Å Â³ W « m; c" e Ö " e A 0V ÄÊ Ý Æ U Ø Ó Þù p § ü X ¢ 8 0 8 0X S ö o Ú7 _T Ó Å

(1)

Ü Ã

Å Â³ W « m; c" e Ö " e A 0V ÄÊ Ý Æ U Ø Ó Þù p § ü X ¢ 8 0 8 0X S ö o Ú7 _T Ó Å

*

×

<r )^ ï B ^∗

3 l

q" é ¶@ / < Æ § F g Ó ü to < Æõ , @ / 302-729 (2006¸ 8 Z 4 10{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

¸ H ý a³ ð> \ " f Ó ü to < Æ Z O g Ë :s Ô ¦ $ í ` ¦ ° ú l 0 AK " f H J $ " f Ð l Õ ü t÷ &# Q 9, q ç H| 9 , q 1 p x

~

½

Ó$ í , · ú » ¡ ¤$ í B | 9 \ " f l & h : £ ¤$ í õ l _ 1 l x` ¦ l Õ ü t ½ + É M :\ ¸ J $ " f Ð l Õ ü t ) a .

l © ¸ l © ~ Eü < l © \ ¦` ¦ 7 ' ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Ð Ð l Õ ü t l Ð l © ~ Eü < l © B\ ~ ¦ : x½ + Ëô Ç _ l © J $ " f F

^αβ

Ð l Õ ü t÷ & " f l < Æ r Û ¼% 7 ½ ¨ ¸ ¢ - a$ í ÷ &l M :ë Hs .

Ä

ºo H # l \ " f 3-vector / B Nç ß \ " f × æF G ¸F ' pà Ô J $ " fü < ' a$ í J $ " f\ ¦, ïá ÔÛ ¼v / B Nç ß \ " f l

© J $ " f F

^αβ

\ ¦ Ò q t$ í ¦ ¨ 8 H B Û ¼B w r Ó ý tY Us ` ¦ ] jr < ÊÜ ¼ Ð Ó ü to < Æ ¸[ þ ts ´ òõ & h Ü ¼

Ð J $ " f K $ 3 î r6 x0 p x§ 4 ` ¦ ° ú Æ Ò ¦ Ä º ¦ & ñ §ô Ç Ó ü to < Æ t d ^ > \ ¦ & ñ w n HX < ¸¹ ¡ §s ÷ &> % i

.

PACS numbers: 01.30.Pp,01.50.Ht,03.50.De

Keywords: × æF G ¸F ' pà Ô J $ " f, ' a$ í J $ " f, l © J $ " f, : £ ¤Ã º © @ /$ í , B Û ¼B w r Ó ý tY Us

I. " e Â ] Ø

Ó ü

to < Æõ _ < ÆÂ Òü < @ / < Æ" é ¶ < Æ_ þ võ & ñ \ " f J $ " fK $ 3 É r 7

' K $ 3 õ < Êa © l : r& h s 9 9 Ã º& h < Æ_ þ võ ] js

. l < Æ÷ rë ß m © @ /$ í s : r, { 9 ì ø Í% i < Æ, ª

% i

< Æ, Ä »^ % i < Æ, ½ ¨ ¸% i < Æ\ " f J $ " f Ó ü to < Æ& h ½ ¨ ¸\ ¦ l

Õ ü t H l : r& h ¸½ ¨s l M :ë Hs [1–5]. þ j H ( É

Ó' _ µ 1 Ï² ú õ < Êa Ó ü to < Æ §Ã º < Æ_ þ v\ ( É Ó' > í ß r Û

¼% 7 ` ¦ ¸{ 9 # < Æ_ þ v¨ 8 â ` ¦ > h 9 H ¸§ 4 [ þ ts Ö ¸µ 1 Ï

> ' ÷ &# Q M ® o [6, 10, 11]. : £ ¤y @ / < Æ_ Ó ü to < Æ § õ

õ & ñ \ Ã ºu í ß õ < Êa l ñ> í ß s Ã Ì Z 4ô Ç B Û ¼B w

\ ¦ ¸{ 9 ¦ §õ õ & ñ ` ¦ î r6 xô Ç כ É r Zimmerman § Ã

º % 6 £ §s [6]. Õ ª Ê ê ´ ú § É r @ / < Æ\ " f & h Ü ¼ Ð < Ê

É

r Â Òì r& h Ü ¼ Ð B Û ¼B w r Û ¼% 7 ` ¦ §õ î r% ò \ & h 6 x

¦ Ö ¸6 x H ½ ¨ Ö ¸µ 1 Ï > ' ÷ &# Q M ® oÜ ¼ 9 ´ ú § É r õ

[ þ ts µ 1 Ï³ ð÷ &% 3 [15–18]. Jackson §F [4]_ 11 © \ e

H @ /Â Òì r_ l < Æ r Û ¼% 7 _ J $ " f ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ B Û ¼ B

w r Ó ý tY Us Ü ¼ Ð ½ ¨ & ³ô Ç â Ä º ¸ e [19]. Õ ª Q

B Û ¼B w á Ô ÐÕ ªÏ þ ] j \ e ¸ n q t · ú §Ü ¼ é ß 0 A

>

< Ê É r BaseIndices É r â Ä º\ H J $ " f Ò q t$ í õ î r 6

x\ ´ ú § É r Â Ò{ ` ¦ ° ú H . Õ ªo # Ä ºo H SI é ß 0 A>

\

¦ 2 [ H Reitz §F [3]_ 22 © \ l Õ ü t ) a l © J $

"

f ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ B Û ¼B w r Û ¼% 7 \ " f ½ ¨ & ³ < ÊÜ ¼ Ð+

∗

E-mail: [email protected]

l

< Æ < Æ_ þ v_ ¢ - a$ í ¸\ ¦ Z }s ¦ > í ß ' p r Û ¼% 7 ` ¦ ½ ¨q ô

Ç Ó ü to < Æ ¸[ þ ts ´ òõ & h Ü ¼ Ð J $ " f < Æ_ þ v` ¦ HX < ¸¹ ¡ § s

÷ & ¸2 ¤ % i . : r 7 Hë H\ " f H M athematica 5.1 ! Q

\ " f [11] ç ß ¼ # > Reitz §F _ × æF G ¸F ' pà Ô J $

"

f(quadrupole moment tensor) [3], Marion §F _ ' a$ í

¸F ' pà Ô J $ " f(inertia tensor) [2]\ ¦ ½ ¨ H ~ ½ ÓZ O õ , Tesorial 3.0\ " f l © J $ " f F ^αβ [3]\ ¦ Ò q t$ í ¦ + þ A H ~ ½ Ó Z

O

` ¦ l Õ ü t % i .

