고, 물체를 향하는 유입속도 ∞
가 있다.(Fig. 1)Fig. 1 Notation for a general body for the application of Green’s theorem (Lee, 1987)
유동장 속의 유체는 비압축(incompressible), 비점성(inviscid) 그리고 비회전성(irrotational)을 갖으며, 그곳에는 라플라스 방정 식을 만족하는 섭동 속도 포텐셜, 가 존재한다.
∇
(1) 경계 조건은 다음과 같다.⦁
에서 운동학적 경계조건을 만족해야 한다.
∞ ∙
(2)⦁
은 두께가 없다고 가정한다.
을 가로지르는 법선속도 차이∆ 와 압력 점프∆는 0이고, 포텐셜 점프∆
는 허용 한다.
∆
(3)∆
(4)포텐셜 점프는 물체 주변의 순환(Circulation)의 크기와 같다.
∆
(5)⦁ 날개 뒷날에서 속도가 유한하다는 Kutta 조건을 만족한다.
∇
∞ (6)⦁ 물체에서 무한한 거리에 있는 외부면,
∞
에서는 물체로 인 한 섭동 속도는 사라질 것이다.∇ →
∞
→ ∞ (7)2.1.2 이산화
제어점 p가 물체 표면에 있을 때,
∆
(8)
여기서, 2차원 그린함수
은 3차원의 경우
로 대체되고, 선적분은 면적분이 된다. R은
상의 임의점(q)에 서 제어점(p)까지의 거리이다.물체의 형상은 N다각형으로 대체되고, N은 패널의 개수이다.
또, 패널의 배치는 nose-tail line을 따라서 cosine spacing으로 배치하였다.
cos
여기서
(9)
i f and
i f
i f ≠
i f
이러한 배치를 선택한 이유는 관심 영역인 날개의 앞날과 뒷날 에 패널을 집중 시켜 보다 세밀한 결과를 얻을 수 있기 때문이다.(Fig. 2)
패널 내부 특이점 강도는 일정한 크기를 갖는다고 가정하였으 며, 적분 방정식의 이산화식을 만족하는 제어점(Control point)은 각 패널의 중앙에 위치한다. (Fig. 2)
2.1.3 선형 대수방정식
식(8)은 이산화에 의하여 다음과 같은 선형 대수방정식으로 치 환된다.
∆
(10)
여기서,
log
Kutta 조건은 후류,
에서 포텐셜 점프를 같게 해주기 위 해 사용되었고, 포텐셜은 섭동 포텐셜 대신에 전체 포텐셜 값이 요구된다.
∆
∞ ∙
∞ cos sin
(11)
여기서,
∞
cos
sin
은 날개 뒷날에 있는 두 패널의 제어점 간 유입 포텐셜의 차이 이다.Kutta 조건(식(11))을 식(10)에 적용 한 최종 식은,
∞
cos
sin
(12)
여기서,
2.1.4 속도, 압력 및 양력
날개 표면의 속도는 포텐셜을 미분하여 얻을 수 있다. 세 패널 의 가운데 점에서의 포텐셜 값은 이차 다항식으로 가정하고, 패널 의 가운데 점에서의 속도는 패널의 접선 방향으로 미분하여 얻을 수 있다. 두 제어점 사이의 arc-length는 패널 각각의 길이의 반의 합과 같다. 현 code에서 속도는 전체 속도를 사용하였다.
Bernoulli’s 방정식을 이용하여 압력계수를 계산하며, 압력의 적분 값으로 양력을 계산한다.
∞
∞
(13)
∞
(14)
여기서, L은 날개 단면의 양력이다.
2.2 전산유동해석 2.2.1 지배방정식
본 연구에서는 전산유동해석을 위해 상용 전산유동해석 solver 인 FLUENT를 사용 하였다. FLUENT는 셀 중심 유한체적기법 (cell-centered finite volume) 기반의 RANS(Reynolds Averaged Navier-Stokes) 방정식을 사용한다. 지배방정식은 식(15) momentum equation, 식(16) continuity equation으로 고려되어 진다.