II. Ö " ez º M ø n Ú3 ûÀ W ¥ ö n ÚP ] K ¡X ì Ä U Å k Ä= k4

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼ Ð 1 p x~ ½ Ó$ í , q · ú » ¡ ¤$ í s 9 ç H| 9 ô Ç B | 9 5 Å q\

"

f Ó ü to & h : £ ¤$ í ` ¦ 7 ' Ð l Õ ü t Ø æì r . Õ ª Q q 1

p

x~ ½ Ó$ í , q ç H| 9 & h , · ú » ¡ ¤$ í B | 9 5 Å q\ " f Ó ü to & h : £ ¤$ í

`

¦ 7 ' Ð l Õ ü t HX < H ô Ç> e Ü ¼ 9 J $ " f Ð l Õ ü tK

ô Ç . ¦^ \ " f l ¸ ¸\ ¦ ? / H 6 §_ Z O g Ë : J = σ ~ ~ Es 1 p x~ ½ Ó$ í B | 9 \ " f ~ J ~ E H Â Ò 7 ' s ¦ σ H Û ¼º ú s . 7 ' Ð l Õ ü t H כ Ü ¼ Ð Ø æì r . Õ ª

Q B | 9 s q 1 p x~ ½ Ó$ í { 9 M : H À Óx 9 ¸ 7 ' H { 9 & ñ ô Ç

~

½

Ó ¾ Ós m ¦ J i = P

k σ ij E k ÷ &# Q ² D G 9> h_ " é ¶ è\ ¦

° ú

H ¸ ¸ J $ " f σ ik \ ¦ + " f è q Ã º µ 1 Ú\ \ O [5]. Ä »

^ \ " f ¼ # F G ~ P = χ ~ E_ y Ã ºÖ ¦ χ Û ¼º ú m ¦ J

$

" fe Ü ¼ Ð 1 l x~ ½ Ó& ñ d ¸ s \ ÷ & H y n C_ 1

l

xs ² ú t " f 0 A © 5 Å q ¸,Ï ã J] X Ò ¦s & ñ _ ÷ & ¦ s \

-309-

(2)

& ñ ^ \ ¦ 1 p x~ ½ Ó, é ß » ¡ ¤, © » ¡ ¤ & ñ ^ Ð ì rÀ Ó ¦ s ì r À

Ó\ & ñ ^ _ l & h ,F g < Æ& h : £ ¤$ í ¸ ² ú t > ) a

[7]. l < Æ\ " f l © 7 ' ~ E ü < l © 7 ' ~ B\ ¦

Ð Ð & ñ _ ¦ 2 [/ å L ½ + É Ã º ¸ e t ë ß , s \ ¦ : x½ + Ë

#

_ l © J $ " f F ^αβ Ð ³ ð & ³ H כ s l

©

_ Ó ü to < Æ& h ^ > \ ¦ ¢ - a# 4 > l Õ ü t > ) a . z ´] j Ð Ä

ºo À Ò H > _ ¸ H Ó ü to & h r Û ¼% 7 É r 7 ' Ð 2

[/ å L½ + É Ã º e H r Û ¼% 7 Ð H J $ " f Ð : x½ + Ë÷ &# Q 2 [/ å L÷ &

#

Q ½ + É Ó ü to & h @ / © s @ /Â Òì rs [8]. Õ ª QÙ ¼ Ð > _

Ó ü to < Æ& h ½ ¨ ¸\ ¦ s K 9 J $ " f < Æ_ þ vs 9 Ã º& h s

. < ÆÂ Ò_ l < Æ õ & ñ \ " f } Û ¼R / ÷ ~ ½ Ó& ñ d t u

" f l © J $ " f F ^αβ Ð l Õ ü t÷ & H כ t s Ø Ôt 3 l w Ù

þ

¡ l < Æ < Æ_ þ vs ¢ - a$ í ÷ &% 3 ¦ ´ ú l H 4 Hè ß

. l © J $ " f F ^αβ Ð l Õ ü t÷ & H Ó ü to & h r Û ¼% 7 ` ¦ s

K t 3 l w ¦ < Æl \ ¦ u > ) a Ó ü to & h r Û ¼% 7

`

¦ é ß ¼ # & h Ü ¼ Ð s K Ù þ ¡ × ¼ ¸ Ó ü to < Æ t d ^ > Ð

&

ñ

w n r v t 3 l w H / B N) ô Ç < Æ_ þ v õ ÷ &l ~ 1 . Ä ºo

H # l " f D h Ðî r J $ " f\ ¦ ¸{ 9 ¦ K $ 3 ô Ç כ s m ¦,

<

ÆÂ Ò_ §õ õ & ñ \ " f / B N: x& h Ü ¼ Ð 2 [/ å L÷ &% 3 ~ J $ " f[ þ t` ¦ [1–9] B Û ¼B w r Û ¼% 7 \ " f > í ß ¦ S X < ÊÜ ¼ Ð+

½

¨ < Æ_ þ v ~ 1 > J $ " f > h¥ Æ ` ¦ s K ¦ Ö ¸6 x ½ + É Ã º e

H ~ ½ ÓZ O ` ¦ ] jr % i .

III. 8 0 8 0X S y ð ; c" e Ö " e4 m

B

Û ¼B w r Û ¼% 7 \ " f H l : r& h Ü ¼ Ð J $ " f > í ß ` ¦ ½ + É Ã

º e . > Ã º k J $ " f H l : r& h Ü ¼ Ð k- " é ¶ _ s ^ ¦s Ù

¼ Ð o Û ¼à Ô_ | 9 ½ + ËÜ ¼ Ð J $ " f\ ¦ ³ ðr ½ + É Ã º e . Õ ª QÙ ¼

Ð < ÆÂ Ò §F \ ¸ H × æF G ¸F ' pà Ô J $ " f, ' a$ í ¸J $ à

Ô J $ " f, Û ¼à ÔY UÛ ¼ J $ " f, l © J $ " f [1–3]\ ¦ Ò q t$ í ¦

>

í ß ½ + É M : Table, Array, MatrixForm 1 p x` ¦ s 6 x Ø æì r

. Õ ª Q MathTensor [10,13]ü < ° ú É r ë H á Ô ÐÕ ªÏ þ

`

¦ s 6 x 8¹ ¡ ¤ ¼ # o > J $ " f K $ 3 ` ¦ ½ + É Ã º e . Õ ª X

O

t · ú § ¦ Wolfram _ library\ / B N> h ) a Ä »e ô Ç Math- Source\ ¦ Ö ¸6 x ¼ # o [13, 14]. Ä ºo H # l \ " f Ó

ü

to < Æ ¸\ > ¼ # o ô Ç MathSource Ð R. Cabrera [14]

]

j/ B N H Tensorial 3.0` ¦ î r ~ Ã Î 6 x % i . Tenso- rial 3.0\ " f H DeclareBaseIndices Ð Base Ã º\ ¦ ¼ # o

>

½ + É Ã º e Ü ¼ 9 DefineTensorShortcuts Ð J $ " f\ ¦

&

ñ

_ # , F

^αβ

, F

αβ

, F

^αβ

, A

β

, x

^α

ü < ° ú s ¼ # o > ì ø Í J $

"

f < Ê É r / B N J $ " f\ ¦ & ñ _ # î r6 x ½ + É Ã º e . # l \ ]

jr ) a B Û ¼B w á Ô ÐÕ ªÏ þ É r ⁶ ^\ ^ñ[n] 6 £ §\ " î § î # Q

\

¦ In[n]:= mathematica commands ü < ° ú s { 9 § 4 ¦ s _ Ø ¦

§ 4 É r ^Out[n]= mathematica output ü < ° ú É r ~ ½ Ód Ü ¼ Ð ³ ð r

) a . × æF G ¸F ' pà Ô J $ " f, ' a$ í ¸J $ à Ô J $ " f, Û ¼à Ô Y

UÛ ¼ J $ " f\ ¦ Ò q t$ í HX <\ H É r MathSource Z >

É

r á Ô ÐÕ ªÏ þ s 9 כ ¹ \ O ¦, M athematica 5.1 ! Q (3.0s

©

)\ " f Ð J $ " f\ ¦ Ã º' ) a . J $ " f H 7 ' > h¥ Æ ` ¦ S

X

½ Óô Ç כ s ¦ ´ ú ½ + É Ã º e 6 £ §Ü ¼ Ð, Û ¼º ú , 7 ' , ' § > =, p

ì r í ß , ý a³ ð> _ î r6 x\ e ¸ n qK e H Ó ü to < Æ ¸[ þ t

É

r s p J $ " f K $ 3 ` ¦ Ã º' ½ + É Ã º e H l : r& h 0 p x§ 4 É r

° ú

Æ Ò ¦ e . ë ß J $ " f Ð l Õ ü t ) a Ó ü to & h õ ] j\ ¦ èf Ëy

À Ò% 3 J $ " f ³ ðl Z O õ ¨ 8 ½ ¨ ¸\ ¦ " î Ñ þ y s K 9

H ¸§ 4 õ < Æ_ þ vl r\ ¦ ° ú t 3 l wô Ç Ó ü to < Æ ¸[ þ ts ´ ú §` ¦ ÷ r s

. : £ ¤y ' § > => í ß \ e ¸ n qK e H Ó ü to < Æ ¸ B Û ¼B w

r Û ¼% 7 ¨ 8 â \ e 7 á § 8 ~ 1 > J $ " f ½ ¨ ¸\ ¦ e y

¦ î r6 x ½ + É Ã º e . s ] j J $ " f > í ß ¨ 8 â ` ¦ & h l 0 A

# B Û ¼B w r Û ¼% 7 \ " f 6 £ §õ ° ú s { 9 § 4 ¦ Ø ¦

§ 4 ` ¦ S X K Ð .

In[1]:= s = a;

v={a,b,c} ; m={{a,b}{c,d}} ; t232=Table[i1+i2 i3

{i1,2},{i2,3},{i3,2}]//MatrixForm TensorRanks[s]

TensorRanks[v]

TensorRanks[m]

TensorRanks[t232]

Out[5]= 0

Out[6]= 1

Out[7]= 2

Out[8]= 3

J

$

" f t232_ Ø ¦§ 4 ` ¦ Ð 2×3×2 " é ¶_ J $ " f ½ ¨ ¸\ ¦ f

'

a& h Ü ¼ Ð s K ½ + É Ã º e (# l \ ³ ðr t H î ß Ù þ ¡6 £ §).

1. ú n Þ £ ; { ¢ Ö ² Ö " e (Quadrupole moment tensor,Reitz [3])

ì r í ρ(~ r ⁰ ){ 9 M : r 0 Au \ " f ( J $ [ > ϕ(~r) É r

|~r − ~ r ⁰ | ⁻¹ ` ¦ / å LÃ º > h ¦ | ^r ^~ _~ _r

⁰

| ² s © _ ½ Ó` ¦ Á ºr ¦

&

ñ

o 6 £ §õ ° ú . # l \ " f × æF G ¸F ' pà Ô J $ " f Q ij \ ¦ ì r í 5 Å q& h â Ä ºü < 1 l qw n & h ì r í

â Ä º Ð ½ ¨ì rK " f d (2)ü < d (5)ü < ° ú s & ñ _ ½ + É Ã º e

.

1. 5 Å q& h ì r í â Ä º

(3)

ϕ(~r) = 1 4π² 0

Z

V

ρ(~ r ⁰ )

|~r − ~ r ⁰ | dv ⁰

= 1 4π² 0 { 1

r Z

V

ρ(~ r ⁰ )dv ⁰ + ~r r ³ ·

Z

V

~ r ⁰ ρ(~ r ⁰ )dv ⁰

+ X 3 i=1

X 3 j=1

1 2

x i x j

r ⁵ Z

V

(3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij r ⁰² )ρ(~ r ⁰ )dv ⁰

| {z }

Q

_ij

}

(1)

#

l " f Q ij ≡

Z

V

(3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij r ⁰² )ρ(~ r ⁰ )dv ⁰ } (2)

d

(2) H Reitz §F _ d (2-52)s . s d ` ¦ Õ ªX < Ð A

ü < ° ú É r B Û ¼B w ï` ç Ü ¼ Ð J $ " f\ ¦ ½ ¨ô Ç כ s d (3)s .