′
′
(15)
(16)
여기서
는 평균속도이고, ′ ′
는 난류 전단응력이다.2.2.2 난류 모델
난류 모델은 k-ω SST(Shear Stress Transport) 모델을 사용하 였다. k-ω SST 모델은 벽면 근처로 갈수록 표준 k-ω 모델을 사
용하고, 경계층의 바깥영역으로 갈수록 k-ε 모델의 high-Rey- nolds-number version을 사용하도록 서서히 변화되는 ben- ding function을 사용한다. 또한 난류 전단 응력의 이송효과를 설명하 기 위해 수정된 turbulent viscosity formulation을 포함하고 있다.
k-ω SST 모델은 일반적으로 역 압력구배에서 박리의 시작과 크 기를 잘 예측하는 특성을 가지고 있다 (Kim, 2013).
(17)
여기서,
2.2.3 격자구성
격자 생성은 격자생성 프로그램인 Pointwise를 사용했다. 날개 단면의 chord 길이는 1m로 두고, 계산영역을 날개의 앞날을 기 준으로 반경 1chord, 2chord, 5chord 그리고 10chord, 날개의 후류부는 20chord로 동일하게 설정하였다. 격자의 type은 c-type 을 사용하였다. 또한 반경은 날개의 chord length(c)로 무차원화 하였다.(Fig. 3) y+는 0.2으로, 표면에서 첫 번째 격자까지의 거 리는 1e-05로 두었다. Inlet 조건은 velocity inlet, outlet 조건은 outflow, 그리고 날개 단면에선 no-slip조건으로 주었다.
Fig. 3 Computational mesh (R/c=1, where c= chord length)
패널법 code에서는 code 내에서 날개 형상을 계산하여 포텐 셜 값을 계산 후, 전산유동해석 code에 inlet velocity를 입력해야 되는 Field point에서의 유기속도(induced velocity)를 계산하였 다.(Fig. 4)
참고로, 참고문헌 대상인 Eleni, et al. (2012)에서 채택한 계 산 영역은 날개의 앞날에서 앞쪽 방향, 날개 뒷날에서 아래와 위 의 방향으로 약 20chord이고, 총 격자의 수는 80,000개 이 다.(Fig. 5)
Fig. 4 Field points and NACA0012 geometry in panel code (R/c=1)
Fig. 5 Computational mesh of a full domain (R/c=20) (Eleni, et al., 2012)
3. 하이브리드 기법 적용
3.1 계산 조건
유동해석을 위한 대상은 2차원 날개단면 형상인 NACA0012로 선정하였다. 전산유동해석 상용 프로그램인 FLUENT에 적용한 계 산 조건은 table 1에 정리하였다. 난류 모델은 k-ω SST(Shear Stress Transport) 모델을 사용하였으며, 확산항과 대류항은 se- cond oder upwind, 압력 보정식에 대해서는 SIMPLE scheme 을 사용하였다. 계산의 결과 값은 Eleni, et al. (2012)에서 제시한 방법으로 격자를 생성하여 수행한 결과와 비교 하였다.
Table 1 Calculated conditions of FLUENT
Foil section NACA 0012
Grid type C-type
Reynolds number ×
Temperature 20°C
Density 998.2
Viscosity 0.001003·
Velocity 3.1
3.2 하이브리드 기법을 활용한 반복계산
본 논문에서 제시하고 있는 하이브리드 기법은 우선 전산유동 해석법을 이용하여 초기 계산을 수행하여 얻어진
값을 패널 법에 적용하여 계산한다. 이때, 식(10)의∆
항이 전산유 동해석법에서 계산되어진
값으로 대체 되고, 미지수에서 상수 값으로 바뀐다. 대체 되는∆
는 다음과 같다.
∆
∇
(18)
여기서, U는 유입속도, c는 chord 길이이다.
식(18)을 식(10)에 대입 시키면, 다음과 같다.
(19)여기서,
i f
i f ≠ 패널법에 의해 계산된 포텐셜 값을 이용하여, 전산유동해석의 입력조건으로 사용하기 위해 field points에서의 속도를 계산하였 다. 패널법에 의해 계산된 Field point에서의 유속은 전산유동해 석의 입력 값으로 사용되며 반복 계산을 수행 하였다.
3.3 Field points velocity
임의 위치(Field points)에서의 유기속도는 포텐셜의 미분으로 구할 수 있다.