In[11]:= kdel[i ,j ]:=1/; i==j;

kdel[i ,j ]:=0/; i 6= j;

In[12]:= quadij = Table[Integrate[ρ(3x i x j -kdel[i,j] P

₃

k=1

(x k)

²

)

,{x 1,0,1},{x 2,0,1},{x 3,0,1}

,{i,3},{j,3}]//MatrixForm

Out[12]=

quad =



 0

^3ρ₄ ^3ρ₄

3ρ 4

0

^3ρ₄

3ρ 4

3ρ

4

0 

 (3)

2. 1 l qw n & h ì r í â Ä º

ϕ(~r) = 1 4π² 0

{ 1 r

X

k

q _k + ~r r ³ · X

k

r ~ ⁰ _k q _k

+ X 3 i=1

X 3 j=1

1 2

x i x j

r ⁵ X

k

(3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij r ⁰ _k ² )q k

| {z }

Q

ij

} (4)

#

l " f Q ij ≡ X

k

(3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij r ⁰ _k ² )q k (5)

d

(5)` ¦ s 6 x # [ j& h {(0, 0, 0), (0, 0, −l), (0, 0, l)}\

y y -2q, q, q ü < ° ú s ì r í ÷ &% 3 ` ¦ M : [3] ( J $ [ > ` ¦

½

¨ # Ð . s í ß & h ì r í s Ù ¼ Ð d (4)` ¦ s 6 x

#

½ Ó3 l qZ > Ð > í ß K Ð , X

k

q k = (−2q + q + q) = 0 X

k

r ~ ⁰ k q k = ~ r ⁰ 1 q 1 + ~ r ⁰ 2 q 2 + ~ r ⁰ 3 q 3

= (0, 0, 0)(−2q) + (0, 0, −l)(q) + (0, 0, l)(q) = 0 X

k

(3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij r ⁰ _k ² )q k = (3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij 0 ² )(−2q) + (3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij l ² )(q) + (3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij l ² )(q)

q ij = 2q(3x ⁰ _i x ⁰ _j − δ ij l ² ) (6)

#

l \ " f & h ü < © F G \ _ ô Ç ( J $ [ > É r ° ú s 0 e

` ¦ Ä »_ # . ë ß × æF G J $ " f ë ß s ( J $ [ > > í ß

\

l # > ÷ &% 3 . J $ " f\ ¦ Á ºr s ( J $ [ > É r 0 { 9 Ã

º µ 1 Ú\ \ O . 4× æF G ¸F ' pà Ô J $ " f H d (6)_ B Û ¼B w

ï` ç Ü ¼ Ð > í ß ) a .

In[13]:= kdel[i ,j ]:=1/; i==j;

kdel[i ,j ]:=0/; i =|j;

In[14]:= xvalues = { x 1 ->0, x 2 ->0, x 3 ->l};

In[15]:= triquadij= Table[2q (3x i x j -kdel[i,j]l

²

),{i,3},{j,3}]

In[16]:= %/.xvalues//MatrixForm

Out[16]=

triq =



 2q(−l

²

+ 3x

²1

) 6qx

1

x

2

6qx

1

x

3

6qx

1

x

2

2q(−l

²

+ 3x

²2

) 6qx

2

x

3

6qx

1

x

3

6qx

2

x

3

2q(−l

²

+ 3x

³1

)





=



 −2l

²

q 0 0 0 −2l

²

q 0 0 0 4l

²

q





(7)

2. å ¾ ËV R Ë Ö " e (Inertia Tensor, Marion [2])

s

] X \ " f H y © ^ % i < Æ_ © × æכ ¹ô Ç < Æ_ þ võ ] j ' a

$ í

J $ " f\ @ / # Marion §F 12 © _ ~ ½ Ó& ñ d [ þ t [2]` ¦

Ã

Ð ¸ # J $ " f ~ ½ Ó& ñ d [ þ t` ¦ B Û ¼B w r Ó ý tY Us Ü ¼

Ð ½ ¨ & ³ % i . # l " f H ' a$ í J $ " f ½ ¨ H כ ` ¦ q 2 ©

# , Å Ò ' a$ í ¸F ' pà Ô(principal moment of inertia)\ ¦

½

¨ l 0 A # ² ú ©6 £ § ¨ 8 (similarity transformation)` ¦ Ã

º' , ¦Ä »~ ½ Ó& ñ d (secular equation)` ¦ Û ¦# Q @ / y

o ô Ç ' a$ í 0 p xÒ ¦ J $ " f\ ¦ ½ ¨ H õ & ñ ` ¦ B Û ¼B w

r Ó ý tY Us Ü ¼ Ð " î Ñ þ y Ð# ï r . y © ^ { 9 & ñ ô Ç y

5 Å q ¸ ~ω Ð r ¦ e H â Ä º_ r î r1 l x\ -t

H 6 £ §õ ° ú s ³ ðr | ¨ c M : ' a$ í J $ " f I ij s í ß & h

â

Ä º(d 8)ü < 5 Å q& h â Ä º Ð(d 9) ½ ¨ì r # & ñ _ ) a .

(4)

1. n > h_ | 9 & h Ü ¼ Ð ½ ¨$ í ) a â Ä º

T rot = 1 2

X

α

m α (~ω × ~r α ) ²

= 1 2

X

i,j

ω i ω j

X

α

m α [δ ij

X

k

x ² _α,k − x α,i x α,j ]

| {z }

I

ij

I ij ≡ X

α

m α [δ ij

X

k

x ² _α,k − x α,i x α,j ] (8)

2. x 9 ¸ ρ(~r) s ¦ x i -axes » ¡ ¤_ " é ¶& h \ @ /ô Ç ' a$ í J $ " f

I ij ≡ Z

V

ρ(~r)[δ ij

X

k

x ² _k − x i x j ]dv (9)

ç

H{ 9 ô Ç x 9 ¸ρ\ ¦ ° ú ¦ | 9 | ¾ Ó M ô Ç s b & ñ ¹ ¢ ¤ ^ _ y

©

^ _ ' a$ í J $ " f\ ¦(Marion §F Example 12.2) d (9)\

B Û ¼B w ï` ç Ü ¼ Ð 6 £ §õ ° ú s ½ ¨ô Ç .

In[21]:= kdel[i ,j ]:=1/; i==j;

kdel[i ,j ]:=0/; i 6= j;

In[22]:= massrule={ρb

⁵

− > M b

²

};

betarule= { M b

²

-> β }

In[23]:= jtensor = Table[Integrate[ρ(

kdel[i,j] P

₃

k=1

(x k)

²

)

,{x 1,0,b},{x 2,0,b},{x 3,0,b}

,{i,3},{j,3}]

In[24]:= %/.massrule/.betarule //MatrixForm

Out[24]=

jtensor =





2β

3

−

^β₄

−

^β₄

−

^β₄ ^2β₃

−

^β₄

−

^β₄

−

^β₄ ^2β₃



 (10)

3. y © ^ _ | 9 | ¾ Ó× æd » ¡ ¤\ @ /ô Ç ' a$ í J $ " f

J ij = X

α

m α [δ ij

X

k

X _α,k ² − X α,i X α,j ]

= X

α

m α [δ ij

X

k

(x α,k + a k ) ²

− (x α,i + a i )(x α,j + a j )]

= I ij + X

α

m α [δ ij

X

k

a k 2 − a i a j ]

I ij = J ij − X

α

m α [δ ij

X

k

a k 2 − a i a j ] (11)

| 9

| ¾ Ó× æd \ @ /ô Ç ' a$ í J $ " f > í ß z ´\ V H, Marion §F Example 12.5 Ð" f d (11)` ¦ B Û ¼B w r Û ¼% 7 \ " f 6

£

§õ ° ú s ó r כ s .

In[25]:= jtensor= %

In[26]:= abrule = {a 1 ->

₂^b

,a 2->

^b₂

,a 3 ->

₂^b

};

betarule= { M b

²

-> β }

In[27]:= itensor =

jtensor-Table[(M(kdel[i,j] P

₃

k=1

(a k)

²

),a i a j)) ,{i,3},{j,3}]

In[28]:= %/.abrule/.betarule //MatrixForm

Out[28]=

itensor =





β

6

0 0

0

^β₆

0 0 0

^β₆



 (12)

s

H | 9 | ¾ Ó× æd \ " é ¶& h ` ¦ é H { 9 ~ ½ Ó^ _ ' a$ í J $ " fs . s

@

/y o ) a ' a$ í ¸F ' pà Ô J $ " f H Å Ò ' a$ í ¸F ' pà Ô(principal moment of inertia) ° ú כs ¸¿ º ° ú . s ü < ° ú É r ' a$ í 0 p x Ò

¦` ¦ ° ú > ÷ & H r » ¡ ¤[ þ t x 1 , x 2 , x 3 s Å Ò» ¡ ¤(principal axes)s .

4. y © ^ _ y î r1 l x| ¾ Ó y

©

^ î ß \ e H ý a³ ð> ô Ç & h O\ @ /ô Ç y © ^ _ y î r1 l x

|

¾

Ó` ¦ ' a$ í J $ " f Ð ³ ðr ½ + É Ã º e .

L = ~ X

α

~r α × ~p α

= X

α

m α ~r α × (~ω × ~r α ) L = ~ X

α

m α [~r ² _α ~ω − ~r α (~r α · ~ω)]

L i = X

α

m α [ω i

X

k

x α,k 2 − x α,i

X

j

x α,j ω j ]

= X

j

ω j

X

α

m α [δ ij

X

k

x α,k 2 − x α,i x α,j ]

| {z }

I

ij

L i = X

j

I ij ω j (13)

if I ij = I i δ ij

L i = I i ω i (14)

L = I~ω ~ (15)

d

(13)õ ° ú s y î r| ¾ Ó 7 ' H ' a$ í J $ " f Ð ³ ðr ) a . ¢ ¸ d

(13)õ (14)s ° ú l 0 AK " f H

L 1 = I 1 ω 1 = I 11 ω 1 + I 12 ω 2 + I 13 ω 3

L 2 = I 2 ω 2 = I 21 ω 1 + I 22 ω 2 + I 23 ω 3 (16)

L 3 = I 3 ω 3 = I 31 ω 1 + I 32 ω 2 + I 33 ω 3

(5)

s

÷ &# Q ¦, s [ þ ts % ; t · ú § É r K \ ¦ ° ú l 0 AK " f

H ¦Ä »~ ½ Ó& ñ d |I ml − Iδ ml | = 0s s # Q ô Ç . s ~ ½ Ó& ñ d _

¦Ä » ° ú כ I 1 , I 2 , I 3 s Å Ò ' a$ í ¸F ' pà Ôs . d (10)\ " f

½

¨ô Ç ' a$ í J $ " f\ @ /ô Ç ¦Ä » ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Û ¦ Å Ò ' a$ í J $

"

f\ ¦ @ /y o ¦ Å Ò ' a$ í ¸F ' pà Ô\ ¦ ½ ¨½ + É Ã º e . s

\ O

` ¦ 6 £ §õ ° ú s B Û ¼B w r Ó ý tY Us Ü ¼ Ð ½ ¨ % i .

In[30]:= jtensor

In[31]:= {

{

^2β₃

− J, −

^β₄

, −

^β₄

},{−

^β₄

,

^2β₃

− J, −

^β₄

},{−

^β₄

, −

^β₄

,

^2β₃

− J}};

In[32]:= secure = %

In[33]:= secsol = Solve[Det[secure]==0,J]

In[34]:= sectensor =

J/.{secsol[[1]],secsol[[2]],secsol[[3]]}

In[35]:= DiagonalMatrix[sectensor]//MatrixForm

Out[35]=

sectensor =





β

6

0 0

0

^11β₁₂

0 0 0

^11β₁₂



 (17)

Å

Ò ' a$ í ¸F ' pà Ô\ ¦ ½ ¨ H ¢ ¸ É r ~ ½ ÓZ O É r ² ú © É r ¨ 8 \ _

# @ /y o ô Ç ' a$ í ¸F ' pà Ô J $ " f\ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

I _ij ⁰ = P

k,l λ ik I kl λ ^t _lj (18) I ⁰ = λIλ ^t (19) d

(18) É r J $ " f Ð ³ ðr ô Ç כ s ¦ (19) É r ' § > = Ð ³ ðr ô Ç

כ

s . B Û ¼B w \ " f H J $ " f > í ß ¸ ' § > => í ß õ ° ú

É

r ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð Ã º' ) a .

0 Ad ` ¦ & h 6 x # > í ß ô Ç z ´\ V Ð" f, Marion §F Exam- ple 12.6(b)_ ë H] j\ ¦ B Û ¼B w r Ó ý tY Us Ü ¼ Ð Û ¦% 3

. s ë H] j H { 9 ~ ½ Ó^ _ ¸" fo \ " é ¶& h s e H ý a³ ð» ¡ ¤\

@

/ô Ç ' a$ í J $ " f\ ¦ $ x 3 » ¡ ¤` ¦ × æd Ü ¼ Ð 45 ^◦ r ô Ç 6

£

§, x ⁰ ₂ » ¡ ¤` ¦ × æd Ü ¼ Ð cos ⁻¹ q 2

3 r ô Ç â Ä º_ J $ " f ¨ 8

õ s . > í ß r ç ß ` ¦ 8 £ ¤& ñ l 0 A # Timing[] < ÊÃ º\ ¦

6 xÙ þ ¡ .