∇
∇
∇
∇
(20)
식(20)으로부터 x, y성분의 전체속도(total velocity)를 구하면, 다음과 같다.
cos ∇
∇
∆ ∇
sin ∇
∇
∆ ∇
(21)여기서, ,
, α는 입사각, 그리 고 u, v는 각각 x방향 y방향 전체 속도이다.
3.4 Field points velocity의 검증
Field points에서 속도 값 검증을 위하여 원형 날개단면의 값과 비교하여 검증하였고, 원형 날개 단면의 field points 속도는 다음 과 같다.
cos
cos
sin
sin
(22)
여기서, r은 원의 반경, R은 원의 중심에서 field point까지의 거 리, α는 입사각, 그리고 θ는 field point와 원점 사이의 각이다.
Fig. 6 Circular section geometry and field points for CFD calculation
Fig. 7, Fig. 8은 식(22)로 표시된 field point에서의 자체속도 와 식(21)으로 계산된 패널법에 의한 속도를 비교한 그림이다. 이 론식과 패널법에 의한 계산 값이 잘 일치함을 보였다.
Fig. 9 Boundary of CFD method and panel method (Field point are located)
3.5 반복계산 과정
패널법에 의해 계산된 field points에서의 x방향, y방향의 속도 값을 경계면에서의 유입속도로 전산유동해석법에 입력하여 계산을
Fig. 7 Comparison field points x-velocity of a circular section, (α = 0°)
Fig. 8 Comparison field points y-velocity of a circular section, (α = 0°)
수행한다. 전산유동해석법에 의해 계산된 양력값(
)은 식(19)에 입력되어 패널법에 의한 계산을 다시 수행한다. 이러한 반복계산 을
값이 일정한 값에 수렴할 때 까지 반복적으로 수행한다.4. 계산 결과 및 토론
4.1 양력값(
)Fig. 10은 계산영역이 R/c=1이고 입사각(α)이 10°인 경우, 패 널법과 전산유동해석 방법을 활용한 하이브리드 기법에 의한 양 력값(
)의 반복계산에 의하여 수렴함을 보여주고 있다. 5번 정 도의 반복계산을 통해
값이 0.989에 수렴하고 있음을 알 수 있다.Fig. 10 Convergence of
by number of iterations, (R/c = 1, α = 10°)Fig. 11 Comparison of
with computation domain (α = 10°)Table 2와 Fig.11은 계산영역이 감소함에 따른
값의 변화 를 보여 준다. 보는 바와 같이, 계산영역이 감소함에 따라 Grid orthogonal quality를 유지하면서 격자(Grid) 수를 줄일 수 있었으 며, 이에 따라 계산시간이 감소함을 보였다.계산영역이 감소함에 따라
값이 감소하고 있으나, R/c=1 인 경우 약간 증가하는 경향이 있다.Comp.
Domain (R/c)
Comp.
time(s)
No.of
cell
Grid Orthog.
Quality 20
(Eleni, et al., 2012)
330 79,864 1.031 0.816747
10 330 79,864 1.031 0.793848
5 260 63,784 0.944 0.762521
2 224 47,704 0.946 0.784139
1 160 31,624 0.989 0.667391
Table 2 Comparison of
to the variation of computa- tional domain (α = 10°)Fig. 12 Comparison of experiment results and computa- tion results for
, (R/c = 1, Rn = ×
)Fig. 13 Convergence to number of nodes on foil (R/c
=10, α=10°)
Fig. 12은 계산영역이 R/c=1인 경우, 입사각 별 양력계수를 실험값[Theory of wing sections]과 비교한 값이다. 입사각이 10°이내의 경우 실험값과 유사한 갑을 주고 있으나, 12°보다 큰, 과도한 입사각에서는 박리현상을 모사하지 못하여 실험값과 차이 를 보이고 있다. 즉, 12° 이상의 과도한 입사각에서의 박리현상을 정밀하게 모사하기 위해서는 난류모델 을 포함한 보다 세밀한 연
구가 필요하다. 박리현상 정밀한 모사를 위한 추가적인 연구가 필요하다.
Fig.13과 Table 3에서 하이브리드 기법을 이용한 cell의 개수 에 따른 양력계수의 수렴성을 보이고 있다. R/c 가 10이고 입사 각(α)가 10°일 때 cell의 개수가 증가하면 양력계수가 0.985에 수 렴함을 알 수 있다.