In[36]:= Timing[{

In[37]:= kdel[i ,j ]:=1/; i==j;

kdel[i ,j ]:=0/; i 6= j;

In[38]:= massrule={ρb

⁵

− > M b

²

};

betarule={ Mb

²

->β};

In[39]:= inertia=Table[Integrate[ρ(kdel[i,j]

, P

₃

k=1

(x k)

²

)

,{x 1,0,b},{x 2,0,b},{x 3,0,b}

,{i,3},{j,3}]/.massrule/.betarule ;

In[40]:= lambda1={{

^√¹₂

,

^√¹₂

, 0},{

^√¹₂

,

^√¹₂

, 0},{0, 0, 1}};

In[41]:= lambda2={{

q

2

3

, 0,

^√¹₃

},{0, 1, 0},{−

^√¹₃

, 0, q

2 3

}};

In[42]:= lambda = lambda2.lambda1

In[43]:= similtensor= lambda.inertia.Transpose[lambda]

//Simplify//MatrixForm }]

Out[43]=

{1.328 Second, {





β

6

0 0

0

^11β₁₂

0 0 0

^11β₁₂



}} (20) d

(17)ü < d (20) É r ° ú É r õ s . ' a$ í J $ " f\ ¦ % 6 £ §Â Ò '

r > í ß # s J $ " f\ ¦ % 3 HX < CPU( 9 \ 2.66GHz)

6 x r ç ß É r 1.328 Second s . y © _ z ´\ " f < ÆÒ q t[ þ tõ

<

Êa s \ ¦ f ] X > í ß 9 30ì r s © èכ ¹| ¨ c

\ O

s . B Û ¼B w r Û ¼% 7 É r §F ü < © H] X ô Ç " î

§ î

# Q[ þ t` ¦ 6 x ¦ É r 5 Å q ¸ Ð 6 x ' ` s Û ¼ N oteBook\ l ñ> í ß õ \ ¦ Ð# ï r . 0 A\ " f 6 xô Ç B

Û ¼B w " î § î # Q[ þ t: Intergrate, Solve, Det, Table, Transpose, DiagonalMatrix[],Timing[] [ þ ts §F \ " f_ 6

x# Q[ þ tõ _ f ¨ ° ú . Õ ª QÙ ¼ Ð B Û ¼B w r

Û ¼% 7 s © Ó ü to 2 ; o & h s ¦ · ú 9 $ e [11].

3. 24 m 6 È S Ë ¹ Å M X ê s Ö " e(Second-rank anti- symmetric field-strength tensor,Reitz [3])

s

] j d (21)õ ° ú s 3 " é ¶ 7 ' Ð l Õ ü t ) a l © õ

l © ` ¦, Reitz §F 22 © \ ³ ðr ) a l © J $ " f Ð

Ë ¨ ¦ ô Ç [3]. SI é ß 0 A> \ ¦ 2 [ ¦ BaseIndices\ ¦ Reitz §F ü < ´ ú > ¸] X # @ /Â Òì r_ < ÆÂ Ò §F \ Ã Ð ¦

½ +

É Ã º e > % i .

E = − ~ ∂ ~ A

∂t − ~ ∇ϕ, B = ~ ~ ∇ × ~ A (21)

¢

¸ ì ø Í 4-vector ý a³ ð H x ⁴ = Ict # (x ¹ , x ² , x ³ , x ⁴ ) Ð

% i . # l " f (I = √

−1)s . 7 ' ( J $ [ > É r / B N 4- potential U α Ð æ ¼ " f Û ¼º ú ( J $ [ > ϕ → U 4 = ^I _c ϕ Ð

# 4-potential` ¦ ½ ¨$ í % i . > Ã º 1 J $ " f ì ø Í 4-vector U ^α ü < / B N 4-vector U α H 6 £ §õ ° ú É r J $ " f

¨ 8

½ ©g Ë :\ _ # ¨ 8 ÷ &# Q ô Ç .

A ^0α = ∂x ^0α

∂x ^β A ^β (22)

B _α ⁰ = ∂x ^β

∂x ^0α B β (23)

s

½ ©g Ë :` ¦ & h 6 x # / B N ¼ # p ì r í ß ∂ α ü < ì ø Í ¼ # p

ì r í ß ∂ ^α [ þ t ¸ 6 £ §õ ° ú s J $ " f Ð & ñ _ % i .

∂ α = (∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 , ∂ 4 ) = ( ∂

∂x ¹ , ∂

∂x ² , ∂

∂x ³ , ∂

∂x ⁴ )

= (~ ∇, ∂

∂x ⁴ ) (24)

∂ ^α = (∂ ⁰ , ∂ ¹ , ∂ ² , ∂ ³ ) = ( ∂

∂x 0

, ∂

∂x 1

, ∂

∂x 2

, ∂

∂x 3

)

= (~ ∇, − ∂

∂x ⁴ ) (25)

(6)

0 Ad É r > | ¾ Ó J $ " f g ^αβ \ ¦ s 6 x # S X ½ + É Ã º e

. ∂ ^α = g ^αβ ∂ β = (∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 , −∂ 4 )s . s

H : £ ¤Ã º © @ /$ í s : r\ " f & ñ _ ÷ & H > | ¾ Ó J $ " f Ð" f DiagonalMatrix[{1,1,1,-1}] s : £ ¤Ã º © @ /$ í s : rs l

í& h J $ " f K $ 3 \ @ /ô Ç 7 á § 8 [ jô Ç [ O " î É r §F \ ¦

Ã

Ð ¦ l ê ø Í [3–5]. s ] j 3-vector ~ Eü < ~ B H 6 £ §õ

° ú

s 4-vector J $ " f Ð ¨ 8 ½ + É Ã º e .

d

(21)_ · ú ¡d _ ª \ ^I _c \ ¦ Y L I

c E = − ~ I c

∂ ~ A

∂t − I c ∇ϕ ~

= ∂ ~ A

∂x ⁴ − ~ ∇U 4

4-potential Ð & ñ o I

c E α = ∂U α

∂x ⁴ − ∂U 4

∂x ^α (26)

B αβ = ∂U β

∂x ^α − ∂U α

∂x ^β (27)

d

(26)\ " f α H ) L :q Ã º s Ù ¼ Ð, Ã º α @ / β Ð

Ë ¨# Q ¸ © ' a\ O 6 £ §Ü ¼ Ð, ~ Eü < ~ B\ ¦ : x½ + Ë # J $ " f F ^αβ \ ¦

6 £ §õ ° ú s & ñ _ ½ + É Ã º e .