Table 3 Convergence to number of nodes on foil (R/c = 10, α = 10°)
No. of node on foil
Total number of cell
Lift coefficient
100 49,104 0.962
150 54,054 0.974
200 59,004 0.980
250 64,954 0.983
300 68,904 0.985
400 78,804 0.986
600 98,604 0.985
4.2 압력 및 속도 분포
Fig. 14 Static pressure contour (R/c = 1, α = 10°) Fig. 14은 계산영역(R/c)이 1이고, 입사각이 10°일 때 정압력 을 보여 주고 있다. 입사각이 있는 경우, 날개 앞날의 아랫면에 위치한 정체점(Stagnation point) 부근에서 가장 큰 압력이 걸리 고 있음을 볼 수 있다.
Fig. 15 Leading edge boundary layer (R/c = 1, α = 10°)
Fig. 16 Trailing edge boundary layer (R/c = 1, α = 10°) Fig. 15와 Fig. 16은 각각, 날개 앞날과 뒷날부근의 유속 vector 를 도시하였으며, upper와 lower surface에서 표시된 원 내부 유 동의 확대 그림은 Fig 17, 18, 19 그리고 20에 나타 내었다.
Fig. 17 Closed boundary layer on the upper of leading edge (R/c = 1, α = 10°)
Fig. 18 Closed boundary layer on the lower of leading edge (R/c = 1, α = 10°)
Fig. 19 Closed boundary layer on the upper (suction side) of trailing edge (R/c = 1, α = 10°)
Fig.16에서 보면 날개표면 바로 위는 점성의 영향으로 인해 속 도가 없고, 벽면에서 약간 떨어진 거리에서의 속도가 유입속도 보 다 빠르다는 것을 알 수 있다. Boundary layer 외부의 유속은 점 성의 영향을 최소로 받아 증가되었음을 보여준다. 이러한 이유로 인해 날개의 윗면이 날개의 아랫면보다 속도가 빠르게 나타난다.
날개 뒷날 부근 속도 분포는 Fig. 18와 Fig. 19에서 보였으며, 날개의 앞날과는 달리 윗면보다는 아랫면에서 속도가 크게 나오 는 것을 알 수 있다. 이는, 아랫면의 높은 압력으로 인해 천천히 흐르던 유동이 뒷날부근에서 가속됨을 알 수 있다. 한편 윗면에 서는 뒷날 부근에서 감속되며 속도가 0에 가까워지며 받음각이 증가할 경우 박리현상이 발생되어 역류가 발생할 가능성이 높아 진다.
Fig. 20 Closed boundary layer on the lower (pressure side) of trailing edge (R/c = 1, α = 10°)
4.3 토 론
본 논문에서 제시한 하이브리드 기법을 사용한 결과 계산영역 과 cell의 개수가 줄어들어도
값이 오차 3% 내외로 안정적으 로 계산됨을 알 수 있었으며, 또한, 계산시간도 줄일 수 있었다.그러나 반경을 줄이면서 같이 줄어든 cell의 개수로 인해 격자의 orthogonal quality가 감소되어 오차가 증가하였다. 추후 계획하 고 있는 날개의 앞날과 뒷날부근의 국부유동을 관찰하기 위해 orthogonal quality를 유지하면서 cell의 개수를 줄일 수 있다면, 하이브리드 기법을 사용하여 계산시간을 확보하고, 관찰하고자 하는 위치에 셀을 좀 더 집중시켜 짧은 계산시간 내 세부적 국부 유동을 해석 할 수 있을 것이라 기대한다.
후 기
당 연구는 울산대학교 교내연구비의 지원에 의해 수행되었습 니다.
References
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Eleni, D.C., Athanasios, T.I. & Dionossios, M.P,.
2012. Evaluation of the Turbulence Models for the Simulation of the Flow over a National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) 0012 Airfoil.
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Kim, Y.G. Lee, J.T. Lee, C.S. & Suh, J.C., 1993.
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Lee, J.T., 1987. A potential based panel method for the analysis of marine propellers in steady flow.
Ph.D. Massachusetts Institute of Technology.
POINTWISE, 2009. Tutorial Version 16. Taeyang IT company.
오 진 안 이 진 태