F ^αβ = ∂U β

∂x ^α − ∂U α

∂x ^β (28)

s

כ s 2> ì ø Í@ /g A l © J $ " f F ^αβ s [3,4]. s J $

"

f Ò q t$ í ` ¦ 0 Aô Ç B Û ¼B w r Ó ý tY Us É r 6 £ §õ ° ú .

4. ¹ Å M X ê s Ö " e F ^αβ t V R Ëù p § ü X ¢ 8 0 8 0X S

ö o Ú7 _T Ó Å

>

Ã º k J $ " f H l : r& h Ü ¼ Ð k- " é ¶ _ s ^ ¦s Ù ¼

Ð B Û ¼B w \ " f H o Û ¼à Ô_ | 9 ½ + ËÜ ¼ Ð J $ " f > í ß ½ + É Ã

º e . ] X \ " f Ð ü < ° ú s × æF G ¸F ' pà Ô J $

"

f, ' a$ í J $ " f H B Û ¼B w r Û ¼% 7 \ " f f ] X > í ß

% i

. 4-vector / B Nç ß \ " f l © J $ " f $ í õ î r6 x` ¦ 0

AK Tensorial 3.0` ¦ < Êa 6 x % i . # l \ " f H J $

"

f\ ¦ & ñ _ ¦ l © J $ " f F ^αβ \ ¦ Ò q t$ í 9 ¨ 8

H B Û ¼B w r Ó ý tY Us ` ¦ ] jr % i . s r Ó ý tY Us

É r 3-vector / B Nç ß \ " f ³ ðr ) a 7 ' © [ þ t` ¦ 4-vector J

$

" f Ð ½ ¨$ í H õ & ñ ` ¦ f ' a& h Ü ¼ Ð s K ½ + É Ã º e ¸ 2

¤ §F _ ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Ð B Û ¼B w á Ô ÐÕ ªÏ þ Ü ¼ Ð r

æ ¼ ¦ S X H ~ ½ ÓZ O ` ¦ 2 [ % i . s r Ó ý tY Us É r M athematica 5.1\ " f $ í ÷ & ¦ Ã º' ÷ &% 3 Ü ¼ 9 # l \ ]

jr ) a á Ô ÐÕ ªÏ þ ` ¦ î r ~ Ã Î " f [20] B Û ¼B w r Û ¼% 7

\

" f Õ ªX < Ð Ã º' ½ + É Ã º e . # l " f H 1 l q _ ¼ # _ \ ¦ 0

AK : £ ¤& ñ ô Ç 6 \ ñ_ { 9 § 4 \ @ /ô Ç Ø ¦§ 4 ë ß ` ¦ ] jr

% i

.

In[51]:= Needs["TensorCalculus3‘Tensorial‘"]

In[52]:=

oldindices=BaseIndices;

oldflavors=Indexflavors;

ClearIndexFlavor/@oldflavors;

DeclareBaseIndices [{1,2,3,4 }]

DeclareIndexFlavors

/@{{red,Red},{rocket,SuperStar}};

In[53]:= DefineTensorShortcuts[{{x,A,B,U,E },1}, {{F,F,g,Λ},2},{{F,ε},4}]

labs={x,δ,g,Γ}

In[54]:= {Fuu[αβ],Fdd[αβ],Fuu[α, β],Ad[β],xu[α]}

Out[54]= {F

^αβ

, F

αβ

, F

^αβ

, A

β

, x

^α

}

$ l © J $ " f E β ü < l © J $ " f B αβ \ ¦ B Û ¼B w

\

" f & ñ _ ¦ $ í ì rÜ ¼ Ð ³ ðr % i . # l " f H : £ ¤Z > y

/ å L t · ú § H â Ä º ^I _c E β @ / \ E β Ð ³ ðr l Ð ô Ç .

In[55]:= Ed[β]==PartialD[labs][Ud[β],xu[4]

-PartialD[labs][Ud[4],xu[β]]

Out[55]=

E

β

== ∂U

β

∂x

⁴

− ∂U

4

∂x

^β

(29)

l © E β ` ¦ $ í ì rZ > Ð ? / 9

In[56]:= % //EinsteinArray[{1,2,3}]

Out[56]=

E

1

= ∂U

1

∂x

⁴

− ∂U

4

∂x

¹

, E

2

= ∂U

2

∂x

⁴

− ∂U

4

∂x

²

, E

3

= ∂U

3

∂x

⁴

− ∂U

4

∂x

³

(30)

l © B αβ ¸ $ í ì rZ > Ð ³ ðr 9

In[57]:= Bd[αβ]==PartialD[labs][Ud[β],xu[α]

-PartialD[labs][Ud[α],xu[β]]

Out[57]=

B

αβ

== ∂U

β

∂x

^α

− ∂U

α

∂x

^β

(31)

In[58]:= % //EinsteinArray[{1,2,3}]

Out[58]=

B

αβ

= ∂U

β

∂x

^α

− ∂U

α

∂x

^β

=



 



B

11

= 0 B

12

= ∂U

2

∂x

¹

− ∂U

1

∂x

²

B

13

= ∂U

3

∂x

¹

− ∂U

1

∂x

³

B

21

= ∂U

1

∂x

²

− ∂U

2

∂x

¹

B

22

= 0 B

23

= ∂U

3

∂x

²

− ∂U

2

∂x

³

B

31

= ∂U

1

∂x

³

− ∂U

3

∂x

¹

B

32

= ∂U

2

∂x

³

− ∂U

3

∂x

²

B

33

= 0



 



(32)

#

l " f Ä ºo H E β ü < B αβ \ ¦ : x½ + Ë # , d (28)\ " f & ñ _ ô

ÇX < Ð, ì ø Í J $ " f F ^αβ = ^∂U _∂x

α^β

− ^∂U _∂x

^αβ

Ð & ñ _ ½ + É Ã º e

. d (32)\ " f B ₂₃ → B ₁ , B ₃₁ → B ₂ , B ₁₂ → B ₃ ) a

(7)

E 1 = ( ∂U 1

∂x ⁴ − ∂U 4

∂x ¹ ) = ∂ ⁴ U 1 − ∂ ¹ U 4 = F ⁴¹ E 2 = ( ∂U 2

∂x ⁴ − ∂U 4

∂x ² ) = ∂ ⁴ U 2 − ∂ ² U 4 = F ⁴² E 3 = ( ∂U 3

∂x ⁴ − ∂U 4

∂x ³ ) = ∂ ⁴ U 3 − ∂ ³ U 4 = F ⁴³ B 1 = ∂U 3

∂x ² − ∂U 2

∂x ³ = ∂ ² U 3 − ∂ ³ U 2 = F ²³ B 2 = ∂U ₁

∂x ³ − ∂U ₃

∂x ¹ = ∂ ³ U 1 − ∂ ¹ U 3 = F ³¹ B 3 = ∂U 2

∂x ¹ − ∂U 1

∂x ² = ∂ ¹ U 2 − ∂ ² U 1 = F ¹²

(33)

F ^αβ _ ì ø Í@ /g A$ í \ _ #

F ¹⁴ = −F ⁴¹ , F ²⁴ = −F ⁴² , F ³⁴ = −F ⁴³

F ³² = −F ²³ , F ¹³ = −F ³¹ , F ²¹ = −F ¹² (34) s

] j F ^αβ \ ¦ & ñ _ ¦ EinsteinArray Ð & ñ § > =ô Ç 6 £ §, · ú ¡

\

" f ½ ¨ô Ç d (33)õ (34)` ¦ Ã Ð ¸ # ~ E, ~ B_ $ í ì r° ú כ[ þ t

`

In[61]:= Fuu[α, β]==PartialD[labs][Ud[β],xu[α]], -PartialD[labs][Ud[α],xu[β]]

In[62]:= ebfield = % //EinsteinArray[]

In[63]:= eRule= {ebfield[[4,1]]->Ed[1]

,ebfield[[4,2]]->Ed[2]

,ebfield[[4,3]]->Ed[3]

,ebfield[[1,4]]->-Ed[1]

,ebfield[[2,4]]->-Ed[2]

,ebfield[[3,4]]->-Ed[3]}

In[64]:= bRule= {ebfield[[2,3]]->Bd[1]

,ebfield[[3,1]]->Bd[2]

,ebfield[[1,2]]->Bd[3]

,ebfield[[3,2]]->-Bd[1]

,ebfield[[1,3]]->-Bd[2]

,ebfield[[2,1]]->-Bd[3]}

In[65]:= ebfield/.eRule/bRule

Out[65]=

F

^αβ

= ∂U

β

∂x

^α

− ∂U

α

∂x

^β

=



 

 

0 ∂U

2

∂x

¹

− ∂U

1

∂x

²

∂U

3

∂x

¹

− ∂U

1

∂x

³

∂U

4

∂x

¹

− ∂U

1

∂x

⁴

∂U

1

∂x

²

− ∂U

2

∂x

¹

0 ∂U

3

∂x

²

− ∂U

2

∂x

³

∂U

4

∂x

²

− ∂U

2

∂x

⁴

∂U

1

∂x

³

− ∂U

3

∂x

¹

∂U

2

∂x

³

− ∂U

3

∂x

²

0 ∂U

4

∂x

³

− ∂U

3

∂x

⁴

∂U

1

∂x

⁴

− ∂U

4

∂x

¹

∂U

2

∂x

⁴

− ∂A

4

∂x

²

∂A

3

∂x

⁴

− ∂A

4

∂x

³

0 

 

 

=



 

0 B

3

−B

2

−E

1

−B

3

0 B

1

−E

2

B

2

−B

1

0 −E

3

E

1

E

2

E

3

0 

 

(35) s

J $ " f\ ¦ E α @ / ^I _c E α Ð Ë ¨# Q r æ ¼

Out[67]=

F

^αβ

=



 



0 B

3

−B

2

−

^I_c

E

1

−B

3

0 B

1

−

^I_c

E

2

B

2

−B

1

0 −

^I_c

E

3 I

c

E

1 I c

E

2 I

c

E

3

0 

 

 (36)

In[66]:= freitz= % s

$

" f F ^αβ H B Û ¼B w r Û ¼% 7 \ J $ " f_ כ ¹ è ° ú כõ < Ê a

f reitz_ s 2 £ §Ü ¼ Ð B Û ¼B w _ Tensorial 3.0\ $

©

H dÜ ¼ Ð 9 כ ¹½ + É M : ] j~ t ñØ ¦ # 6 x ½ + É Ã º e .

¢

¸ô Ç } Û ¼R / ÷ ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ s J $ " f Ð r j þ t Ã º e [19].

5. ¹ Å M X ê s Ö " e8 ý Ò ÷ » ì Åò & ÿ

ïá ÔÛ ¼v / B Nç ß \ " f D h Ðî r ý a³ ð> ½ ¨ ý a³ ð> \

@

/ # x ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð ~u_ 5 Å q ¸ Ð î r1 l x½ + É M : ÐE $ Þ Ô ¨ 8

É r

Out[68]=

Λ

αβ

=



 

γ 0 0 Iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0

−Iβγ 0 0 γ



  (37)

In[69]:= lgamma= %

#

l " f γ = √ ¹

1−β

²

s ¦ β = ^u _c s .

s

&

ñ

ï` ç É r 6 £ §õ ° ú .

In[71]:= SetTensorValueRules[Fuu[α, β],freitz]

In[72]:= SetTensorValueRules[Λdd[χ, λ],lgamma]

In[73]:= SetTensorValueRules[F]

In[74]:= SetTensorValueRules[Λ]

In[75]:= Clear[primef];

e1rule={

^IE¹_c^γ²

−

^IE¹^β_c²^γ²

->

^I_c

E

1

,

^IE¹^β_c²^γ²

−

^IE¹_c^γ²

-> -

^I_c

E

1

};

gammarule={γ

²

− β

²

γ

²

->1,β

²

γ

²

− γ

²

->-1};

In[76]:= Λdd[µ, α] Λdd[ν, β]Fuu[α, β]

% // MetricSimplify[Λ]

%% //ToArrayValues

Out[76]= F

^αβ

Λ

µα

Λ

νβ

Out[77]= F

µν

Å Â³ ­ W   «  m; c" e  Ö " e A 0V ÄÊ Ý Æ U Ø Ó Þù p § ü X ¢ 8 0­ 8 0X S ö o Ú7 _T  Ó Å

Ü Ã